第四章相似三角形專題04 相似三角形的六種模型（解析版）

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專題相似三角形的六種模型

模型一、A字型（8字型）

例1.已知：如圖，點(diǎn)D，F(xiàn)在△ABC邊AC上，點(diǎn)E在邊BC上，且DE∥AB，CD2＝CFCA．

（1）求證：EF∥BD；

（2）如果ACCF＝BCCE，求證：BD2＝DEBA．

【變式訓(xùn)練1】如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE//AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△COA＝1：25．則S△BDE與S△CDE的比是____________．

【變式訓(xùn)練2】如圖：AD∥EG∥BC，EG交DB于點(diǎn)F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．

（1）求EB的長；

（2）求FG的長．

模型二、X字型

X字型（平行）反X字型（不平行）

例1.如圖，△ABC中，AE交BC于點(diǎn)D，∠C＝∠E，AD＝3，DE＝5，BD＝4，則DC的長等于．

【變式訓(xùn)練1】如圖：已知ABCD，過點(diǎn)A的直線交BC的延長線于E，交BD、CD于F、G．

（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的長；

（2）證明：AF2＝FG×FE．

【變式訓(xùn)練2】如圖，在ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE并延長交AD于點(diǎn)F，如果△AEF的面積是4，那么△BCE的面積是____．

模型三、AX字型

例1.如圖所示，在ABCD中，G是BC延長線上的一點(diǎn)，AG與BD交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F，此圖中的相似三角形共有___________對．

【變式訓(xùn)練1】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，連結(jié)AE并延長，交對角線BD于點(diǎn)F、DC的延長線于點(diǎn)G．如果，求的值．

【變式訓(xùn)練2】如圖，△ABC中，D．E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BD＝2AD，CE＝2AE．

（1）求證：△ADE∽△ABC；

（2）若DF＝2，求FC的長度．

模型四、子母型

已知：∠1=∠2；結(jié)論：△ACD∽△ABC

例1.如圖，D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面積為15．那么△ACD的面積為．

【變式訓(xùn)練1】如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，AF平分∠BAC，交DE于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，則DE：BC＝．

【變式訓(xùn)練2】已知△AMN是等邊三角形，∠BAC=120o．求證：

（1）AB2=BMBC；（2）AC2=CNCB；（3）MN2=BMNC．

【變式訓(xùn)練3】點(diǎn)O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF．

（1）試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明△BOF∽△BED；

（2）若DE=2CE，求OF的長．

模型五、一線三垂直型

例1.如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點(diǎn)，則圖中與△ABC相似的三角形有（）

A．4個B．3個C．2個D．1個

【變式訓(xùn)練1】如圖，∠A=∠B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取一點(diǎn)P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的P點(diǎn)共有個．

【變式訓(xùn)練2】如圖，矩形ABCD中，F(xiàn)是DC上一點(diǎn)，BF⊥AC，垂足為E，，△CEF的面積為S1，△AEB的面積為S2，則的值等于（）

A．B．C．D．

【變式訓(xùn)練3】如圖，AC是矩形ABCD的對角線，過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，BE的延長線交AD于點(diǎn)F，若DF＝EF，BC＝2，則AF的長為．

【變式訓(xùn)練4】已知：如圖，已知△ABC與△ADE均為等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．如果點(diǎn)D在BC邊上，且∠EDC＝∠BAD．點(diǎn)O為AC與DE的交點(diǎn)．

（1）求證：△ABC∽△ADE；

（2）求證：DAOC＝ODCE．

模型六、作平行或者垂直證明相似

例1.如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點(diǎn)，AE：AD＝1：3，CE的延長線交AB于點(diǎn)F，若AF＝1.5，則AB＝．

【變式訓(xùn)練1】如圖，已知△ABC的邊AB上有一點(diǎn)D，邊BC的延長線上有一點(diǎn)E，且AD＝CE．DE交AC于點(diǎn)F，試證明：ABDF＝BCEF．

【變式訓(xùn)練2】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA，求BD的長．

專題相似三角形的六種模型

模型一、A字型（8字型）

例1.已知：如圖，點(diǎn)D，F(xiàn)在△ABC邊AC上，點(diǎn)E在邊BC上，且DE∥AB，CD2＝CFCA．

（1）求證：EF∥BD；

（2）如果ACCF＝BCCE，求證：BD2＝DEBA．

【解析】證明：（1）∵DE∥AB，∴，

∵CD2＝CFCA．∴，∴，∴EF∥BD；

（2）∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD，

∵ACCF＝BCCE，∴，且∠C＝∠C，∴△CEF∽△CAB，∴∠CEF＝∠A，∴∠DBE＝∠A，

∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠DBA，且∠DBE＝∠A，

∴△BAD∽△DBE，∴，∴BD2＝BADE

【變式訓(xùn)練1】如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE//AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△COA＝1：25．則S△BDE與S△CDE的比是____________．

【答案】1:4

【解析】∵DE//AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，∴

∵DE//AC，∴，∴，∴的比是1：4.故答案為：1：4.

【變式訓(xùn)練2】如圖：AD∥EG∥BC，EG交DB于點(diǎn)F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．

（1）求EB的長；

（2）求FG的長．

【答案】（1）3；（2）

【解析】（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴，即，∴EB＝3．

（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴，即，∴EG，∴FG＝EG﹣EF．

故答案為：（1）3；（2）

模型二、X字型

X字型（平行）反X字型（不平行）

例1.如圖，△ABC中，AE交BC于點(diǎn)D，∠C＝∠E，AD＝3，DE＝5，BD＝4，則DC的長等于．

【答案】CD

【解析】∵∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E，∴△ADC∽△BDE，∴，

∵AD＝3，DE＝5，BD＝4，∴，∴CD，故答案為：CD

【變式訓(xùn)練1】如圖：已知ABCD，過點(diǎn)A的直線交BC的延長線于E，交BD、CD于F、G．

（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的長；

（2）證明：AF2＝FG×FE．

【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴△EGC∽△EAB，

∴，即，解得，CG＝1；

（2）證明：∴AB∥CD，∴△DFG∽△BFA，∴，∴AD∥CB，

∴△AFD∽△EFB，∴，∴，即AF2＝FG×FE．

【變式訓(xùn)練2】如圖，在ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE并延長交AD于點(diǎn)F，如果△AEF的面積是4，那么△BCE的面積是____．

【答案】36

【解析】∵在ABCD中，AOAC，∵點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，∴AECE，

∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴，∵S△AEF＝4，（）2，∴S△BCE＝36

故答案為：36

模型三、AX字型

例1.如圖所示，在ABCD中，G是BC延長線上的一點(diǎn)，AG與BD交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F，此圖中的相似三角形共有___________對．

【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，AB//CD

∴（1）△ABD∽△CDB；（2）△ABE∽△FDE；（3）△AED∽△GEB；

（4）△ABG∽△FCG∽△FDA，可以組成3對相似三角形.∴圖形中一共有6對相似三角形.

【變式訓(xùn)練1】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，連結(jié)AE并延長，交對角線BD于點(diǎn)F、DC的延長線于點(diǎn)G．如果，求的值．

【答案】

【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC．

∵AD∥BE，∴△BEF∽△DAF，∴．

又∵BC＝BE+CE，，∴BEBCDA，∴EFAF，∴AEEFEF．

∵CE∥AD，△CEG∽DAG，∴，

∴GEGA，∴GEAEEFEF，∴．

故答案為:

【變式訓(xùn)練2】如圖，△ABC中，D．E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BD＝2AD，CE＝2AE．

（1）求證：△ADE∽△ABC；

（2）若DF＝2，求FC的長度．

【答案】（1）見解析；（2）6

【解析】（1）證明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴，

又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；

（2）∵△ADE∽△ABC，∴，∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC，

∴△DEF∽△CBF，∴，即，∴FC＝6．

故答案為：（1）見解析；（2）6

模型四、子母型

已知：∠1=∠2；結(jié)論：△ACD∽△ABC

例1.如圖，D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面積為15．那么△ACD的面積為．

【答案】5

【解析】∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA．∵AB=4，AD=2，

∴，∴，∵S△ABD=15，∴S△ACD=5

故答案為：5

【變式訓(xùn)練1】如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，AF平分∠BAC，交DE于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，則DE：BC＝．

【解析】∵∠DAE＝∠CAB，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，

∵GA，F(xiàn)A分別是△ADE，△ABC的角平分線，

∴（相似三角形的對應(yīng)角平分線的比等于相似比），AG：FG＝3：2，

∴AG：AF＝3：5，∴DE：BC＝3：5，故答案為：3:5

【變式訓(xùn)練2】已知△AMN是等邊三角形，∠BAC=120o．求證：

（1）AB2=BMBC；（2）AC2=CNCB；（3）MN2=BMNC．

【答案】證明：∵∠BAC=120o，∴∠B+∠C=60o.∵△AMN是等邊三角形，

∴∠B+∠1=∠AMN=60o，∠C+∠2=∠ANM=60o.∴∠1=∠C，∠2=∠B.

(1)∵∠1=∠C，∠B=∠B，∴△BAM∽△BCA.∴.∴AB2=BMBC

（2）∵∠2=∠B，∠C=∠C，∴△CAN∽△CBA.∴.∴AC2=CNCB

（3）∵∠1=∠C，∠2=∠B，∴△BAM∽△ACN.∴.

∴BMCN=ANAM∵AN=AM=MN，∴AB2=BMBC

【變式訓(xùn)練3】點(diǎn)O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF．

（1）試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明△BOF∽△BED；

（2）若DE=2CE，求OF的長．

【答案】（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴OC⊥BO，∠BCD=90o.∴BC2=BOBD.

∵CF⊥BE，∴BC2=BFBE.∴BOBD=BFBE.即，

又∵∠OBF=∠EBD，∴△BOF∽△BED.

（2）∵BC=CD=6，而DE=2CE，∴DE=4，CE=2.在Rt△BCE中，BE==，

在Rt△OBC中，OB=，∵△BOF∽△BED，

∴，即，∴.

模型五、一線三垂直型

例1.如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點(diǎn)，則圖中與△ABC相似的三角形有（）

A．4個B．3個C．2個D．1個

【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，

∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，∴共有四個三角形與Rt△ABC相似．

故選：A．

【變式訓(xùn)練1】如圖，∠A=∠B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取一點(diǎn)P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的P點(diǎn)共有個．

【解析】設(shè)AP＝，則有PB＝AB－AP＝7－，

當(dāng)△PDA∽△CPB時，，即，解得：或，

當(dāng)△PDA∽△PCB時，，即，解得：，則這樣的的點(diǎn)P共有3個．

故答案為：3個

【變式訓(xùn)練2】如圖，矩形ABCD中，F(xiàn)是DC上一點(diǎn)，BF⊥AC，垂足為E，，△CEF的面積為S1，△AEB的面積為S2，則的值等于（）

A．B．C．D．

【解析】∵，∴設(shè)AD＝BC＝a，則AB＝CD＝2a，∴ACa，

∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，

∴BC2＝CECA，AB2＝AEAC，∴a2＝CEa，4a2＝AEa，

∴CE，AE，∴，

∵△CEF∽△AEB，∴（）2，故選A．

【變式訓(xùn)練3】如圖，AC是矩形ABCD的對角線，過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，BE的延長線交AD于點(diǎn)F，若DF＝EF，BC＝2，則AF的長為．

【答案】1

【解析】設(shè)AF＝x，∴FD＝2﹣x，∴EF＝FD＝2﹣x，

∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴，∴，∴BE，∴BF＝BE+EF，

∵∠AFE＝AFB，∠AEF＝∠BAF＝90°，

∴△AFE∽△BFA，∴AF2＝EFBF，∴x2（2﹣x），解得：x1

故答案為：1

【變式訓(xùn)練4】已知：如圖，已知△ABC與△ADE均為等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．如果點(diǎn)D在BC邊上，且∠EDC＝∠BAD．點(diǎn)O為AC與DE的交點(diǎn)．

（1）求證：△ABC∽△ADE；

（2）求證：DAOC＝ODCE．

【解析】證明：（1）∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，∴∠B＝∠ADE，

∵1，∴△ABC∽△ADE；

（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，

∵∠COD＝∠EOA，∴△COD∽△EOA，∴，

∵∠AOD＝∠COE，∴△AOD∽△EOC，∴DA：CE＝OD：OC，即DAOC＝ODCE．

模型六、作平行或者垂直證明相似

例1.如圖，AD是△ABC的中線，E是