301 微分中值定理與導數(shù)的應(yīng)用

中值定理應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導數(shù)解決實際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式推廣第三章微分中值定理與導數(shù)的應(yīng)用目錄上頁下頁返回結(jié)束第三章§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理一、羅爾中值定理三、柯西中值定理目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習第三章一、羅爾中值定理設(shè)連續(xù)光滑的曲線y=f(x)在端點A、B處的縱坐標相等

目錄上頁下頁返回結(jié)束觀察與思考

提問：

f

(x)

?提示：

f

(x)0

§3.1中值定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習且

存在證:設(shè)則目錄上頁下頁返回結(jié)束費馬引理§3.1中值定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習如果函數(shù)y

f(x)(1)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

(2)在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導

(3)f(a)

f(b)

那么至少存在一點x

(a

b)

使得f

(x)

0

簡要證明

(1)若f(x)是常函數(shù)則f(x)0定理的結(jié)論顯然是成立的

目錄上頁下頁返回結(jié)束§3.1中值定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習一、羅爾中值定理

(2)若f(x)不是常函數(shù)

則f(x)在(a

b)內(nèi)至少有一個最大值點或最小值點

不妨設(shè)有一最大值點x

(a

b)

于是如果函數(shù)y

f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導

且有f(a)

f(b)

那么至少存在一點x

(a

b)

使得f

(x)

0

簡要證明

因此必有f

(x)=0

目錄上頁下頁返回結(jié)束§3.1中值定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習一、羅爾中值定理定理條件條件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如,§3.1中值定理目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習一、羅爾中值定理1.拉格朗日中值定理的發(fā)現(xiàn)

觀察與思考：連續(xù)光滑的曲線y=f(x)在端點A、B處的縱坐標相等或不相等

提問：直線AB的斜率k=?

f

(x)

?提示：直線AB的斜率

羅爾定理拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理§3.1中值定理目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導至少存在一點使§3.1中值定理目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習二、拉格朗日中值定理2.拉格朗日中值定理的證明特殊情況一般情況構(gòu)造輔助函數(shù)1

幾何意義思路:

利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)2常量轉(zhuǎn)變量

拉格朗日中值定理羅爾中值定理費馬引理(1)在[a,b

]上連續(xù)(2)在(a,b

)內(nèi)可導,由羅爾定理知至少存在一點(3)2.拉格朗日中值定理的證明§3.1中值定理目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習二、拉格朗日中值定理補充說明拉格朗日中值定理的條件是充分的而非必要的.2.拉格朗日中值定理的證明目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理的精確值？f(b)

f(a)

f

()(b

a)令則3.拉格朗日中值定理的應(yīng)用(1)精確表示增量拉格朗日中值公式目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理(2)證明恒等式3.拉格朗日中值定理的應(yīng)用

例1

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導數(shù)恒為零

那么f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù)

證明

在

I上任取兩點格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I上為常數(shù).目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理(3)證明不等式

證明

設(shè)f(x)

ln(1

x)

f(x)在區(qū)間[0

x]上滿足拉格朗日中值定理的條件

有

f(x)

f(0)

f

(x)(x

0)

0<x<x

又由0<x<x

有

例2

目錄上頁下頁返回結(jié)束3.拉格朗日中值定理的應(yīng)用羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導,且,試證存在,使得.(4)證明與中值定理相關(guān)的結(jié)論例3分析3.拉格朗日中值定理的應(yīng)用目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理注意:弦的斜率切線斜率三、柯西中值定理目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習§3.1中值定理及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點使?jié)M足:分析:要證§3.1中值定理§3.1中值定理目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習三、柯西中值定理例4.設(shè)至少存在一點使證:

結(jié)論可變形為設(shè)則在[0,1]上滿足柯西中值定理條件,因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點

,使即證明§3.1中值定理目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習三、柯西中值定理2.發(fā)現(xiàn)數(shù)學命題的方法—觀察、聯(lián)想對比、抽象分析1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理費馬引理小結(jié)與作業(yè)3.作業(yè)：5、6、8、10、11目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習§3.1中值定理1.證明不等式§3.1中值定理思考與練習2.設(shè)且在內(nèi)可導,證明至少存在一點使提示:設(shè)3.若可導,試證在其兩個零點間一定有的零點.提示:作輔助函數(shù)目錄上頁下頁返回結(jié)束羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習費馬(1601–1665)費馬法國數(shù)學家,他是一位律師,數(shù)學只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學上有許多重大貢獻.他特別愛好數(shù)論,他提出的費馬大定理:歷經(jīng)358年,直到1993年才由美國普林斯頓大學的安德魯.懷爾斯教授經(jīng)過十年的潛心研究才得到解決.引理是后人從他研究解決最值的方法中提煉出來的.目錄上頁下頁返回結(jié)束§3.1中值定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習數(shù)學史專欄拉格朗日(1736–1813)法國數(shù)學家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,近百余年來,數(shù)學中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一.目錄上頁下頁返回結(jié)束§3.1中值定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小結(jié)與作業(yè)思考與練習數(shù)學史專欄柯西(1789–1857)法國數(shù)學家,他對數(shù)學的貢獻主要集中在微積分學,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學校編寫的