專題15 數(shù)列的求和方法和不等式問(wèn)題（分層訓(xùn)練）（解析版）

答案第=page22頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)專題15數(shù)列的求和方法和不等式問(wèn)題【練基礎(chǔ)】單選題1．（2021·北京海淀·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列若，，則該數(shù)列的前六項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件,分別求出前六項(xiàng),計(jì)算求和即可.【詳解】因?yàn)榭傻糜忠驗(yàn)?,所以所以數(shù)列的前六項(xiàng)和為.故選:2．（2022秋·安徽滁州·高三?？计谥校┤魯?shù)列滿足，則的前2022項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列奇偶交替的性質(zhì)相加求和即可.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，.故選：D3．（2022秋·四川成都·高三樹(shù)德中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，若數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】已知，則有，做差求，再檢驗(yàn)，求出的通項(xiàng)公式，代入求，裂項(xiàng)法求和計(jì)算結(jié)果.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，所以.故，故選：D.4．（2022秋·河南洛陽(yáng)·高三孟津縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，，則（

）A．2021 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意整理得，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，再利用裂項(xiàng)相消運(yùn)算處理．【詳解】∵，即，則∴數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列則，即∴則故選：B．5．（2022·安徽滁州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用累加法求出的通項(xiàng)公式，即可得到，再利用裂項(xiàng)相消法求出，即可求出的取值范圍；【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，……，，所以，又，即，所以，所以，所以所以的取值范圍?故選：C6．（2022·廣東廣州·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得出為等差數(shù)列，即可求出，進(jìn)而得出，利用裂項(xiàng)相消法可求出.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí).所以，所以.因?yàn)?，所以，所以是一個(gè)首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，所以，故.所以，所以.故選：A7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則下列有可能成立的是（

）A．若為等比數(shù)列，則B．若為遞增的等差數(shù)列，則C．若為等比數(shù)列，則D．若為遞增的等差數(shù)列，則【答案】B【分析】若為等比數(shù)列，可得，進(jìn)而可得可判斷AC；若為遞增的等差數(shù)列，利用累乘法可得，再利用裂項(xiàng)相消法可得，利用累加法可得，進(jìn)而可得，可判斷BD.【詳解】因?yàn)?，∴，即，若為等比?shù)列，則的公比為，∴，由，可得，∴，故AC錯(cuò)誤；若為遞增的等差數(shù)列，，公差，由則，∴，∴，即，∴，∴，又，∴，又則，∴當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，故，故B正確，D錯(cuò)誤.故選：B.8．（2023春·廣東揭陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．問(wèn)本持金幾何？”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為持金的，第2關(guān)收稅金為剩余金的，第3關(guān)收稅金為剩余金的，第4關(guān)收稅金為剩余金的，第5關(guān)收稅金為剩余金的，5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤．問(wèn)原來(lái)持金多少？”．記這個(gè)人原來(lái)持金為斤，設(shè)，則（

）A． B．7 C．13 D．26【答案】C【分析】根據(jù)題意求得每次收的稅金，結(jié)合題意得到，求得的值，代入函數(shù)的解析式，即可求解.【詳解】由題意知：這個(gè)人原來(lái)持金為斤，第1關(guān)收稅金為：斤；第2關(guān)收稅金為斤；第3關(guān)收稅金為斤，以此類推可得的，第4關(guān)收稅金為斤，第5關(guān)收稅金為斤，所以，即，解得，又由，所以.故選：C.二、多選題9．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀?shù)列滿足，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若且，數(shù)列單調(diào)遞減B．若存在無(wú)數(shù)個(gè)自然數(shù)，使得，則C．當(dāng)或時(shí)，的最小值不存在D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)求出，再由求出，從而得到且，數(shù)列單調(diào)遞減，A正確；B選項(xiàng)，可舉出反例；C選項(xiàng)，由或時(shí)，可證得數(shù)列單調(diào)遞減，所以最小值不存在；D選項(xiàng)，對(duì)變形為，采用裂項(xiàng)相消進(jìn)行求和，結(jié)合數(shù)列的項(xiàng)的正負(fù)性和單調(diào)性求出其取值范圍.【詳解】A選項(xiàng)，，令，解得：，令，解得：綜上：且，所以且，數(shù)列單調(diào)遞減，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以存在無(wú)數(shù)個(gè)自然數(shù)，使得，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)或時(shí)，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，所以最小值不存在，C正確；D選項(xiàng)，，所以，所以，故，因?yàn)?，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，，所以，又因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，綜上：，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】由數(shù)列通項(xiàng)公式研究數(shù)列的性質(zhì)，要對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行處理，本題D選項(xiàng)，要將變形為，采用裂項(xiàng)相消進(jìn)行求和，結(jié)合數(shù)列的項(xiàng)的正負(fù)性和單調(diào)性求出其取值范圍.10．（2022·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┮阎?xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是等差數(shù)列B．C．D．滿足的的最小正整數(shù)解為【答案】ACD【分析】根據(jù)題意得，整理得，即可判斷A；由A知，，所以，，即可判斷B；因?yàn)?，即，令，即，?gòu)造函數(shù)，求解判斷即可；根據(jù)題意得，求和得，再根據(jù)題意求解判斷即可.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即，整理得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，又正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，，即，又，所以，，因?yàn)?，所以，即，故B不正確；因?yàn)椋?，即，令，所以原不等式為：，即，令，所以，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，所以成立，故C正確；因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，即，化?jiǎn)整理得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以滿足的的最小正整數(shù)解為，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】給出與的遞推關(guān)系，求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求.11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)直接由遞推關(guān)系式即可求出即可；C選項(xiàng)由即可判斷；B選項(xiàng)由即可判斷；D選項(xiàng)由分組求和及等比數(shù)列求和公式即可判斷.【詳解】，A正確；對(duì)于，有，兩式相加得，C正確；由知，則，B錯(cuò)誤；由偶數(shù)項(xiàng)均為可得為偶數(shù)時(shí)，，則，則，D正確.故選：ACD.12．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，的前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．對(duì)任意，不可能為常數(shù)數(shù)列B．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列C．若，則D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)遞推公式、基本不等式，結(jié)合不等式放縮法、錯(cuò)位相減法逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，?對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，若存在，使得等號(hào)成立，則，故，故，依次有，矛盾，故,則，即，所以為遞減數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，由得，由A，B知，當(dāng)時(shí)，，故，則，故，當(dāng)n＝2時(shí)，，此時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，由題有，，則，兩式相減得，故，所以（提示：），故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用放縮法是解題的關(guān)鍵.三、填空題13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，，則其前項(xiàng)和為_(kāi)__________.【答案】【分析】利用分組求和法求得正確答案.【詳解】，故答案為：14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系得出與，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】由題意可知，因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍），，當(dāng)時(shí)，，由，得，解得或（舍）,當(dāng)時(shí)，此式也滿足，故正項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng)公式為,令，則設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則.故答案為：.15．（2022秋·福建福州·高三福建省福州格致中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項(xiàng)和______．【答案】【分析】由題設(shè)，討論n的奇偶性求的通項(xiàng)公式，再求.【詳解】由題設(shè)，，所以，即且n≥2，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為：.16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，向量，是向量與的夾角，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)已知條件及斜率公式，結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】由題意可得是直線的傾斜角，∴，∴.故答案為：.四、解答題17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)任意，，求m的最小值．【答案】(1)(2)7【分析】（1）由數(shù)列與的關(guān)系可得，再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)可得解；（2）利用錯(cuò)位相減法求出，結(jié)合范圍即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，故，且不滿足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故，于是．整理可得，所以，又，所以符合題設(shè)條件的m的最小值為7．18．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足對(duì)任意m，都有，數(shù)列是等比數(shù)列，且，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)條件證得數(shù)列是等差數(shù)列，再由已知求得數(shù)列的公差、的公比，寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可；（2）使用錯(cuò)位相減求和.【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)任意m，，，所以，所以數(shù)列是公差的等差數(shù)列，.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)椋?，，所?又因?yàn)椋獾?，，所以?（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減，得，所以.19．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，是公差為1的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出的通項(xiàng)公式，得到與的關(guān)系，得到與的關(guān)系，利用累乘法即可求得的通項(xiàng)公式.（2）由（1）結(jié)論求得，對(duì)進(jìn)行放縮并裂項(xiàng)，即可得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，則，即，當(dāng)時(shí)，，則，即，由題可知，，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足，

故的通項(xiàng)公式為.（2）證明：由（1）可知：，所以，所以.20．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）將代入已知式子可得是等差數(shù)列，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式，再由與的關(guān)系求出的通項(xiàng)公式.（2）由裂項(xiàng)相消求和可得，再由的單調(diào)性可求得其范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋杂?，得，所以，所以，即．在中，令n=1，得，所以a1=1．所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，即：．當(dāng)時(shí)，，也適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，，所以，因?yàn)閎n＞0，所以隨著n的增大而增大，所以，又顯然，所以，即的取值范圍為．【提能力】一、單選題21．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和．若（常數(shù)），，則的最小值是A． B． C． D．【答案】C【分析】當(dāng)時(shí)，類比寫(xiě)出，兩式相減整理得，當(dāng)時(shí)，求得，從而求得數(shù)列和的通項(xiàng)公式.；再運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出，結(jié)合的性質(zhì)，確定的最小值.【詳解】①當(dāng)時(shí)，類比寫(xiě)出

②由①-②得

，即.當(dāng)時(shí)，，，③

④③-④得，（常數(shù)），，的最小值是故選C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算方法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理選用.1、已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法如下：（1）當(dāng)時(shí)，用替換中的得到一個(gè)新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，求出；（3）對(duì)時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合時(shí)的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě)；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來(lái)寫(xiě)．2、錯(cuò)位相減法：若，其中是等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來(lái)求．?dāng)?shù)列前項(xiàng)和，則，兩式錯(cuò)位相減并整理即得.22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足…，設(shè)數(shù)列滿足：,數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出的通項(xiàng)，再求出的通項(xiàng)，從而可求，利用參變分離可求的取值范圍.【詳解】因?yàn)椤?，所以…，故即，其?而令，則，故，.，故，故恒成立等價(jià)于即恒成立，化簡(jiǎn)得到，因?yàn)?，?故選D.【點(diǎn)睛】數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.

參數(shù)的數(shù)列不等式的恒成立問(wèn)題，可以用參變分離的方法構(gòu)建新數(shù)列，通過(guò)討論新數(shù)列的最值來(lái)求參數(shù)的取值范圍.23．（2022·河南·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前40項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知，根據(jù)題意由可得：，從而計(jì)算，由遞推可得：，結(jié)合可得：，從而計(jì)算，將兩組和合并即可完成求解.【詳解】由已知，數(shù)列滿足①，②，②①得；，所以，由遞推可得：③，③②得；，，所以.故選：D.24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列滿足，，若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題首先可根據(jù)、得出，然后根據(jù)得出，再然后根據(jù)錯(cuò)位相減法求出，最后根據(jù)題意得出對(duì)任意不等式恒成立，根據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，所以，解得，，，因?yàn)椋?，，則，，，對(duì)任意不等式恒成立，即對(duì)任意不等式恒成立，因?yàn)椋?，的取值范圍?故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)列求和，常見(jiàn)的數(shù)列求和方法有等差等比公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法、倒序相加法，考查計(jì)算能力，是難題.25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，記，若數(shù)列也為等比數(shù)列，則（

）A．12 B．32 C． D．【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，對(duì)q分和兩種情況進(jìn)行討論即可.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，①當(dāng)時(shí)，，不可能為等比數(shù)列；②當(dāng)時(shí)，，，，若數(shù)列為等比數(shù)列，必有，解得，有．故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是（1）要分和兩種情況進(jìn)行討論；（2）當(dāng)時(shí)，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及分組求和法求出，然后結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.二、多選題26．（2023·遼寧盤(pán)錦·盤(pán)錦市高級(jí)中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足，，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．n為偶數(shù)時(shí)， B．C． D．的最大值為20【答案】AC【分析】對(duì)選項(xiàng)A，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，即可求得通項(xiàng)；對(duì)選項(xiàng)B，檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，所給表達(dá)式不滿足；對(duì)選項(xiàng)C，按照n為奇數(shù)和偶數(shù)分別討論，根據(jù)，可直接求得；對(duì)選項(xiàng)D，的最大值為【詳解】根據(jù)遞推關(guān)系可知，n為奇數(shù)時(shí)，n為偶數(shù)時(shí)，，故A對(duì)；根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列可得：而又：則有：，故B錯(cuò)誤；，故C對(duì)；根據(jù)中的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，而偶數(shù)項(xiàng)之和不是1就是0，因此根據(jù)特點(diǎn)可知：的最大值在奇數(shù)項(xiàng)之和取得最大值的附近，，，，，，，的最大值為，故D錯(cuò)故選：AC27．（2022·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，則（

）A．是遞減數(shù)列 B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的判斷方法，累加法，累乘法以及裂項(xiàng)求和法，結(jié)合已知條件，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：，又當(dāng)時(shí)，與矛盾，故，即，故該數(shù)列遞增數(shù)列，A錯(cuò)誤；對(duì)B：，根據(jù)A知：，即，，故B正確；對(duì)C：，由可得，故（當(dāng)或時(shí)取得等號(hào)），故，C錯(cuò)誤；對(duì)D：由可得，即，故，又，故，故，D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的單調(diào)性，累加法，累乘法以及裂項(xiàng)求和法，處理問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)常見(jiàn)的地推關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓瑢倮щy題.28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，使，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BC【分析】計(jì)算出，將用和表示，分類討論即可.【詳解】=，由題意

，顯然，由題意可知，的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為遞增的，并且，當(dāng)時(shí)，，所以t只能是1，2，3，若t=1，則有

，

，無(wú)解,m不存在；若t=2，則，，若t=3，則，故t=2或3；故選：BC.29．（2021·湖北武漢·武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.則以下結(jié)論正確的是（

）A．若是等差數(shù)列，且，公差，則數(shù)列是“數(shù)列”B．若是等比數(shù)列，且公比滿足，則數(shù)列是“數(shù)列”C．若，則數(shù)列是“數(shù)列”D．若，則數(shù)列是“數(shù)列【答案】BC【解析】寫(xiě)出等差數(shù)列的前項(xiàng)和結(jié)合“數(shù)列”的定義判斷A；寫(xiě)出等比數(shù)列的前項(xiàng)和結(jié)合“數(shù)列”的定義判斷B；利用裂項(xiàng)相消法求和判斷C；當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，也無(wú)限增大判斷D．【詳解】在A中，若是等差數(shù)列，且，公差，則，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，也無(wú)限增大，所以數(shù)列不是“數(shù)列”，故A錯(cuò)誤.在B中，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且公比滿足，所以，所以數(shù)列是“數(shù)列”，故B正確.在C中，因?yàn)?，所?所以數(shù)列是“數(shù)列”，故C正確.在D中，因?yàn)?，所以，?dāng)無(wú)限增大時(shí)，也無(wú)限增大，所以數(shù)列不是“數(shù)列”，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.三、填空題30．（2022·山東濰坊·昌樂(lè)二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量，，，則______.【答案】【分析】先通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法證明出，然后代入式子中，利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和計(jì)算.【詳解】，，…….下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：當(dāng)時(shí)，滿足題意；假設(shè)當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，故.∴，∴.故答案為：.31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，，則前40項(xiàng)和為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得、，利用分組求和可求前40項(xiàng)和，【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故，故前40項(xiàng)和為，故答案為：32．（2021秋·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，，其中，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則___________.【答案】【分析】首先變形等式為，利用累乘法，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入后，利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】由題意，即，累乘得，可知，，當(dāng)時(shí)，，所以，又時(shí)，，且當(dāng)時(shí)成立，從而有，故，所以，故.故答案為：【點(diǎn)睛】方法技巧

常見(jiàn)數(shù)列的裂項(xiàng)方法數(shù)列（為正整數(shù)）裂項(xiàng)方法（為非零常數(shù)）（為非零常數(shù)）（，）注意：利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，既要注意檢驗(yàn)裂項(xiàng)前后是否等價(jià)，又要注意求和時(shí)正負(fù)項(xiàng)相消后消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng).33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)在有極值，設(shè)，其中為不大于的最大整數(shù)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則___________.【答案】615【分析】根據(jù)給定條件探求出，再借助的意義分析的前100項(xiàng)的各個(gè)值，再求和作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，因，函數(shù)在有極值，則存在，有，解得，于是得，即，而，因此，數(shù)列的前100項(xiàng)中有1個(gè)0，3個(gè)1，5個(gè)2，7個(gè)3，9個(gè)4，11個(gè)5，13個(gè)6，15個(gè)7，17個(gè)8，19個(gè)9，而，所以.故答案為：615【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.四、解答題34．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列，，滿足，，.(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由的遞推公式，得的遞推公式，證明為等比數(shù)列，得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和，證明不等式.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，所以，即，即，又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為.（2）證明：因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所?35．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見(jiàn)解析【分析】（1）求出，討論其符號(hào)后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號(hào)，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對(duì)任意的恒成立，從而可得對(duì)任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對(duì)任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對(duì)任意的恒成立.所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問(wèn)題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號(hào)合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等