（人教版）九年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三 二次函數(shù)中的三大類型新定義問題全解全析

PAGE1專題22.8二次函數(shù)中的三大類型新定義問題【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學(xué)生二次函數(shù)中的三大類型新定義問題的理解！【類型1二次函數(shù)問題中的新定義問題】1．（2023春·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）新定義：若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個點為二倍點．若二次函數(shù)y=x2?2x+c（c為常數(shù)）在?1<x<4的圖象上存在兩個二倍點，則cA．?5<c<4 B．0<c<1 C．?5<c<1 D．0<c<4【答案】D【分析】由點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍可得二倍點在直線y=2x上，由?1<x<4可得二倍點所在線段AB的端點坐標(biāo)，結(jié)合圖象，通過求拋物線與線段的交點求解．【詳解】解：由題意可得二倍點所在直線為y=2x，將x=?1代入y=2x得y=?2，將x=4代入y=2x得y=8，設(shè)A(?1,?2)，B(4,8)，如圖，聯(lián)立y=2x與y=x2?2x+c即x∵拋物線與直線y=2x有兩個交點，∴Δ=4解得c<4，當(dāng)直線x=?1和直線x=4與拋物線交點在點A，B上方時，拋物線與線段AB有兩個交點，把x=?1代入y=x2?2x+c把x=4代入y=x2?2x+c∴3+c>?28+c>8解得c>0，∴0<c<4．故選D．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象的交點問題，解題關(guān)鍵掌握函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題求解．2．（2023春·湖北咸寧·九年級統(tǒng)考期中）定義：我們將頂點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．若互異二次函數(shù)的對稱軸為直線x＝1且圖象經(jīng)過點（﹣1，0），則這個互異二次函數(shù)的二次項系數(shù)是（

）A．12 B．14 C．1【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱軸和互異二次函數(shù)的特點計算即可；【詳解】由題可知：此函數(shù)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，且對稱軸為直線x＝1且圖象經(jīng)過點（﹣1，0），設(shè)此函數(shù)為y=ax∴?b2a=1∴此函數(shù)的二次項系數(shù)為14故選B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣西南寧·九年級統(tǒng)考期中）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點P（m，n）和點P′（m，n′），若滿足m≥0時，n′=n-4；m＜0時，n′=-n，則稱點P′（m，n′）是點P（m，n）的限變點．例如：點P1（2，5）的限變點是P1′（2，1），點P2（-2，3）的限變點是P2′（-2，-3）．若點P（m，n）在二次函數(shù)y=-x2+4x+2的圖象上，則當(dāng)-1≤m≤3時，其限變點P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是（

）A．?2≤n′≤2 B．1≤n′≤3【答案】D【分析】根據(jù)新定義得到當(dāng)m≥0時，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3時，得到-2≤n′≤2；當(dāng)m＜0時，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0時，得到-2≤n′≤3，即可得到限變點P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是-2≤n′≤3．【詳解】解：由題意可知，當(dāng)m≥0時，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，∴當(dāng)0≤m≤3時，-2≤n′≤2，當(dāng)m＜0時，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，∴當(dāng)-1≤m＜0時，-2＜n′≤3，綜上，當(dāng)-1≤m≤3時，其限變點P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是-2≤n′≤3，故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)限變點的定義得到n′關(guān)于m的函數(shù)．4．（2023春·湖南長沙·九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？计谀┒x：我們不妨把縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點稱為“青竹點”．例如：點1,2、?2.5,?5……都是“青竹點”．顯然，函數(shù)y=x2的圖象上有兩個“青竹點”：0,0和(1)下列函數(shù)中，函數(shù)圖象上存在“青竹點”的，請在橫線上打“√”，不存在“青竹點”的，請打“×”．

①y=2x?1________；

②y=?x2+1________；

(2)若拋物線y=?12x2?m+1(3)若函數(shù)y=14x2+b?c+2x+a+c?3的圖象上存在唯一的一個“青竹點”，且當(dāng)?1≤b≤2【答案】(1)×；√；×(2)m<3(3)c=【分析】（1）根據(jù)“青一函數(shù)”的定義直接判斷即可；（2）根據(jù)題意得出關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)根的判別式得出關(guān)于m的不等式，即可求解；（3）根據(jù)題意得出關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)根的判別式得出關(guān)于a的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)最值求解即可．【詳解】（1）解：①令2x?1=2x，方程無解，∴函數(shù)y=2x?1圖像上不存在“青竹點”，故答案為：×；②令?x解得：x1=?1+2∴函數(shù)y=?x2+1圖像上存在“青竹點”?1+③令x2∴函數(shù)y=x（2）解：由題意得?1整理，得x2∵拋物線y=?12x∴Δ=解得m<3；（3）解：由題意得1整理，得x∵函數(shù)y=1∴Δ整理，得a=∴當(dāng)b=c時，a的最小值為3?c，∵當(dāng)?1≤b≤2時，a的最小值為c，∴3?c=c∴c=3【點睛】本題屬于函數(shù)背景下新定義問題，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式．5．（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）定義：兩個二次項系數(shù)之和為1，對稱軸相同，且圖像與y軸交點也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù).例如：y=2x2+4x?5(1)函數(shù)y=14x(2)當(dāng)?1≤x≤4時，函數(shù)y=(1?a)x2?2(1?a)x+3(a≠0且a≠1)(3)已知點(m,p),(m,q)分別在二次函數(shù)y1=ax2+4ax+c(a>【答案】(1)y=3(2)a=1(3)當(dāng)m=?4或m=0時，p=q；當(dāng)m<?4或m>0時，p>q【分析】（1）根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義，找出y=1（2）根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義，找出y=(1?a)x（3）先根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義，找出y1=ax2+4ax+c的友好同軸二次函數(shù)，再把兩點代入p,q【詳解】（1）設(shè)友好同軸二次函數(shù)為y=ax由函數(shù)y=1對稱軸為直線x=??22×14=4∴a=1?14=34∴b=?6，∴友好同軸二次函數(shù)為y=3（2）由函數(shù)y=(1?a)x2?2(1?a)x+3該函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為y=ax①當(dāng)a>0時，x=4時，ymax解得：a=1②當(dāng)a<0時，x=1時，ymax解得：a=?2；綜上所述，a=1（3）由函數(shù)y1該函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為y2把(m,p),(m,q)分別代入y1p=am2+4am+c則p?q=am∵a>1∴(2a?1)>0，①當(dāng)p?q>0時，p>q，即(2a?1)mm2解得：m<?4或②當(dāng)p?q<0時，p<q，即(2a?1)mm2解得：?4<m<0；③當(dāng)p?q=0時，p=q，即(2a?1)mm2解得：m=?4或綜上所述，當(dāng)m=?4或m=0時，當(dāng)m<?4或m>0時，當(dāng)?4<m<0時，p<q．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及新定義問題，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及研究手段，準(zhǔn)確根據(jù)題意求出符合要求的友好同軸二次函數(shù)是解題關(guān)鍵．6．（2023春·浙江金華·九年級?？计谥校┒x：若拋物線y＝ax2+bx+c與x軸兩交點間的距離為4，稱此拋物線為定弦拋物線．(1)判斷拋物線y＝x2+2x﹣3是否是定弦拋物線，請說明理由；(2)當(dāng)一定弦拋物線的對稱軸為直線x＝1，且它的圖像與坐標(biāo)軸的交點間的連線所圍成的圖形是直角三角形，求該拋物線的表達式；(3)若定弦拋物線y＝x2+bx+c（b＜0）與x軸交于A、B兩點（A在B左邊），當(dāng)2≤x≤4時，該拋物線的最大值與最小值之差等于OB之間的距離，求b的值．【答案】(1)是定弦拋物線，理由見解析(2)y=?3(3)b＝﹣4或?【分析】（1）令y＝0，求出與x軸的交點坐標(biāo)，可判斷；（2）分開口向上向下討論，利用定弦拋物線的定義和對稱軸可求出與x軸交點坐標(biāo)，用相似求出與y軸交點坐標(biāo)，代入可得答案；（3）根據(jù)對稱軸和所給范圍分情況討論即可．【詳解】（1）解：當(dāng)y＝0時，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，則|x1-x2|＝4，即該拋物線是定弦拋物線；（2）：當(dāng)該拋物線開口向下時，如圖所示．∵該定弦拋物線的對稱軸為直線x＝1，設(shè)C則n?m解得：m∴C（﹣1，0），D（3，0），∵△CED為直角三角形∴由題意可得∠CED＝90°，∵EO⊥CD，∴△CEO∽△EDO，∴OE2＝OC·OD＝3，∴E（0，3）設(shè)該定弦拋物線表達式為y=把E（0，3）代入求得a∴該定弦拋物線表達式為y=?當(dāng)該拋物線開口向上時，同理可得該定弦拋物線表達式為y=∴綜上所述，該定弦拋物線表達式為y=?33（3）解：若?b2≤2，則在2≤當(dāng)x＝4時該定弦拋物線取最大值，當(dāng)x＝2時該定弦拋物線取最小值．∴l(xiāng)6+4b+c-(4+2b+c)＝?b解得：b＝﹣4，∵?b∴b≥﹣4，即b＝﹣4，若2≤?b2≤3，則在2≤當(dāng)x＝4時該定弦拋物線取最大值，當(dāng)x＝?b∴16+4b+c﹣4c?b解得：b1＝﹣4，b2＝﹣14，∵2≤?b∴﹣6≤b≤﹣4，∴b1＝﹣4，b2＝﹣14（舍去），若3<?b2≤4，則在2≤當(dāng)x＝2時該定弦拋物線取最大值，當(dāng)x＝?b∴4+2b+c﹣4c?b解得：b＝﹣5±17∵3<?b∴﹣8≤b＜﹣6，∴b＝﹣5±17若?b2＞4，則在2≤當(dāng)x＝2時該定弦拋物線取最大值，當(dāng)x＝4時該定弦拋物線取最小值．∴4+2b+c-(16+4b+c)＝?b解得：b＝-283∵?b∴b＜﹣8，∴b＝﹣283∴綜上所述b＝﹣4或?28【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合性質(zhì)，包括與x軸交點問題，最值問題，以及和相似的結(jié)合，準(zhǔn)確地理解定弦拋物線的定義以及分類討論是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023春·浙江·九年級期末）定義：若拋物線y1=a1x+?2+(1)已知拋物線y1=?14x(2)如圖1，將一副邊長為42的正方形七巧板拼成圖2的形式，若以BC中點為原點，直線BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)經(jīng)過點A，E，D的拋物線為y1，經(jīng)過A、B、C的拋物線為y2，請立接寫出y【答案】(1)y(2)y1=?18x2+8【分析】（1）將y2=x2?2x?3化作頂點式，可求出a2，?和k2的值，根據(jù)“共軛拋物線”的定義可求出a（2）根據(jù)七巧板各個圖形之間的關(guān)系可求出各個圖形的邊長，進而可表示點A，B，C，D，E的坐標(biāo)，分別求出y1和y【詳解】（1）解：y2∴a2=1，?=?1，∵拋物線y1=?1∴a1=a2?4y1（2）解：如圖，由題意得，DF=AF=42，則AG=GF=DG=GF=4，EG=2，HG=2，BC=4，OF=2∵點O為BC的中點，∴BO=OC=2，∴B?2,0，C2,0，A?4,6，D∴可設(shè)拋物線y1=a∴?16a1+6=8，?4+2?4?2a∴拋物線y1拋物線y2∴a1=?18，?=0，k1=8，∵?18×∴滿足a2=?4a∴y1、y【點睛】本題屬于二次函數(shù)的新定義類問題，主要考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式，二次函數(shù)的頂點式，一般式及交點式三種方式的變換，熟知相關(guān)運算是解題關(guān)鍵．8．（2023春·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期末）定義：如果拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于點Ax1,0，B(1)求拋物線y=x(2)求拋物線y=x(3)設(shè)m，n為正整數(shù)，且m≠1，拋物線y=x2+4?mtx?4mt的雅禮弦長為l1，拋物線y=?x2+t?nx+nt的雅禮弦長為l2，s=l【答案】(1)4(2)2(3)m=2，n=2或m=4，n=1【分析】（1）根據(jù)定義求得拋物線與x軸的交點坐標(biāo)即可求解；（2）根據(jù)（1）的方法求得AB=(n+1)2（3）根據(jù)題意，分別求得l1,l2，根據(jù)s=l12?l22，求得出s與t【詳解】（1）解：x2x?3x+1∴x1=3∴雅禮弦長AB=4；（2）x2+(n+1)x?1=0，∴AB=|x∵Δ=(n+1)2+4>0∴AB=(n+1∵1≤n<3，∴當(dāng)n=1時，AB最小值為22當(dāng)n=3時，AB最大值小于25∴22（3）由題意，令y=x∴x1+則l1同理l2s=(mt+4)∵m∴要不論t為何值，S≥0恒成立，即：(m由題意得：m2?1>0，解得：(mn?4)2≤0∵m，n為正整數(shù)，且m≠1，則m=2，n=2或m=4，n=1．【點睛】本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸交點問題，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·河南濮陽·九年級統(tǒng)考期中）小明在課外學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)y=x2-3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．小明是這樣思考的：由函數(shù)y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根據(jù)a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．請參考小明的方法解決下面問題：(1)直接寫出函數(shù)y=x2-3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；(2)若函數(shù)y=?x2+43mx?2與y=x2-2nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求((3)已知函數(shù)y=12(x?1)(x+4)的圖象與x軸交于點A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C，點A、B、C關(guān)于原點的對稱點分別是A1，B1，C1，試證明經(jīng)過點A1，B1，C1【答案】(1)y＝-x2-3x＋2；(2)1(3)見解析【分析】（1）根據(jù)y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得a2，b2，c2，可得旋轉(zhuǎn)函數(shù)；（2）根據(jù)y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得a2，b2，c2，根據(jù)負數(shù)奇數(shù)次冪是負數(shù)，可得答案；（3）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于原點對稱的點橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得A1，B1，C1，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；根據(jù)y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得a2，b2，c2，可得旋轉(zhuǎn)函數(shù)．【詳解】（1）解：由y=x2-3x-2函數(shù)可知a1＝1，b1＝-3，c1＝?2．由a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，得a2＝-1，b2＝-3，c2＝2．函數(shù)y＝x2＋3x?2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y＝-x2-3x＋2；（2）由y=?x2+43mx?2與y＝x得?2n＝43m，?2＋解得n＝2，m＝?3．當(dāng)m＝2，n＝?3時，(m+n)2020＝（2?3）2020＝（?1）2020＝1；（3）∵當(dāng)y＝0時，12(x?1)(x+4)=0，解得x＝?1，∴A（?1，0），B（4，0）．當(dāng)x＝0時，y＝12×（?4）＝-2，即C由點A，B，C關(guān)于原點的對稱點分別是A1，B1，C1，得A1（1，0），B1（?4，0），C1（0，2）．設(shè)過點A1，B1，C1的二次函數(shù)y＝a(x+1)x?4，將C1解得a=?1∴過點A1，B1，C1的二次函數(shù)y=?12而y=∴a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，∴經(jīng)過點A1、B1、C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=1【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握關(guān)于原點對稱的兩點的坐標(biāo)特征；會求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；對新定義的理解能力．10．（2023春·山西大同·九年級統(tǒng)考期中）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：定義：我們把自變量為x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2?bx+c（a≠0，任務(wù)：（1）寫出二次函數(shù)y=x（2）二次函數(shù)y=x2+3x?4的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)為1和?4，它的“親密函數(shù)”的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)為______，猜想二次函數(shù)y=ax2+bx+c（（3）二次函數(shù)y=x2+bx?2021的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)為1和?2021，請利用（2）中的結(jié)論直接寫出二次函數(shù)y=4【答案】（1）y=x2?3x?4；（2）4和-1；互為相反數(shù)；（3）二次函數(shù)y=4x2?2bx?2021【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)y=x（2）利用“親密函數(shù)”建立y=0時方程，解方程，得出“親密函數(shù)”與x軸交點橫坐標(biāo)，與原函數(shù)與x軸交點橫坐標(biāo)比較，得出規(guī)律即可；（3）先將函數(shù)變形，發(fā)現(xiàn)與“親密函數(shù)”類似，根據(jù)原函數(shù)與x軸交點橫坐標(biāo)得出“親密函數(shù)”與x軸交點橫坐標(biāo)，利用2x等于交點橫坐標(biāo)，求出x得出所求函數(shù)與x軸的交點橫坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1）二次函數(shù)y=x2+3x?4故答案為：y=x（2）x2?3x?4=0，解得它的“親密函數(shù)”的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)為4和-1，∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c（b2?4ac>0故答案為4和-1；互為相反數(shù)；（3）y=4x∵二次函數(shù)y=x2+bx?2021的圖像與x∴二次函數(shù)y=x2?bx?2021的圖像與x∴y=4x2?2bx?2021=2x2∴2x=-1,2x=2021，∴x=?12，∴二次函數(shù)y=4x2?2bx?2021的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)為?【點睛】本題考查新定義函數(shù)，仔細閱讀題目，抓住實質(zhì)，拋物線與x軸交點橫坐標(biāo)和一元二次方程的根，利用“親密函數(shù)”變形得出新函數(shù)圖像與x軸的交點橫坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．【類型2二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題中的新定義問題】1．（2023春·九年級課時練習(xí)）定義：由a，b構(gòu)造的二次函數(shù)y=ax2+a+bx+b叫做一次函數(shù)y＝ax＋b的“滋生函數(shù)”，一次函數(shù)y＝ax＋b叫做二次函數(shù)y=ax2+a+bx+b的“本源函數(shù)”（a，b為常數(shù)，且a≠0）．若一次函數(shù)y＝【答案】y=【分析】由“滋生函數(shù)”和“本源函數(shù)”的定義，運用待定系數(shù)法求出函數(shù)y=ax【詳解】解：由題意得﹣解得a∴函數(shù)y=ax2?3x+a+1故答案為：y=﹣【點睛】本題考查新定義運算下的一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是充分理解新定義“本源函數(shù)”．2．（2023春·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期中）定義：如果函數(shù)圖象上存在橫?縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為函數(shù)的不動點．例如，點1,1是函數(shù)y=?2x+3的不動點．已知二次函數(shù)y=x2+2(1)若點?1,?1是該二次函數(shù)的一個不動點，求b的值；(2)若該二次函數(shù)始終存在不動點，求b的取值范圍．【答案】(1)1+3或(2)b≥?【分析】（1）根據(jù)“不動點”定義，建立方程求解即可；（2）根據(jù)不動點的定義求出函數(shù)，再根據(jù)判別式計算即可．【詳解】（1）解：依題意把點?1,?1代入解析式y(tǒng)=x得?1=1?2b+2+b2，化簡得：（2）解：設(shè)點t,t是函數(shù)y=x則有t=t2+2∵關(guān)于t的方程有實數(shù)解，∴Δ=2b+32【點睛】本題考查了二次函數(shù)與新定義“不動點”應(yīng)用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情況與判別式等知識，解題的關(guān)鍵是理解并利用新定義解決問題．3．（2023·安徽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)y1=2kx+k與函數(shù)y2(1)若k=2，則“和函數(shù)”y=；(2)若“和函數(shù)”y為y=x2+bx?2，則k=，(3)若該“和函數(shù)”y的頂點在直線y=?x上，求k．【答案】(1)x2(2)?5，?12．(3)k=3或?1．【分析】（1）將k=2代入函數(shù)y1=2kx+k中得出函數(shù)y1（2）y的解析式為y=y1+y2（3）先得出和函數(shù)y=y1+y2【詳解】（1）解：當(dāng)k=2時，y1∵函數(shù)y2=x∴y=4x+2+x故答案為：x2（2）解：∵函數(shù)y1=2kx+k與函數(shù)y2∴和函數(shù)y的解析式為y=y∵和函數(shù)y的解析式為y=x∴b=2k?2，k+3=?2，∴k=?5，b=?12，故答案為：?5，?12．（3）解：由題意得和函數(shù)為y=y=（∴和函數(shù)的頂點為（1?k∵和函數(shù)的頂點在y=?x上，∴?k整理得k2解得k1=3，故答案為：k=3或?1．【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)、二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4．（2023·北京·模擬預(yù)測）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，對兩點Ax1,y1(1)①已知點A?2,1，則d②函數(shù)y=?2x+40≤x≤2的圖象如圖①所示，B是圖象上一點，dO,B=3(2)函數(shù)y=x2?5x+7x≥0的圖象如圖②所示，D是圖象上一點，求【答案】(1)①3，②1,2(2)3，2,1【分析】（1）①根據(jù)公式dA,B=x1?x2+y1?y2直接計算即可；②根據(jù)函數(shù)y=?2x+40≤x≤2的圖象上的點的橫縱坐標(biāo)均非負，可得（2）函數(shù)y=x2?5x+7化為頂點式為：y=x?522+34，即可得y≥34，x≥0，根據(jù)點【詳解】（1）①∵A?2,1，O∴dO,A故答案為：3；②∵點B是函數(shù)y=?2x+40≤x≤2∵函數(shù)y=?2x+40≤x≤2∴xB≥0，yB∵dO,B∴0?x∴xB∵yB∴yB解得：xB∴B點坐標(biāo)為：1,2，（2）函數(shù)y=x2?5x+7∴y=x?∵x≥0，點D是圖象上一點，∴yD≥34，∴dO,D∴dO,D∴dO,D∴當(dāng)xD=2時，dO,D∴yD∴D點坐標(biāo)為：2,1，即最小值為3，D點坐標(biāo)為2,1．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，充分理解定義的兩點間距離：dA,B5．（2023春·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ忻褶k新復(fù)興初級中學(xué)?？计谥校┪覀兌x【a，b，c】為函數(shù)y=ax2+bx+c的“特征數(shù)”，如：函數(shù)y=2x2(1)若一個函數(shù)的“特征數(shù)”是【1，?4，1】，將此函數(shù)圖像先向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得到一個圖像對應(yīng)的函數(shù)“特征數(shù)”是______；(2)將“特征數(shù)”是【0，?33，(3)在（2）中，平移前后的兩個函數(shù)圖像分別與y軸交于A、B兩點，與直線x=?3分別交于D、C兩點，在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，并求出以A、B、C、D(4)若（3）中的四邊形與“特征數(shù)”是【1，?2b，b2+1【答案】(1)【1，0，?2】(2)y=?(3)圖見解析；面積為2(4)?【分析】（1）由已知可知y=x2?4x+1（2）由已知可知函數(shù)為y=?33x?1（3）令x=0，求出A(0,?1)，B(0,1)，令x=?3，求出D?3，0，C（4）由已知可得y=x2?2bx+b2+12=【詳解】（1）解：∵函數(shù)的特征數(shù)是【1，?4，1】，∴函數(shù)為y=x將函數(shù)向左平移2個單位，再向上平移1個單位得到y(tǒng)=x∴函數(shù)y=x2?2故答案為：【1，0，?2】．（2）∵函數(shù)的“特征數(shù)”是【0，?33，∴y=?3∵函數(shù)圖象向上平移2個單位，∴平移后函數(shù)為y=?3故答案為：y=?3（3）解：令x=0，則A(0,?1)，B(0,1∴AB=2，令x=?3，則D?3∴CD=2，AO=1,DO=3∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD=AO∴四邊形ABCD是菱形．S四邊形（4）∵函數(shù)的“特征數(shù)”是【1，?2b，b2∴y=x∴由函數(shù)圖象得：函數(shù)與AD邊無交點，∴函數(shù)與BC邊有交點，將B(0,1)代入函數(shù)y=x將C?3，2代入函數(shù)∴?3【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合、新定義，函數(shù)的平移，理解定義，能將定義與所學(xué)函數(shù)知識結(jié)合是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·福建龍巖·九年級校考期末）定義：對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量x的一個值，當(dāng)x<0時，它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)x≥0時，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等．我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù)．例如：一次函數(shù)y=x?1，它的相關(guān)函數(shù)為y=(1)已知點A（-2，1）在一次函數(shù)y=ax?3的相關(guān)函數(shù)的圖象上時，求a的值．(2)已知二次函數(shù)y=?x2+4x?12．當(dāng)點B（m【答案】(1)a=-1；(2)m=2-6或m=3或m=1．【分析】（1）函數(shù)y=ax-3的相關(guān)函數(shù)為y=?ax+3(x<0)ax?3(x≥0)，將點A（-2，1）代入y=-ax（2）當(dāng)m＜0時，將B（m，52）代入y=x2-4x+12得m2-4m+12=52，可求得m的值；當(dāng)m≥0時，將B（m，52）代入y=-x2+4x-12得：-m2+4m-(1)解：函數(shù)y=ax-3的相關(guān)函數(shù)為y=?ax+3(x<0)ax?3(x≥0)將點A（-2，1）代入y=-ax+3得：2a+3=1，解得：a=-1；(2)解：二次函數(shù)y=-x2+4x-12的相關(guān)函數(shù)為y=x①當(dāng)m＜0時，將B（m，52）代入y=x2-4x+12得m2-4m+12解得：m=2+6（舍去）或m=2-6；②當(dāng)m≥0時，將B（m，52）代入y=-x2+4x-12得：-m2+4m-12解得：m=3或m=1．綜上所述：m=2-6或m=3或m=1．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，理解互為相關(guān)函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）定義：若圖形M與圖形N有且只有兩個公共點，則稱圖形M與圖形N互為“雙聯(lián)圖形”，即圖形M是圖形N的“雙聯(lián)圖形”，圖形N是圖形M的“雙聯(lián)圖形”．(1)若直線y=?x+b與拋物線y=x2+1互為“雙聯(lián)圖形”，且直線y=?x+b不是雙曲線y=(2)如圖2，已知A?2,0，B4,0，C1,3三點．若二次函數(shù)y=ax+12【答案】(1)b的取值范圍是3(2)?3<a<?18【分析】（1）已知直線y=?x+b與拋物線y=x∴將y=?x+b代入拋物線y=xx配方得，(x+∵方程有實數(shù)解，∴b?34又直線y=?x+b不是雙曲線y=1∴直線y=?x+b與雙曲線y=1即當(dāng)x=1時，y=?x+b≤1代入得，?1+b≤1，即b≤2，∴實數(shù)b的取值范圍是34（2）∵y=ax+1∴a≠0∵二次函數(shù)y=ax+12+3∴當(dāng)a>0時，二次函數(shù)y=ax+12+3∴a>0不成立；當(dāng)a<0時，二次函數(shù)y=ax+12+3∴①當(dāng)拋物線與AC和AB相交時，設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，把C(1，4)，B(4，0)代入，得b=4k+b=3∴b=4k=?1∴y=-x+4，∵拋物線與BC不想交，∴ax+12+3=?x+4，即ax2+(2a+1)x∴(2a+1)2-4a(a-1)<0，解得a<?1又當(dāng)x=?2時，要滿足y>0，相當(dāng)于a+3>0，所以a>?3；∴?3<a<?1②當(dāng)拋物線與AC和BC相交時，當(dāng)x=4時，要滿足y>0，相當(dāng)于25a+3>0，所以，a>?3∴?3綜上，a的取值范圍為：?3<a<?188．（2023春·北京·九年級北京市第三中學(xué)校考期中）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點P（x，y）的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y﹣x稱為P點的“坐標(biāo)差”，而圖形G上所有點的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”．（1）①點A（1，3）的“坐標(biāo)差”為；②拋物線y＝﹣x2+3x+3的“特征值”為；（2）某二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”為1，點B（m，0）與點C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點，且點B與點C的“坐標(biāo)差”相等．①直接寫出m＝；（用含c的式子表示）②求b的值．【答案】（1）①2；②5；（2）①m＝－c；②3?22或3+2【分析】（1）①由題中所給“坐標(biāo)差”的定義即可得到點A（1，3）的坐標(biāo)差.②由坐標(biāo)差的定義可得：二次函數(shù)y＝－x2＋3x＋4圖象上點的坐標(biāo)差為：y－x＝－x2＋3x＋4－x＝－x2＋2x＋4，將此關(guān)系式配方即可求得y－x的最大值，從而得到拋物線y＝－x2＋3x＋4的“特征值”.（2）①由題意可得：0－m＝c－0，由此可得：m＝－c.②由m＝－c可得點B的坐標(biāo)為（－c，0），把點B的坐標(biāo)代入y＝x2＋bx＋c（c≠0）中可得c(c－b＋1)＝0，由c≠0可得c－b＋1＝0，即b＝c＋1，再由y-x＝－x2＋（b－1）x＋c.（c≠0）的特征值為1可得：b?124+c=1，兩者即可解得b【詳解】解：（1）①根據(jù)圖形G上點P（x，y）的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y﹣x稱為P點的“坐標(biāo)差”，點A（1，3）的“坐標(biāo)差”為3－1＝2，故答案為2；②拋物線y＝﹣x2＋3x＋4的“特征值”為－x2＋3x＋4－x－x2＋3x＋4－x＝－x2＋2x＋4＝－(x2－2x＋1－1)＋4＝－(x－1)2＋5，所以拋物線y＝﹣x2＋3x＋4的“特征值”為5.故答案為5；（2）①∵點C是此二次函數(shù)的圖象與y軸的交點，∴C（0，c）,∵B（m，0），點B與點C的“坐標(biāo)差”相等．∴c-0=0-m∴m=-c,故答案為：m＝－c.②∵m＝－c∴B（－c，0）將其代入y＝－x2＋bx＋c中，得－c2－bc＋c＝0∵c≠0∴－c－b＋1＝0∴b＝－c＋1①∴其“坐標(biāo)差”為：y－x＝－x2＋bx＋c－x＝－x2＋（b－1）x＋c.∴y－x＝－x2＋（b－1）x＋c=-[x-（b?12）]2+∵“特征值”為1.∴b?12將①代入②中，c解得c＝±22當(dāng)c=22?2，當(dāng)c=?22?2，【點睛】本題考查新定義“坐標(biāo)差”“特征值”，仔細閱讀，掌握新定義的特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的解法，解題的解題關(guān)鍵是能夠正確利用題意進行計算，正確利用“特征值”的定義計算．9．（2023春·北京·九年級人大附中校考期中）對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M>0，對于任意的函數(shù)值y，都滿足?M≤y≤M，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．(1)直接寫出有界函數(shù)y=2x+1?4<x≤2(2)已知函數(shù)y=2x2+bx+c(3)將函數(shù)y=2x2?1≤x≤k,k≥0的圖象向下平移k個單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，直接寫出k【答案】(1)7(2)2(3)0≤k≤12【分析】（1）先分別代入解析式，計算對應(yīng)的函數(shù)值，再根據(jù)有界函數(shù)的定義確定邊界值即可．（2）根據(jù)新定義可得當(dāng)n?m最大時y=2x2+bx+c的頂點在y=?（3）分k>2，0≤k≤2兩種情況根據(jù)新定義分析即可．【詳解】（1）解：解析式為y=2x+1?4<x≤2當(dāng)x=?4時，y=2x+1=?8+1=?7；當(dāng)x=2時，y=2x+1=4+1=5；因為?7<y≤5，根據(jù)定義可得?7≤y≤7所以函數(shù)y=2x+1?4＜x≤2（2）解：∵函數(shù)y=2x∴y=2x如圖，當(dāng)n?m最大時，y=2x2+bx+c的頂點在y設(shè)y=2x當(dāng)y=3時，6=2x??解得：x=?±3∴n?m=?+3即n?m的最大值為23（3）解：∵函數(shù)y=2x2?1≤x≤k,k≥0所以解析式為y=2x當(dāng)x=0時，函數(shù)值為y=?k，是函數(shù)的最小值，當(dāng)k>2時，函數(shù)值為y=?k<?2，所以邊界值t>2，與32所以k>2不成立；當(dāng)k≤2時，當(dāng)x=0時，函數(shù)y=2x2=0當(dāng)x=?1時，函數(shù)y=2當(dāng)函數(shù)向下平移k個單位后，兩個點的坐標(biāo)變?yōu)?,?k，?1,2?k，∵函數(shù)的邊界值是t滿足32∴32≤2?k≤2解得0≤k≤12或故當(dāng)0≤k≤12或13+1【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、有界函數(shù)的定義以及解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是理解新定義，列出不等式．10．（2023春·湖南長沙·九年級校考期中）若定義：若一個函數(shù)圖像上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點，則把該函數(shù)稱為“明德函數(shù)”，該點稱為“明德點”，例如：“明德函數(shù)”y=x+1，其“明德點”為（1，2）．(1)①判斷：函數(shù)y=2x+3__________“明德函數(shù)”（填“是”或“不是”）；②函數(shù)y=x(2)若拋物線y=m?1x2(3)若函數(shù)y=x2+(m?k+2)x+n4?k2的圖像上存在唯一的一個“明德點”，且當(dāng)【答案】(1)①不是；②（2，4）(2)m>5+52或(3)k=?3?5【分析】（1）根據(jù)定義，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)拋物線y=m?1x2+mx+1（3）若函數(shù)y=x2+(m?k+2)x+n4?k【詳解】（1）①∵2x=2x+3∴y=2x+3②根據(jù)定義2x=x解得：x1=2，∴明德點是（2，4）；（2）∵拋物線y=m?1∴2x=整理得：m?1x∵拋物線y=m?1∴Δ=即m?5解得：m>5+52∵m?1≠0∴m≠1∴m的取值范圍為m>5+52或（3）∵函數(shù)y=x∴2x=x2∴m?k即m?k2∴n=n是關(guān)于m的二次函數(shù)，對稱軸為m=k，①若k≤?1，則當(dāng)m=?1，時，n有最小值k，∴?1?k2+2k=k解得：k=?3?52②若k≥3，則當(dāng)m=3時，n有最小值k，∴3?k2+2k=k∵Δ=∴方程沒有實數(shù)根；③若?1<k<3，則當(dāng)m=k時，n有最小值k，∴2k=k解得k=0，綜上可知：k=?3?52【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，理解新定義，將新定義與所學(xué)二次函數(shù)，一元二次方程的知識相結(jié)合，熟練掌握跟與系數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．【類型3二次函數(shù)與幾何圖形綜合問題中的新定義問題】1．（2023春·四川綿陽·九年級統(tǒng)考期末）定義：我們將頂點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點A0,2，點C2,0，則互異二次函數(shù)y=x?m2?m與正方形OABC有交點時m的最大值和最小值分別是（

）A．4，-1 B．5?172，-1 C．4，0 D．【答案】D【分析】分別討論當(dāng)對稱軸位于y軸左側(cè)、位于y軸與正方形對稱軸x=1之間、位于直線x=1和x=2之間、位于直線x=2右側(cè)共四種情況，列出它們有交點時滿足的條件，得到關(guān)于m的不等式組，求解即可．【詳解】解：由正方形的性質(zhì)可知：B（2,2）；若二次函數(shù)y=x?m2?m當(dāng)m≤0時，則當(dāng)A點在拋物線上或上方時，它們有交點，此時有m≤0m解得：?1≤m<0；當(dāng)0<m≤1時，則當(dāng)C點在拋物線上或下方時，它們有交點，此時有0<m≤12?m解得：0<m≤1；當(dāng)1<m≤2時，則當(dāng)O點位于拋物線上或下方時，它們有交點，此時有1<m≤2m解得：1<m≤2；當(dāng)m>2時，則當(dāng)O點在拋物線上或下方且B點在拋物線上或上方時，它們才有交點，此時有m>2m解得：2<m≤5+綜上可得：m的最大值和最小值分別是5+172，故選：D．【點睛】本題考查了拋物線與正方形的交點問題，涉及到列一元一次不等式組等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能根據(jù)圖像分析交點情況，并進行分類討論，本題綜合性較強，需要一定的分析能力與圖形感知力，因此對學(xué)生的思維要求較高，本題蘊含了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法等．2．（2023春·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）定義：關(guān)于x軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對稱拋物線”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同軸對稱拋物線”為y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）請寫出拋物線y1＝（x﹣1）2﹣2的頂點坐標(biāo)；及其“同軸對稱拋物線”y2＝﹣（x﹣1）2+2的頂點坐標(biāo)；（2）求拋物線y＝﹣2x2+4x+3的“同軸對稱拋物線”的解析式．（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點B是拋物線L：y＝ax2﹣4ax+1上一點，點B的橫坐標(biāo)為1，過點B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對稱拋物線”于點C，分別作點B、C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點B′、C′，連接BC、CC′、①當(dāng)四邊形BB′C②當(dāng)拋物線L與其“同軸對稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）共有11個橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點時，直接寫出a的取值范圍．【答案】（1）(1，﹣2)，(1，2)；（2）y＝2（x﹣1）2﹣5；（3）①a＝23；②34≤a≤1或﹣14≤【分析】（1）根據(jù)頂點式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k的頂點坐標(biāo)為（h，k）；（2）先化成頂點式，再求“同軸對稱拋物線”的解析式；（3）①寫出點B的坐標(biāo)，再由對稱軸求出點B'，然后結(jié)合正方形的性質(zhì)列出方程求a；②先由對稱性分析得到封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上整點的個數(shù)，然后針對拋物線L開口的不同進行分類討論．【詳解】解：（1）由y1＝（x﹣1）2﹣2知頂點坐標(biāo)為（1，﹣2），由y2＝﹣（x﹣1）2+2知頂點坐標(biāo)為（1，2），故答案為：（1，﹣2），（1，2）．（2）∵y＝﹣2x2+4x+3y＝﹣2（x﹣1）2+5，∴“同軸對稱拋物線”的解析式為：y＝2（x﹣1）2﹣5．（3）①當(dāng)x＝1時，y＝1﹣3a，∴B（1，1﹣3a），∴C（1，3a﹣1），∴BC＝|1﹣3a﹣（3a﹣1）|＝|2﹣6a|，∵拋物線L的對稱軸為直線x＝??4a∴點B'（3，1﹣3a），∴BB'＝3﹣1＝2，∵四邊形BB'C'C是正方形，∴BC＝BB'，即|2﹣6a|＝2，解得：a＝0（舍）或a＝23②拋物線L的對稱軸為直線x＝2，頂點坐標(biāo)為（2，1﹣4a），∵L與“同軸對稱拋物線”關(guān)于x軸對稱，∴整點數(shù)也是關(guān)于x軸對稱出現(xiàn)的，∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上的整點可以是3個或5個，L與x軸圍成的區(qū)域內(nèi)整點個數(shù)為4個或3個，（i）當(dāng)a＞0時，∵L開口向上，與y軸交于點（0，1），∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上只可能有3個整點，兩個區(qū)域內(nèi)各有4個整點，∴當(dāng)x＝1時，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，當(dāng)x＝2時，﹣3≤1﹣4a＜﹣2，解得：34≤a（ii）當(dāng)a＜0時，∵L開口向下，與y軸交于點（0，1），∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上只可能有5個整點，兩個區(qū)域內(nèi)各有3個整點，∴當(dāng)x＝2時，1＜1﹣4a≤2，當(dāng)x＝﹣1時，5a+1＜0，解得：?1綜上所述：34≤a≤1或﹣14≤a＜﹣【點睛】此題借助二次函數(shù)考查正方形的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)頂點式找頂點坐標(biāo)，及新定義“同軸對稱拋物線”．3．（2023春·北京門頭溝·九年級大峪中學(xué)?？计谥校┒x：對于平面直角坐標(biāo)系xOy上的點Pa,b和拋物線y=x2+ax+b，我們稱Pa,b是拋物線y=x2+ax+b的相伴點，拋物線y=x（1）點A的相伴拋物線的解析式為______；過A，B兩點的拋物線y=x（2）設(shè)點Pa,b在直線AC①點Pa,b的相伴拋物線的頂點都在同一條拋物線Ω上，求拋物線Ω②當(dāng)點Pa,b的相伴拋物線的頂點落在△ABC內(nèi)部時，請直接寫出a【答案】（1）y=x2?2x?2，(?2，?10)；（2）①拋物線Ω的解析式為：【分析】（1）a=b=?2，故拋物線的表達式為：y=x2-2x-2，故答案為：y=x2-2x-2；將點A、B坐標(biāo)代入y=x2+ax+b并解得：a=-2，b=-10；（2）①直線AC的表達式為：y=2x+2，設(shè)點P（m，2m+2），則拋物線的表達式為：y=x2+mx+2m+2，頂點為：（?12m，?1②如圖所示，Ω拋物線落在△ABC內(nèi)部為EF段，即可求解．【詳解】解：（1）a=b=﹣2，故拋物線的表達式為：y=x故答案為：y=x將點A、B坐標(biāo)代入y=x4?2a+b=?216+4a+b=?2解得：a=?2，b=?10．故答案為：(?2，?10)；（2）①由點A、C的坐標(biāo)得：直線AC的表達式為：y=2x+2，設(shè)點Pm，2m+2，則拋物線的表達式為：y=頂點為：?1令x=?12m則y=?即拋物線Ω的解析式為：y=?x②如圖所示，Ω拋物線落在△ABC內(nèi)部為EF段，拋物線與直線AC的交點為點E0,2當(dāng)y=?2時，即y=?x2故點F?2+2故0<x<?2+22，由①知：a=m=?2x故：4?42【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、解不等式等，這種新定義類題目，通常按照題設(shè)的順序逐次求解．4．（2023春·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）定義：如圖1，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A，B兩點，點P在該拋物線上(P點與A．B兩點不重合)，如果△ABP中PA與PB兩條邊的三邊滿足其中一邊是另一邊2（1）命題：P(0，3)是拋物線y=?x（2）如圖2，已知拋物線C:y=ax2+bx(a<0)（3）在（2）的條件下，點Q在拋物線C上，求滿足條件S△ABQ=S△ABP的Q點(異于點P)的坐標(biāo)．【答案】（1）假；（2）y=?13x2+【分析】（1）y=?x2+2x+3=0，則x=3或?1，即點A、B的坐標(biāo)分別為：(?1,0)（2）分PA=22PB、（3）SΔABQ=SΔABP，則點【詳解】解：（1）令y=?x2+2x+3=0，則x=3或?1，即點A、B的坐標(biāo)分別為：(?1,0)則PA=1+9=10則PA與PB兩條邊滿足其中一邊是另一邊的22故答案為：假；（2）將點P的坐標(biāo)代入拋物線表達式得：a+b=2，點A(0,0)，則點B(a?2a，0)，點則PA2=5①當(dāng)PA=22即5=8[4+(②當(dāng)PB=224+(解得：a=?13，則故拋物線的表達式為：y=?1（3）SΔABQ=SΔABP，則點函數(shù)的對稱軸為：x=7則點Q的坐標(biāo)為：(72，【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，這種新定義類的題目，通常按照題設(shè)的順序逐次求解，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏．5．（2023·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=ax-a為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的“夢想直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“夢想三角形”．已知拋物線y=-23（1）填空：該拋物線的“夢想直線”的解析式為______，點A的坐標(biāo)為______，點B的坐標(biāo)為______．（2）如圖，點M為線段CB上一動點，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N，若△AMN為該拋物線的“夢想三角形”，求點M的坐標(biāo)．【答案】（1）y=-233x+233；（-2，23）；（1，0）；（2）N點坐標(biāo)為（0，23-3）或（【分析】（1）由“夢想直線”的定義可求得其解析式，聯(lián)立直線與拋物線的解析式可求得A,B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)“夢想三角形”的定義，分當(dāng)點N在y軸上時和當(dāng)M點在y軸上時兩種情況討論即可.【詳解】解（1）由“夢想直線”的定義得，拋物線的“夢想直線”的解析式為y=-233x+聯(lián)立夢想直線與拋物線解析式可得y=?233x2∴A（-2，23），B（1，0），故答案為：y=-233x+23（2）當(dāng)點N在y軸上時，△AMN為夢想三角形，如圖1，過A作AD⊥y軸于點D，則AD=2，在y=-233x2-43∴C（-3，0），且A（-2，23），∴AC=(?2+3)2+(2由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=13，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=AN∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，當(dāng)ON=23+3時，則MN＞OD＞CM，與MN=CM矛盾，不合題意，∴N點坐標(biāo)為（0，23-3）；當(dāng)M點在y軸上時，則M與O重合，過N作NP⊥x軸于點P，如圖2，在Rt△AMD中，AD=2，OD=23，∴∠DAM=60°，∵AD∥x軸，∴∠AMC=∠DAO=60°，又由折疊可知∠NMA=∠AMC=60°，∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，∴MP=12MN=32，NP=32∴此時N點坐標(biāo)為（32，3綜上可知N點坐標(biāo)為（0，23-3）或（32，3【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，翻折的性質(zhì)，勾股定理，正確的理解“夢想直線”和“夢想三角的定義是解決問題的關(guān)鍵.6．（2023春·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期中）定義：在線段MN上存在點P、Q將線段MN分為相等的三部分，則稱P、Q為線段MN的三等分點．已知一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x、y軸分別交于點M、N，且A、C為線段MN的三等分點（點A在點C的左邊）．（1）直接寫出點A、C的坐標(biāo)；（2）①二次函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點O、A、C，試求此二次函數(shù)的解析式；②過點A、C分別作AB、CD垂直x軸于B、D兩點，在此拋物線O、C之間取一點P（點P不與O、C重合）作PF⊥x軸于點F，PF交OC于點E，是否存在點P使得AP＝BE？若存在，求出點P的坐標(biāo)？若不存在，試說明理由；（3）在（2）的條件下，將△OAB沿AC方向移動到△O'A'B'（點A'在線段AC上，且不與C重合），△O'A'B'與△OCD重疊部分的面積為S，試求當(dāng)S＝38【答案】（1）點A、C的坐標(biāo)分別為：（1，2）、（2，1）；（2）①拋物線的表達式為：y＝﹣32x2+72x；②P的坐標(biāo)為：（15+2914，177+229【分析】（1）先求出M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)A、C為線段MN的三等分點，即可求解；（2）①設(shè)函數(shù)的表達式為：y＝ax2+bx，將點A、C的坐標(biāo)代入上式即可求解；②設(shè)點P（m，﹣32m2+72m），AP＝BE，則（m﹣1）2+（﹣32m2+72m﹣2）（3）S＝S△A′GK﹣S△A′HR＝12×GK×A′K﹣12HE×A′R＝12（1﹣12m）（2﹣m）﹣12【詳解】解：（1）一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x、y軸分別交于點M、N，令x=0，y=3，則M的坐標(biāo)為（0，3），令y=0，x=3，則N的坐標(biāo)為（3，0），由A、C為線段MN的三等分點，則點A、C的坐標(biāo)分別為：（1，2）、（2，1）；（2）①設(shè)函數(shù)的表達式為：y＝ax2+bx，將點A、C的坐標(biāo)代入上式得：2=a+b1=4a+2b，解得：a=?故拋物線的表達式為：y＝﹣32x2+7②存在，理由：設(shè)點P（m，﹣32m2+7直線OC的表達式為：y＝12x，則點B（1，12），BE＝AP＝BE，則（m﹣1）2+（﹣32m2+72m﹣2）2＝化簡得：7m2﹣15m+7＝0，解得：m＝15±29故點P的坐標(biāo)為：（15+2914，（3）設(shè)直線A′O′交OC于點H，交x軸于點G，直線A′B′交OC于點R，交x軸于點K，過點H作HE⊥A′B′于點E，設(shè)點A向下平移m個單位向右平移m個單位得到A′（1+m，2﹣m），設(shè)直線O′A′的表達式為：y＝2x+b，將點A′的坐標(biāo)代入上式并解得：直線O′A′的表達式為：y＝2x﹣3m①，故點G（3π2，0），則GK＝1+m﹣3π2＝1﹣直線OC的表達式為：y＝12聯(lián)立①②并解得：x＝2m，故點H（2m，m），則HE＝1+m﹣2m＝1﹣m，點R（1+m，1+π2），則A′R＝2﹣m﹣12（m+1）＝S＝S△A′GK﹣S△A′HR＝12×GK×A′K﹣12HE×A′R＝12（1﹣12m）（2﹣m）﹣12解得：m＝12故點A′的坐標(biāo)為：（32，3【點睛】本題是對二次函數(shù)知識的綜合考查，難度較大，屬于中考壓軸題.7．（2023春·安徽合肥·九年級統(tǒng)考期中）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點P（x，y）的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y﹣x稱為點P的“坐標(biāo)差”，而圖形G上所有點的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”．（1）求點A（2，1）的“坐標(biāo)差”和拋物線y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函數(shù)＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”為﹣1，點B與點C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點，且點B與點C的“坐標(biāo)差”相等，求此二次函數(shù)的解析式．（3）如圖所示，二次函數(shù)y＝﹣x2+px+q的圖象頂點在“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)的圖象上，四邊形DEFO是矩形，點E的坐標(biāo)為（7，3），點O為坐標(biāo)原點，點D在x軸上，當(dāng)二次函數(shù)y＝﹣x2+px+q的圖象與矩形的邊有四個交點時，求p的取值范圍．【答案】(1)-1,5;(2)y＝﹣x2+3x﹣2；(3)2＜p＜10.【分析】（1）1-2=-1，故“坐標(biāo)差”為-1，y-x=-x2+3x+4-x=-（x-1）2+5，故“特征值”為5；（2）由題意得：點C（0，c），故點B、C的“指標(biāo)差”相等，故點B（-c，0），把點B的坐標(biāo)代入y=-x2+（1-c）x+c得：0=-（-c）2+b（-c）+c，解得：b=1-c，故：y=-x2+（1-c）x+c，故拋物線的“特征值”為-1，y-x=-x2+（1-c）x+c-x=-x2-cx+c，故4×(?1)c?c（3）“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)為：y=x+2，對于圖1，直線與矩形邊的交點為：（1，3），則對稱軸為：-?p2×(?1)=1，解得：p=2，對于圖2，把點E（7，3）代入y=-（x-m）【詳解】解：（1）1﹣2＝﹣1，故“坐標(biāo)差”為﹣1，y﹣x＝﹣x2+3x+4﹣x＝﹣（x﹣1）2+5，故“特征值”為5；（2）由題意得：點C（0，c），且點B、C的“坐標(biāo)差”相等，故點B（﹣c，0），把點B的坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c得：0＝﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c，解得：b＝1﹣c，故：y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，故拋物線的“特征值”為﹣1，∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，故4×(?1)c?c∴c＝﹣2，b＝3，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+3x﹣2；（3）“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)為：y＝x+2，∵拋物線y＝﹣x2+px+q的圖象的頂點在y＝x+2上，∴設(shè)拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣m）2+m+2，當(dāng)拋物線與矩形有3個交點時，如圖1、2，對于圖1，直線與矩形邊的交點為：（1，3），則對稱軸為：﹣p2×(?1)＝1，解得：p對于圖2，把點E（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2并解得：m＝5或10（舍去10），故﹣p2×(?1)＝5，解得：p故二次函與矩形的邊有四個交點時，求p的取值范圍：2＜p＜10．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)、矩形性質(zhì)等，這種新定義類的題目，通常按照題設(shè)的順序逐次求解．8．（2023·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期中）新定義：我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形．（1）初步嘗試如圖1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，請將它分成兩個三角形，使它們成為偏等積三角形．（2）理解運用如圖2，已知△ACD為直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD為邊向外作正方向ACFB和正方形ADGE，連接BE，求證：△ACD與△ABE為偏等積三角形．（3）綜合探究如圖3，二次函數(shù)y=12x2–32x–5的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，在二次函數(shù)的圖象上是否存在一點D，使△ABC與△ABD是偏等積三角形？若存在，請求出點【答案】（1）見解析（2）見解析（3）（3+892，5）或（【詳解】（1）如圖1所示，取AC的中點D，連接BD，則△BAD和△BCD為偏等積三角形．（2）如圖2所示：過點B作BH⊥EA交EA延長線于點H．∵四邊形ABFC和四邊形ADGE均為正方形，∴∠HAC+∠DAC=90°，∠BAH+∠HAC=90°，AB=AC，AD=AE．∴∠BAH=∠DAC．在△ABH和△ACD中，∠BAH=∠DAC∠H=∠ADC=90°∴△ABH≌△ACD．∴CD=HB．∵S△ABE=12AE?BH，S△CDA=1∴S△ABE=S△CDA．∴△ACD與△ABE為偏等積三角形．（3）∵S△ABC=S△ABD，∴點D到AB的距離等于點C到AB的距離．將x=0代入得：y=–5，∴CO=5．∴點D到AB的距離為5，即點D的縱坐標(biāo)為±5．當(dāng)點D的縱坐標(biāo)為–5時，△ABC與△ABD全等（舍去）．當(dāng)點D的