山東省巨野縣一中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

山東省巨野縣一中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．黃金矩形是寬（）與長(zhǎng)（）的比值為黃金分割比的矩形，如圖所示，把黃金矩形分割成一個(gè)正方形和一個(gè)黃金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自正方形內(nèi)的概率是A. B.C. D.2．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，，則為（）A. B.C. D.3．某校開(kāi)學(xué)“迎新”活動(dòng)中要把3名男生，2名女生安排在5個(gè)崗位，每人安排一個(gè)崗位，每個(gè)崗位安排一人，其中甲崗位不能安排女生，則安排方法的種數(shù)為（）A.72 B.56C.48 D.364．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線(xiàn)上，這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)為三角形的“歐拉線(xiàn)”．若滿(mǎn)足，頂點(diǎn)，且其“歐拉線(xiàn)”與圓相切，則：①．圓M上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為②．圓M上存在三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為③．若點(diǎn)在圓M上，則的最小值是④．若圓M與圓有公共點(diǎn)，則上述結(jié)論中正確的有（）個(gè)A.1 B.2C.3 D.45．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線(xiàn)上，后人稱(chēng)這條直線(xiàn)為歐拉線(xiàn).已知△ABC的頂點(diǎn)分別為，，，則△ABC的歐拉線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.6．已知為等差數(shù)列，且，，則（）A. B.C. D.7．已知直線(xiàn)l和兩個(gè)不同的平面，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．如圖，過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)依次交拋物線(xiàn)及準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，若且，則拋物線(xiàn)的方程為（）A.B.C.D.9．若直線(xiàn)的斜率為，則的傾斜角為（）A. B.C. D.10．函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)有（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)11．若函數(shù)，（其中，）的最小正周期是，且，則（）A. B.C. D.12．已知等比數(shù)列，且，則（）A.16 B.32C.24 D.64二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在等腰直角中，，為半圓弧上異于，的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半圓弧繞旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，有下列判斷：①存在點(diǎn)，使得；②存在點(diǎn)，使得；③四面體的體積既有最大值又有最小值：④若二面角為直二面角，則直線(xiàn)與平面所成角的最大值為45°.其中正確的是______（請(qǐng)?zhí)钌纤心阏J(rèn)為正確的結(jié)果的序號(hào)）.14．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________.15．若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則直線(xiàn)與之間的距離為_(kāi)____16．無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足：只要必有則稱(chēng)為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”.已知為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，且前四項(xiàng)成等比數(shù)列，，則=_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系上，已知圓的直徑，定直線(xiàn)到圓心的距離為，且直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)，點(diǎn)是圓上異于、的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)、分別交與、兩點(diǎn)（1）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)方程；（2）若，求以為直徑的圓方程；（3）當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)圓內(nèi)的一定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由18．（12分）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，記插入的這n個(gè)數(shù)之和為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為,斜率為1的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）求的面積.20．（12分）已知橢圓的離心率，過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)截橢圓所得到的線(xiàn)段的長(zhǎng)度為1（1）求橢圓C的方程；（2）直線(xiàn)交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若y軸上存在點(diǎn)P，使得是以AB為斜邊的等腰直角三角形，求的面積的取值范圍21．（12分）某校從高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)，將其成績(jī)分成，，，，的組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值；（2）估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（3）若成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中男生占.現(xiàn)從成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取人進(jìn)行分析，求人中恰有名女生的概率.22．（10分）三棱錐中，，，，直線(xiàn)與平面所成的角為，點(diǎn)在線(xiàn)段上.（1）求證：；（2）若點(diǎn)在上，滿(mǎn)足，點(diǎn)滿(mǎn)足，求實(shí)數(shù)使得二面角的余弦值為.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)矩形的長(zhǎng)，寬分別為,所以，把黃金矩形分割成一個(gè)正方形和一個(gè)黃金矩形,所以，設(shè)矩形的面積為,正方形的面積為,設(shè)在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自正方形內(nèi)的概率是,則，故本題選C.【詳解】本題考查了幾何概型，考查了運(yùn)算能力.2、B【解析】根據(jù)空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：B3、A【解析】以位置優(yōu)先法去安排即可解決.【詳解】第一步：安排甲崗位，由3名男生中任選1人，有3種方法;第二步：安排余下的4個(gè)崗位，由2名女生和余下的2名男生任意安排即可，有種方法故安排方法的種數(shù)為故選：A4、A【解析】由題意求出的垂直平分線(xiàn)可得△的歐拉線(xiàn)，再由圓心到直線(xiàn)的距離求得，得到圓的方程，求出圓心到原點(diǎn)的距離，加上半徑判斷A；求出圓心到直線(xiàn)的距離判斷B；再由的幾何意義，即圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率判斷C；由兩個(gè)圓有公共點(diǎn)可得圓心距與兩個(gè)半徑之間的關(guān)系，求得的取值范圍判斷D【詳解】由題意，△的歐拉線(xiàn)即的垂直平分線(xiàn)，，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，則的垂直平分線(xiàn)方程為，即由“歐拉線(xiàn)”與圓相切，到直線(xiàn)的距離，，則圓的方程為：，圓心到原點(diǎn)的距離為，則圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為，故①錯(cuò)誤；圓心到直線(xiàn)的距離為，圓上存在三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，故②正確；的幾何意義：圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，設(shè)過(guò)與圓相切的直線(xiàn)方程為，即，由，解得，的最小值是，故③錯(cuò)誤；的圓心坐標(biāo)，半徑為，圓的的圓心坐標(biāo)為，半徑為，要使圓與圓有公共點(diǎn)，則圓心距的范圍為，，，解得，故④錯(cuò)誤故選：A5、A【解析】求出重心坐標(biāo)，求出AB邊上高和AC邊上高所在直線(xiàn)方程，聯(lián)立兩直線(xiàn)可得垂心坐標(biāo)，即可求出歐拉線(xiàn)方程.【詳解】由題可知，△ABC的重心為，可得直線(xiàn)AB的斜率為，則AB邊上高所在的直線(xiàn)斜率為，則方程為，直線(xiàn)AC的斜率為，則AC邊上高所在的直線(xiàn)斜率為2，則方程為，聯(lián)立方程可得△ABC的垂心為，則直線(xiàn)GH斜率為，則可得直線(xiàn)GH方程為，故△ABC的歐拉線(xiàn)方程為.故選：A.6、B【解析】由已知條件求出等差數(shù)列的公差，從而可求出【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，故選：B7、D【解析】根據(jù)直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系，應(yīng)用定義法判斷兩個(gè)條件之間的充分、必要性.【詳解】當(dāng)，時(shí)，直線(xiàn)l可與平行、相交，故不一定成立，即充分性不成立；當(dāng)，時(shí)，直線(xiàn)l可在平面內(nèi)，故不一定成立，即必要性不成立.故選：D.8、D【解析】如圖根據(jù)拋物線(xiàn)定義可知，進(jìn)而推斷出的值，在直角三角形中求得，進(jìn)而根據(jù)，利用比例線(xiàn)段的性質(zhì)可求得，則拋物線(xiàn)方程可得.【詳解】如圖分別過(guò)點(diǎn)，作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，分別交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)，則由已知得：，由定義得：，故在直角三角形中，，，，從而得，，求得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為故選：D9、C【解析】設(shè)直線(xiàn)l傾斜角為，根據(jù)題意得到，即可求解.【詳解】設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角為，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率是，可得，又因?yàn)椋?，即直線(xiàn)的傾斜角為.故選：C.10、B【解析】利用極值點(diǎn)的定義求解.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象知：函數(shù)在內(nèi)，與x軸有四個(gè)交點(diǎn)：第一個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，第二個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，第三個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右正，第四個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，所以函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)有2個(gè)，故選：B11、B【解析】利用余弦型函數(shù)的周期公式可求得的值，由結(jié)合的取值范圍可求得的值.【詳解】由已知可得，且，因此，.故選：B.12、A【解析】由等比數(shù)列的定義先求出公比，然后可解..【詳解】，得故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②④【解析】①當(dāng)D為中點(diǎn)，且A，B，C，D四點(diǎn)共面時(shí),可證得四邊形ABCD為正方形即可判斷①；②當(dāng)D在平面ABC內(nèi)的射影E在線(xiàn)段BC上（不含端點(diǎn)）時(shí)，可知平面ABC，可證得平面CDB，即可判斷②；③，研究臨界值即可判斷③；④二面角D-AC-B為直二面角，且D為中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)DB與平面ABC所成角的最大，作圖分析驗(yàn)證可判斷④.【詳解】①當(dāng)D為中點(diǎn)，且A，B，C，D四點(diǎn)共面時(shí),連結(jié)BD，交AC于，則為AC中點(diǎn)，此時(shí)，且,所以四邊形ABCD為正方形，所以AB//CD，故①正確；②當(dāng)D在平面ABC內(nèi)的射影E在線(xiàn)段BC上（不含端點(diǎn)）時(shí)，此時(shí)有：平面ABC，，又因?yàn)?，所以平面CDB，所以，故②正確；③，當(dāng)平面平面ABC，且D為中點(diǎn)時(shí)，h有最大值；當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)共面時(shí)h有最小值0，此時(shí)為平面圖形，不是立體圖形，故四面體D-ABC無(wú)最小值，故③錯(cuò)誤.④二面角D-AC-B為直二面角，且D為中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)DB與平面ABC所成角的最大，取AC中點(diǎn)O，連結(jié)DO，BO，則，AC=平面平面ACD，平面平面ACD，所以平面ABC，所以為直線(xiàn)DB與平面ABC所成角，設(shè)，則，，所以為等腰直角三角形，所以，直線(xiàn)與平面所成角的最大值為45°，故④正確.故答案為：①②④.14、【解析】化成拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】由題意知，，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：15、【解析】由直線(xiàn)平行求參數(shù)m，再利用平行直線(xiàn)的距離公式求與之間的距離.【詳解】由題設(shè)，，即，所以，，所以直線(xiàn)與之間的距離為.故答案為：16、7578【解析】根據(jù)新定義得數(shù)列是周期數(shù)列，從而易求得【詳解】∵成等比數(shù)列，，∴，又，為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，∴，，，，…，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4∴故答案為：7578三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或（2）（3）過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】（1）對(duì)所求直線(xiàn)的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，在所求直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直接驗(yàn)證直線(xiàn)與圓相切；在所求直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線(xiàn)方程為，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得出關(guān)于的等式，求出的值，綜合可得出所求直線(xiàn)的方程；（2）分點(diǎn)在軸上方、點(diǎn)在軸下方兩種情況討論，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可得出所求圓的圓心坐標(biāo)和半徑，即可得出所求圓的方程；（3）設(shè)直線(xiàn)的方程為，其中，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可求得以線(xiàn)段為直徑的圓的方程，并化簡(jiǎn)圓的方程，可求得定點(diǎn)的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】解：易知圓的方程為，圓心為原點(diǎn)，半徑為，若所求直線(xiàn)的斜率不存在，則所求直線(xiàn)的方程為，此時(shí)直線(xiàn)與圓相切，合乎題意，若所求直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)所求直線(xiàn)的方程為，即，由已知可得，解得，此時(shí)所求直線(xiàn)的方程為.綜上所述，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)方程為或.【小問(wèn)2詳解】解：易知直線(xiàn)的方程為，、，若點(diǎn)在軸上方，則直線(xiàn)的方程為，在直線(xiàn)的方程中，令，可得，即點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為，在直線(xiàn)的方程中，令，可得，即點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，且，此時(shí)，所求圓的方程為；若點(diǎn)在軸下方，同理可求得所求圓的方程為.綜上所述，以為直徑的圓方程為.【小問(wèn)3詳解】解：不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為，其中，在直線(xiàn)的方程中，令，可得，即點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t直線(xiàn)的方程為，在直線(xiàn)的方程中，令，可得，即點(diǎn)，線(xiàn)段中點(diǎn)為，，所以，以線(xiàn)段為直徑的圓的方程為，即，由，解得，因此，當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)圓內(nèi)的定點(diǎn).18、（1）；（2）【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列公比為q，利用與關(guān)系可求q，在中令n＝1可求；(2)根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可求，分析{}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由己知，可得，兩式相減可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問(wèn)2詳解】由題意知在與之間插入n個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)組成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，∴，設(shè){}前n項(xiàng)和為，①①×3：②①－②：19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)知，又，寫(xiě)出橢圓的方程；（2）先斜截式設(shè)出直線(xiàn)，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，可得出中點(diǎn)為的坐標(biāo)，再根據(jù)△為等腰三角形知，從而得的斜率為，求出，寫(xiě)出：，并計(jì)算，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求高，即可計(jì)算出面積【詳解】（1）由已知得，，解得，又，所以橢圓的方程為（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，由得，①設(shè)、的坐標(biāo)分別為，（），中點(diǎn)為，則，，因?yàn)槭堑妊鞯牡走叄运缘男甭蕿?，解得，此時(shí)方程①為解得，，所以，，所以，此時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)：距離，所以△的面積考點(diǎn)：1、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2、直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系；3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；4、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.【思路點(diǎn)晴】本題主要考查的是橢圓的方程，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，屬于難題．解決本類(lèi)問(wèn)題時(shí)，注意使用橢圓的幾何性質(zhì)，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；求三角形的面積需要求出底和高，在求解過(guò)程中要充分利用三角形是等腰三角形，進(jìn)而知道定點(diǎn)與弦中點(diǎn)的連線(xiàn)垂直，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵20、（1）（2）【解析】（1）由條件可得，解出即可；（2）設(shè)，，取AB的中點(diǎn)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程消元，算出，，然后可算出，然后由可得，然后表示出的面積可得答案.小問(wèn)1詳解】令，得，所以，解得，，所以橢圓C的方程：【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，取AB的中點(diǎn)，因?yàn)闉橐訟B為斜邊的等腰直角三角形，所以且，聯(lián)立得，則∴