生物數(shù)學(xué)模型第4-講生物統(tǒng)計(jì)學(xué)-酶促反應(yīng)

回歸模型1建立實(shí)際回歸模型的過(guò)程實(shí)際問(wèn)題設(shè)置指標(biāo)變量解釋變量的重要性；不相關(guān)性；用相近的變量代替或幾個(gè)指標(biāo)復(fù)合；個(gè)數(shù)適當(dāng)——這個(gè)過(guò)程需反復(fù)試算收集整理數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)：隨機(jī)誤差項(xiàng)的序列相關(guān)，如人們的消費(fèi)習(xí)慣橫截面數(shù)據(jù)：隨機(jī)誤差項(xiàng)的異方差性，如居民收入與消費(fèi)樣本容量的個(gè)數(shù)應(yīng)比解釋變量個(gè)數(shù)多缺失值，異常值處理構(gòu)造理論模型繪制yi

與xi的樣本散點(diǎn)圖，如生產(chǎn)函數(shù)、投資函數(shù)、需求函數(shù)估計(jì)模型參數(shù)——最小二乘,偏最小二乘,主成分回歸等,依靠軟件.模型檢驗(yàn)——統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和模型經(jīng)濟(jì)意義檢驗(yàn),從設(shè)置指標(biāo)變量修改模型運(yùn)用經(jīng)濟(jì)因素分析、經(jīng)濟(jì)變量控制、經(jīng)濟(jì)決策預(yù)測(cè)2線性回歸實(shí)例選講－－牙膏的銷(xiāo)售量

1.問(wèn)題建立牙膏銷(xiāo)售量與價(jià)格、廣告投入之間的模型;預(yù)測(cè)在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的牙膏銷(xiāo)售量.收集了30個(gè)銷(xiāo)售周期本公司牙膏銷(xiāo)售量、價(jià)格、廣告費(fèi)用，及同期其他廠家同類(lèi)牙膏的平均售價(jià).9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.8029

8.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷(xiāo)售量(百萬(wàn)支)價(jià)格差（元）廣告費(fèi)用(百萬(wàn)元)其他廠家價(jià)格(元)本公司價(jià)格(元)銷(xiāo)售周期3明確問(wèn)題-----牙膏的銷(xiāo)售量確定關(guān)系：牙膏銷(xiāo)售量——價(jià)格、廣告投入內(nèi)部規(guī)律復(fù)雜

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析常用模型

回歸模型

×

數(shù)學(xué)原理

軟件30個(gè)銷(xiāo)售周期數(shù)據(jù)：銷(xiāo)售量、價(jià)格、廣告費(fèi)用、同類(lèi)產(chǎn)品均價(jià)銷(xiāo)售周期公司價(jià)(元)它廠價(jià)(元)廣告(百萬(wàn)元)價(jià)差(元)銷(xiāo)售量(百萬(wàn)支)13.853.805.50-0.057.3823.754.006.750.258.51………………293.803.855.800.057.93303.704.256.800.559.2642.基本模型x2yx1yy~公司牙膏銷(xiāo)售量x1~其它廠家與本公司價(jià)格差x2~公司廣告費(fèi)用解釋變量(回歸變量,自變量)被解釋變量（因變量）

多元回歸模型5Matlab

統(tǒng)計(jì)分析rcoplot(r,rint)殘差及其置信區(qū)間作圖[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,alpha)statisticstoolbox解釋變量：矩陣顯著性水平：0.05

系數(shù)

估計(jì)值

置信區(qū)間

殘差向量y-xb

置信區(qū)間

被解釋變量：列檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：R2,F,p,s2隨機(jī)誤差：正態(tài)分布均值為零回歸系數(shù)x=3.模型求解由數(shù)據(jù)y,x1,x2估計(jì)

x=[ones(size(x1)),x1,x2,x2.^2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)程序64.結(jié)果分析參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p<0.0001s2=0.0490

0

1

2

3,故x22項(xiàng)顯著但可將x2保留在模型中即：y的90.54%可由模型確定、F遠(yuǎn)超過(guò)F檢驗(yàn)的臨界值、p遠(yuǎn)小于

=0.05顯著性：整體顯著x2

：

2置信區(qū)間包含零點(diǎn),但右端點(diǎn)距零點(diǎn)很近

——x2對(duì)因變量y的影響不太顯著；

3

顯著7控制價(jià)格差x1=0.2元，投入廣告費(fèi)x2=6.5百萬(wàn)元銷(xiāo)售量預(yù)測(cè)區(qū)間為[7.8230，8.7636]（置信度95%）上限用作庫(kù)存管理的目標(biāo)值下限用來(lái)把握公司的現(xiàn)金流若估計(jì)x3=3.9，設(shè)定x4=3.7(百萬(wàn)支)銷(xiāo)售量預(yù)測(cè)價(jià)差x1=它廠價(jià)x3-公司價(jià)x4估計(jì)x3，調(diào)整x4控制x1預(yù)測(cè)y得則可以95%的把握知道銷(xiāo)售額在7.8320

3.7

29（百萬(wàn)元）以上85.模型改進(jìn)x1和x2對(duì)y的影響?yīng)毩?/p>

參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p<0.0001s2=0.0426

0

1

2

3參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間29.1133[13.701344.5252]11.1342[1.977820.2906]-7.6080[-12.6932-2.5228]0.6712[0.25381.0887]-1.4777[-2.8518-0.1037]R2=0.9209F=72.7771p<0.0001s2=0.0490

3

0

1

2

4x1和x2對(duì)y的影響有交互作用比較：置信區(qū)間,R29比較:兩模型銷(xiāo)售量預(yù)測(cè)控制價(jià)格差x1=0.2元，投入廣告費(fèi)x2=6.5百萬(wàn)元(百萬(wàn)支)區(qū)間[7.8230，8.7636]區(qū)間[7.8953，8.7592](百萬(wàn)支)預(yù)測(cè)區(qū)間長(zhǎng)度更短

略有增加

10x2=6.5x1=0.2x1x1x2x26.比較:兩模型與x1,x2的關(guān)系11討論：交互作用影響價(jià)格差x1=0.1價(jià)格差x1=0.3廣告投入

y

（x2大于6百萬(wàn)元）價(jià)格差較小時(shí)增加的速率更大x2價(jià)格優(yōu)勢(shì)

y

價(jià)格差較小

廣告作用大x1x212多元二項(xiàng)式回歸命令：rstool（x，y，’model’,alpha）nm矩陣顯著性水平（缺省時(shí)為0.05）n維列向量13完全二次多項(xiàng)式模型MATLAB中有命令rstool直接求解從輸出Export可得鼠標(biāo)移動(dòng)十字線(或下方窗口輸入)可改變x1,x2,左邊窗口顯示預(yù)測(cè)值及預(yù)測(cè)區(qū)間Rstool(x,y,’model’,alpha,’xname’,’yname’)14牙膏的銷(xiāo)售量建立統(tǒng)計(jì)回歸模型的基本步驟根據(jù)已知數(shù)據(jù)從常識(shí)和經(jīng)驗(yàn)分析,輔之以作圖,

決定回歸變量及函數(shù)形式(先取盡量簡(jiǎn)單的形式).用軟件(如MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱)求解.對(duì)結(jié)果作統(tǒng)計(jì)分析:R2,F,p,s2是對(duì)模型整體評(píng)價(jià),

回歸系數(shù)置信區(qū)間是否含零點(diǎn)檢驗(yàn)其影響的顯著性.

模型改進(jìn),如增添二次項(xiàng)、交互項(xiàng)等.對(duì)因變量進(jìn)行預(yù)測(cè).15非線性回歸實(shí)例選講－－酶促反應(yīng)

問(wèn)題研究酶促反應(yīng)（酶催化反應(yīng)）中——嘌呤霉素(處理與否)——對(duì)反應(yīng)速度與底物（反應(yīng)物）濃度之間關(guān)系的影響.酶促反應(yīng)由酶作為催化劑催化進(jìn)行的化學(xué)反應(yīng)生物體內(nèi)的化學(xué)反應(yīng)絕大多數(shù)屬于酶促反應(yīng)酶促反應(yīng)中酶作為高效催化劑使得反應(yīng)以極快的速度（103~1017倍）或在一般情況下無(wú)法反應(yīng)的條件下進(jìn)行酶是生物體內(nèi)進(jìn)行各種化學(xué)反應(yīng)最重要的因素16建立數(shù)學(xué)模型，反映該酶促反應(yīng)的速度與底物濃度以及經(jīng)嘌呤霉素處理與否之間的關(guān)系設(shè)計(jì)了兩個(gè)實(shí)驗(yàn)酶經(jīng)過(guò)嘌呤霉素處理酶未經(jīng)嘌呤霉素處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù):底物濃度(ppm)0.020.060.11反應(yīng)速度處理764797107123139未處理6751848698115底物濃度(ppm)0.220.561.10反應(yīng)速度處處理131124144158160/方案17經(jīng)嘌呤霉素處理xy未經(jīng)嘌呤霉素處理xyxy0

1

1/2

2

2

(半速度點(diǎn))分析Michaelis-Menten模型待定系數(shù)

=(

1

,2)基本模型酶促反應(yīng)的速度底物濃度酶促反應(yīng)的基本性質(zhì)底物濃度較小時(shí)，反應(yīng)速度大致與濃度成正比；底物濃度很大、漸進(jìn)飽和時(shí)，反應(yīng)速度趨于固定值數(shù)據(jù)分析18解決方案一：線性化模型

經(jīng)嘌呤霉素處理后實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的估計(jì)結(jié)果

參數(shù)參數(shù)估計(jì)值（×10-3）置信區(qū)間（×10-3）

15.107[3.5396.676]

20.247[0.1760.319]R2=0.8557F=59.2975p<0.0001對(duì)

1

,2非線性

對(duì)

1,

2線性

19線性化模型結(jié)果分析

x較大時(shí)，y有較大偏差1/x較小時(shí)有很好的線性趨勢(shì),1/x較大時(shí)出現(xiàn)很大的起落

1/y1/xxy線性化：參數(shù)估計(jì)時(shí)x較小（1/x很大）的數(shù)據(jù)控制了回歸參數(shù)的確定改進(jìn)：非線性模型20beta的置信區(qū)間[beta,R,J]=nlinfit(x,y,’model’,beta0)

回歸分析：非線性解釋變量：矩陣模型的函數(shù)M文件名參數(shù)估計(jì)值殘差參數(shù)初值被解釋變量：列估計(jì)預(yù)測(cè)誤差的Jacobi矩陣betaci=nlparci(beta,R,J)解決方案二：非線性化模型

21[beta,R,J]=nlinfit(x,y,’model’,beta0)%beta的置信區(qū)間MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱

functiony=f1(beta,x)y=beta(1)*x./(beta(2)+x);x==…………;y=…………;beta0=[195.80270.04841];[beta,R,J]=nlinfit(x,y,’f1’,beta0);betaci=nlparci(beta,R,J);beta,betaci

beta0~線性化模型估計(jì)結(jié)果Matlab

程序22半速度點(diǎn)(達(dá)到最終速度一半時(shí)的底物濃度x值

)為o~原始數(shù)據(jù)+~擬合結(jié)果

非線性模型結(jié)果分析參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間

1212.6819[197.2029，228.1609]

20.0641[0.04570.0826]其他輸出命令nlintool

給出交互畫(huà)面最終反應(yīng)速度為給出交互畫(huà)面拖動(dòng)畫(huà)面的十字線，得y的預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)區(qū)間畫(huà)面左下方的Export輸出其它統(tǒng)計(jì)結(jié)果。剩余標(biāo)準(zhǔn)差s=10.933723在同一模型中考慮嘌呤霉素處理的影響,用未經(jīng)嘌呤霉素處理的模型附加增量的方法?；旌戏磻?yīng)模型底物濃度示性變量x2示性變量：x2=1表示經(jīng)過(guò)處理，x2=0表示未經(jīng)處理未經(jīng)處理的最終反應(yīng)速度經(jīng)處理后最終反應(yīng)速度增長(zhǎng)值未經(jīng)處理的反應(yīng)的半速度點(diǎn)經(jīng)處理后反應(yīng)的半速度點(diǎn)增長(zhǎng)值24用nlinfit

和nlintool命令參數(shù)初值：基于對(duì)數(shù)據(jù)的分析

o~原始數(shù)據(jù)+~擬合結(jié)果估計(jì)結(jié)果和預(yù)測(cè)剩余標(biāo)準(zhǔn)差s=10.4000參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間

1160.2802[145.8466174.7137]

20.0477[0.03040.0650]

152.4035[32.413072.3941]

20.0164[-0.00750.0403]

2置信區(qū)間包含零點(diǎn)，表明

2對(duì)因變量y的影響不顯著經(jīng)嘌呤霉素處理的作用不影響半速度點(diǎn)參數(shù)未經(jīng)處理經(jīng)處理混合模型求解25簡(jiǎn)化的混合模型

估計(jì)結(jié)果和預(yù)測(cè)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間

1166.6025[154.4886178.7164]

20.0580[0.04560.0703]

142.0252[28.941955.1085]簡(jiǎn)化的混合模型形式簡(jiǎn)單參數(shù)置信區(qū)間不含零點(diǎn)剩余標(biāo)準(zhǔn)差s=10.5851，比一般混合模型略大o~原始數(shù)據(jù)+~擬合結(jié)果未經(jīng)處理經(jīng)處理26實(shí)際值一般模型預(yù)測(cè)值Δ(一般