選修4-4-第一講-坐標(biāo)系(平面直角坐標(biāo)系)

講坐標(biāo)系2021/5/91平面直角坐標(biāo)系2021/5/92

聲響定位問(wèn)題

某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到巨響的時(shí)間比其他兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)晚4s，已知各觀測(cè)點(diǎn)到中心的距離都是1020m，試確定該巨響的位置。(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s，各相關(guān)點(diǎn)均在同一平面上).信息中心觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)點(diǎn)PBACyxO2021/5/93

yxBACPo

以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，以BA方向?yàn)閤軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn)，則A(1020,0),B(－1020,0),C(0,1020)

設(shè)P（x,y）為巨響為生點(diǎn)，因A點(diǎn)比B點(diǎn)晚4s聽(tīng)到爆炸聲，故|PA|－|PB|=340×4=1360

由B、C同時(shí)聽(tīng)到巨響聲，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，由雙曲線定義P點(diǎn)在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線上a=680,c=1020,b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.所以雙曲線的方程為：用y=－x代入上式，得

答:巨響發(fā)生在信息中心的西偏北450,距中心2021/5/94坐標(biāo)法(3)使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的在坐標(biāo)軸上。

建系時(shí)，根據(jù)幾何特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，注意以下原則：(1)如果圖形有對(duì)稱中心，可以選對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；(2)如果圖形有對(duì)稱軸，可以選擇對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；2021/5/95

例1.已知△ABC的三邊a,b,c滿足b2+c2=5a2,BE,CF分別為邊AC,CF上的中線，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系探究BE與CF的位置關(guān)系。(A)FBCEOyxA(0,0),B(c,0),F(c/2,0).

解：以△ABC的頂點(diǎn)Ａ為原點(diǎn)Ｏ,邊AB所在的直線x軸，建立直角坐標(biāo)系，由已知，點(diǎn)A、B、F的坐標(biāo)分別為所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x/2,y/2)，由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2，即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]，=-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0

因?yàn)?(x/2-c,y/2)，所以=(c/2-x,-y)，(x/2-c,y/2)·(c/2-x,-y)因此，BE與CF互相垂直.2021/5/96。。MNOPXy

例2圓O1與圓O2的半徑都是1，|O1O2|=4，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN(M、N分別為切點(diǎn)),使得PM=PN，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

解：以直線O1O2為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則兩圓的圓心坐標(biāo)分別為O1(-2,0)，O2(2,0)，設(shè)P(x,y)則PM2=PO12-MO12=同理，PN2=2021/5/97平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換2021/5/98思考：怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=sin2x?

在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)P(x,y)，保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)的1/2，就得到正弦曲線y=sin2x。xO

2y①上述變換實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)的壓縮變換即：設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，

保持縱坐標(biāo)y不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)1/2，得到點(diǎn)P’(x’,y’)，坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

我們把①式叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)壓縮變換。2021/5/99怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sinx?

在正弦曲線上任取一點(diǎn)P(x,y),保持橫坐標(biāo)x不變，將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍，就得到曲線y=3sinx。xO2y上述變換實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)的伸長(zhǎng)變換即：設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，

設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，保持橫坐標(biāo)x不變，將縱坐標(biāo)y伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍，得到點(diǎn)P’(x’,y’),坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為：②我們把②式叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸長(zhǎng)變換.2021/5/910

在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)P(x,y)，保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)的1/2;怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sin2x?xyO

在此基礎(chǔ)上，將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，就得到正弦曲線y=3sin2x.

即在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)P(x,y)，若設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)變換得到點(diǎn)為P’(x’,y’)，坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為:③。把這樣的變換叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸縮變換2021/5/911設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，在變換:定義:的作用下，點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)P’(x’,y’).稱為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換。

上述①②③都是坐標(biāo)伸縮變換，在它們的作用下,可以實(shí)現(xiàn)平面圖形的伸縮。③在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系不變，在同一直角坐標(biāo)系下進(jìn)行伸縮變換。②把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換得到；①2021/5/912

例1在直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過(guò)伸縮變換:后的圖形。(1)2x+3y=0;(2)x2+y2=1解：(1)由伸縮變換得到代入2x+3y=0;；

得到經(jīng)過(guò)伸縮變換后的圖形的方程是得到經(jīng)過(guò)伸縮變換后的圖形的方程是(2)將代入x2+y2=1，2021/5/913在伸縮變換下，直線仍然變成直線，而圓可以變成橢圓，那么橢圓可以變成圓嗎？拋物線、雙曲線變成什么曲線？2021/5/914練習(xí)：1求下列點(diǎn)經(jīng)過(guò)伸縮變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)：①（1，2）；②（-2，-1）.2曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換后的曲線方程是則曲線C的方程是

.3將點(diǎn)（2，3）變成點(diǎn)（3，2）的伸縮變換是（）2021/5/9154曲線變成曲線的伸縮變換是

.5在伸縮變換與伸縮變換的作用下，單位圓分別變成什么圖形？6設(shè)M1是A1(x1,y1)與B1(x2,y2)的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)伸縮變換后,

它們分別為M2,A2,B2，求證：M2是A2B2的中點(diǎn).2021/5/9167已知點(diǎn)A為定點(diǎn)，線段BC在定直線l上滑動(dòng)，已知

|BC|=4，點(diǎn)A到直線l的距離為3，求?ABC的外心的軌跡方程。

則A（0，3）B（x-2,0）C(x+2,0),

以l為X軸，過(guò)定點(diǎn)A垂直于X軸的直線為Y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)?ABC外心為P（x,y）,由|PA|=