高等應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 初東麗 第2章 導(dǎo)數(shù)、微分及應(yīng)用

第二章導(dǎo)數(shù)、微分及應(yīng)用目錄導(dǎo)數(shù)的概念微分及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算微分中值定理洛必達(dá)法則最優(yōu)化問題【知識目標(biāo)】

理解概念：導(dǎo)數(shù)、微分及幾何意義，中值定理，洛必達(dá)法則，極值與最值、漸近線，凹凸性與拐點(diǎn)等；

掌握題型：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分、求曲線的切線與法線方程、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值與最值，中值定理證明不等式和根的存在性、洛必達(dá)法則求極限、求函數(shù)的水平和鉛直漸近線、畫出函數(shù)的圖像等?！灸芰δ繕?biāo)】

通過導(dǎo)數(shù)與微分及中值定理的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)概念與理論的形成過程，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力、邏輯推理能力及綜合分析問題與解決問題的能力，培養(yǎng)孜孜以求的探究精神和精益求精的工匠品質(zhì)。教學(xué)目標(biāo)文藝復(fù)興時(shí)期和十七世紀(jì)前期，由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，涌現(xiàn)了一系列新的數(shù)學(xué)問題，例如：求切線斜率、求瞬時(shí)速度、求不規(guī)則圖形的面積、求曲線長等等，許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作。如法國的費(fèi)爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論，為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)；十七世紀(jì)下半葉，英國科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作。至此，微積分成為了一門獨(dú)立的學(xué)科。微分學(xué)簡介微積分學(xué)的創(chuàng)始人---牛頓和萊布尼茲一、牛頓與微積分1665年夏天，因?yàn)橛l(fā)鼠疫，劍橋大學(xué)暫時(shí)關(guān)閉。剛剛獲得學(xué)士學(xué)位、準(zhǔn)備留校任教的牛頓被迫離校到他母親的農(nóng)場住了一年多。這一年多被稱為“奇跡年”，牛頓對三大運(yùn)動定律、萬有引力定律和光學(xué)的研究都開始于這個(gè)時(shí)期。在研究這些問題過程中，他發(fā)現(xiàn)了他稱為“流數(shù)術(shù)”的微積分。1666年，牛頓寫下了一篇關(guān)于流數(shù)術(shù)的短文，之后又寫了幾篇有關(guān)文章。但是這些文章當(dāng)時(shí)都沒有公開發(fā)表，只是在一些英國科學(xué)家中流傳。微積分學(xué)的創(chuàng)始人---牛頓和萊布尼茲二、萊布尼茲與微積分：首次發(fā)表有關(guān)微積分研究論文的是德國哲學(xué)家萊布尼茨。萊布尼茨在1675年已發(fā)現(xiàn)了微積分，但是也不急于發(fā)表，只是在手稿和通信中提及這些發(fā)現(xiàn)。1684年，萊布尼茨正式發(fā)表他對微分的發(fā)現(xiàn)。兩年后，他又發(fā)表了有關(guān)積分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推動下，萊布尼茨的方法很快傳遍了歐洲。到1696年時(shí)，已有微積分的教科書出版。微積分學(xué)的創(chuàng)始人---牛頓和萊布尼茲三、微積分的創(chuàng)始人之爭1.起初，并沒有人來爭奪微積分的發(fā)現(xiàn)權(quán)。1699年，移居英國的一名瑞士人一方面為了討好英國人，另一方面由于與萊布尼茨的個(gè)人恩怨，指責(zé)萊布尼茨的微積分是剽竊自牛頓的流數(shù)術(shù)，但此人并無威望，遭到萊布尼茨的駁斥后，就沒了下文。2.1704年，牛頓在其光學(xué)著作的附錄中首次完整地發(fā)表了其流數(shù)術(shù)。當(dāng)年出現(xiàn)了一篇匿名評論，反過來指責(zé)牛頓的流數(shù)術(shù)是剽竊自萊布尼茨的微積分。于是究竟是誰首先發(fā)現(xiàn)了微積分，就成了一個(gè)需要解決的問題了。微積分學(xué)的創(chuàng)始人---牛頓和萊布尼茲三、微積分的創(chuàng)始人之爭3.

1711年，蘇格蘭科學(xué)家、英國王家學(xué)會會員約翰.凱爾在致王家學(xué)會書記的信中，指責(zé)萊布尼茨剽竊了牛頓的成果，只不過用不同的符號表示法改頭換面。4.同樣身為王家學(xué)會會員的萊布尼茨提出抗議，要求王家學(xué)會禁止凱爾的誹謗。王家學(xué)會組成一個(gè)委員會調(diào)查此事，在次年發(fā)布的調(diào)查報(bào)告中認(rèn)定牛頓首先發(fā)現(xiàn)了微積分，并譴責(zé)萊布尼茨有意隱瞞他知道牛頓的研究工作。此時(shí)牛頓是王家學(xué)會的會長，雖然在公開的場合假裝與這個(gè)事件無關(guān)，但是這篇調(diào)查報(bào)告其實(shí)是牛頓本人起草的。他還匿名寫了一篇攻擊萊布尼茨的長篇文章。微積分學(xué)的創(chuàng)始人---牛頓和萊布尼茲三、微積分的創(chuàng)始人之爭5.后人通過研究萊布尼茨的手稿還發(fā)現(xiàn),萊布尼茨和牛頓是從不同的思路創(chuàng)建微積分的。牛頓是為解決運(yùn)動問題，先有導(dǎo)數(shù)概念，后有積分概念;萊布尼茨則反過來，受其哲學(xué)思想的影響，先有積分概念，后有導(dǎo)數(shù)概念。牛頓僅僅是把微積分當(dāng)作物理研究的數(shù)學(xué)工具，而萊布尼茨則意識到了微積分將會給數(shù)學(xué)帶來一場革命。這些似乎又表明萊布尼茨像他一再聲稱的那樣，是自己獨(dú)立地創(chuàng)建微積分的。謝謝大家2.1導(dǎo)數(shù)的概念目錄函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)函數(shù)的概念可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系【知識目標(biāo)】

理解概念：導(dǎo)數(shù)及其幾何意義、力學(xué)意義，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；

掌握題型：求曲線的切線方程與法線方程、求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?！灸芰δ繕?biāo)】

通過導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，體會導(dǎo)數(shù)概念及其理論的形成過程，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力；提高變形能力和運(yùn)算能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)風(fēng)和靈活的思維方式。教學(xué)目標(biāo)14你會求瞬時(shí)速度嗎？1.瞬時(shí)速度是表示物體在某一時(shí)刻或經(jīng)過某一位置時(shí)的速度。如：汽車儀表上顯示的車速；

動車車廂屏幕上顯示的速度等。

2.瞬時(shí)速度是該時(shí)刻相鄰的無限短時(shí)間內(nèi)的位移與通過這段位移所用時(shí)間的比值。

引例：求變速直線運(yùn)動的瞬時(shí)速度

導(dǎo)數(shù)的定義式：

二、導(dǎo)函數(shù)的概念19三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義20

三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系連續(xù)不可導(dǎo)23函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系連續(xù)：可導(dǎo)：練習(xí)25作業(yè)謝謝大家2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算目錄導(dǎo)數(shù)基本公式復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則隱函數(shù)求導(dǎo)法【知識目標(biāo)】

理解概念：導(dǎo)數(shù)基本公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，高階導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)法則等。

掌握題型：求函數(shù)的一階、二階及高階導(dǎo)數(shù)，求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用對數(shù)求導(dǎo)法求復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求參賽方程確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等?！灸芰δ繕?biāo)】

通過導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，體會導(dǎo)數(shù)概念及其理論的形成過程，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力；提高變形能力和運(yùn)算能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)風(fēng)和靈活的思維方式。教學(xué)目標(biāo)一、導(dǎo)數(shù)的基本公式

二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

36

四、隱函數(shù)求導(dǎo)法

四、隱函數(shù)求導(dǎo)法

練習(xí)與作業(yè)謝謝大家2.3微分及運(yùn)算目錄微分的概念微分的四則運(yùn)算微分基本公式微分的近似計(jì)算【知識目標(biāo)】

理解概念：微分及其微分基本公式、微分法則、微分形式不變性；

掌握題型：求函數(shù)的微分、求函數(shù)增量的近似值。【能力目標(biāo)】

由微分的產(chǎn)生，體會數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生來源于生產(chǎn)、生活需要，又服務(wù)于生產(chǎn)、生活實(shí)際，從而提高運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的能力。教學(xué)目標(biāo)金屬薄片面積變化加熱正方形金屬薄片邊長變化量：面積變化量：一、微分的概念

微分基本公式二、微分的四則運(yùn)算

52

三、微分的近似運(yùn)算

練習(xí)57作業(yè)謝謝大家2.4微分中值定理目錄羅爾定理約瑟夫·拉格朗日拉格朗日中值定理【知識目標(biāo)】

理解概念：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理

掌握題型：驗(yàn)證羅爾定理和拉格朗日中值定理的正確性，運(yùn)用羅爾中值定理證明方程根的存在性，運(yùn)用拉格朗日中值定理證明不等式?！灸芰δ繕?biāo)】

學(xué)習(xí)中值定理及其應(yīng)用，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法分析問題、解決實(shí)際問題的能力。教學(xué)目標(biāo)62觀察函數(shù)圖像思考函數(shù)在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的切線有什么特點(diǎn)？觀察發(fā)現(xiàn)，如果函數(shù)出現(xiàn)了最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，必然伴隨這樣一種現(xiàn)象：函數(shù)在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的切線平行于橫軸。連續(xù)光滑端點(diǎn)值相等連續(xù)光滑端點(diǎn)值相等一、羅爾（Rolle）定理水平切線（羅爾定理的幾何意義）羅爾定理的幾何意義是十分明顯的，如圖所示，在曲線上，至少有一點(diǎn)C，使得過C點(diǎn)的切線平行于x軸。約瑟夫·拉格朗日約瑟夫·拉格朗日，全名約瑟夫·路易斯·拉格朗日，法國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。他在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就尤為突出，拿破侖曾稱贊他是“一座高聳在數(shù)學(xué)界的金字塔”。他在數(shù)學(xué)上最突出的貢獻(xiàn)是使數(shù)學(xué)分析與幾何與力學(xué)脫離開來，使數(shù)學(xué)的獨(dú)立性更為清楚，從此數(shù)學(xué)不再僅僅是其他學(xué)科的工具。他的研究領(lǐng)域廣泛，研究成果豐碩，其全部著作、論文、學(xué)術(shù)報(bào)告記錄、學(xué)術(shù)通訊超過500篇。他的主要著作有《拉格朗日全集》、《分析力學(xué)》、《解析函數(shù)論》等。拉格朗日中值定理就是拉格朗日在《解析函數(shù)論》第一次公布于世的重要結(jié)論。二、拉格朗日中值定理練習(xí)作業(yè)謝謝大家2.5洛必達(dá)法則目錄

其它類型的未定式

【知識目標(biāo)】

理解概念：洛必達(dá)法則。

掌握題型：洛必達(dá)法則求極限【能力目標(biāo)】

學(xué)習(xí)掌握洛必達(dá)法則求極限的方法與技巧，提高運(yùn)算能力和變形能力。教學(xué)目標(biāo)

三、其它類型的未定式

83

84（2）使用洛必達(dá)法則務(wù)必要驗(yàn)證是否滿足定理的條件，尤其是在連續(xù)多次使用時(shí)，每次都要檢查是否滿足定理?xiàng)l件.只有未定式才能用洛必達(dá)法則，否定會導(dǎo)致錯(cuò)誤.練習(xí)與作業(yè)謝謝大家2.6最優(yōu)化問題目錄函數(shù)最值的認(rèn)識

函數(shù)的極值函數(shù)的單調(diào)性【知識目標(biāo)】

理解概念：函數(shù)的駐點(diǎn)、函數(shù)的極值與極值點(diǎn)、函數(shù)的最值與最值點(diǎn)；

掌握題型：判別函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值與最值。

【能力目標(biāo)】

通過極值與最值的學(xué)習(xí)，體會局部與整體的區(qū)別與聯(lián)系，提高綜合解決問題的能力；學(xué)習(xí)最優(yōu)化理論及解決問題方法，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、方法分析、解決問題的能力。教學(xué)目標(biāo)一、函數(shù)最值的認(rèn)識在實(shí)際應(yīng)用中我們往往很關(guān)心最值這個(gè)指標(biāo).最值是一個(gè)全局概念，是指函數(shù)在指定范圍內(nèi)的最大、最小值。在很多數(shù)學(xué)和實(shí)際應(yīng)用問題中，常會遇到如何才能使得“成本最低”、“效率最高”，“銷售量最大”等問題，這些問題都可以歸結(jié)為同一類數(shù)學(xué)問題——最值問題。而要研究函數(shù)的最值問題，首先要知道函數(shù)在哪些點(diǎn)處可能取得最值，這就要首先研究函數(shù)的單調(diào)性及極值問題。二、函數(shù)的單調(diào)性cxaboy圖2-10圖2-11函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)（1）函數(shù)的間斷點(diǎn)；（2）函數(shù)的駐點(diǎn)；（3）函數(shù)的連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)。cxaboy圖2-14圖2-12圖2-15求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟二、函數(shù)的單調(diào)性

三、函數(shù)的極值xyox1

x2

x3

x4

圖2-16

圖2-17求極值的方法與步驟-1三、函數(shù)的極值

求極值的方法與步驟-2三、函數(shù)的極值

三、函數(shù)的極值閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值三、函數(shù)的極值三、函數(shù)的極值練習(xí)與作業(yè)練習(xí)與作業(yè)謝謝大家2.7函數(shù)圖像的描繪目錄函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)

函數(shù)圖像的描繪函數(shù)的漸近線【知識目標(biāo)】

理解概念：凹弧與凸弧、拐點(diǎn)、水平漸近線、鉛直漸近線；

掌握題型：判別函數(shù)的凹凸性，求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)，【能力目標(biāo)】

由函數(shù)定性分析和關(guān)鍵點(diǎn)確定到最終準(zhǔn)確作出函數(shù)