“科學(xué)思維”專練（三） 萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用

“科學(xué)思維”專練（三）萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用一、選擇題1．(2021·浙江1月學(xué)考)“嫦娥五號(hào)”探測(cè)器是我國(guó)首個(gè)實(shí)施月面采樣返回的航天器，由軌道器、返回器、著陸器和上升器等多個(gè)部分組成。為等待月面采集的樣品，軌道器與返回器的組合體環(huán)月做圓周運(yùn)動(dòng)。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球質(zhì)量m1＝6.0×1024kg，月球質(zhì)量m2＝7.3×1022kg，月地距離r1＝3.8×105km，月球半徑r2＝1.7×103km。當(dāng)軌道器與返回器的組合體在月球表面上方約200km處做環(huán)月勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其環(huán)繞速度約為()A．16m/s B．1.1×102m/sC．1.6×103m/s D．1.4×104m/s解析：選C設(shè)組合體質(zhì)量為m，根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，Geq\f(m2m,r2＋h2)＝meq\f(v2,r2＋h)，解得v≈1.6×103m/s，選項(xiàng)C正確。2．(2022·上海光明中學(xué)期中)某人造地球衛(wèi)星在距離地面高為h的軌道內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)要變軌進(jìn)入更高的軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星需要()A．一直增大速度直到進(jìn)入預(yù)定軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)B．一直減小速度直到進(jìn)入預(yù)定軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)C．先增大速度實(shí)現(xiàn)變軌，到達(dá)預(yù)定軌道后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度比之前小D．先減小速度實(shí)現(xiàn)變軌，到達(dá)預(yù)定軌道后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度比之前大解析：選C衛(wèi)星要進(jìn)入更高的軌道，需要做離心運(yùn)動(dòng)，當(dāng)萬(wàn)有引力不足以提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力時(shí)，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)，則需要加速進(jìn)入更高的軌道，到達(dá)預(yù)定軌道后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知半徑變大之后，速度v減小，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確。3．(2022·河南洛陽(yáng)期中)(多選)據(jù)報(bào)道，中國(guó)探月工程四期已經(jīng)啟動(dòng)，計(jì)劃在月球南極建立科研站，屆時(shí)將先把探測(cè)器送入環(huán)月的橢圓軌道Ⅰ，再在P點(diǎn)變軌，進(jìn)入環(huán)月圓軌道Ⅱ，以選擇合適的登陸地點(diǎn)，如圖。下列關(guān)于變軌前后探測(cè)器說(shuō)法正確的是()A．探測(cè)器在Q點(diǎn)的速度大于在Ⅰ軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度B．探測(cè)器在Ⅰ軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度大于在Ⅱ軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度C．探測(cè)器在Ⅰ軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的加速度大于在Ⅱ軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的加速度D．探測(cè)器在Ⅰ軌道的周期大于在Ⅱ軌道的周期解析：選BD軌道Ⅰ上P點(diǎn)為近月點(diǎn)，速度最大，Q點(diǎn)為遠(yuǎn)月點(diǎn)，速度最小，故A錯(cuò)誤；從軌道Ⅱ到軌道Ⅰ，需要在P點(diǎn)點(diǎn)火加速，因此探測(cè)器在Ⅰ軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度大于在Ⅱ軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度，故B正確；同一點(diǎn)，受到的萬(wàn)有引力相同，根據(jù)牛頓第二定律可知，加速度相同，故C錯(cuò)誤；根據(jù)開(kāi)普勒第三定律可知，Ⅰ軌道半長(zhǎng)軸較大，周期較大，故D正確。4．(2021·全國(guó)甲卷)2021年2月，執(zhí)行我國(guó)火星探測(cè)任務(wù)的“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器在成功實(shí)施三次近火制動(dòng)后，進(jìn)入運(yùn)行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m。已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問(wèn)一號(hào)”的停泊軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離約為()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m解析：選C在火星表面附近，對(duì)于繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，有mg火＝meq\f(4π2,T12)R火，得T12＝eq\f(4π2R火,g火)，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，有eq\f(R火3,T12)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l近＋2R火＋l遠(yuǎn),2)))3,T22)，代入數(shù)據(jù)解得l遠(yuǎn)≈6×107m，C正確。5.(2021·全國(guó)乙卷)科學(xué)家對(duì)銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測(cè)，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示?？茖W(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動(dòng)軌跡是半長(zhǎng)軸約為1000AU(太陽(yáng)到地球的距離為1AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項(xiàng)研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為M，可以推測(cè)出該黑洞質(zhì)量約為()A．4×104M B．4×106MC．4×108M D．4×1010M解析：選B由萬(wàn)有引力提供向心力有eq\f(GM中m,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，整理得eq\f(R3,T2)＝eq\f(GM中,4π2)，可知eq\f(R3,T2)只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，則eq\f(M黑洞,M)＝eq\f(\f(RS23,TS22),\f(R地3,T地2))，已知T地＝1年，由題圖可知恒星S2繞銀河系運(yùn)動(dòng)的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞≈4×106M，B正確。6.我國(guó)已掌握“高速半彈道跳躍式再入返回技術(shù)”，為實(shí)現(xiàn)“嫦娥”飛船月地返回任務(wù)奠定基礎(chǔ)。如圖虛線為大氣層邊界，返回器與服務(wù)艙分離后，從a點(diǎn)無(wú)動(dòng)力滑入大氣層，然后從c點(diǎn)“跳”出，再?gòu)膃點(diǎn)“躍”入，實(shí)現(xiàn)多次減速，可避免損壞返回器。d點(diǎn)為軌跡的最高點(diǎn)，離地心的距離為r，返回器在d點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，地球質(zhì)量為M，引力常量為G。則返回器()A．在b點(diǎn)處于失重狀態(tài)B．在a、c、e點(diǎn)時(shí)的速率相等C．在d點(diǎn)時(shí)的加速度大小為eq\f(GM,r2)D．在d點(diǎn)時(shí)的速度大小v＞eq\r(\f(GM,r))解析：選C由題意知，返回器在b點(diǎn)處于超重狀態(tài)，故A錯(cuò)誤；從a到e通過(guò)大氣層，除了受到萬(wàn)有引力作用，由于有空氣的阻力作用，在a、c、e三點(diǎn)時(shí)的速率不等，故B錯(cuò)誤；在d點(diǎn)受萬(wàn)有引力：F＝eq\f(GMm,r2)＝ma，所以加速度a＝eq\f(GM,r2)，故C正確；在d點(diǎn)，v＜eq\r(\f(GM,r))，所以D錯(cuò)誤。7.(2022·哈爾濱五十八中期末)(多選)某探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道到達(dá)月球，在距月球表面200km的P點(diǎn)進(jìn)行第一次“剎車(chē)制動(dòng)”后被月球捕獲，進(jìn)入橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，如圖所示。之后，衛(wèi)星在P點(diǎn)經(jīng)過(guò)幾次“剎車(chē)制動(dòng)”，最終在距月球表面200km的圓形軌道Ⅲ上繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。用T1、T2、T3分別表示衛(wèi)星在橢圓軌道Ⅰ、Ⅱ和圓形軌道Ⅲ上運(yùn)行的周期，用a1、a2、a3分別表示衛(wèi)星沿三個(gè)軌道運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的加速度，則下列說(shuō)法正確的是()A．T1＞T2＞T3 B．T1＜T2＜T3C．a(chǎn)1＞a2＞a3 D．a(chǎn)1＝a2＝a3解析：選AD根據(jù)開(kāi)普勒第三定律eq\f(r13,T12)＝eq\f(r23,T22)＝eq\f(r33,T32)，由題圖可知軌道Ⅰ半長(zhǎng)軸最大，軌道Ⅲ半徑最小，所以T1最大，T3最小，故A正確，B錯(cuò)誤；在空間同一點(diǎn)，衛(wèi)星受到月球的萬(wàn)有引力相等，根據(jù)牛頓第二定律可知在同一點(diǎn)，衛(wèi)星產(chǎn)生的加速度相同，故C錯(cuò)誤，D正確。8．(2022·重慶一中期中)(多選)宇宙中兩顆靠得比較近的恒星，在彼此之間的萬(wàn)有引力作用下，圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，稱為“雙星”系統(tǒng)，下列說(shuō)法正確的是()A．質(zhì)量大的恒星其軌道半徑小B．質(zhì)量大的恒星其軌道半徑大C．若“雙星”經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的演化，兩星總質(zhì)量不變但兩星之間的距離變小，則演化后雙星圓周運(yùn)動(dòng)的周期變小D．若“雙星”經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的演化，兩星總質(zhì)量不變但兩星之間的距離變小，則演化后雙星圓周運(yùn)動(dòng)的周期變大解析：選AC設(shè)兩星的質(zhì)量分別為m1、m2，兩星間距離為L(zhǎng)，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r1、r2，根據(jù)題意，由公式eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得eq\f(Gm1m2,L2)＝m1eq\f(4π2,T2)r1＝m2eq\f(4π2,T2)r2，整理可得m1r1＝m2r2，可知質(zhì)量大的恒星其軌道半徑小，故A正確，B錯(cuò)誤；整理可得T＝eq\r(\f(4π2L3,Gm1＋m2))可知，若雙星經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的演化，兩星總質(zhì)量不變但兩星之間的距離變小，則演化后雙星圓周運(yùn)動(dòng)的周期變小，故D錯(cuò)誤，C正確。9．(2022·浙江紹興期末)(多選)“天問(wèn)一號(hào)”是我國(guó)發(fā)射的火星探測(cè)器。如圖所示，假設(shè)“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，對(duì)火星的張角為θ。已知引力常量為G，由以上數(shù)據(jù)可以求得()A．“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器的角速度B．火星的質(zhì)量C．火星的第一宇宙速度D．火星的平均密度解析：選AD根據(jù)ω＝eq\f(2π,T)可知，可以求出天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器的角速度，故A正確；設(shè)軌道半徑為r，星球半徑為R，滿足sineq\f(θ,2)＝eq\f(R,r)，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可知M＝eq\f(4π2r3,GT2)，由于r未知，無(wú)法計(jì)算火星質(zhì)量，故B錯(cuò)誤；根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可知v＝eq\r(\f(GM,R))，由于R未知，無(wú)法求出火星的第一宇宙速度，故C錯(cuò)誤；根據(jù)ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))3)可知，可求火星的平均密度，故D正確。10．(2023·北京高考)2022年10月9日，我國(guó)綜合性太陽(yáng)探測(cè)衛(wèi)星“夸父一號(hào)”成功發(fā)射，實(shí)現(xiàn)了對(duì)太陽(yáng)探測(cè)的跨越式突破?！翱涓敢惶?hào)”衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，距地面高度約為720km，運(yùn)行一圈所用時(shí)間約為100分鐘。如圖所示，為了隨時(shí)跟蹤和觀測(cè)太陽(yáng)的活動(dòng)，“夸父一號(hào)”在隨地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的過(guò)程中，需要其軌道平面始終與太陽(yáng)保持固定的取向，使太陽(yáng)光能照射到“夸父一號(hào)”，下列說(shuō)法正確的是()A．“夸父一號(hào)”的運(yùn)行軌道平面平均每天轉(zhuǎn)動(dòng)的角度約為1°B．“夸父一號(hào)”繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度大于7.9km/sC．“夸父一號(hào)”繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大于地球表面的重力加速度D．由題干信息，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，可求出日地間平均距離解析：選A因?yàn)椤翱涓敢惶?hào)”軌道平面要始終與太陽(yáng)保持固定的取向，則在一年之內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)360°角，即軌道平面平均每天約轉(zhuǎn)動(dòng)1°，故A正確；第一宇宙速度是所有繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，則“夸父一號(hào)”的速度小于7.9km/s，故B錯(cuò)誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma，可知“夸父一號(hào)”繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C錯(cuò)誤；“夸父一號(hào)”繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)，地球繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)，中心天體不同，則根據(jù)題中信息不能求解地球與太陽(yáng)的距離，故D錯(cuò)誤。二、非選擇題11．神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)“雙星”系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX－3雙星系統(tǒng)，它由可見(jiàn)星A和不可見(jiàn)的暗星B構(gòu)成，兩星可視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見(jiàn)星A的線速度v和運(yùn)行周期T。(1)可見(jiàn)星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體(視為質(zhì)點(diǎn))對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1、m2，試求m′(用m1、m2表示)；(2)求暗星B的質(zhì)量m2與可見(jiàn)星A的線速度v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m1之間的關(guān)系式。解析：(1)設(shè)A、B的軌道半徑分別為r1、r2，由題意知A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)為ω。由牛頓第二定律，有FA＝m1ω2r1，F(xiàn)B＝m2ω2r2，又FA＝FB，設(shè)A、B之間的距離為r，有r＝r1＋r2，由以上各式得r＝eq\f(m1＋m2,m2)r1①由萬(wàn)有引力定律，有FA＝Geq\f(m1m2,r2)，將①代入上式得FA＝Geq\f(m1m23,m1＋m22r12)，令FA＝Geq\f(m1m′,r12)，可得m′＝eq\f(m23,m1＋m22)。②(2)由牛頓第二定律，有Geq\f(m1m′,r12)＝m1eq\f(v2,r1)③可見(jiàn)星A的軌道半徑r1＝eq\f(vT,2π)④由②③④式解得eq\f(m23,m1＋m22)＝eq\f(v3T,2πG)。⑤答案：(1)eq\f(m23,m1＋m22)(2)eq\f(m23,m1＋m22)＝eq\f(v3T,2πG)12．一火星探測(cè)器著陸火星之前，需經(jīng)歷動(dòng)力減速、懸停避障兩個(gè)階段。在動(dòng)力減速階段，探測(cè)器速度大小由96m/s減小到0，歷時(shí)80s。在懸停避障階段，探測(cè)器啟用最大推力為7500N的變推力發(fā)動(dòng)機(jī)，在距火星表面約百米高度處懸停，尋找著陸點(diǎn)。已知火星半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，地球表面重力加速度大小取10m/s2，探測(cè)器在動(dòng)力減速階段的運(yùn)動(dòng)視為豎直向下的勻減速運(yùn)動(dòng)。求：(1)在動(dòng)力減速階段，探測(cè)器的加速度大小和下降距離；(2)在懸停避障階段，能借助該變推力發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)現(xiàn)懸停的探測(cè)器的最大質(zhì)量。解析：(1)設(shè)探測(cè)器在動(dòng)力減速階段所用時(shí)間為t，初速度大小為v1，末速度大小為v2，加速度大小為a，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)速度公式有v2＝v1－at①代入題給數(shù)據(jù)得a＝1.2m/s2②設(shè)探測(cè)器下降的距離為s，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移公式有s＝v1t－eq\f(1,2)at2③聯(lián)立②③式并代入題給數(shù)據(jù)得s＝384