培優(yōu)專(zhuān)題04構(gòu)造三角形全等的方法技巧-解析版

培優(yōu)專(zhuān)題04構(gòu)造三角形全等的方法技巧◎技巧一：利用“補(bǔ)形法”構(gòu)造全等三角形“補(bǔ)形法”是指補(bǔ)全圖形的方法，主要是利用條件構(gòu)造與已知三角形全等的三角形，利用全等三角形解決問(wèn)題。1．（2022·福建漳州·八年級(jí)期末）求證：在直角三角形中，若一個(gè)銳角等于30°，則它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．要求：(1)根據(jù)給出的線段及∠B，以線段為直角邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出的斜邊，使得，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法；(2)根據(jù)（1）中所作的圖形，寫(xiě)出已知、求證和證明過(guò)程．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作圖即可；（2）根據(jù)圖形和命題的已知事項(xiàng)寫(xiě)出已知，根據(jù)命題的未知事項(xiàng)寫(xiě)出求證，再寫(xiě)出證明過(guò)程即可．(1)解：如圖所示，線段為所求作的線段；(2)已知：如圖，是直角三角形，，．求證：．解法一：如圖，在上截取一點(diǎn)，使得，連接．∵，，∴．∵，∴是等邊三角形．∴，．∵，∴．∴．∴．∵，∴．解法二：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．∵，，∴，，∵，，，∴．∴．∴是等邊三角形．∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角及命題的證明過(guò)程的書(shū)寫(xiě)格式，掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇泰州·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】（1）BE＝AD，見(jiàn)解析；（2）BEG是等腰直角三角形，見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)BE、AC交于點(diǎn)H，先證明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再證明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，則BE＝AD；（2）先證明CF垂直平分AB，則AG＝BG，再證明∠CAB＝∠CBA＝45°，則∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可證明△BEG是等腰直角三角形．【詳解】證：（1）BE＝AD，理由如下：如圖，延長(zhǎng)BE、AC交于點(diǎn)H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等腰直角三角形的基本性質(zhì)，并且掌握全等三角形中常見(jiàn)輔助線的作法是解題關(guān)鍵．3．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，且是常數(shù)，直線平分，交x軸于點(diǎn)D．（1）若的中點(diǎn)為M，連接交于點(diǎn)N，求證：；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為E，猜想與間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）,證明見(jiàn)解析．【分析】（1）由已知條件可得，進(jìn)而得，由直線平分及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得，再由三角形的外角定理，分別求得，根據(jù)角度的等量代換，即可得，最后由等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可得證；（2）如圖，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，先證明，得，再證明，即可得．【詳解】（1），，，，直線平分，，為的中點(diǎn)，，，，，，，，．（2），證明：如圖，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，直線平分，，，，又，（ASA），，，，即，，又，（ASA），，即．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系的定義，非負(fù)數(shù)之和為零，三角形角平分線的定義，三角形中線的性質(zhì)，三角形外角定理，三角形全等的性質(zhì)與判定，等角對(duì)等邊，熟練掌握以上知識(shí)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2021·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接AD、BD．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，∠CBD的大小為_(kāi)________；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，求∠CBD的大??；（3）已知∠BAC的大小為m（），若∠CBD的大小與（2）中的結(jié)果相同，請(qǐng)直接寫(xiě)出的大?。敬鸢浮浚?）30°；（2）30°；（3）為或或．【分析】（1）由，，可以確定，旋轉(zhuǎn)角為，時(shí)是等邊三角形，且，知道的度數(shù)，進(jìn)而求得的大??；（2）由，，可以確定，連接、．，，，由案．依次證明，．利用角度相等可以得到答案．（3）結(jié)合（1）（2）的解題過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是等邊三角形時(shí)，在內(nèi)部時(shí)，在外部時(shí)，求得答案．【詳解】解：（1）解（1）∵，，∴，∵，，∴為等邊三角形，∴．又∵，∴為等腰三角形，∴，∴．（2）方法1：如圖作等邊，連接、．，．，，．，．．①，，．②，③由①②③，得，，．，，．，，．．．④，，．⑤，⑥由④⑤⑥，得．．．．．方法2如下圖所示，構(gòu)造等邊三角形ADE，連接CE．∵在等腰三角形ACD中，，∴，∵，∴．可證．結(jié)合角度，可得，．在和中，，∴，∴．∵，∴．方法3如下圖所示，平移CD至AE，連接ED，EB，則四邊形ACDE是平行四邊形．∵，∴四邊形ACDE是菱形，∴，．∴，∴，∴是等邊三角形，是等腰三角形，∴，，∴．∴．（3）由（1）知道，若，時(shí)，則；①由（1）可知，設(shè)時(shí)可得，，，．②由（2）可知，翻折到△，則此時(shí)，，，③以為圓心為半徑畫(huà)圓弧交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，．綜上所述，為或或時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題是一道幾何結(jié)論探究題，解答這類(lèi)題目的關(guān)鍵是要善于從探究特殊結(jié)論中歸納出一般性解題方法，并靈活運(yùn)用這種方法解答一般性的問(wèn)題，真正達(dá)到舉一反三的目的．◎技巧二：利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形“截長(zhǎng)補(bǔ)短”是處理線段間數(shù)量關(guān)系的一種重要的解題方法.當(dāng)題目中出現(xiàn)三條線段間的和差關(guān)系時(shí)(如a=b+c),常考慮用此法解決.所謂"截",就是將最長(zhǎng)的線段a截成兩段,使其中一段等于較短的一條線段b,再利用全等三角形或者等腰三角形的知識(shí)證另一段等于線段c;所謂"補(bǔ)",就是將較短的線段6延長(zhǎng),使延長(zhǎng)的線段長(zhǎng)度為c,相當(dāng)于將線段b,c拼成一條線段,再證明此線段的長(zhǎng)等于a.用截長(zhǎng)補(bǔ)短法解決問(wèn)題的關(guān)鍵,是用"截"或"補(bǔ)"的手段去構(gòu)造線段.5．（2022·江西·景德鎮(zhèn)七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分線，求證：AE+BE=BC．【答案】見(jiàn)解析【分析】延長(zhǎng)BE到F，使BF=BC，連接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通過(guò)△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，證得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BE到F，使BF=BC，連接FC，∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=20°，∵BF=BC，∴∠F=∠BCF=80°，∴∠FCE=∠ACB=40°，在BC上取CF′=CF，連接EF′，在△FCE與△F′CE中，，∴△FCE≌△F′CE（SAS），∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，∴∠BF′E=100°，∴∠A=∠BF′E，在△ABE與△F′BE中，，∴△ABE≌△F′BE（AAS），∴AE=EF′，∴AE=EF，∴AE+BE=BE+EF=BC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2022·遼寧·阜新實(shí)驗(yàn)七年級(jí)期末）問(wèn)題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC．CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．(1)小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（直接寫(xiě)結(jié)論，不需證明）探索延伸：(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，（1）中結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)EF=BE+FD(2)（1）中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立．證明見(jiàn)解析；(3)結(jié)論EF=BE+FD不成立，結(jié)論是：EF=BE-FD．證明見(jiàn)解析．【分析】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連接AG，利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；（2）延長(zhǎng)CB至M，使BM=DF，連接AM．證明△ABM≌△ADF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AF=AM，∠2=∠3．△AME≌△AFE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出EF=ME，即EF=BE+BM，則可得出結(jié)論；（3）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．證明△ABG≌△ADF（SAS）．由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAG=∠DAF，AG=AF．證明△AEG≌△AEF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．（1）解：EF=BE+FD．延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連接AG，∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°．又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF（SAS）．∴FG=EF．∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案為：EF=BE+FD；（2）解：（1）中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立．證明：如圖②中，延長(zhǎng)CB至M，使BM=DF，連接AM．∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D，在△ABM與△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF=AM，∠2=∠3．∵∠EAF=∠BAD，∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．在△AME與△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF=ME，即EF=BE+BM，∴EF=BE+DF；（3）解：結(jié)論EF=BE+FD不成立，結(jié)論：EF=BE-FD．證明：如圖③中，在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF，∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．7．（2022·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在等邊三角形ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，P為△ABC外一點(diǎn)，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：當(dāng)點(diǎn)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM＝PN時(shí)，試說(shuō)明MN＝BM+CN．(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM≠PN時(shí)，MN＝BM+CN還成立嗎？答：．（請(qǐng)?jiān)诳崭駜?nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)一定成立(3)MN＝NC﹣BM【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理得到∠PBC＝∠＝30°，進(jìn)而得到∠PBM＝∠PCN＝90°，證明Rt△PBM≌Rt△PCN，得到∠BPM＝∠CPN＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AC至H，使CH＝BM，連接PH，證明△PBM≌△PCH，得到PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，再證明△MPN≌△HPN，得到MN＝HN，等量代換得到答案；（3）在AC上截取CK＝BM，連接PK，仿照（2）的方法得出結(jié)論．（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠BPC＝120°，BP＝CP，∴∠PBC＝∠PCB＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠PBM＝∠PCN＝90°，在Rt△PBM和Rt△PCN中，，∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴∠BPM＝∠CPN＝30°，∵∠MPN＝60°，PM＝PN，∴△PMN為等邊三角形，∴PM＝PN＝MN，在Rt△PBM中，∠BPM＝30°，∴BM＝PM，同理可得，CN＝PN，∴BM+CN＝MN．（2）解：一定成立，理由如下：延長(zhǎng)AC至H，使CH＝BM，連接PH，如圖所示，由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°，∴∠PCH＝90°，∴∠PBM＝∠PCH，在△PBM和△PCH中，，∴△PBM≌△PCH（SAS），∴PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，∵∠BPM+∠CPN＝60°，∴∠CPN+∠CPH＝60°，∴∠MPN＝∠HPN，在△MPN和△HPN中，，∴△MPN≌△HPN（SAS），∴MN＝HN＝BM+CN，故答案為：一定成立．（3）解：在AC上截取CK＝BM，連接PK，如圖所示，在△PBM和△PCK中，，∴△PBM≌△PCK（SAS），∴PM＝PK，∠BPM＝∠CPK，∵∠BPM+∠BPN＝60°，∴∠CPK+∠BPN＝60°，∴∠KPN＝60°，∴∠MPN＝∠KPN，在△MPN和△KPN中，，∴△MPN≌△KPN（SAS），∴MN＝KN，∵KN＝NC﹣CK＝NC﹣BM，∴MN＝NC﹣BM．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀下面材料：【原題呈現(xiàn)】如圖1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長(zhǎng)．【思考引導(dǎo)】因?yàn)镃D平分∠ACB，所以可在BC邊上取點(diǎn)E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到DEC≌DAC，經(jīng)過(guò)推理能使問(wèn)題得到解決（如圖2）．【問(wèn)題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問(wèn)題；（2）拓展提升：如圖3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知條件和輔助線的作法，證得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代換得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的長(zhǎng)；（2）在BA邊上取點(diǎn)E，使BE＝BC＝2，連接DE，得到△DEB≌△DBC（SAS），在DA邊上取點(diǎn)F，使DF＝DB，連接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖2，在BC邊上取點(diǎn)E，使EC＝AC，連接DE．在△ACD與△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴△BDE是等腰三角形；∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6，∴BC的長(zhǎng)為5.8；（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°，∵BD平分∠B，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，在BA邊上取點(diǎn)E，使BE＝BC＝2，連接DE，在△DEB和△DBC中，，∴△DEB≌△DBC（SAS），∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA邊上取點(diǎn)F，使DF＝DB，連接FE，同理可得△BDE≌△FDE，∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2，∵BD＝DF＝2.3，∴AD＝BD+BC＝4.3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟悉這些定理是解決本題的關(guān)鍵．◎技巧三：利用“倍長(zhǎng)中線法”構(gòu)造全等三角形中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線．倍長(zhǎng)中線法：就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法．倍長(zhǎng)中線法的過(guò)程：延長(zhǎng)某某到某點(diǎn)，使某某等于某某，使什么等于什么（延長(zhǎng)的那一條），用SAS證全等（對(duì)頂角相等）倍長(zhǎng)中線最重要的一點(diǎn)：延長(zhǎng)中線一倍，完成SAS全等三角形模型的構(gòu)造?！痉椒ㄖv解】常用輔助線添加方法——倍長(zhǎng)中線△ABC中，AD是BC邊中線，如圖一圖一圖二方式1：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE如圖二結(jié)論：方式2：間接倍長(zhǎng)如圖三：作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長(zhǎng)線于E；如圖四：延長(zhǎng)MD到N，使DN=MD，連接CN，圖三圖四9．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：多項(xiàng)式x2+4x+5可以寫(xiě)成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的兩邊BC，AC的長(zhǎng)分別是a，b，求第三邊AB上的中線CD的取值范圍．【答案】(1)，(2)2<CD<8【分析】（1）把展開(kāi)，然后根據(jù)多項(xiàng)式x2+4x+5可以寫(xiě)成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；（2）延長(zhǎng)CD至點(diǎn)H，使CD=DH，連接AH，可得△CDB≌△HAD，從而得到BC=AH=a=6，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可求解．(1)解：∵，根據(jù)題意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b∴，解得：；(2)解：如圖，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)H，使CD=DH，連接AH，∵CD是AB邊上的中線，∴BD=AD，在△CDB和△HDA中，∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，∴△CDB≌△HDA（SAS），∴BC=AH=a=6，在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH，∴10-6<2CD<10+6，∴2<CD<8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，整式乘法和二元一次方程組的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，整式乘法法則，三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，，，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長(zhǎng)AD到E點(diǎn)，使，連接BE．根據(jù)______可以判定______，得出______．這樣就能把線段AB、AC、集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線AD的取值范圍是．【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件時(shí)，可以考慮做“輔助線”——把中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，這種做輔助線的方法稱(chēng)為“中線加倍”法．【問(wèn)題解決】（2）如圖2，在中，，D是BC邊的中點(diǎn)，，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：．【問(wèn)題拓展】（3）如圖3，中，，，AD是的中線，，，且．直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng)＝______．【答案】（1）；；；；（2）見(jiàn)解析；（3）8．【分析】（1）根據(jù)三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系求解即可；（2）延長(zhǎng)ED使DG=ED，連接FG，GC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，然后利用SAS證明，得到，，進(jìn)而得到,最后根據(jù)勾股定理證明即可；（3）延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，根據(jù)ASA證明，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）在和中，∴，∴．∵，∴，即，∴，∴，解得：；故答案為：；；；；（2）如圖所示，延長(zhǎng)ED使DG=ED，連接FG，GC，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴，∴在中，，∴；（3）如圖所示，延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵，，在和中，，∴，，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定方法，三角形的三邊關(guān)系，“中線加倍”法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形．11．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．小明的解法如下：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接CE．在△ABD與△ECD中∴△ABD?△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索應(yīng)用】如圖②，ABCD，AB＝25，CD＝8，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∠DFE＝∠BAE，求DF的長(zhǎng)為．（直接寫(xiě)答案）【應(yīng)用拓展】如圖③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，連接BE，P為BE的中點(diǎn)，求證：AP⊥DP．【答案】觀察發(fā)現(xiàn)：EC，2，12，1，6；探索應(yīng)用：17；應(yīng)用拓展：見(jiàn)解析【分析】觀察發(fā)現(xiàn)：由“SAS”可證△ABD≌△ECD，可得AB=EC，由三角形的三邊關(guān)系可求解；探索應(yīng)用：由“SAS”可證△ABE≌△HCE，可得AB=CH=25，即可求解；應(yīng)用拓展：由“SAS”可證△BPA≌△EPF，可得AB=FE，∠PBA=∠PEF，由“SAS”可證△ACD≌△FED，可得AD=FD，由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】觀察發(fā)現(xiàn)解：如圖①，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接CE，在△ABD與△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=EC，在△AEC中，EC-AC＜AE＜EC+AC，而AB=EC=7，AC=5，∴2＜AE＜12．又∵AE=2AD，∴1＜AD＜6，故答案為：EC，2，12，1，6；探索應(yīng)用解：如圖2，延長(zhǎng)AE，CD交于H，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE=CE，∵CD∥AB，∴∠ABE=∠ECH，∠H=∠BAE，∴△ABE≌△HCE（AAS），∴AB=CH=25，∴DH=CH-CD=17，∵∠DFE=∠BAE，∴∠H=∠DFE，∴DF=DH=17，故答案為：17；應(yīng)用拓展證明：如圖2，延長(zhǎng)AP到點(diǎn)F，使PF=AP，連接DF，EF，AD，在△BPA與△EPF中，，∴△BPA≌△EPF（SAS），∴AB=FE，∠PBA=∠PEF，∵AC=BC，∴AC=FE，在四邊形BADE中，∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，∵∠BAC=60°，∠CDE=120°，∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°．∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠ACD=∠DEB+∠EBA，∴∠ACD=∠FED，在△ACD與△FED中，，∴△ACD≌△FED（SAS），∴AD=FD，∵AP=FP，∴AP⊥DP．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，證得三角形全等是解答此題的關(guān)鍵．12．（2021·湖北武漢·八年級(jí)期中）已知中，（1）如圖1，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，則與的數(shù)量關(guān)系是________．（2）如圖2，若，點(diǎn)E為邊一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接，若，求證：．（3）如圖3，點(diǎn)D在內(nèi)部，且滿(mǎn)足，，點(diǎn)M在的延長(zhǎng)線上，連交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，若點(diǎn)N為的中點(diǎn)，求證：．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)證明，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)A引交于點(diǎn)F，通過(guò)得到，再通過(guò)即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，在上取一點(diǎn)，使得，連接，利用全等三角形的性質(zhì)證明、，即可解決．【詳解】證明：（1）由題意可得：在和中∴∴（2）過(guò)點(diǎn)A引交于點(diǎn)F，如下圖：由題意可得：，且則又∵∴平分，∴∴在和中∴∴在和中∴∴（3）證明：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，在上取一點(diǎn)，使得，連接，如下圖：∵∴∵，∴∴，∵∴∵∴∴∴∵∴∵∴∵∴又∵∴∴∴∴∴∵∴【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．◎技巧四：利用“旋轉(zhuǎn)法”構(gòu)造全等三角形在解決等邊三角形、正方形或者頂角為特殊的等腰三角形時(shí)，若條件較為分散，可考慮利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，可高效突破有關(guān)難題。手拉手模型便是由兩個(gè)同頂角的等腰三角形形成，可看成兩個(gè)全等三角形旋轉(zhuǎn)而得，這便體現(xiàn)了全等三角形和旋轉(zhuǎn)之間的關(guān)系！熟悉手拉手模型2.遇60°，120°構(gòu)全等關(guān)鍵：抓住相等的邊，旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，以及旋轉(zhuǎn)后圖形的特征3.遇45°，135°構(gòu)造全等通過(guò)全等構(gòu)造，將線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中以上這些，將會(huì)在另外專(zhuān)題中講到。13．（2021·湖北黃岡·八年級(jí)階段練習(xí)）Rt中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)E為△ABC外一點(diǎn)，且∠CEA＝45°．求證：AE⊥BE．【答案】見(jiàn)解析【分析】首先過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，易證得，即可得，繼而證得．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，，，，，，在和中，，，，，即．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等模型．14．（2022·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）（1）問(wèn)題引入：如圖1，點(diǎn)F是正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AF，將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與ABG重合（D與B重合，F(xiàn)與G重合，此時(shí)點(diǎn)G，B，C在一條直線上），∠GAF的平分線交BC于點(diǎn)E，連接EF，判斷線段EF與GE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）知識(shí)遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，連接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，試寫(xiě)出線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）實(shí)踐創(chuàng)新：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，點(diǎn)E在AB上，連接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的長(zhǎng)．（用含a，b，c的式子表示）【答案】（1）EF＝GE，理由見(jiàn)詳解；（2）BE?DF＝EF，理由見(jiàn)詳解；（3）BE＝，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)SAS直接可證△GAE≌△FAE即得GE＝EF；（2）在BE上取BG＝DF，連接AG，由∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，得∠B＝∠ADF，從而SAS證△ABG≌△ADF，再通過(guò)SAS證△GAE≌△FAE，得GE＝EF，從而解決問(wèn)題；（3）作CF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于F，取FG＝BE，連接CG，由（2）同理可兩次全等證明出DE＝GD即可．【詳解】解：（1）EF＝GE，理由如下：∵△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與△ABG重合，∴AG＝AF，∵AE平分∠GAF，∴∠GAE＝∠FAE，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF；（2）BE?DF＝EF，理由如下：如圖2，在BE上取BG＝DF，連接AG，∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠FAD，AG＝AF，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠GAF＝2∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF，∴BE?DF＝EF；（3）如圖，作CF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于F，取FG＝BE，連接CG，∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CB⊥AB，∴CF＝CB，∠EBC＝∠GFC，∵BE＝GF，∴△CBE≌△CFG（SAS），∴∠BCE＝∠FCG，CG＝CE，∵∠DAB＝60°，∴∠FCB＝120°，∵∠DCE＝60°，∴∠DCF＋∠BCE＝60°，∴∠DCG＝60°，又∵CG＝CE，∴△ECD≌△GCD（SAS），∴GD＝DE，∵Rt△ACF≌Rt△ACB（HL），∴AF＝AB，∴b＋a?BE＝c＋BE，∴BE＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等的判定與性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題引入，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．15．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝，AC、BD交于M（1）如圖1，當(dāng)＝90°時(shí)，∠AMD的度數(shù)為°；（2）如圖2，當(dāng)＝60°時(shí)，求∠AMD的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)△OCD繞O點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)時(shí)，∠AMD與是否存在著確定的數(shù)量關(guān)系？如果存在，請(qǐng)你用表示∠AMD，不用證明；若不確定，說(shuō)明理由．【答案】（1）90；（2）120°；（3）存在，∠AMD＝180°﹣【分析】（1）如圖1中，設(shè)OA交BD于K．只要證明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，得∠AMK=∠BOK=90°可得結(jié)論．（2）如圖2中，設(shè)OA交BD于K．只要證明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，推出∠AMK=∠BOK=60°可得結(jié)論．（3）如圖3中，設(shè)OB交AC于K．只要證明△BOD≌△AOC，可得∠OBD=∠OAC，由∠AKO=∠BKM，推出∠AOK=∠BMK=α．可得∠AMD=180°-α；【詳解】解：（1）如圖1中，設(shè)OA交BD于K．∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，∴∠BOD=∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD=∠OAC，∵∠AKM=∠BKO，∴∠AMK=∠BOK=90°，∴∠AMD=180°-90°=90°．故答案為90．（2）如圖2中，設(shè)OA交BD于K．∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，∴∠BOD=∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD=∠OAC，∵∠AKM=∠BKO，∴∠AMK=∠BOK=60°，∴∠AMD=180°-60°=120°，（3）如圖3中，設(shè)OB交AC于K．∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，∴∠BOD=∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD=∠OAC，∵∠AKO=∠BKM，∴∠AOK=∠BMK=α．∴∠AMD=180°-α．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用：“8字型”證明角相等．◎技巧五：利用“作垂線法”構(gòu)造全等三角形16．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀下面的題目及分析過(guò)程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對(duì)原題進(jìn)行證明．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；【分析】（1）①如圖1，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F，AB＝CD；②如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，△BEF≌△CEG△BAF≌△CDG，AB＝CD；（2）如圖3，過(guò)C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；【詳解】（1）①如圖1，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，