湘教版數(shù)學(xué)八年級下冊-建立一次函數(shù)模型解決預(yù)測類型的實(shí)際問題

4.5一次函數(shù)的應(yīng)用第4章一次函數(shù)第2課時利用一次函數(shù)模型解決預(yù)測類型的實(shí)際問題情境引入

烏鴉喝水，是《伊索寓言》中一個有趣的寓言故事.故事梗概為：“一只口渴的烏鴉看到窄口瓶內(nèi)有半瓶水，于是將小石子投入瓶中，使水面升高，從而喝到了水.”告訴人們遇到困難要積極想解決辦法，認(rèn)真思考才能讓問題迎刃而解

的道理.數(shù)學(xué)問題也一樣哦.

如果將烏鴉喝水的故事進(jìn)行量化，你能判斷烏鴉丟進(jìn)多少顆石子，水能剛好在瓶口嗎？說說你的做法！10cm9cm一次函數(shù)模型的應(yīng)用現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中的很多問題或現(xiàn)象都可以抽象成數(shù)學(xué)問題，并通過建立合適的數(shù)學(xué)模型來表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，再求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.下面有一個實(shí)際問題，你能否利用已學(xué)的知識給予解決？奧運(yùn)會早期，男子撐桿跳高的記錄如下表所示：年份199019041908高度(m)3.333.533.73觀察這個表中第二行的數(shù)據(jù)，你能為奧運(yùn)會的撐桿跳高記錄與奧運(yùn)會年份的關(guān)系建立函數(shù)模型嗎？上表中每一屆記錄比上一屆的記錄提高了0.2m，可以嘗試建立一次函數(shù)模型.用

t

表示從1900年起增加的年份，那么，奧運(yùn)會男子撐桿跳高的記錄

y(m)與

t之間的函數(shù)表達(dá)式可以設(shè)為

y=kt+b.由于

t=0(即1990年)時，撐桿跳高的記錄為3.33m；t=4(即1994年)時，記錄為3.53m，因此b=3.33，4k

+

b

=3.53.解得

k=0.05，b=

3.33.于是

y=0.05t+3.33.①當(dāng)t=8時，y=3.73，這說明1908年的撐桿跳高記錄也符合公式①.公式①就是奧運(yùn)會早期男子撐桿跳高記錄

y與

t之間的函數(shù)表達(dá)式.能利用公式

①測算1912年奧運(yùn)會男子撐桿跳高記錄嗎

？y=0.05×12+3.33=3.93.實(shí)際上，1912年奧運(yùn)會男子跳高記錄約為3.93m.這表明用所建立的函數(shù)模型，在已知數(shù)據(jù)鄰近做預(yù)測，結(jié)果與實(shí)際情況比較吻合.能利用公式

①測算20世紀(jì)80年代，譬如1988年奧運(yùn)會男子撐桿跳高的記錄嗎？y=0.05×88+3.33=7.73.然而，1988年奧運(yùn)會男子撐桿跳高記錄是5.90m，遠(yuǎn)低于7.73m.這表明用所建立的函數(shù)模型遠(yuǎn)離已知數(shù)據(jù)做預(yù)測是不可靠的.例1請每位同學(xué)伸出一只手掌，把大拇指與小拇指盡量張開，兩指間的距離稱為指距.已知指距與身高具有如下關(guān)系：指距

x（cm）192021身高

y（cm）151160169(1)求身高

y與指距

x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)李華的指距為22cm時，你能預(yù)測他的身高嗎？典例精析解：設(shè)身高

y與指距

x之間的函數(shù)表達(dá)式為

y=kx+b.

將

x=19，y=151與

x=20，y=160代入上式，得

19k+b=151，

20k+b=160.（1）求身高

y與指距

x之間的函數(shù)表達(dá)式；解得

k=9，b=-20.于是

y=9x-

20.①將

x=21，y=169代入①式也符合.公式①就是身高

y與指距

x之間的函數(shù)表達(dá)式.解：當(dāng)

x=22時，y=9×22-

20=178.

因此，李華的身高大約是178cm.（2）當(dāng)李華的指距為22cm時，你能測算他的身高嗎？

小明同學(xué)在探索鞋碼的兩種長度“碼”與“厘米”之間的換算關(guān)系時，通過調(diào)查獲得下表數(shù)據(jù)：x(厘米)…2223242526…y(碼)…3436384042…問1：根據(jù)表中提供的信息，在同一直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的分布有什么規(guī)律嗎？練一練3032383634424023252421222726y(碼)x(厘米)問2：據(jù)說某籃球巨人的鞋子長31cm，那么你知道他穿多大碼的鞋子嗎？這些點(diǎn)在一條直線上，如圖所示.O

我們選取點(diǎn)（22，34）及點(diǎn)（25，40）的坐標(biāo)代入y=kx+b中，得22k+b=34，25k+b=40.解得

k=2，b=-10.∴一次函數(shù)的表達(dá)式為

y=2x-

10.把

x=31代入上式，得

y=2×31-

10=52.∴可以得到某籃球巨人穿52碼的鞋子.1.下圖是用棋子擺成的“上”字，則第

n個圖共有多少枚棋子？圖1圖2圖3圖4解：先列表：x123…y

61014…描點(diǎn)：如圖所示.

我們發(fā)現(xiàn)圖形的形狀為一條直線，故可設(shè)該直線為

y=kx+b.選取點(diǎn)（1，6）及點(diǎn)（2，10）的坐標(biāo)代入y=kx+b中，得k+b=6，2k+b=10.解得

k=4，b=2.∴一次函數(shù)的表達(dá)式為

y=4x+2.令

x=n，則

y=4n+2.∴第

n個圖形有(4n+2)棋子.

2.世界上大部分國家都使用攝氏溫度(℃)計(jì)量法，但美、英等國的天氣預(yù)報仍然使用華氏溫度(℉)計(jì)量法.兩種計(jì)量法之間有如下的對應(yīng)關(guān)系：x/℃01020304050y/℉32506886104122(1)在平面直線坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的分布情況，并猜想

y與

x之間的函數(shù)關(guān)系；(2)確定

y與

x之間的函數(shù)表達(dá)式，并檢驗(yàn)；(3)華氏0度時的溫度應(yīng)是多少攝氏度？(4)華氏溫度的值與對應(yīng)的攝氏溫度的值有相等的可能嗎？(1)在平面直線坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的分布情況，并猜想

y與

x之間的函數(shù)關(guān)系；解：(1)如圖所示，以表中對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)大致分布在一條直線上，據(jù)此，可猜想：y

與

x

之間的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù).(2)確定

y與

x之間的函數(shù)表達(dá)式，并檢驗(yàn)；解：設(shè)

y

＝

kx＋b，把

(0，32)

和

(10，50)

代入得解得經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)

(20，68)，(30，86)，(40，104)，(50，122)

的坐標(biāo)均能滿足上述表達(dá)式，∴y

與

x

之間的函數(shù)表達(dá)式為(3)華氏0度時的溫度應(yīng)是多少攝氏度？解：當(dāng)

y

＝

0

時，解得∴華氏

0

度時的溫度應(yīng)是℃.(