江西省吉安市吉水縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三3月第一次模擬考試（數(shù)學(xué)試題理）試題

江西省吉安市吉水縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三3月第一次模擬考試（數(shù)學(xué)試題理）試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，若對，且，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．設(shè)，為非零向量，則“存在正數(shù)，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．充分不必要條件3．造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國古代四大發(fā)明，此說法最早由英國漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學(xué)家所繼承，普遍認(rèn)為這四種發(fā)明對中國古代的政治，經(jīng)濟，文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用.某小學(xué)三年級共有學(xué)生500名，隨機抽查100名學(xué)生并提問中國古代四大發(fā)明，能說出兩種發(fā)明的有45人，能說出3種及其以上發(fā)明的有32人，據(jù)此估計該校三級的500名學(xué)生中，對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有（）A．69人 B．84人 C．108人 D．115人4．已知全集，集合，則=（）A． B．C． D．5．若點是角的終邊上一點，則（）A． B． C． D．6．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)f(x)=xex2+axeA．1 B．-1 C．a(chǎn) D．-a8．若（是虛數(shù)單位），則的值為（）A．3 B．5 C． D．9．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．10．已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取的戶主進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為A．240，18 B．200，20C．240，20 D．200，1811．已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到次結(jié)束為止．某考生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍為()A． B． C． D．12．復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)等于（）A． B． C．2 D．-2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項式的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和是64，則展開式中的常數(shù)項為______.14．已知數(shù)列滿足,且,則______.15．若函數(shù)為偶函數(shù)，則________.16．某四棱錐的三視圖如圖所示，那么此四棱錐的體積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，（1）當(dāng)，，求不等式的解集；（2）已知，，的最小值為1，求證：.18．（12分）已知在平面四邊形中，的面積為.（1）求的長；（2）已知，為銳角，求.19．（12分）在銳角三角形中，角的對邊分別為．已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列．（1）求的值；（2）若的面積為求的值．20．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）函數(shù)在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在定義域上有兩個極值點，且.①求實數(shù)的取值范圍；②求證：.21．（12分）已知集合，集合，.（1）求集合B；（2）記，且集合M中有且僅有一個整數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.22．（10分）在以ABCDEF為頂點的五面體中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EFAB，點G為CD中點，平面EAD⊥平面ABCD.（1）證明：BD⊥EG；（2）若三棱錐，求菱形ABCD的邊長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先求出的值域，再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域，由方程有兩個根求參數(shù)范圍即可.【詳解】因為，故，當(dāng)時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得，故在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，且當(dāng)趨近于零時，趨近于正無窮；對函數(shù)，當(dāng)時，；根據(jù)題意，對，且，使得成立，只需，即可得，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題，屬綜合困難題.2、D【解析】

充分性中，由向量數(shù)乘的幾何意義得，再由數(shù)量積運算即可說明成立；必要性中，由數(shù)量積運算可得，不一定有正數(shù)，使得，所以不成立，即可得答案.【詳解】充分性：若存在正數(shù)，使得，則，，得證；必要性：若，則，不一定有正數(shù)，使得，故不成立；所以是充分不必要條件故選：D【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運算，向量數(shù)乘的幾何意義，還考查了充分必要條件的判定，屬于簡單題.3、D【解析】

先求得名學(xué)生中，只能說出一種或一種也說不出的人數(shù)，由此利用比例，求得名學(xué)生中對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的人數(shù).【詳解】在這100名學(xué)生中，只能說出一種或一種也說不出的有人，設(shè)對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人，則，解得人.故選：D【點睛】本小題主要考查利用樣本估計總體，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

先計算集合，再計算，最后計算．【詳解】解：，，．故選：．【點睛】本題主要考查了集合的交，補混合運算，注意分清集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【詳解】由題意，點是角的終邊上一點，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，則，故選A.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式，準(zhǔn)確化簡、計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

利用已知條件畫出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積．【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為：．故選：．【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．7、A【解析】

令xex=t，構(gòu)造g(x)=xex，要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x2,【詳解】令xex=t，構(gòu)造g(x)=xex，求導(dǎo)得g'(x)=故g(x)在-∞,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，且x<0時，g(x)<0，x>0時，g(x)>0，g(x)max=g(1)=1e，可畫出函數(shù)g(x)的圖象（見下圖），要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x若a>0，即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4，即t1+t2=-a>4t1故選A.【點睛】解決函數(shù)零點問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.8、D【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運算法則求解即可.【詳解】（是虛數(shù)單位）可得解得本題正確選項：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運算法則的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計算能力.9、D【解析】

直接相乘，得，由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果【詳解】∵∴其共軛復(fù)數(shù)為.故選：D【點睛】熟悉復(fù)數(shù)的四則運算以及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì).10、A【解析】

利用統(tǒng)計圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量，利用條形圖能求出抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)．【詳解】樣本容量為：（150+250+400）×30%＝240，∴抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為：故選A．【點睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意統(tǒng)計圖的性質(zhì)的合理運用．11、A【解析】

根據(jù)題意，分別求出再根據(jù)離散型隨機變量期望公式進行求解即可【詳解】由題可知，，，則解得，由可得，答案選A【點睛】本題考查離散型隨機變量期望的求解，易錯點為第三次發(fā)球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功12、B【解析】

通過復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運算，化簡求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，∴，故選B.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算，復(fù)數(shù)模長的概念，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由二項式系數(shù)性質(zhì)求出，由二項展開式通項公式得出常數(shù)項的項數(shù)，從而得常數(shù)項．【詳解】由題意，．展開式通項為，由得，∴常數(shù)項為．故答案為：．【點睛】本題考查二項式定理，考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項展開式通項公式是解題關(guān)鍵．14、【解析】

數(shù)列滿足知，數(shù)列以3為公比的等比數(shù)列，再由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得的值即可.【詳解】，數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，又，，．故答案為：．【點睛】本題考查了等比數(shù)列定義，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的通項公式，是中檔題．15、【解析】

二次函數(shù)為偶函數(shù)說明一次項系數(shù)為0，求得參數(shù)，將代入表達式即可求解【詳解】由為偶函數(shù)，知其一次項的系數(shù)為0，所以，，所以，故答案為：-5【點睛】本題考查由奇偶性求解參數(shù)，求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】

利用三視圖判斷幾何體的形狀，然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積.【詳解】如圖：此四棱錐的高為，底面是長為，寬為2的矩形，所以體積.所以本題答案為.【點睛】本題考查幾何體與三視圖的對應(yīng)關(guān)系，幾何體體積的求法，考查空間想象能力與計算能力.解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進行判斷.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）證明見解析【解析】

（1）將化簡，分類討論即可；（2）由（1）得，，展開后再利用基本不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以或或解得或，因此不等式的解集的或（2）根據(jù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，等式成立.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法、利用基本不等式證明不等式問題，考查學(xué)生基本的計算能力，是一道基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）4.【解析】

（1）利用三角形的面積公式求得，利用余弦定理求得.（2）利用余弦定理求得，由此求得，進而求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得.【詳解】（1）在中，由面積公式：在中，由余弦定理可得：（2）在中，由余弦定理可得：在中，由正弦定理可得:，為銳角.【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

(1)根據(jù)成等差數(shù)列與三角形內(nèi)角和可知,再利用兩角和的正切公式,代入化簡可得,同理根據(jù)三角形內(nèi)角和與余弦的兩角和公式與等比數(shù)列的性質(zhì)可求得,聯(lián)立即可求解求的值.(2)由(1)可知,再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系與正弦定理可求得,再結(jié)合的面積為利用面積公式求解即可.【詳解】解：成等差數(shù)列,可得而,即,展開化簡得,因為,故①又成等比數(shù)列,可得,即,可得聯(lián)立解得（負(fù)的舍去）,可得銳角；由可得,由為銳角,解得,因為為銳角,故可得,由正弦定理可得,又的面積為可得,解得．【點睛】本題主要考查了等差等比中項的運用以及正切的和差角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系等.同時也考查了正弦定理與面積公式在解三角形中的運用,屬于中檔題.20、（1）；（2）①；②詳見解析.【解析】

（1）由函數(shù)在處的切線與直線垂直，即可得，對其求導(dǎo)并表示，代入上述方程即可解得答案；（2）①已知要求等價于在上有兩個根，且，即在上有兩個不相等的根，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)構(gòu)建不等式組，解得答案，最后分析此時單調(diào)性推及極值說明即可；②由①可知，是方程的兩個不等的實根，由韋達定理可表達根與系數(shù)的關(guān)系，進而用含的式子表示，令，對求導(dǎo)分析單調(diào)性，即可知道存在常數(shù)使在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進而求最值證明不等式成立.【詳解】解：（1）依題意，，，故，所以，據(jù)題意可知，，解得.所以實數(shù)的值為.（2）①因為函數(shù)在定義域上有兩個極值點，且，所以在上有兩個根，且，即在上有兩個不相等的根.所以解得.當(dāng)時，若或，，，函數(shù)在和上單調(diào)遞增；若，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上有兩個極值點，且.所以，實數(shù)的取值范圍是.②由①可知，是方程的兩個不等的實根，所以其中.故，令，其中.故，令，，在上單調(diào)遞增.由于，，所以存在常數(shù)，使得，即，，且當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，又，，所以，即，故得證.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、兩直線的位置關(guān)系、由極值點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，還考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立，屬于難題.21、（1）（2）【解析】

（1）由不等式可得,討論與的關(guān)系,即可得到結(jié)果；（2）先解得不等式,由集合M中有且僅有一個整數(shù),當(dāng)時,則M中僅有的整數(shù)為；當(dāng)時,則M中僅有的整數(shù)為,進而求解即可.【詳解】解:（1）因為,所以,當(dāng),即時,；當(dāng),即時,；當(dāng),即時,.（2）由得,當(dāng),即時,M中僅有的整數(shù)為,所以,即；當(dāng),即時,M中僅有的整數(shù)為,所以,即；綜上,滿足題意的k的范圍為【點睛】本題考查解一元二次不等式,考查由交集的結(jié)果求參數(shù)范圍,考查分類討論思想與運算能力.22、（1）詳見解析；（