證明直線與圓相切的常見(jiàn)方法（定稿）

證明直線與圓相切的常見(jiàn)方法（定稿）第一篇：證明直線與圓相切的常見(jiàn)方法（定稿）證明直線與圓相切的常見(jiàn)方法學(xué)習(xí)了直線與圓的位置關(guān)系,常會(huì)遇到證明一條直線是圓的切線的題目,如何證明一條直線是圓的切線,一般會(huì)出現(xiàn)以下三種情況.一、若證明是圓的切線的直線與圓有公共點(diǎn),且存在連接公共點(diǎn)的半徑,此時(shí)可根據(jù)“經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來(lái)證明.簡(jiǎn)記為“見(jiàn)半徑，證垂直”.例1如圖1,已知AB為⊙O的直徑,直線PA過(guò)點(diǎn)A,且∠PAC=∠B.求證:PA是⊙O的切線.圖1分析：要證明PA是⊙O的切線，因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以只要證明AB⊥AP.可結(jié)合直徑所對(duì)的圓周為直角進(jìn)行推理.證明：因?yàn)锳B為⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，所以∠CAB+∠B=90°，因?yàn)椤螾AC=∠B，所以∠CAB+∠PAC=90°，即∠BAP=90°，所以PA是⊙O的切線.二、若給出了直線與圓的公共點(diǎn)，但未給出過(guò)這點(diǎn)的半徑，則連結(jié)公共點(diǎn)和圓心，然后根據(jù)“經(jīng)過(guò)半徑外端且垂直這條半徑的直線是圓的切線”來(lái)證明.簡(jiǎn)記為“作半徑，證垂直”.例2如圖2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圓，AB是⊙Ｏ的直徑，D是AB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AC平分∠EAB．求證：DE是⊙O的切線．證明：連接OC，則OA=OC，所以∠CAO=∠ACO，因?yàn)锳C平分∠EAB，所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，所以AE∥CO，又AE⊥DE，所以CO⊥DE，所以DE是⊙O的切線．三、若直線與圓的公共點(diǎn)不明確時(shí)，則過(guò)圓心作該直線的垂線段，然后根據(jù)“圓心到直線的距離等于圓的半徑，該直線是圓的切線”來(lái)證明.簡(jiǎn)記為“作垂直，證相等”.例3如圖3，已知，O為正方形ABCD對(duì)角線上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑的⊙O與BC相切于M，與AB、AD分別相交于E、F.求證：CD與⊙O相切．圖3分析：要識(shí)別“CD與⊙O相切”，由于不知道CD經(jīng)過(guò)圓上哪一點(diǎn)，所以先過(guò)點(diǎn)O作：ON⊥CD于N，再證明ON是⊙O半徑。易知OM是⊙O的半徑，只要證明：OM=ON即可.證明：連結(jié)OM，作ON⊥CD于N，因?yàn)椤袿與BC相切，所以O(shè)M⊥BC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AC平分∠BCD.所以O(shè)M=ON.圖4所以CD與⊙O相切.總結(jié)：切線判斷并不難，認(rèn)真審題是重點(diǎn)；直線與圓有交點(diǎn)，連接半徑是關(guān)鍵，推得垂直是切線；若沒(méi)明確是切點(diǎn)，作過(guò)圓心垂線段，半徑相等得切線.第二篇：怎樣證明直線與圓相切？怎樣證明直線與圓相切？在直線與圓的各種位置關(guān)系中，相切是一種重要的位置關(guān)系．現(xiàn)介紹以下三種判別直線與圓相切的基本方法：(1)利用切線的定義——在已知條件中有“半徑與一條直線交于半徑的外端”，于是只需直接證明這條直線垂直于半徑的外端．例1：已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，⊙O的直徑AE交BC于F點(diǎn)，點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上，且∠CAP=∠ABC．求證：PA是⊙O的切線．證明：連接EC．∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE=90°，∴∠E＋∠EAC=90°．∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，∴∠E=∠CAP，∴∠EAC＋∠CAP=∠EAC＋∠E=90°，∴∠EAP=90°，∴PA⊥OA，且過(guò)A點(diǎn)，則PA是⊙O的切線．(2)利用切線的判定定理——在已知條件中，有“一條直線過(guò)圓上某一公共點(diǎn)(即為切點(diǎn))，但沒(méi)有半徑”，于是先連接圓心與這個(gè)公共點(diǎn)成為半徑，然后再證明這條直線和這條半徑垂直．例2：以Rt△ABC的直角邊BC為直徑作⊙O交斜邊AB于P，Q為AC的中點(diǎn)．求證：PQ必為⊙O的切線．證明連接OP，CP．∵BC為直徑，∴∠BPC=90°，即∠APC=90°．又∵Q為AC中點(diǎn)，∴QP=QC，∴∠1=∠2．又OP=OC，∴∠3=∠4．又∠ACB=90°，∴∠2＋∠4=∠1＋∠3=∠ACB＝90°，∴∠OPQ=90°．∵P點(diǎn)在⊙O上，且P為半徑OP的端點(diǎn)，則QP為⊙O的切線．說(shuō)明：要證PQ與半徑垂直，即連接OP．這是判別相切中添輔助線的常用方法．(3)證明“d=R”——在已知條件中“沒(méi)有半徑，也沒(méi)有與圓有公共交點(diǎn)的直線”，于是過(guò)圓心作直線的垂線，然后再證明這條垂線的長(zhǎng)(d)等于圓的半徑(R)．例3：已知：在△ABC中，AD⊥BC與D，且AD=BC，E、F為AB、AC的中點(diǎn)，O為EF2的中點(diǎn)。求證：以EF為直徑的圓與BC相切．證明：作OH⊥BC于H，設(shè)AD與EF交于M，又AD⊥BC，∴OH∥MD，則OHDM是矩形．∴OH是⊙O的半徑，則EF為直徑的圓與BC相切.思考題：1．AB是⊙O的直徑，AC是弦，AC=CD，EF過(guò)點(diǎn)C，EF⊥BD于G．求證：EF是⊙O的切線．提示：連接CO，則OC是⊙O的半徑，再證OC⊥EF．2．DB是圓的直徑，點(diǎn)A在DB的延長(zhǎng)線上，AB=OB，∠CAD=30°．求證：AC是⊙O的切線．提示：∵AC與⊙O沒(méi)有公共點(diǎn)，∴作OE⊥AC于E，再證OE是⊙O的半徑．第三篇：圓錐曲線與直線相切的條件教案圓錐曲線與直線相切的條件教案教學(xué)目的(1)掌握?qǐng)A錐曲線與直線相切的條件及圓錐曲線切線的定義；(2)使學(xué)生會(huì)用初等數(shù)學(xué)方法求圓錐曲線的切線；(3)應(yīng)用相切的公式解題，從而培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用能力．教學(xué)過(guò)程一、問(wèn)題提出1．有心的二次曲線包括哪些？無(wú)心的二次曲線包括哪些？(答：有心的二次曲線是圓、橢圓及雙曲線；無(wú)心的二次曲線是拋物線．)(由教師啟發(fā)下，讓學(xué)生共同討論．)(1)當(dāng)α＞0，β＞0且α＝β時(shí)，方程表示為圓；(2)當(dāng)α＞0，β＞0且α≠β時(shí)，方程表示為橢圓；(3)當(dāng)α、β為異號(hào)時(shí)，方程表示為雙曲線．因此，這個(gè)方程可以統(tǒng)一表示有心的二次曲線．3．圓錐曲線與直線的相切的條件是什么？設(shè)直線l′與圓錐曲線相交于P、Q兩點(diǎn)(圖1)，將直線l′繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)Q逐漸靠近點(diǎn)P，當(dāng)l′轉(zhuǎn)到直線l的位置時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合，這時(shí)，直線l叫做圓錐曲線在點(diǎn)P的切線．也就是圓錐曲線與直線l相切．根據(jù)這個(gè)定義，于是圓錐曲線方程f(x，y)＝0與直線方程y＝kx＋m組成的方程組應(yīng)有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解．實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解的充要條件是判別式Δ＝0，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為求Δ＝0．(啟發(fā)學(xué)生回答，由教師歸納，然后板書(shū)課題．)今天我們要研究“圓錐曲線與直線相切的條件”．二、講述新課根據(jù)上面分析，得由②代入①，化簡(jiǎn)、整理得(αk2＋β)x2＋2αkmβ＋α(m2－β)＝0．③當(dāng)αk＋β≠0時(shí)(二次項(xiàng)系數(shù))，Δ＝4αkm－4α(αk＋β)(m－β)＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2＝4αβ(αk2＋β－m2)．(啟發(fā)學(xué)生討論．)由于α、β均不為零，因此當(dāng)Δ＝0時(shí)可知有心二次曲線與直線y＝kx＋m相切的充要條件為m2＝αk2＋β，(αk2＋β≠0)④這里αk2＋β恰是方程③的二次項(xiàng)系數(shù)．(引導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)論④，在圓、橢圓、雙曲線各種情況下變化規(guī)律進(jìn)行討論，教師邊歸納，邊板書(shū)．)(1)對(duì)于圓x2＋y2＝γ2，可寫(xiě)成222222即有α＝β＝γ2，于是相切條件為m2＝γ2(k2＋1)．(2)對(duì)于橢圓(焦點(diǎn)在x軸上)即有α＝a，β＝b，于是相切條件為m＝ak＋b．(3)對(duì)于橢圓(焦點(diǎn)在y軸上)即有α＝b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝b2k2＋a2．(4)對(duì)于雙曲線(焦點(diǎn)在x軸上)即有α＝a2，β＝－b2，于是相切條件為m2＝a2k2－b2．(5)對(duì)于雙曲線(焦點(diǎn)在y軸上)即有α＝－b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝a2－b2k2．[應(yīng)用有心曲線統(tǒng)一公式，這樣就不必從圓、橢圓、雙曲線一個(gè)一個(gè)地去求，可避免一個(gè)一個(gè)冗長(zhǎng)復(fù)雜的計(jì)算，使問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)捷．]2．無(wú)心的二次曲線y2＝2px與直線y＝kx＋m相切的條件根據(jù)上面的分析，得由②代入①，化簡(jiǎn)整理，得(kx＋m)2＝2px，k2x2＋(2mk－2p)x＋m2＝0．當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)k2≠0時(shí)，Δ＝(2mk－2p)2－4k2m2＝4p2－8mkp＝4p(p－2mk)＝0．無(wú)心的二次曲線x2＝2py與直線y＝kx＋m相切的條件，應(yīng)為(讓學(xué)生獨(dú)立完成．)三、鞏固新課(讓學(xué)生直接對(duì)照上述結(jié)論，設(shè)所求公切線的斜率為k，截距為m，再根據(jù)橢解設(shè)所求的公切線斜率為k，截距為m，根據(jù)相切條件有由②代入①，化簡(jiǎn)整理，得81k4＋36k2－5＝0，(9k2－1)(9k2＋5)＝0，∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，代入②，得m＝±5．因此，所求的公切線方程為即x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．求雙曲線的兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡方程．(幫助學(xué)生分析解題的幾個(gè)要點(diǎn)，然后由學(xué)生上黑板解，教師巡視指點(diǎn)．)y=kx＋m，則由相切條件，可知m2=a2k2－b2．(2)設(shè)兩切線交點(diǎn)為P(x0，y0)，則切線方程為y－y0=k(x－x0)，即y=kx＋(y0－kx0)．(3)y=kx＋m，y=kx＋(y0－kx0)表示同一直線，就有m=(y0－kx0)，∴(y0－kx0)=ak－b．整理得(4)k1k2=－1，用韋達(dá)定理從方程①求得k1k2，即因此，點(diǎn)P的軌跡方程為x＋y=a－b．這里a＞b，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)實(shí)圓；a=b，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)點(diǎn)圓；a＜b，點(diǎn)P無(wú)軌跡(虛圓)．解略．法，不難得出軌跡方程為圓方程x＋y=a＋b；這題若改為求拋物線y=2px的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡方程，方法也類似，不難得出軌跡方程為即點(diǎn)P一定在準(zhǔn)線上．[這樣改變一下題目，可讓學(xué)生開(kāi)拓思路，舉一反三．]四、練習(xí)1．已知l為橢圓x＋4y=4的切線并與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的最小值及取得最小值時(shí)切線l的方程．2解如圖2，設(shè)切線方程為y=kx＋m，根據(jù)相切條件有m2=4k2＋1，即①|(zhì)OA|2=4k2＋1．在y=kx＋m中，令y=0，得即于是得代入m=4k＋1，求得2因此，所求的切線共有四條(圖3)，它們的方程為求四邊形ABCD的最大面積．則由相切條件，知m2=a2k2＋b2，故兩切線方程為即兩切線間的距離∴四邊形ABCD的最大面積為五、補(bǔ)充作業(yè)軌跡方程．2．求出斜率為k的圓錐曲線的切線方程．教案說(shuō)明這一節(jié)課的指導(dǎo)思想是：根據(jù)現(xiàn)代教育理論，強(qiáng)調(diào)在教學(xué)的過(guò)程中培養(yǎng)能力，特別是思維能力．?dāng)?shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)與科學(xué)結(jié)構(gòu)十分相似，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，就是從一種思維結(jié)構(gòu)過(guò)渡到另一種思維結(jié)構(gòu)的過(guò)程，數(shù)學(xué)知識(shí)只是進(jìn)行思維結(jié)構(gòu)訓(xùn)練的材料．二次曲線與直線相切的條件若從上述結(jié)構(gòu)進(jìn)行訓(xùn)練，就是使學(xué)生形成完整的思維結(jié)構(gòu)，使對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)有新的突破．這一點(diǎn)已成為我在課堂教學(xué)中進(jìn)行探索和研討的課題．這節(jié)課的整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，著重于講解——啟導(dǎo)——探究，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力．講解時(shí)，突出重點(diǎn)：“相切條件”，并以此為中心，達(dá)到舉一反三、觸類旁通．其中也穿插了自學(xué)討論，而不是教師滿堂灌．在練習(xí)中，注意到了再現(xiàn)性練習(xí)、鞏固性練習(xí)，同時(shí)也留有發(fā)現(xiàn)性練習(xí)，使學(xué)生以新帶舊，鞏固新知，發(fā)展智力，反過(guò)來(lái)從思維結(jié)構(gòu)上形成完整體系，以認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本身．第四篇：直線與圓小測(cè)試（模版）直線與圓小測(cè)試A組1、已知過(guò)A1,a、Ba,8兩點(diǎn)的直線與直線2xy10平行，則a的值為（）A.-10B.2C.5D.172、設(shè)直線xmyn0的傾角為，則它關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的傾角是（）Ａ.B.2C.D.23、不論k為何值，直線(2k1)x(k2)y(k4)0恒過(guò)的一個(gè)定點(diǎn)是（）A.(0,0)B.(2,3)C.(3,2)D.(-2,3)（2，0）4、已知直線l過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線l與圓x2y22x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k的取值范圍是（）（2222）（22）A.B.C.（22）44（）D.11885、過(guò)圓x2y24xmy0上一點(diǎn)P(1,1)的圓的切線方程為（）A.2xy30B.2xy10C.x2y10D.x2y106、過(guò)點(diǎn)A(1,2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是7、圓(x1)2(y2)23的一條弦的中點(diǎn)為(,)，這條弦所在的直線方程為8、圓的半徑為3，圓心在y2x上且被y軸所截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程為B組9、“a=b”是“直線yx2與圓(xa)2(yb)22相切”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件（）C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件123210、圓(x1)2(y2)28上與直線xy10的距離等于2的點(diǎn)共有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)11、已知圓C的圓心與點(diǎn)P(2,1)關(guān)于直線yx1對(duì)稱，直線3x4y110與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且AB6，則圓C的方程為．C組10.已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率為1的直線L，使以L被圓C截得弦AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)?若存在，寫(xiě)出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na+n（n－1）b，（n=1，2，?），a、b是常數(shù)且b≠0.（1）證明：{an}是等差數(shù)列.（2）證明：以（an，直線的方程.（3）設(shè)a=1，b=Sn－1）為坐標(biāo)的點(diǎn)Pn（n=1，2，?）都落在同一條直線上，并寫(xiě)出此n1，C是以（r，r）為圓心，r為半徑的圓（r＞0），求使得點(diǎn)P1、P2、P32都落在圓C外時(shí)，r的取值范圍.第五篇：立體幾何常見(jiàn)證明方法立體幾何方法歸納小結(jié)一、線線平行的證明方法1、根據(jù)公理4，證明兩直線都與第三條直線平行。2、根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，若直線a平行于平面A，過(guò)a的平面B與平面A相交于b，則a//b。3、根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，若直線a與直線b都與平面A垂直，則a//b。4、根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，若平面A//平面B，平面C與平面A和平面B的交線分別為直線a與直線b，則a//b。5、由向量共線定理，若ABxCD，且AB、CD不共線，則向量AB所在的直線a與向量cd所在的直線b平行，即a//b。二、線面平行的證明方法1、根據(jù)線面平行的定義，證直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)。2、根據(jù)線面平行的判定定理，若平面A內(nèi)存在一條直線b與平面外的直線a平行，則a//A。(用相似三角形或平行四邊形)3、根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理，若兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一個(gè)平面平行。4、向量法，向量c與平面A法向量垂直，且向量c所在直線c不在平面內(nèi)，則c//A。三、面面平行的證明方法1、根據(jù)定義，若兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩平面平行。2、根據(jù)兩平面平行的判定定理，一個(gè)平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面平行，則兩平面平行?；蚋鶕?jù)兩平面平行的判定定理的推論，一平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面內(nèi)兩相交直線平行，則兩平面平行。3、垂直同一直線的兩平面平行。4、平行同一平面的兩平面平行。5、向量法，證明兩平面的法向量共線。四、兩直線垂直的證明方法1、根據(jù)定義,證明兩直線所成的角為90°2、一直線垂直于兩平行直線中的一條,也垂直于另一條.3、一直線垂直于一個(gè)平面,則它垂直于平面內(nèi)的所有直線.4、根據(jù)三垂線定理及逆定理,若平面內(nèi)的直線垂直于平面的一條斜線(或斜線在平面內(nèi)的射影),則它垂直于斜線在平面內(nèi)的射影(或平面的斜線).5、向量法.五、線面垂直的證明方法1、根據(jù)定義,證明一直線與平面內(nèi)的任一(所有)直線垂直,則直線垂直于平面.2、根據(jù)判定定理,一直線垂直于平面內(nèi)的兩相交直線,則直線垂直于平面.3、一直線垂直于兩平行平面中的一個(gè),也垂直于另一個(gè).4、兩平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,另一條也垂直于這個(gè)平面.5、根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理,兩平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.6、向量法,證明平面的法向量與表示該直線的向量共線.六、面面垂直的證明方法1、根據(jù)面面垂直的定義，兩平面相交所成的二面角為直二面角，則兩平面垂直。2、根據(jù)面面垂直的判定定理，一平面經(jīng)過(guò)另一平面的一條垂線，則兩平面垂直。3、一平面垂直于兩平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè)。4、向量法，證明兩平面的法向量垂直（即法向量的數(shù)量積為零）。七、兩異面直線所成角的求法1、根據(jù)定義，平移其中一條和另一條相交，然后在三角形中求角。2、利用中位線，將兩異面直線平移至一特殊點(diǎn)（中位線的交點(diǎn)）然后在三角形中求角。3、cos=cos1cos24、向量法.八、直線與平面所成角的求法1、根據(jù)定義，作出直線與平面所成角，然后在直角三角形中求角。2、轉(zhuǎn)化為距離(sin=h/l)3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜線與法向量的夾角。（注意為正弦）注：對(duì)兩異面直線所成角和直線與平面所成角一定要注意角的范圍。九、二面角的求法1、定義法，從二面角的棱上的某一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，求兩條垂線所形成的角。2、根據(jù)三垂線定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求角。3