考點(diǎn)13平面向量的應(yīng)用

考點(diǎn)13平面向量的應(yīng)用1.【2023全國(guó)乙卷】正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB的中點(diǎn)，則EC?ED=A.5 B.3 C.25 D.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了求向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題．建立平面直角坐標(biāo)系，分別求出EC,【解答】解：以E點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，垂直于AB的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則D(?1,2)，C(1,2)，E(0,0)，所以EC所以EC·故選：B.

2.【2022北京】在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1，則PA?A.[?5,3] B.[?3,5] C.[?6,4] D.[?4,6]【答案】D

【解析】【分析】本題考查平面向量的數(shù)量積計(jì)算

法一：建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解

法二：利用平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行求解【解答】

解：法一：建立如圖所示坐標(biāo)系，

由題易知，設(shè)C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，∵PC=1，∴設(shè)P(cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π)

PA?PB=(3?cosθ,?sinθ)?(?cosθ,4?sinθ)=?3cosθ?4sinθ+cos2θ+sin2θ

=1?5sin(θ+φ)(sinφ=35,cosφ=45)∈[?4，6]

法二：注意：<3.【2020新高考Ⅰ卷】已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則AP?AB的取值范圍是

(

)A.(?2,6) B.(?6,2) C.(?2,4) D.(?4,6)【答案】A

【解析】【分析】本題考查向量數(shù)量積，屬于綜合題．

根據(jù)投影的幾何意義即可解答．【解答】

解：AP?AB=AP?AB?cos<AP,AB>=2APcos<AP,AB>,

由投影定義知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，

AP?4.【2021新高考Ⅰ卷】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,?sinβ)，P3(cos(α+β),A.|OP1|=|OP2| 【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及兩角和的三角函數(shù)，是中檔題．

由已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別求得對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，然后逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)得答案．

【解答】

解：∵P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,?sinβ)，P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，

∴OP1=(cosα,sinα)，OP2=(cosβ,?sinβ)，

OP3=(cos(α+β),sin(α+β))，OA=(1,0)，

AP1=(cosα?1,sinα)，AP2=(cosβ?1,?sinβ)，

則|OP1|=cos2α+sin2α=15.【2022浙江】設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A1A2?A8的邊A1【答案】[12+2【解析】【分析】本題考查平面向量的求解，利用平面直角坐標(biāo)系，考查轉(zhuǎn)化能力，運(yùn)算求解能力，屬于較難題．

建立直角坐標(biāo)系，表達(dá)出坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P(x,y)，轉(zhuǎn)化為不等式的求解，進(jìn)而表達(dá)出范圍．【解答】解：根據(jù)題意可得，以圓心為原點(diǎn)，A7A3所在直線為x軸，A5A1所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則A1(0,1)，A2(22,22)，A3(1,0)，A4(22,?226.【2021浙江】已知平面向量，，滿足，，，

，記平面向量在，方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為，則的最小值的等于__________．【答案】25．【解析】【解析】根據(jù)權(quán)方和不等式可知，

m2+n2+7.【2020北京】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿足AP=12(AB+AC)，則【答案】5；；?1【解析】【分析】本題考查了向量的模和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，建立直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用向量的模的計(jì)算公式和向量的數(shù)量積公式可求出答案．【解答】

解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD所在直線分別為x、y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)A0,0、B2,0、C2,2、D0,2，

AP=12(AB+AC)=12(2,0)+12(2,2)=(2,1)，

則點(diǎn)P(2,1)，

8.【2020天津】如圖，在四邊形ABCD中，∠B=60°,AB=3，BC=6，且AD=λBC,AD·AB=?32，則實(shí)數(shù)λ的值為

，若M,N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且MN【答案】16【解析】【分析】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題．

可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)(其中)，得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最小值．【