第十四~1壓桿穩(wěn)定課件

壓桿穩(wěn)定第十四章第十四~1壓桿穩(wěn)定§14—1

壓桿穩(wěn)定的概念§14—2

兩端絞支細長壓桿的臨界壓力§14—3其它支座條件下細長壓桿的臨界壓力§14—4歐拉公式的應用范圍經驗公式§14—5壓桿的穩(wěn)定校核§14—6提高壓桿穩(wěn)定性的措施第十四~1壓桿穩(wěn)定第二章中，軸向拉，壓桿的強度條件為例：一長為300mm的鋼板尺，橫截面尺寸為20mm

1mm。鋼的許用應力為[]=196MPa。按強度條件計算得鋼板尺所能承受的軸向壓力為[P]=Nmax=A[]=3.92KN§14—1壓桿穩(wěn)定的概念第十四~1壓桿穩(wěn)定實際，當壓力不到40N

時，鋼尺就被壓彎?？梢?，鋼尺的承載能力并不取決軸向壓縮的抗壓剛度，而是與受壓時變彎有關。第十四~1壓桿穩(wěn)定結論

：要提高壓桿的承載能力，就應該提高壓桿的抗彎剛度。原因：壓桿在制作時其軸線存在初曲率；作用在壓桿上的外力作用線不可能毫無偏差的與桿的軸線相重合；壓桿的材料不可避免地存在不均勻性。第十四~1壓桿穩(wěn)定將這些因素都用外加壓力的偏心來模擬。受偏心壓力作用的桿件，不論偏心距多么小，壓桿的次要變形——彎曲變形將隨壓力的增大而加速增長，并轉化為主要變形，從而導致壓桿喪失承載能力。第十四~1壓桿穩(wěn)定中心受壓直桿：桿由均貭材料制成，軸線為直線，外力的作用線與壓桿軸線重合。（不存在壓桿彎曲的初始因素）在分析中心受壓直桿時，當壓桿承受軸向壓力后，假想地在桿上施加一微小的橫向力，使桿發(fā)生彎曲變形，然后撤去橫向力。研究方法：第十四~1壓桿穩(wěn)定PP(a)Q(b)當P小于某一臨界值Pcr，撤去橫向力后，桿的軸線將恢復其原來的直線平衡形態(tài)（圖b），壓桿在直線形態(tài)下的平衡是穩(wěn)定平衡。第十四~1壓桿穩(wěn)定PP(a)Q(b)當P增大到一定的臨界值Pcr，撤去橫向力后，桿的軸線將保持彎曲的平衡形態(tài)，而不再恢復其原來的直線平衡形態(tài)（圖c），壓桿在原來直線形態(tài)下的平衡是不穩(wěn)定平衡。(c)第十四~1壓桿穩(wěn)定兩端球形絞支，長為l的等截面細長

中心受壓直桿§14—2兩端絞支細長壓桿的臨界壓力第十四~1壓桿穩(wěn)定mxmyBxAmmxyByy第十四~1壓桿穩(wěn)定壓桿任一x截面沿y方向的位移為y=f(x)該截面的彎矩為桿的撓曲線近似微分方程為mmxyBy第十四~1壓桿穩(wěn)定其中I

為壓桿橫截面的最小形心主慣性矩。令則有二階常系數線性微分方程mmxyBy第十四~1壓桿穩(wěn)定其通解為A，B，k

三個待定常數由該撓曲線的三個邊界條件確定。yx第十四~1壓桿穩(wěn)定邊界條件：得B=0yx第十四~1壓桿穩(wěn)定邊界條件：yx第十四~1壓桿穩(wěn)定要想壓桿在微彎狀態(tài)下平衡只有yx第十四~1壓桿穩(wěn)定其最小解為n=1

的解yx第十四~1壓桿穩(wěn)定即得這就是兩端絞支等截面細長中心受壓直桿臨界力的計算公式（歐拉公式）yx第十四~1壓桿穩(wěn)定當時，撓曲線方程為撓曲線為半波正弦曲線。第十四~1壓桿穩(wěn)定ABc1兩端絞支2一端固定另絞支端C

為拐點§14—3其它支座條件下細長壓桿的臨界壓力第十四~1壓桿穩(wěn)定ABcD3兩端固定C，D

為拐點第十四~1壓桿穩(wěn)定4一端固定另端自由第十四~1壓桿穩(wěn)定兩端絞支一端固定另絞支端兩端固定一端固定另端自由表14—1各種支承約束條件下等截面細長壓桿臨界力的歐拉公式

支承情況臨界力的歐拉公式長度系數

第十四~1壓桿穩(wěn)定歐拉公式的統(tǒng)一形式

為壓桿的長度系數=1=0.7=0.5=2兩端絞支一端固定另絞支端兩端固定一端固定另端自由支承情況臨界力的歐拉公式長度系數

第十四~1壓桿穩(wěn)定討論

為長度系數

l

為相當長度（1）相當長度

l

的物理意義1壓桿失穩(wěn)時，撓曲線上兩拐點間的長度就是壓桿的相當長度l

。2

l是各種支承條件下，細長壓桿失穩(wěn)時，撓曲線中相當于半波正弦曲線的一段長度第十四~1壓桿穩(wěn)定

為長度系數

l為相當長度（2）橫截面對某一形心主慣性軸的慣性矩I1若桿端在各個方向的約束情況相同（球形絞等），則I應取最小的形心主慣性矩。第十四~1壓桿穩(wěn)定zy取Iy，Iz

中小的一個計算臨界力。x第十四~1壓桿穩(wěn)定

為長度系數

l為相當長度2若桿端在各個方向的約束情況不同（柱形絞），應分別計算桿在不同方向失穩(wěn)時的臨界力。I為其相應的對中性軸的慣性矩。第十四~1壓桿穩(wěn)定zy分別用Iy，Iz

計算出兩個臨界力。最后取小的一個作為壓桿的臨界力。x第十四~1壓桿穩(wěn)定例題：由A3鋼加工成的工字型截面桿，兩端為柱形絞。在xy平面內失穩(wěn)時，桿端約束情況接近于兩端絞支，

z=1，長度為l1。在xz平面內失穩(wěn)時，桿端約束情況接近于兩端固定

y=0.6，長度為l2。求Pcr。zy22126624第十四~1壓桿穩(wěn)定zy22126624解：在xy平面內失穩(wěn)時，z為中性軸第十四~1壓桿穩(wěn)定在xz平面內失穩(wěn)時，y

為中性軸zy22126624第十四~1壓桿穩(wěn)定一，歐拉公式（臨界應力歐拉公式）壓桿受臨界力Pcr作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持不穩(wěn)定的平衡時，橫截面上的壓應力可按

=P/A

計算。§14—4歐拉公式的應用范圍經驗公式第十四~1壓桿穩(wěn)定按各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出壓桿橫截面上的應力為為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑第十四~1壓桿穩(wěn)定

稱為壓桿的柔度（長細比）。集中地反映了壓桿的長度，桿端約束，截面尺寸和形狀對臨界應力的影響。第十四~1壓桿穩(wěn)定

越大，相應的

cr

越小，壓桿越容易失穩(wěn)。若壓桿在不同平面內失穩(wěn)時的支承約束條件不同，應分別計算在各平面內失穩(wěn)時的柔度

，并按較大者計算壓桿的臨界應力

cr

。第十四~1壓桿穩(wěn)定二，歐拉公式的應用范圍只有在

cr

P

的范圍內，才可以用歐拉公式計算壓桿的臨界力Pcr（臨界應力

cr）。或第十四~1壓桿穩(wěn)定1，當

>P（大柔度壓桿或細長壓桿）時，才能應用歐拉公式。2，當

P但大于某一數值

S(

b)的壓桿（小柔度壓桿），

不能應用歐拉公式。用經驗公式

P

的大小取決于壓桿的力學性能。例如，對于Q235鋼，可取E=206MPa，P=200MPa，得第十四~1壓桿穩(wěn)定3，常用的經驗公式（直線公式和拋物線公式）（1）直線公式式中：a

和b是與材料有關的常數，可查表得出。但是

S

(

b)是應用直線公式的最低線。對于塑性材料第十四~1壓桿穩(wěn)定2，拋物線公式式中：a1

和b1是與材料有關的常數，可查表得出。第十四~1壓桿穩(wěn)定3，當

S(

b)時，按強度問題計算右圖稱為歐拉臨界應力曲線。實線部分是歐拉公式適用范圍的曲線，虛線部分無意義。O第十四~1壓桿穩(wěn)定o三，壓桿的臨界應力總圖第十四~1壓桿穩(wěn)定例題：圖示各桿均為圓形截面細長壓桿。已知各桿的材料及直徑相等。問哪個桿先失穩(wěn)。aPP1.3aP1.6adAcB第十四~1壓桿穩(wěn)定aPP1.3aP1.6adAcB桿B：

=1桿C：

=0.7桿A：

=2解：A桿先失穩(wěn)第十四~1壓桿穩(wěn)定例題：截面為圓形，直徑為d兩端固定的細長壓桿和截面為正方形，邊長為d兩端絞支的細長壓桿，材料及柔度都相同，求兩桿的長度之比及臨界力之比。解：圓形截面桿：第十四~1壓桿穩(wěn)定正方形截面桿：第十四~1壓桿穩(wěn)定由

1=2

得所以第十四~1壓桿穩(wěn)定第十四~1壓桿穩(wěn)定例題：兩端為球絞支的圓截面桿，材料的彈性模量，桿的直徑d=100mm，桿長為多少時方可用歐拉公式計算該桿的臨界力？解：第十四~1壓桿穩(wěn)定用歐拉公式計算該桿的臨界力的條件為第十四~1壓桿穩(wěn)定例題：壓桿截面如圖所示。若繞y軸失穩(wěn)可視為兩端固定，若繞z軸失穩(wěn)可視為兩端絞支。已知，桿長l=1m,材料的彈性模量E=200GPa，

P=200MPa。求壓桿的臨界應力。30mm20mmyz第十四~1壓桿穩(wěn)定解：30mm20mmyz第十四~1壓桿穩(wěn)定因為

z>y

,所以壓桿繞z

軸先失穩(wěn)，且z=115>1，用歐拉公式計算臨界力。第十四~1壓桿穩(wěn)定例題：AB，AC兩桿均為圓截面桿，其直徑D=0.08m，E=200GPa，

P=200MPa，容許應力[]=160MPa。由穩(wěn)定條件求此結構的極限荷載Pmax600300ABCP4第十四~1壓桿穩(wěn)定APNABNAC解：由平衡方程計算出600300ABCP4第十四~1壓桿穩(wěn)定APNABNAC兩桿都可用歐拉公式600300ABCP4第十四~1壓桿穩(wěn)定APNABNAC求此結構的極限荷載Pmax由AB的穩(wěn)定條件求600300ABCP4第十四~1壓桿穩(wěn)定APNABNAC由AC的穩(wěn)定條件求取Pmax=662KN600300ABCP4第十四~1壓桿穩(wěn)定例題：AB的直徑d=40mm，長l=800mm，兩端可視為絞支。材料為Q235鋼，彈性模量E=2105MPa。比例極限

P=200MPa，屈服極限

S=240MPa，由AB桿的穩(wěn)定條件求[P]。（若用直線公式a=304MPa，b=1.12MPa)。ABCP0.60.30.8第十四~1壓桿穩(wěn)定

解：取BC研究NABCP0.60.30.8第十四~1壓桿穩(wěn)定

不能用歐拉公式ABCP0.60.30.8=1，l=0.8mN第十四~1壓桿穩(wěn)定用直線公式

NABCP0.60.30.8[P]=118KN第十四~1壓桿穩(wěn)定例題：外徑D=50mm，內徑d=40mm的鋼管，兩端鉸支，材料為Q235鋼，承受軸向壓力P。試求：（1）能用歐拉公式時壓桿的最小長度；（2）當壓桿長度為上述最小長度的3/4時，壓桿的臨界應力。已知：E=200GPa，

P=200MPa，S=240MPa，用直線公式時，a=304MPa，b=1.12MPa。第十四~1壓桿穩(wěn)定（1）能用歐拉公式時壓桿的最小長度；壓桿的

=1第十四~1壓桿穩(wěn)定（2）當l=3/4lmin時，Pcr=?用直線公式計算第十四~1壓桿穩(wěn)定nst

——壓桿的穩(wěn)定安全系數§14—5壓桿的穩(wěn)定校核n——壓桿的工作安全系數P——壓桿的工作壓力Pcr

——壓桿的臨界壓力則有第十四~1壓桿穩(wěn)定例題：活塞桿由45號鋼制成，

S=350MPa，

P=280MPa，E=210GP。長度l=703mm，直徑d=45mm。最大壓力Pmax=41.6KN。規(guī)定穩(wěn)定安全系數為nSt