課時跟蹤檢測（二十三） 機(jī)械能守恒定律的理解及應(yīng)用

課時跟蹤檢測（二十三）機(jī)械能守恒定律的理解及應(yīng)用1.如圖所示，某同學(xué)將帶彈簧的圓珠筆倒置，在桌面上豎直向下壓緊彈簧，突然松手，圓珠筆豎直向上彈起。對于圓珠筆(含彈簧)，下列說法正確的是()A．向下壓縮彈簧的過程中，筆的機(jī)械能守恒B．筆豎直向上運(yùn)動的過程中機(jī)械能守恒C．圓珠筆剛離開桌面時動能最大D．換用不同的彈簧，只要壓縮量相同，筆上升的最大高度相同解析：選B向下壓縮彈簧的過程中，手對圓珠筆做功，所以筆的機(jī)械能不守恒，故A錯誤；筆豎直向上運(yùn)動的過程中，只有彈簧彈力和重力做功，筆的機(jī)械能守恒，故B正確；圓珠筆向上運(yùn)動的某一時刻，重力和桌面對筆向上的彈力平衡，這一時刻速度最大，但此時，筆還沒有離開桌面，故C錯誤；由機(jī)械能守恒定律Ep彈＝mgh可得，換用不同的彈簧，當(dāng)壓縮量相同時，彈性勢能不同，故上升的最大高度不同，故D錯誤。2．(2023·蘇州模擬)如圖所示，光滑長鐵鏈由若干節(jié)組成，全長為L，圓形管狀軌道半徑為R，L>2πR，R遠(yuǎn)大于一節(jié)鐵鏈的高度和長度。鐵鏈靠慣性通過軌道繼續(xù)前進(jìn)，下列判斷正確的是()A．在第一節(jié)完成圓周運(yùn)動的過程中，第一節(jié)鐵鏈機(jī)械能守恒B．每節(jié)鐵鏈通過最高點(diǎn)的速度依次減小C．第一節(jié)與最后一節(jié)到達(dá)最高點(diǎn)的速度大小相等D．第一節(jié)回到最低點(diǎn)至最后一節(jié)進(jìn)入軌道的過程中鐵鏈的速度逐漸減小解析：選C鐵鏈各部分之間有彈力作用，若選一節(jié)研究，機(jī)械能不守恒；但選取整個系統(tǒng)為對象時，各部分的力屬于內(nèi)力，做功抵消，系統(tǒng)只有重力做功，機(jī)械能守恒，A錯誤；當(dāng)長鐵鏈繞滿圓形軌道時，重力勢能增大，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒知動能減??；以后每下降一節(jié)，后面上升一節(jié)，系統(tǒng)的機(jī)械能不變，則速度相等，故B、D錯誤；第一節(jié)到達(dá)最高點(diǎn)和最后一節(jié)到最高點(diǎn)時系統(tǒng)的重心高度相同，由Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2知重力勢能相等時動能相等，則這兩節(jié)的速率相等，C正確。3.長征途中，為了突破敵方關(guān)隘，戰(zhàn)士爬上陡峭的山頭，居高臨下向敵方工事內(nèi)投擲手榴彈。戰(zhàn)士在同一位置先后投出甲、乙兩顆質(zhì)量均為m的手榴彈。手榴彈從投出的位置到落地點(diǎn)的高度差為h，在空中的運(yùn)動可視為平拋運(yùn)動，軌跡如圖所示，重力加速度為g，下列說法正確的有()A．甲在空中的運(yùn)動時間比乙的長B．兩手榴彈在落地前瞬間，重力的功率不相等C．從投出到落地，每顆手榴彈的重力勢能減少mghD．從投出到落地，每顆手榴彈的機(jī)械能變化量為mgh解析：選C甲、乙兩顆手榴彈豎直方向下落的高度相同，由平拋運(yùn)動的特點(diǎn)可知，它們的運(yùn)動時間相等，A錯誤。落地前瞬間，PG＝mgvy＝mg2t，由于運(yùn)動時間相等，故重力的瞬時功率相等，B錯誤。從投出到落地，重力做功為mgh，故重力勢能減少mgh，C正確。從投出到落地過程中只有重力做功，手榴彈的機(jī)械能守恒，D錯誤。4．(2023·南通模擬)如圖所示，光滑的eq\f(1,4)固定圓弧槽的槽口與一個固定半球頂點(diǎn)相切，半球底面水平，小滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn))從圓弧槽最高點(diǎn)由靜止滑下，滑出槽口時速度沿水平方向。已知圓弧軌道的半徑為R1，半球的半徑為R2，若要使小滑塊滑出槽口后不沿半球面下滑，不計(jì)空氣阻力，則R1和R2應(yīng)滿足的關(guān)系是()A．R1≤R2 B．R1≥R2C．R1≥eq\f(R2,2) D．R1≤eq\f(R2,2)解析：選C滑塊沿光滑的eq\f(1,4)圓弧槽下滑過程只有重力做功，由機(jī)械能守恒有mgR1＝eq\f(1,2)mv2，要使小滑塊滑出槽口后不沿半球面下滑，即做平拋運(yùn)動，則mg≤meq\f(v2,R2)，由以上兩式解得R1≥eq\f(R2,2)，故C正確。5．如圖所示，有一條長為L＝1m的均勻金屬鏈條，有一半長度在光滑的足夠高的斜面上，斜面頂端是一個很小的圓弧，斜面傾角為30°，另一半長度豎直下垂在空中，當(dāng)鏈條從靜止開始釋放后鏈條滑動，則鏈條剛好全部滑出斜面時的速度為(g取10m/s2)()A．2.5m/s B.eq\f(5\r(2),2)m/sC.eq\r(5)m/s D.eq\f(\r(35),2)m/s解析：選A設(shè)鏈條的質(zhì)量為2m，以開始時鏈條的最高點(diǎn)為零勢能面，鏈條的機(jī)械能為E＝Ep＋Ek＝－eq\f(1,2)×2mg·eq\f(L,4)sin30°－eq\f(1,2)×2mg·eq\f(L,4)＋0＝－eq\f(3,8)mgL，鏈條剛好全部滑出斜面時，動能為Ek′＝eq\f(1,2)×2mv2，重力勢能為Ep′＝－2mg·eq\f(L,2)，由機(jī)械能守恒定律可得E＝Ek′＋Ep′，即－eq\f(3,8)mgL＝mv2－mgL，解得v＝2.5m/s，故A正確，B、C、D錯誤。6．(2023·宿遷模擬)如圖所示，光滑軌道abc固定在豎直面內(nèi)，ab段水平，長度為2R，半徑為R的八分之一圓弧bc與ab相切于b點(diǎn)。一質(zhì)量為m的小球，在一個與重力大小相等的恒定水平外力的作用下，從a點(diǎn)由靜止開始向右運(yùn)動到c點(diǎn)后脫離軌道，最后落回地面。重力加速度大小為g，以下判斷正確的是()A．小球在ab段運(yùn)動時加速度大小為eq\r(2)gB．小球從c點(diǎn)飛出后機(jī)械能守恒C．小球到達(dá)c點(diǎn)的速度大小為vc＝eq\r(2gR)D．小球在bc段運(yùn)動時重力做功的絕對值與水平外力做功的絕對值不相等解析：選D小球在ab段運(yùn)動時，對小球受力分析，受重力、支持力和水平外力，合外力F＝mg，由牛頓第二定律可知F＝ma，則小球的加速度大小為g，故A錯誤；小球離開c點(diǎn)后水平外力仍對其做功，機(jī)械能不守恒，故B錯誤；小球從a點(diǎn)到c點(diǎn)過程，由動能定理得F·(2R＋R·sin45°)－mg·(R－Rcos45°)＝eq\f(1,2)mvc2，又因?yàn)镕＝mg，解得vc＝eq\r(21＋\r(2)gR)，故C錯誤；小球在bc段運(yùn)動時，豎直方向與水平方向位移不相等，重力做功絕對值與水平外力做功絕對值不相等，故D正確。7．(2023·泰州模擬)一小球以一定的初速度從圖示的P位置進(jìn)入光滑的軌道，小球先進(jìn)入圓軌道1，再進(jìn)入圓軌道2，圓軌道1的半徑為R＝1m，圓軌道2的半徑是圓軌道1的2倍，小球的質(zhì)量m＝1kg。若小球恰好能通過圓軌道2的最高點(diǎn)B，重力加速度g＝10m/s2，不計(jì)空氣阻力，則下列說法中正確的是()A．小球從圓軌道1沖上圓軌道2過程中機(jī)械能增加B．小球經(jīng)過B點(diǎn)時的速率為0C．小球經(jīng)過A點(diǎn)時的速率為eq\r(10)m/sD．小球經(jīng)過A點(diǎn)時對軌道的壓力大小為50N解析：選D小球從圓軌道1沖上圓軌道2過程中，由于只有重力做功，因此機(jī)械能守恒，A錯誤；恰好能過B點(diǎn)時，根據(jù)牛頓第二定律mg＝eq\f(mvB2,R2)，可得小球經(jīng)過B點(diǎn)時的速率vB＝2eq\r(5)m/s，B錯誤；根據(jù)機(jī)械能守恒eq\f(1,2)mvB2＋mg·2R2＝eq\f(1,2)mvA2＋mg·2R，小球經(jīng)過A點(diǎn)時的速度vA＝2eq\r(15)m/s，C錯誤；經(jīng)過A點(diǎn)時，根據(jù)牛頓第二定律mg＋N＝eq\f(mvA2,R)，解得N＝50N，根據(jù)牛頓第三定律，小球經(jīng)過A點(diǎn)時對軌道的壓力大小N′＝N＝50N，D正確。8．(2023·宿遷月考)如圖甲所示，視為質(zhì)點(diǎn)的小球用不可伸長的輕繩連接，繞定點(diǎn)O在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動，小球經(jīng)過最高點(diǎn)的速度大小為v，此時繩子的拉力大小為FT。拉力FT與速度的平方的關(guān)系如圖乙所示，重力加速度大小為g，不計(jì)空氣阻力。則小球從最高點(diǎn)運(yùn)動到最低點(diǎn)的過程中動能的變化量為()A.eq\f(2ab,g) B.eq\f(ab,4g)C.eq\f(ab,2g) D.eq\f(4ab,g)解析：選A小球在最高點(diǎn)時有FT＋mg＝meq\f(v2,r)，即FT＝eq\f(m,r)v2－mg，由題圖乙可知eq\f(m,r)＝k＝eq\f(b,a)，mg＝b，解得m＝eq\f(b,g)，r＝eq\f(a,g)，小球從最高點(diǎn)運(yùn)動到最低點(diǎn)的過程中重力所做的功等于其動能的變化量，即ΔEk＝2mgr＝eq\f(2ab,g)。9．如圖所示是一豎直固定在水平地面上的可伸縮細(xì)管，上端平滑連接四分之一細(xì)圓弧彎管，管內(nèi)均光滑，右管口切線水平。豎直細(xì)管底部有一彈射裝置(高度忽略不計(jì))，可以讓靜止在細(xì)管底部的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))瞬間獲得足夠大的速度v0，通過調(diào)節(jié)豎直細(xì)管的長度h，可以改變上端管口到地面的高度，從而改變小球平拋的水平距離，重力加速度為g，則小球平拋的水平距離的最大值是()A.eq\f(v02,g)B.eq\f(v02,2g)C.eq\f(v02,3g)D.eq\f(v02,4g)解析：選B設(shè)管口到地面的高度是H，小球從管口射出的速度為v，由機(jī)械能守恒定律得eq\f(1,2)mv02＝mgH＋eq\f(1,2)mv2，小球離開管口后做平拋運(yùn)動，則x＝vt，H＝eq\f(1,2)gt2，聯(lián)立方程，可得x＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v02,g)－2H))×2H)＝eq\r(－4H2＋\f(2v02,g)H)，由二次函數(shù)的特點(diǎn)可知當(dāng)H＝eq\f(v02,4g)時x取最大值，xmax＝eq\f(v02,2g)。10.如圖所示，用長度為s的金屬絲繞制成高度為h的等距螺旋軌道，并將其豎直固定。讓一質(zhì)量為m的有孔小球套在軌道上，從頂端無初速度釋放。已知重力加速度為g，不計(jì)一切摩擦，下列說法正確的是()A．下滑過程中軌道對小球的作用力大小保持不變B．小球的運(yùn)動可以分解為水平方向的勻速圓周運(yùn)動和沿軌道斜向下的勻加速直線運(yùn)動C．小球運(yùn)動到螺旋軌道底端時，重力的功率為mgeq\r(2gh)D．小球從頂端運(yùn)動到螺旋軌道底端的時間為eq\r(\f(2s2,gh))解析：選D由于不計(jì)一切摩擦，故小球在下滑過程中機(jī)械能守恒，小球沿軌道斜向下的速度不斷增大，故小球下滑過程中的運(yùn)動可分解為水平方向速率不斷增大的圓周運(yùn)動和豎直方向的勻加速直線運(yùn)動，B錯誤；又小球下滑過程中，水平方向做圓周運(yùn)動的速率不斷增大，則軌道對小球水平方向的作用力逐漸增大，豎直方向小球的受力恒定不變，即軌道對小球豎直方向的作用力恒定不變，故下滑過程中軌道對小球的作用力逐漸增大，A錯誤；小球運(yùn)動到螺旋軌道底端時，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mgh＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(2gh)，根據(jù)功率公式，重力的功率P＝mgvcosθ＝mgeq\r(2gh)cosθ，θ為小球運(yùn)動到底端時速度方向與重力方向的夾角，C錯誤；用長度為s的金屬絲繞制成高度為h的等距螺旋軌道，可等效為長度為s、高度為h的傾斜軌道，小球速度方向與豎直方向夾角的余弦值cosθ＝eq\f(h,s)，小球沿等效傾斜軌道運(yùn)動的加速度a＝gcosθ＝eq\f(gh,s)，由s＝eq\f(1,2)at2，解得小球從頂端運(yùn)動到螺旋軌道底端的時間t＝eq\r(\f(2s2,gh))，D正確。11．蕩秋千是人們喜歡的一項(xiàng)健身娛樂活動。蕩秋千者通過做功，逐漸增加自身的機(jī)械能，從而逐漸“蕩”高。其原理如下：人向下擺動過程中逐漸“下蹲”使重心下降，而在秋千上擺過程中，人又逐漸站起使重心升高，機(jī)械能增加，從而逐漸“蕩”高。有一個正在“蕩”秋千的運(yùn)動員質(zhì)量為75kg，身高為1.8m，在水平地面上站立時重心高1.0m，蹲坐時重心高0.6m。秋千擺長為5.0m。若該運(yùn)動員從與豎直方向成37°角位置開始下擺。(忽略空氣阻力、秋千的質(zhì)量，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2)(1)求運(yùn)動員到達(dá)秋千下擺的豎直最低位置時的速度大小；(2)求運(yùn)動員在秋千下擺的豎直最低位置時受到秋千的作用力大小。解析：秋千擺長L0＝5.0m，運(yùn)動員在水平地面上站立時重心高H1＝1.0m，蹲坐時重心高H2＝0.6m，以秋千下擺的最低位置處為零勢能點(diǎn)。(1)秋千下擺過程中運(yùn)動員機(jī)械能守恒，mg[L0－(L0－H1)cos37°]＝mgH2＋eq\f(1,2)mv2，解得v≈4.9m/s。(2)設(shè)運(yùn)動員在秋千下擺到最低位置時受到秋千的作用力大小為F，則F－mg＝meq\f(v2,L0－H2)，解得F≈1159N。答案：(1)4.9m/s(2)1159N12．某實(shí)驗(yàn)小組做了如下實(shí)驗(yàn)，裝置如圖甲所示，豎直平面內(nèi)的光滑軌道由傾角為θ的斜面軌道AB和圓弧軌道BCD組成，在B點(diǎn)相切。使質(zhì)量m＝0.1kg的小球從軌道AB上高H處的某點(diǎn)由靜止滑下，用壓力傳感器測出小球經(jīng)過圓弧最高點(diǎn)D時對軌道的壓力F。改變H的大小，可測出相應(yīng)的F大小，F(xiàn)隨H的變化關(guān)系如圖乙所示，取g＝10m/s2。(1)求圓軌道的半徑R；(2)若小球從D點(diǎn)水平飛出后又落到斜面上，其中最低點(diǎn)與圓心O等高，求θ的值。解析：(1)小球經(jīng)過D點(diǎn)時，滿足豎直方向的合力提供圓周運(yùn)動的向心力，即：F＋mg＝meq\f(v2,R)從A到D的過程中只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：mg(H－2R)＝eq\f(1,2)mv2聯(lián)立解得：F＝eq\f(2mg,R)H－5m