高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第15講 3.1.1函數(shù)的概念（學(xué)生版）

第01講3.1.1函數(shù)的概念課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①函數(shù)的概念；②了解函數(shù)的三要素；③掌握簡單函數(shù)的定義域；④掌握求函數(shù)的值；⑤掌握區(qū)間的寫法.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握函數(shù)概念及函數(shù)的三要素，會(huì)判斷同一函數(shù)，會(huì)求簡單函數(shù)的定義域及值域.知識(shí)點(diǎn)01：函數(shù)的概念1、初中學(xué)習(xí)的函數(shù)的傳統(tǒng)定義設(shè)在一個(gè)變化的過程中，有兩個(gè)變量和，如果給定了一個(gè)值，相應(yīng)地就有唯一確定的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，那么我們就稱是的函數(shù)，其中是自變量，是因變量.它們描述的是兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系.2、函數(shù)的近代定義一般地，設(shè)，是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù)，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)(function)，記作，.其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合的子集.函數(shù)的四個(gè)特征：①非空性：，必須為非空數(shù)集（注意不僅非空，還要是數(shù)集），定義域或值域?yàn)榭占暮瘮?shù)是不存在的.②任意性：即定義域中的每一個(gè)元素都有函數(shù)值.③單值性：每一個(gè)自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)（可以多對(duì)一，不能一對(duì)多）.④方向性：函數(shù)是一個(gè)從定義域到值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果改變這個(gè)對(duì)應(yīng)方向，那么新的對(duì)應(yīng)所確定的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.【即學(xué)即練1】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)圖象中，是函數(shù)圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ACD【詳解】由函數(shù)的定義可知，對(duì)任意的自變量，有唯一的值相對(duì)應(yīng)，選項(xiàng)B中的圖像不是函數(shù)圖像，出現(xiàn)了一對(duì)多的情況，其中選項(xiàng)A、C、D皆符合函數(shù)的定義，可以表示是函數(shù).故選：ACD知識(shí)點(diǎn)02：函數(shù)的三要素1、定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．2、對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心，它是對(duì)自變量實(shí)施“對(duì)應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”．3、值域：與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域(range).【即學(xué)即練2】（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【詳解】，，或所以定義域?yàn)椋?故答案為：知識(shí)點(diǎn)03：函數(shù)相等同一函數(shù)：只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才相等,即是同一個(gè)函數(shù).【即學(xué)即練3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】D【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)槎x域?yàn)镽，定義域?yàn)镽，定義域相同，但，所以，不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)槎x域?yàn)镽，定義域?yàn)?，定義域不同，所以，不是同一函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)槎x域?yàn)椋x域?yàn)?，定義域不同，所以，不是同一函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)槎x域?yàn)镽，定義域?yàn)镽，又，所以，是同一函數(shù)，故D正確.故選：D知識(shí)點(diǎn)04：區(qū)間的概念1區(qū)間的概念設(shè)，是實(shí)數(shù)，且，滿足的實(shí)數(shù)的全體，叫做閉區(qū)間，記作，即，。如圖：，叫做區(qū)間的端點(diǎn)．在數(shù)軸上表示一個(gè)區(qū)間時(shí)，若區(qū)間包括端點(diǎn)，則端點(diǎn)用實(shí)心點(diǎn)表示；若區(qū)間不包括端點(diǎn)，則端點(diǎn)用空心點(diǎn)表示．集合區(qū)間2含有無窮大的表示全體實(shí)數(shù)也可用區(qū)間表示為，符號(hào)“”讀作“正無窮大”，“”讀作“負(fù)無窮大”，即。集合區(qū)間【即學(xué)即練4】（2023秋·廣東廣州·高一西關(guān)培英中學(xué)?？计谀┮阎?，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)榧?，，所以，即，故選：B.題型01函數(shù)關(guān)系的判斷【典例1】（2023秋·湖北襄陽·高一襄陽四中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則的圖象可能是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·江西新余·高一新余市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，，下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中，從到的函數(shù)為（

）A．f： B．f：C．f： D．f：【變式1】（多選）（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一?？计谀┫铝袑?duì)應(yīng)中是函數(shù)的是（

）．A．，其中，，B．，其中，，C．，其中y為不大于x的最大整數(shù)，，D．，其中，，題型02集合與區(qū)間的轉(zhuǎn)化【典例1】（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知全集,集合,則（

）A． B．C． D．【典例2】（2023秋·廣東廣州·高一廣州市海珠中學(xué)?？计谀┤艏希?，則（

）A． B． C． D．【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）全集，集合，集合，則（

）A． B．C． D．題型03同一個(gè)函數(shù)【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【典例2】（都選）（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一校考期末）下面各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．（），C．， D．，【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列每組中的函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，題型04求函數(shù)值【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)，則_________．【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則＝______．【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，．（1）計(jì)算：____________；（2）計(jì)算：____________．題型05根據(jù)函數(shù)值請(qǐng)求自變量或參數(shù)【典例1】（2022秋·福建廈門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)的值域是，則此函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【典例2】（多選）（2022秋·湖南岳陽·高一湖南省岳陽縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)?，則區(qū)間可能為（）A． B． C． D．【變式1】（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知函數(shù)的值域是，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型06函數(shù)的定義域（具體函數(shù)的定義域）【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_______.題型07函數(shù)的定義域（抽象函數(shù)的定義域）【典例1】（2023秋·陜西西安·高一長安一中?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【典例2】（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測）若的定義域?yàn)?，求的定義域．【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____．（2）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開_____．題型08函數(shù)的定義域（復(fù)合函數(shù)的定義域）【典例1】（2023秋·福建寧德·高一福建省霞浦第一中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·黑龍江佳木斯·高一富錦市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)）的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．（，4） B．[，4）C．（，6） D．（，2）【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.題型09函數(shù)的定義域（實(shí)際問題中的定義域）【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長為，底邊長是腰長的函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B． C． D．【典例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）周長為定值的矩形，它的面積是這個(gè)矩形的一邊長的函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【變式1】（2022秋·山東煙臺(tái)·高一校考階段練習(xí)）如圖，某小區(qū)有一塊底邊和高均為40m的銳角三角形空地，現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)種植一邊長為（單位：m）的矩形草坪（陰影部分），要求草坪面積不小于，則的取值范圍為______.題型10函數(shù)的值域（常見（一次，二次，反比例）函數(shù)的值域）【典例1】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一?？计谥校┖瘮?shù)，則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【典例2】（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域、值域，并畫出圖象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【變式1】例題3．（2022秋·浙江杭州·高一?？茧A段練習(xí)）求下列函數(shù)的值域.(1);(2),.題型11函數(shù)的值域（根式型函數(shù)的值域）【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域?yàn)開________.【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的值域是___________.題型12函數(shù)的值域（分式型函數(shù)的值域）【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y的值域是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）【典例2】（2023秋·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谀?）求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)的值域.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域______________．【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是___________.題型13根據(jù)函數(shù)的值域求定義域【典例1】（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知函數(shù)的值域是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（多選）（2022秋·湖南郴州·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的值域是，則其定義域可能是（

）A． B． C． D．【變式1】（多選）（2022秋·湖南岳陽·高一湖南省岳陽縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)椋瑒t區(qū)間可能為（）A． B． C． D．題型14重點(diǎn)方法之換元法求值域【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谀┣蠛瘮?shù)的值域.題型15重點(diǎn)方法之分離常數(shù)法求值域【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域.【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：題型16數(shù)學(xué)思想方法（數(shù)形結(jié)合的思想方法）【典例1】（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知函數(shù)的值域是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·江蘇泰州·高一靖江高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則其值域?yàn)椋?/p>

）.A． B．C． D．題型17易錯(cuò)題（換元必?fù)Q范圍）【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開__________．3.1.1函數(shù)的概念A(yù)夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，那么的值（

）A．3 B．5 C．72．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．或3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列各函數(shù)中，與函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知高斯取整函數(shù)，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下表給出了x與和的對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)表格可知的值為（

）x1234x123431424321A．1 B．2 C．3 D．46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列對(duì)應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．7．（2023春·陜西咸陽·高一?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A．[-4，1] B．[-3，1] C．[-3，1） D．[-4，1）8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)定義域?yàn)?，且，，則下列結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）中國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將“function”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”．1930年美國人給出了我們課本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義．已知集合M＝{1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)法則，請(qǐng)由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是（

）A． B． C． D．三、填空題11．（2023秋·安徽滁州·高一安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)二次函數(shù)（，）的值域是，則的最小值是____________．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開__________．四、解答題13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求a的取值范圍.14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)閇1，3]，求的值B能力提升1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)锳． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求，的值；(2)求證：的定值；(3)求的值．C綜合素養(yǎng)1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，，．若，且，則（

）A． B． C． D．2．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)于定義