高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第24講 4.2指數(shù)函數(shù)（教師版）

第02講4.2指數(shù)函數(shù)（4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念+4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解指數(shù)函數(shù)，掌握指數(shù)函數(shù)的形式及條件，會(huì)根據(jù)底數(shù)區(qū)分兩類(lèi)函數(shù)。②掌握指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行方程、不等式的求解，比較大小，及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解、會(huì)求與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的函數(shù)的定義域、值域。③能解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合性問(wèn)題。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求認(rèn)識(shí)、了解指數(shù)函數(shù)的形式及要求，掌握指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并能利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行大小的比較、解指數(shù)方程與不等式、會(huì)求復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間，能解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題及綜合問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)01：指數(shù)函數(shù)的概念1、一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，底數(shù)是一個(gè)大于0且不等于1的常量，定義域是.2、學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的定義，注意一下幾點(diǎn)（1）定義域?yàn)椋海?）規(guī)定是因?yàn)椋孩偃?，則（恒等于1）沒(méi)有研究?jī)r(jià)值；②若，則時(shí)，（恒等于0），而當(dāng)時(shí)，無(wú)意義；③若，則中為偶數(shù)，為奇數(shù)時(shí)，無(wú)意義.④只有當(dāng)或時(shí)，即，可以是任意實(shí)數(shù).（3）函數(shù)解析式形式要求：指數(shù)函數(shù)只是一個(gè)新式定義，判斷一個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵有三點(diǎn)：①的系數(shù)必須為1；②底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)，不能是自變量；③指數(shù)處只有一個(gè)自變量，而不是含自變量的多項(xiàng)式.【即學(xué)即練1】（多選）（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】由指數(shù)函數(shù)形式為且，顯然A、D不符合，C符合；對(duì)于B，且，故符合.故選：BC知識(shí)點(diǎn)02：指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表：底數(shù)圖象性質(zhì)定義域值域定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)函數(shù)值的變化情況當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)性函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)2、指數(shù)函數(shù)的底數(shù)對(duì)圖象的影響函數(shù)的圖象如圖所示：觀察圖象，我們有如下結(jié)論：2.1.底數(shù)與1的大小關(guān)系決定了指數(shù)函數(shù)圖象的“升”與“降”.（1）當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象是“上升”的，且當(dāng)時(shí)，底數(shù)的值越大，函數(shù)的圖象越“陡”，說(shuō)明其函數(shù)值增長(zhǎng)的越快.（2）當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象是“下降”的，且當(dāng)時(shí)，底數(shù)的值越小，函數(shù)的圖象越“陡”，說(shuō)明其函數(shù)值減小的越快.2.2.底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低：不論是還是，底數(shù)越大，在第一象限內(nèi)的函數(shù)圖象越“靠上”.在同一平面直角坐標(biāo)系中，底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低；在軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即“底數(shù)大圖象高”；在軸左側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由小變大，即“底數(shù)大圖象低”；知識(shí)點(diǎn)03：指數(shù)函數(shù)的定義域與值域1、定義域：（1）指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋?）的定義域與函數(shù)的定義域相同（3）的定義域與函數(shù)的定義域不一定相同.2、值域（1）指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)椋?）求形如的函數(shù)的值域，先求的值域，然后結(jié)合得性質(zhì)確定的值域（3）求形如的值域，轉(zhuǎn)化為先求的值域，再將的取值范圍代入函數(shù)中.知識(shí)點(diǎn)04：指數(shù)函數(shù)的圖象變換已知函數(shù)1、平移變換①②③④2、對(duì)稱(chēng)變換①②③3、翻折變換①（去掉軸左側(cè)圖象，保留軸右側(cè)圖象；將軸右側(cè)圖象翻折到軸左側(cè)）②（保留軸上方的圖象，將軸下方的圖象翻折到軸上方）題型01指數(shù)函數(shù)的判定與求值【典例1】（2023秋·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是指數(shù)函數(shù)的是．【答案】①⑤【詳解】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)為且，故①⑤正確；由冪函數(shù)定義知，是冪函數(shù)，故②不正確；由指數(shù)函數(shù)的定義知，③④⑥⑦均不是指數(shù)函數(shù)；對(duì)于⑧，當(dāng)時(shí)，，不是指數(shù)函數(shù).故答案為：①⑤.【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則＝．【答案】0【詳解】由已知得，，所以.故答案為：.【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是(填序號(hào))．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】③【詳解】①的系數(shù)不是，不是指數(shù)函數(shù)；②的指數(shù)不是自變量，不是指數(shù)函數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)；④的底數(shù)是不是常數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；⑤的指數(shù)不是自變量，不是指數(shù)函數(shù)；⑥是冪函數(shù)．故答案為：③題型02根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)【典例1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如果函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，則（

）A． B．1 C．9 D．8【答案】D【詳解】根據(jù)題意可得，，則.故選：D【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則的值為．【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為指數(shù)函數(shù)，則，解得.故答案為：.【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有.【答案】【詳解】由題意可得，解得或，又且，所以.故答案為：【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是．【答案】【詳解】因?yàn)槭侵笖?shù)函數(shù),所以,解得:或即a的取值范圍是.故答案為:題型03指數(shù)型函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【典例1】（多選）（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖像過(guò)定點(diǎn)，則（

）．A． B．C．為R上的增函數(shù) D．的解集為【答案】BCD【詳解】由題意可得恒成立，故，A錯(cuò)誤，因?yàn)楦鶕?jù)題意，得，，所以，故B正確，，所以，為R上的增函數(shù)，C正確；，解得，D正確．故選：BCD【典例2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）函數(shù)且恒過(guò)定點(diǎn)，．【答案】【詳解】令可得，此時(shí)有.由題意可得，，所以，，所以．故答案為：．【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【詳解】解：令，即時(shí)，，所以，函數(shù)恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：【變式2】（2023秋·吉林遼源·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【詳解】令，即，則，所以定點(diǎn)為，故答案為：題型04指數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別【典例1】（2023春·湖南常德·高一統(tǒng)考期末）指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【詳解】由指數(shù)函數(shù)的圖象可知：.令，解得，則，對(duì)應(yīng)只有B選項(xiàng)符合題意.故選：B【典例2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）函數(shù)（）的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，因此，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A、B均不符合；當(dāng)時(shí)，，因此，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C符合，D不符合．故選：C．【變式1】（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┖瘮?shù)的部分圖象大致是（

）A．B．C． D．【答案】B【詳解】定義域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，AC錯(cuò)誤；，，故B正確，D錯(cuò)誤.故選：B.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)(a>0且a≠1)的圖象可能為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)圖象的漸近線為，而，故AB不符合；對(duì)于CD，因?yàn)闈u近線為，故，故時(shí)，，故選項(xiàng)C符合，D不符合；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)圖象的漸近線為，而，故ABD不符合；故選：C題型05畫(huà)指數(shù)函數(shù)的圖象【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）利用函數(shù)的圖象，作出下列各函數(shù)的圖象．(1)；(2)(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)圖象見(jiàn)詳解(2)圖象見(jiàn)詳解(3)圖象見(jiàn)詳解(4)圖象見(jiàn)詳解(5)圖象見(jiàn)詳解(6)圖象見(jiàn)詳解【詳解】（1）把的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)得到的圖象，如圖，

（2）保留圖象在軸右邊部分，去掉軸左側(cè)的，并把軸右側(cè)部分關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)得到的圖象，如圖，

（3）把圖象向下平移一個(gè)單位得到的圖象，如圖，

（4）結(jié)合（3），保留上方部分，然后把下方部分關(guān)于軸翻折得到的圖象，如圖，

（5）把圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)得到的圖象，如圖，

（6）把的圖象向右平移一個(gè)單位得到的圖象，如圖，

【典例2】（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高一?？计谀┮阎瘮?shù).(1)在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間和值域；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)圖象見(jiàn)解析，的增區(qū)間為，減區(qū)間為，值域?yàn)?(2)【詳解】（1）函數(shù)的簡(jiǎn)圖如下：由圖可知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；值域?yàn)?（2）由，及函數(shù)的單調(diào)性可知，若則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式1】（2022秋·江西贛州·高一統(tǒng)考期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常常借助圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)．已知函數(shù).

(1)在平面直角坐標(biāo)系中作函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并根據(jù)圖象寫(xiě)出該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；(2)解不等式.【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，單調(diào)減區(qū)間為和(2)【詳解】（1）簡(jiǎn)圖如圖所示：

由圖可得該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和；（2）①當(dāng)時(shí)，得，所以；②當(dāng)時(shí)，，解得；綜上：不等式的解集為.【變式2】（2022秋·北京順義·高一?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)求的值；(2)畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若，求x的取值范圍.【答案】(1)(2)圖象詳見(jiàn)解析，減區(qū)間，增區(qū)間(3)【詳解】（1）.（2），所以的圖象如下圖所示，由圖可知，的減區(qū)間為，增區(qū)間為（3），由圖象可知，滿足的的取值范圍是.題型06利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞減，，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在R為增函數(shù)，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，綜上，.故選：A.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，所以，所以，若，則，設(shè)在上單調(diào)遞增，所以，即，不合題意.故選：A.【變式1】（2023春·北京密云·高二統(tǒng)考期末）已知，則下列不等式中成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增可知，，A選項(xiàng)正確；BCD選項(xiàng)，取，B選項(xiàng)變成，C選項(xiàng)變成，D選項(xiàng)變成，BCD均錯(cuò)誤.故選：A【變式2】（2023秋·河南鄭州·高一鄭州市第四十七高級(jí)中學(xué)?？计谀┰O(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：令，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知在R上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?，即，所以，令，由冪函?shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，所以，即，所?故選：D.題型07利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【典例1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：∵，∴x2﹣8＜2x，解得﹣2＜x＜4．故選：A．【典例2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）不等式的解集為．【答案】【詳解】原式可化為，因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以，即，解得或，所以原不等式的解集為.故答案為：.【變式1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)椋?，解得或，所以不等式的解集為?故選：C.【變式2】（2023春·上海嘉定·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）不等式的解集為.【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，由可得，故原不等式的解集為.故答案為：.題型08指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D【典例2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，只需求出的單調(diào)遞減區(qū)間，其中單調(diào)遞減區(qū)間為，故的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D【典例3】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的嚴(yán)格減區(qū)間為．【答案】/【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在R上是增函數(shù)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的嚴(yán)格減區(qū)間為.故答案為：【變式1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】【詳解】令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞遞減，又由，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】本題等價(jià)于在上單調(diào)遞增，對(duì)稱(chēng)軸，所以，得．即實(shí)數(shù)的取值范圍是．【變式3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是．【答案】.試題解析：因此它的減區(qū)間為,增區(qū)間．題型09與指數(shù)函數(shù)（指數(shù)型復(fù)合函數(shù)）有關(guān)的值域【典例1】（2023秋·廣東深圳·高一紅嶺中學(xué)校考期末）函數(shù)，的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】令，則，所以又在上單調(diào)遞增，所以即故選：B.【典例2】（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的值域是，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】．【詳解】時(shí)，且，即，因此時(shí)，的取值范圍應(yīng)包含，又時(shí)，，所以．故答案為：．【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的最大值為．【答案】【詳解】設(shè)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，所以，即的取值范圍是，所以函數(shù)的最大值為，故答案為：.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】方程有解，有解，令，則可化為有正根，則在有解，又當(dāng)時(shí)，所以，故選：．【變式3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：（1）；

（2）.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，，∴函數(shù)的值域（2）指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，∵，∴，∴函數(shù)當(dāng)時(shí)，值域.題型10可化為一元二次函數(shù)型【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：令，可得，可得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為：，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的值域?yàn)?，故選：B.【典例2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，則其值域?yàn)椋敬鸢浮俊驹斀狻苛?，∵，∴，∴，又關(guān)于對(duì)稱(chēng)，開(kāi)口向上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，時(shí)，函數(shù)取得最小值，即，時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，.故答案為：.【典例3】（2023秋·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊驹斀狻吭O(shè)，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)取得最小值，此時(shí)最小值為；當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)取得最大值，此時(shí)最大值為．故答案為：.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮浚驹斀狻吭O(shè)，則，換元得，顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最小值，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求在上的值域；(2)若關(guān)于的方程有解，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）時(shí)，令，則.，即，而的對(duì)稱(chēng)軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即.在上的值域?yàn)?；?）令，則有解，在上有解，，解得，的取值范圍為.題型11與指數(shù)函數(shù)的相關(guān)的綜合問(wèn)題【典例1】（2023春·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，．(1)若，解關(guān)于的不等式；(2)若函數(shù)的最小值為-4，求m的值．【答案】(1)(2)-3【詳解】（1）時(shí)，由得，，，因?yàn)?，所以，解得，所以原不等式的解集為．?）因?yàn)?，令，因?yàn)?，所以，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)）則，，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，，所以，解得，符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，所以，解得，不合題意，舍去．綜上，的值為-3．【典例2】（2023春·甘肅張掖·高一高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．(1)求a的值，判斷的單調(diào)性并證明；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)，函數(shù)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由題意得，所以，當(dāng)時(shí)，故為奇函數(shù)，在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，證明如下：對(duì)于，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，，所以，即，所以，即函?shù)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．（2）等價(jià)于，因?yàn)槭荝上的單調(diào)增函數(shù)，所以，即恒成立，所以，解得，所以k的取值范圍為．【變式1】（2023秋·山西大同·高一山西省陽(yáng)高縣第一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)為上的奇函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并加以證明；(3)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)函數(shù)在上的單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析(3)解集為.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，所以，即，此時(shí)，，所以，即函數(shù)為奇函數(shù)，所以符合題意.故.（2）函數(shù)在上的單調(diào)遞減.證明如下：由（1）知，.任取，，且，則，因?yàn)?，，且，所以，，，所以，即，因此函?shù)在上的單調(diào)遞減.（3）由（2）知，由，即，即，即，即，即所以，所以等式的解集為.【變式2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求b的值；(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求k的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)槎x域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)為奇函數(shù)，所以；（2），顯然是減函數(shù)，由可得，即，，.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，；綜上，.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）給出下列函數(shù)：①；②；③；④.其中指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】對(duì)于①，函數(shù)的自變量在底數(shù)位置，不在指數(shù)位置，故不是指數(shù)函數(shù)；對(duì)于②，函數(shù)的底數(shù)，故不是指數(shù)函數(shù)；對(duì)于③，函數(shù)中的指數(shù)式的系數(shù)不為，故不是指數(shù)函數(shù)；對(duì)于④，函數(shù)的底數(shù)滿足，符合指數(shù)函數(shù)的定義，是指數(shù)函數(shù).故選：A.2．（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，所以故選：A.3．（2023春·四川綿陽(yáng)·高二期末）要得到函數(shù)的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以，為了得到函?shù)的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，故選：D.4．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)（，且）的圖象可能是（

）.A． B．C．

D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（，且），當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，并且恒過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)榈膱D象在的基礎(chǔ)上向下平移超過(guò)1個(gè)單位長(zhǎng)度，故D錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，并且恒過(guò)定點(diǎn)，又的圖象在的基礎(chǔ)上向下平移了不到1個(gè)單位長(zhǎng)度，故A，B錯(cuò)誤.故選：C.5．（2023春·新疆阿勒泰·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，所以，經(jīng)驗(yàn)證，，故.故選：B.6．（2023秋·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【詳解】設(shè)，則，所以為偶函數(shù)，所以A、B項(xiàng)錯(cuò)誤.又當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤，故D項(xiàng)正確.故選：D.7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【詳解】函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，有解，，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A．8．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】C【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)在R上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在R上是減函數(shù).故選：C.二、多選題9．（2023秋·廣東河源·高一校考期末）函數(shù)y＝(a2－4a＋4)ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值不可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ACD【詳解】由指數(shù)函數(shù)的定義知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.故選：ACD.10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）設(shè)函數(shù)（，且），若，則（）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】由得，即，故，，，，所以AD正確.故選：AD.三、填空題11．（2023春·山東青島·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)．①；②在R上為增函數(shù)．【答案】（答案不唯一）【詳解】指數(shù)函數(shù)滿足，且，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以滿足條件的一個(gè)函數(shù).故答案為：（答案不唯一）12．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．【答案】【詳解】由，即上遞增，上遞減，又在定義域上遞增，所以上遞增，上遞減，故遞增區(qū)間為.故答案為：四、解答題13．（2023春·寧夏銀川·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)（2，5），所以，所以，解得，因?yàn)椋裕?，?）因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上是增函數(shù)，所以，，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?4．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）函數(shù)是偶函數(shù)．(1)試確定的值及