高三北師大版文科數(shù)學(xué)第41講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時作業(yè)（四十一）[第41講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)]（時間:45分鐘分值：100分)eq\a\vs4\al\co1（基礎(chǔ)熱身)1．直線l不垂直于平面α,則α內(nèi)與l垂直的直線有(）A．0條B．1條C．無數(shù)條D．α內(nèi)所有直線2．PA垂直于正方形ABCD所在平面，連接PB，PC，PD,AC，BD,則下列垂直關(guān)系正確的是（）①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD;③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC。A．①②B．①③C．②③D．②④3．在下列關(guān)于直線l，m與平面α，β的命題中，真命題是（）A．若lβ且α⊥β，則l⊥αB．若l⊥β且α∥β，則l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，則l∥αD．若α∩β＝m且l∥m，則l∥α4．給定下列四個命題：①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行;②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中,為真命題的是（)A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．[2012·北京東城區(qū)模擬]已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面,那么下面給出的條件中一定能推出m⊥β的為()A．α⊥β,且mαB．m∥n,且n⊥βC．α⊥β,且m∥αD．m⊥n，n∥β6．［2012·沈陽、大連聯(lián)考]設(shè)a,b是平面α內(nèi)兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，則“l(fā)⊥a,且l⊥b”是“l(fā)⊥α”的(）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件7．正方體ABCD－A′B′C′D′中，E為A′C′的中點，則直線CE垂直于(）A．A′C′B．BDC．A′D′D．AA′8．給出命題：(1)在空間中，垂直于同一平面的兩個平面平行;(2)設(shè)l，m是不同的直線，α是一個平面，若l⊥α，l∥m，則m⊥α；（3)已知α，β表示兩個不同平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β"是“m⊥β”的充要條件；（4）a，b是兩條異面直線，P為空間一點，過P總可以作一個平面與a，b之一垂直，與另一個平行．其中正確命題的個數(shù)是(）A．0B．1C．2D．39．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面．給出下列四個命題，其中正確命題的序號是(）①若m⊥α，n∥α,則m⊥n；②若α∥β，β∥γ,m⊥α,則m⊥γ；③若m∥α，n∥α，則m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β。A．①②B．②③C．③④D．①④10．已知直線l，m，n,平面α，mα，nα，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的________條件．（填“充分不必要"“必要不充分”“充要"“既不充分也不必要"之一）11．如圖K41－1所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,當(dāng)點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD。（只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)圖K41－112．已知P是△ABC所在平面外一點，PA，PB，PC兩兩垂直，且P在△ABC所在平面內(nèi)的射影H在△ABC內(nèi)，則H一定是△ABC的________心．13．α,β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同的直線,給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷為條件,余下一個論斷為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：________．14．(10分）[2012·臨川一中模擬］如圖K41－2，C，D是以AB為直徑的圓上兩點，AB＝2AD＝2eq\r（3），AC＝BC，F(xiàn)是AB上一點,且AF＝eq\f(1,3）AB，將圓沿直徑AB折起，使點C在平面ABD的射影E在BD上．（1）求證：AD⊥平面BCE；(2）求證：AD∥平面CEF；(3）求三棱錐A－CFD的體積．圖K41－215．(13分）[2012·廣東卷]如圖K41－3所示,在四棱錐P－ABCD中，AB⊥平面PAD,AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中點,F是DC上的點且DF＝eq\f(1,2）AB，PH為△PAD中AD邊上的高．（1)證明：PH⊥平面ABCD;（2)若PH＝1，AD＝eq\r（2），F(xiàn)C＝1，求三棱錐E－BCF的體積；（3）證明:EF⊥平面PAB.圖K41－3eq\a\vs4\al\co1(難點突破）16．（12分)[2012·太原模擬］如圖K41－4,在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為線段AD1上的點，且滿足eq\o（D1P,\s\up6（→))＝λeq\o（PA，\s\up6(→))(λ〉0)．(1)當(dāng)λ＝1時，求證：DP⊥平面ABC1D1;(2)當(dāng)λ變化時，三棱錐D－PBC1的體積是否為定值？若是，求出其體積；若不是，請說明理由．圖K41－4

課時作業(yè)(四十一)【基礎(chǔ)熱身】1．C[解析]可以有無數(shù)條．2．A［解析］易證BC⊥平面PAB，則平面PAB⊥平面PBC,又AD∥BC，故AD⊥平面PAB,則平面PAD⊥平面PAB，因此選A。3．B［解析]A顯然不對，C,D中的直線有可能在平面α內(nèi)．故選B。4．D［解析]當(dāng)兩個平面相交時，一個平面內(nèi)的兩條直線可以平行于另一個平面，故①不對；由平面與平面垂直的判定定理可知②正確;空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以相交也可以異面，故③不對;若兩個平面垂直，只有在一個平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直,故④正確．【能力提升】5．B[解析］根據(jù)定理、性質(zhì)、結(jié)論逐個判斷．因為α⊥β，mα?m，β的位置關(guān)系不確定，可能平行、相交、m在面β內(nèi)，故A錯誤；由線面垂直的性質(zhì)定理可知B正確;若α⊥β，m∥α，則m，β的位置關(guān)系也不確定，故C錯誤；若m⊥n,n∥β，則m，β的位置關(guān)系也不確定，故D錯誤．6．C[解析]由線面垂直的判定定理知，由于已知兩直線a，b不一定相交，充分性不成立；由線面垂直的性質(zhì)定理知，必要性成立，故應(yīng)為必要不充分條件．7．B[解析]連接B′D′，∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′,∴B′D′⊥平面CC′E。而CE平面CC′E,∴B′D′⊥CE。又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE.8．B[解析］(1)錯;(2）正確；(3)“α⊥β”是“m⊥β”的必要條件，命題錯誤；（4）只有當(dāng)異面直線a，b垂直時可以作出滿足要求的平面，命題錯誤．9．A［解析]m∥α,n∥α，m，n可能平行、相交或異面,故③錯;α⊥γ，β⊥γ，則α∥β或α⊥β,所以④錯．10．充分不必要[解析]若l⊥α，則l垂直于平面α內(nèi)的任意直線，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α。11．DM⊥PC(或BM⊥PC等）[解析］連接AC,則BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，則BD⊥PC?！喈?dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時,即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD。12．垂[解析]如圖所示，PA⊥PB，PA⊥PC，所以PA⊥平面PBC,所以PA⊥BC，又PH⊥平面ABC，所以AE⊥BC。即H是△ABC高的交點，所以H一定是△ABC的垂心．13．②③④?①或①③④?②[解析］由題意可構(gòu)造出四個命題（1)①②③?④；(2）①②④?③；（3）①③④?②；(4）②③④?①。只有（3）（4)是正確的．14．解：(1）證明：依題意：AD⊥BD，∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD,∵BD∩CE＝E，∴AD⊥平面BCE。(2）證明：Rt△ABD中,AB＝2eq\r(3），AD＝eq\r(3），∴BD＝3.連接AE，在Rt△ACE和Rt△BCE中，AC＝BC，CE＝CE,∴Rt△ACE≌Rt△BCE，∴AE＝BE。設(shè)DE＝x,則AE＝BE＝3－x，在Rt△ADE中,AD2＋DE2＝AE2，∴3＋x2＝(3－x)2,解得x＝1，∴BE＝2，∴eq\f(BF，BA)＝eq\f（BE，BD）＝eq\f(2，3），∴AD∥EF,∵AD?CEF，∴AD∥平面CEF.(3)由(2）知AD∥EF，AD⊥ED，且ED＝BD－BE＝1,∴F到AD的距離等于E到AD的距離，為1.∴S△FAD＝eq\f(1,2）×eq\r（3）×1＝eq\f（\r(3),2）.∵CE⊥平面ABD，∴VA－CFD＝VC－AFD＝eq\f(1，3)·S△FAD·CE＝eq\f（1，3）×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝eq\f(\r（6），6).15．解：（1）證明:由于AB⊥平面PAD，PH平面PAD，故AB⊥PH.又因為PH為△PAD中AD邊上的高，故AD⊥PH。∵AB∩AD＝A，AB平面ABCD，AD平面ABCD,∴PH⊥平面ABCD。（2）由于PH⊥平面ABCD,E為PB的中點，PH＝1，故E到平面ABCD的距離h＝eq\f(1,2)PH＝eq\f(1,2）。又因為AB∥CD，AB⊥AD，所以AD⊥CD,故S△BCF＝eq\f（1,2）·FC·AD＝eq\f(1,2）×1×eq\r(2）＝eq\f(\r（2)，2）。因此VE－BCF＝eq\f(1,3)S△BCF·h＝eq\f（1，3）×eq\f（\r(2),2)×eq\f（1，2)＝eq\f（\r(2）,12）。(3)證明：如圖,過E作EG∥AB交PA于G,連接DG.由于E為PB的中點，所以G為PA的中點．因為DA＝DP，故△DPA為等腰三角形,所以DG⊥PA?！逜B⊥平面PAD，DG平面PAD，∴AB⊥DG。又∵AB∩PA＝A，AB平面PAB,PA平面PAB，∴DG⊥平面PAB.又∵GE綊eq\f(1，2）AB,DF綊eq\f(1,2）AB，∴GE綊DF.所以四邊形DFEG為平行四邊形，故DG∥EF.于是EF⊥平面PAB?！倦y點突破】16．解：（1)證明:∵正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D又AB平面ABC1D1，∴平面ABC1D1⊥平面AA1D1D，∵λ＝1時，P為AD1的中點,∴DP⊥AD1，又∵平面ABC1D1∩平面AA1D1D＝AD1,∴DP⊥平面ABC1D1。(2）三棱錐D－PBC1的體積恒為定值．易證四邊形ABC1D1為平行四邊形，∴AD1∥BC1，