高中數(shù)學(xué)空間角專題

空間角專題求空間角的步驟：(1)找出或作出有關(guān)的圖形；(2)證明它符合定義；(3)計(jì)算一、線線角：異面直線所成的角.(1)范圍是(0o，90o]；(2)求解的一般方法有：①平移法：在異面直線中的一條直線上選擇一“特殊點(diǎn)”，作另一直線的平行線（單移法）；或平移兩直線至同一圖形中（雙移法）。②補(bǔ)形法.把空間圖形補(bǔ)成熟悉的可完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系。二、線面角：直線與平面所成的角.(1)范圍是[0o，90o]；（2）常用結(jié)論：①最小值定理：平面的斜線和平面所成的角是斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角.即平面外的一條直線與平面內(nèi)所有直線所成的角中，與其射影所成的角最小。②“三余弦”定理：如圖所示，AB和平面M所成的角是α，BAC在平面M內(nèi)，AC和AB在平面M內(nèi)的射影AB1所成的角是β，AB1設(shè)∠BAC=θ，則α，β，θ滿足關(guān)系cosθ=cosα·cosβ.MDC③從一個角的頂點(diǎn)引這個角所在平面的斜射線，使斜射線和這個角兩邊的夾角相等，則斜線在平面內(nèi)的射影是這個角的平分線所在的直線。(數(shù)學(xué)第二冊下第29頁)④如果一個角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線所在的直線上。(同上26頁)（3）求解的方法：①作出射影線段，在直角三角形中求解；②先利用等體積法求出斜線段上某一點(diǎn)P到平面的距離，在直角三解形中利用三角函數(shù)（為P到斜足的距離）可求。三、二面角.二面角的大小是用它的平面角θ來度量的.當(dāng)兩個半平面相交時.當(dāng)二面角的兩個面重合時，規(guī)定二面角的大小為，當(dāng)二面角的兩個面合成一個平面時，規(guī)定二面角的大小為。二面角的平面角的常見作法(1)定義法：二面角α--β，O是上任一點(diǎn)，βB在面α、β內(nèi)作：OA⊥，OB⊥，則∠AOB是二面圖1O角α--β的平面角.且有⊥平面AOB。(圖1所示)αA(2)垂面法：自二面角一點(diǎn)分別向這個二面角的兩個面引垂線，則它們所成的角與這個二面角的平面角互補(bǔ)。(數(shù)學(xué)第二冊下第39頁)(圖2所示)(3)三垂線法：(4)對稱法：二面角的兩個平面是由兩個有公共底的等腰三角形組成的，或有公共底的等腰梯形；或者一個是等腰三角形，另一個是等腰梯形且有公共底。在作二面角的平面角時，通常是取底邊的中點(diǎn)，連結(jié)頂點(diǎn)，利用等腰三角形(或梯形)的對稱性可以得出垂直。(5)全等三角形(全等圖形)法：在正棱錐或特殊的斜三棱柱中，研究相鄰兩側(cè)面所組成的二面角的大小時，經(jīng)常在一個側(cè)面上過一個頂點(diǎn)作側(cè)棱的垂線，連結(jié)相關(guān)頂點(diǎn)則可以利用全等三角形的方法證明所連結(jié)的線也垂直該棱。(6)利用射影面積求二面角：在缺棱的前提下，研究一個平面圖形γ在另一個平面內(nèi)的射影的平面圖形γ1，設(shè)γ的面積為S，γ1的面積為,所成的二面角大小為θ，則。注意：一定要指出線面垂直，然后設(shè)角寫公式。1、（2007湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考）二面角的平面角為，直線平面，直線平面，則直線與直線所成的角的范圍為（C）A、B、C、D、解析：當(dāng)與平行或重合時，，與所成的角為，故D錯；當(dāng)與相交時，則時，與所成的角最小，為，故選C。（最小角定理）2、（2007武漢四月調(diào)研）若一條直線和平面所成的角為，則此直線與該平面內(nèi)任意一條直線所成的角的取值范圍是（A）A、B、C、D、解析：直線與平面所成的角是直線與該平面內(nèi)任意一條直線所成的角中最小的角，而最大角為，故選A。3、（2007湖北八校第一次聯(lián)考）已知二面角的大小為，、是兩條異面直線，則下面的四條件中，一定能使和所成的角為的是（C）A、B、C、D、解析：若B對，則D也對，故排除B、D。由A不一定推出和所成的角為。事實(shí)上，在二面角內(nèi)任取一點(diǎn)O，過O點(diǎn)作，則，垂足為A，，垂足為B，設(shè)過、的平面與棱交于點(diǎn)P，易證就是二面角的平面角，，在平面四邊形OAPB中，，∴與的夾角為，即和所成的角為，故選C。4、在一個的二面角的一平面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成角，則此直線與二面角的另一個面所成的角為（A）A、B、C、D、解析：法一：由于的二面角內(nèi)的一平面內(nèi)一條直線與二面角的棱成，根據(jù)最小角定理，則此直線與二面角的另一個面所成的角小于，故選A。法二：設(shè)二面角為，直線AB在內(nèi)，A為AB與的交點(diǎn)，為二面角的平面角，，設(shè)，則，。，故選A。5、（2007商丘一模）已知二面角大小為，、為異面直線，平面，平面，則、所成的角為（A）A、B、C、D、解析：平面，平面，∴、所成的角與二面角所成的角相等或互補(bǔ)?！叨娼谴笮椋?、所成的角為，故選A。6、、是所成角為的異面直線，過空間一點(diǎn)P作直線。（1）使與、所成的角均為，這樣的直線一共有4條。（2）使與、所成的角均為，這樣的直線一共有3條。7、（2007浙江理16）已知點(diǎn)在二面角的棱上，點(diǎn)在內(nèi)，且．若對于內(nèi)異于的任意一點(diǎn)，都有，則二面角的大小是 ．解析：考查線、面位置關(guān)系及最小角定理。由最小角定理是PO和面所成的角，即直線BO是直線PO在內(nèi)的射影，過P作于點(diǎn)M，則，故，即二面角的大小為。8、在三棱錐P-ABC中，平面ABC，，D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，，設(shè)PC與DE所成的角為，PD與平面ABC所成的角為，二面角P—BC—A的平面角為，則、、的大小關(guān)系是（A）