第47講 數(shù)列中的新數(shù)列問題（微專題）（ 含答案解析 ） 高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)學(xué)案 精講專研（新高考）

第47講數(shù)列中的新數(shù)列問題（微專題）題型選講題型一由數(shù)列公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列例1、（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，等差數(shù)列中.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列與的共同項(xiàng)由小到大排列組成新數(shù)列，求數(shù)列的前20的積.【答案】(1)，；(2).【詳解】（1），，當(dāng)時，，兩式相減得：，即，而，解得，因此數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，，在等差數(shù)列中，由，得，解得，則公差，，所以和的通項(xiàng)公式分別為，.（2）令數(shù)列的第m項(xiàng)與數(shù)列的第k項(xiàng)相同，即，于是，顯然是4的正整數(shù)倍，要成立，當(dāng)且僅當(dāng)為正偶數(shù)，因此數(shù)列與的共同項(xiàng)為，即，所以.變式1、（2022·山東日照·高三期末）數(shù)列中，已知，數(shù)列{bn}滿足，點(diǎn)在直線上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列中滿足：①；②存在使的項(xiàng)組成新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}所有項(xiàng)的和.【答案】(1)，(2)341【解析】【分析】(1)由與的關(guān)系式可得通項(xiàng)公式，再由點(diǎn)與直線的關(guān)系可得的通項(xiàng)公式；(2)找出滿足條件的共同項(xiàng)再求和即可.(1)，，，①，，，滿足①，所以是以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，，是首項(xiàng)為1公差為3的等差數(shù)列，所以.(2)且滿足的中項(xiàng)一定是除3余1的數(shù)，即形如的數(shù)，同時滿足，所以，，，，數(shù)列{cn}所有項(xiàng)的和為：.變式2、（2022·山東德州·高三期末）已知等差數(shù)列中，，首項(xiàng)，其前四項(xiàng)中刪去某一項(xiàng)后（按原來的順序）恰好是等比數(shù)列的前三項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)中不包含的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成新數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出，從而求出通項(xiàng)公式；（2）先求出的前25項(xiàng)和，再減去前25項(xiàng)中含有數(shù)列中的項(xiàng)的和，求出答案.(1)等差數(shù)列中，，，其前四項(xiàng)，，，中刪去某一項(xiàng)后（按原來的順序）恰好是等比數(shù)列的前三項(xiàng).根據(jù)題意，當(dāng)刪去數(shù)列中第三項(xiàng)時，滿足，解得；刪去時，滿足，此方程無解，不滿足題意，同理可證，刪除與時，均不滿足題意；故；所以，(2)已知等差數(shù)列中，，數(shù)列中的項(xiàng)為：4，8，16，32，64，128，256，…，所以.故數(shù)列的前25項(xiàng)和為，數(shù)列的前25項(xiàng)中含有數(shù)列中的項(xiàng)的和為，所以.題型二由給定數(shù)列的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成新數(shù)列例2、（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列，前n項(xiàng)和為，且滿足，，，，，等比數(shù)列中，，且，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記為區(qū)間中的整數(shù)個數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)，，得到為等差數(shù)列，根據(jù)通項(xiàng)公式和求和公式基本量計(jì)算出首項(xiàng)和公差，得到的通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算出和公比，求出的通項(xiàng)公式；（2）在第一問的基礎(chǔ)上得到，分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式求出答案.【詳解】（1），，，即，，，故為等差數(shù)列，設(shè)公差為，故，，解得：，，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，，因?yàn)?，成等差?shù)列，所以，即，與聯(lián)立得：或0（舍去），且，故，（2）由題意得：為中的整數(shù)個數(shù)，故，所以.變式1、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)校考一模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為（b為常數(shù)）．(1)求b的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）依題意等比數(shù)列的公比不為1，再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式得到，即可得到且，從而求出、，即可得解；（2）首先令，，即可求出的取值范圍，從而求出，即可得到，再利用錯位相減法求和即可；【詳解】（1）解：由題設(shè)，顯然等比數(shù)列的公比不為1，若的首項(xiàng)、公比分別為、，則，∴且，所以，故的通項(xiàng)公式為．當(dāng)時，；（2）解：令，，解得，所以數(shù)列在中的項(xiàng)的個數(shù)為，則，所以，∵，①∵②

兩式相減得∴．∴變式2、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)校考一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．給定，記集合的元素個數(shù)為．(1)求，的值；(2)求最小自然數(shù)n的值，使得．【答案】(1)，；；(2)11【分析】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得公差，得通項(xiàng)公式，寫出時的集合可得元素個數(shù)，即；（2）由（1）可得，然后分組求和法求得和，用估值法得時和小于2022，時和大于2022，由數(shù)列的單調(diào)性得結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列，得，，解得，所以，時，集合中元素個數(shù)為，時，集合中元素個數(shù)為；（2）由（1）知，，時，=2001<2022，時，=4039>2022，記，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，所以所求的最小值是11.題型三由數(shù)列的插入項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列例3、（2022·山東煙臺·一模）己知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入個1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個新的數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求的值．【解析】(1)設(shè)的公差為d，由已知，．解得，d＝2．所以；(2)因?yàn)榕c之間插入個1，所以在中對應(yīng)的項(xiàng)數(shù)為，當(dāng)k＝6時，，當(dāng)k＝7時，，所以，，且．因此.變式1、(2022·青島期初考試)已知等差數(shù)列{An}的首項(xiàng)A1為4，公差為6，在{An}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入兩個數(shù)，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列{an}．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若EQa\S\DO(k\S\DO(1))，EQa\S\DO(k\S\DO(2))，…，EQa\S\DO(k\S\DO(n))，…是從{an}中抽取的部分項(xiàng)按原來的順序排列組成的一個等比數(shù)列，eqk\s\do(1)＝1，k\s\do(2)＝5，令eqb\s\do(n)＝2nk\s\do(n)＋2n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意可知，eqa\s\do(1)＝A\s\do(1)＝4，a\s\do(4)＝A2＝4＋6＝10，所以eqa\s\do(4)＝4＋(4－1)×d＝10，解得d＝2，所以eqa\s\do(n)＝a\s\do(1)＋(n－1)d＝4＋(n－1)×2＝2n＋2；(2)設(shè)等比數(shù)列EQa\S\DO(k\S\DO(1))，EQa\S\DO(k\S\DO(2))，…，EQa\S\DO(k\S\DO(n))，…的公比為q，則q＝EQ\F(a\S\DO(k\S\DO(2)),a\S\DO(k\S\DO(1)))＝EQ\F(a\S\DO(5),a\S\DO(1))＝EQ\F(12,4)＝3，所以EQa\S\DO(k\S\DO(n))＝eq4·3\s\up6(n－1)，又EQa\S\DO(k\S\DO(n))＝eq2k\s\do(n)＋2，所以eq2k\s\do(n)＋2＝4·3\s\up6(n－1)，k\s\do(n)＝2·3\s\up6(n－1)－1，eq∴b\s\do(n)＝2nk\s\do(n)＋2n＝4n·3\s\up6(n－1)，因?yàn)閑qT\s\do(n)＝4×3\s\up6(0)＋8×3\s\up6(1)＋12×3\s\up6(2)＋…＋4n·3\s\up6(n－1)，所以eq3T\s\do(n)＝4×31eq＋8×3\s\up6(2)＋12×3\s\up6(3)＋…＋4(n－1)·3\s\up6(n－1)＋4n·3\s\up6(n)，相減得：eq－2T\s\do(n)＝4×3\s\up6(0)＋4×3\s\up6(1)＋4×3\s\up6(2)＋…＋4·3\s\up6(n－1)－4n·3\s\up6(n)eq＝\f(4(1－3\s\up6(n)),1－3)－4n·3\s\up6(n)＝－2(2n－1)·3\s\up6(n)－2eq∴T\s\do(n)＝(2n－1)·3\s\up6(n)＋1變式2、（2022·廣東東莞·高三期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在任意相鄰兩項(xiàng)和之間插入個1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個新的數(shù)列，求數(shù)列的前200項(xiàng)的和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由求解；（2）方法一：由題意得到，的各項(xiàng)為，再確定數(shù)列的項(xiàng)求解；方法二：由在數(shù)列中，前面（包括）共有項(xiàng)，令，確定數(shù)列的項(xiàng)求解.(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題得，即，整理得