垂徑定理 省賽獲獎

垂直于弦的直徑問題：它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？

實踐探究沿著圓的任意一條直徑對折，重復幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結論？

可以發(fā)現(xiàn)：

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．活動一如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．（1）它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？?思考·OABCDE活動二

（1）直徑CD所在的直線是它的對稱軸（2）線段：

AE=BE⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒弧:┗在⊙O中，直徑CD⊥弦AB∴AM=BM=AB⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧垂徑定理:歸納┗在⊙O中，直徑CD平分弦AB∴CD⊥AB⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒弦（不是直徑）并且平分弦所對的兩條弧

.平分的直徑垂直于弦，

推論1.垂徑定理相當于說一條直線如果具備（1）過圓心；（2）垂直于弦；則它有以下性質：（3）平分弦；（4）平分弦所對的劣??；（5）平分弦所對的優(yōu)弧.歸納知二推三:

這五個條件中，只要滿足其中任意二個條件，則能推出另外三個結論。2.在圓中解決有關弦的問題時，經(jīng)常是過圓心作弦的垂線段，連結半徑等輔助線，為應用垂徑定理創(chuàng)造條件.AB.OEABDCOE方法指導問題：你會平分一條弧嗎？《名師測控》P39/1、31、在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB=8，OA=5，則AC=

，OC=

。┏58432、在⊙O中，OC平分弦AB，AB=16，OA=10，則∠OCA=

°，OC=

。1610906練一練3、設⊙O的半徑是r，圓心到弦的距離為d，弦長a，三者關系如何？rd

r2=d2+()2a2O1如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求⊙O的半徑。解：連結OA。過O作OE⊥AB于E，則OE＝3厘米，AE＝1／2AB∵AB＝8厘米∴AE＝4厘米在Rt△

AOE中，根據(jù)勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半徑為5厘米。.AEBO活動三問題：它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？ODABCR解決求趙州橋拱半徑的問題解得：R≈27．9（m）ODABCR解決求趙州橋拱半徑的問題？在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2如圖，用AB表示主橋拱，設AB所在圓的圓心為O，半徑為R．經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點C，根據(jù)前面的結論，D是AB的中點，C是AB的中點，CD就是拱高．⌒⌒⌒解:AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2∵半徑OC⊥弦AB∴∴AB=37.4mCD=7.2m2．如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ABOE是正方形．·OABCDE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.∵AG=BG⌒⌒CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒Gabcd∵a=b，c=d∴a–c=b-d線段加減圓弧加減1、如圖，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD.

求證：AC=BD。

⌒⌒FE解：過點O作OE⊥CD，交CD于點E在⊙O中，OF⊥弦ABG交⊙O于點G交AB于點F，∴AG=BG⌒⌒∵OE⊥弦CD∴CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒

如圖，在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD=20，CM=4，求AB的長。解：連接OA在⊙O中，直徑CD⊥弦AB∴AB=2AM△OMA是Rt△∵CD=20∴AO=CO=10∴OM=OC–CM=10–4=6在Rt

△OMA中，AO=10，OM=6根據(jù)勾股定理，得：∴∴AB=2AM=2x8=16動動腦筋1.垂徑定理相當于說一條直線如果具備（1）過圓心；（2）垂