相似三角形-基本知識(shí)點(diǎn)+經(jīng)典例題(完美打印版)

...wd......wd......wd...第四章《圖形的相似》知識(shí)點(diǎn)與經(jīng)典題型〔2015.7.28〕知識(shí)點(diǎn)1有關(guān)相似形的概念(1)形狀一樣的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的是相似三角形.(2)如果兩個(gè)邊數(shù)一樣的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比(相似系數(shù))．知識(shí)點(diǎn)2比例線段的相關(guān)概念〔1〕如果選用同一單位量得兩條線段的長(zhǎng)度分別為，那么就說(shuō)這兩條線段的比是，或?qū)懗桑ⅲ涸谇缶€段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一?！?〕在四條線段中，如果的比等于的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．注：=1\*GB3①比例線段是有順序的，如果說(shuō)是的第四比例項(xiàng)，那么應(yīng)得比例式為：．=2\*GB3②a、d叫比例外項(xiàng)，b、c叫比例內(nèi)項(xiàng),a、c叫比例前項(xiàng)，b、d叫比例后項(xiàng)，d叫第四比例項(xiàng)，如果b=c，即那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)，此時(shí)有?！?〕黃金分割：把線段分成兩條線段，且使是的比例中項(xiàng)，即，叫做把線段黃金分割，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，其中≈0.618．即簡(jiǎn)記為：注：黃金三角形：頂角是360的等腰三角形。黃金矩形：寬與長(zhǎng)的比等于黃金數(shù)的矩形知識(shí)點(diǎn)3比例的性質(zhì)〔注意性質(zhì)立的條件：分母不能為0〕〔1〕根本性質(zhì)：①；②．注：由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式，而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式，如，除了可化為，還可化為，，，，，，．〔2〕更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：〔3〕反比性質(zhì)(把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)：．．〔4〕等比性質(zhì)：如果，那么．注：性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法〞〔即引入新的參數(shù)k〕這樣可以減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算變形中一種常用方法．應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零．③可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立．如：；其中．知識(shí)點(diǎn)4比例線段的有關(guān)定理1.三角形中平行線分線段成比例定理:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.由DE∥BC可得：注：①重要結(jié)論：平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例②平行線的應(yīng)用：在證明有關(guān)比例線段時(shí)，輔助線往往做平行線,但應(yīng)遵循的原則是不要破壞條件中的兩條線段的比及所求的兩條線段的比.2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.AD∥BE∥CF,可得等.【典型例題示范】1、假設(shè)2x－5y=0，求的值。2、：＝=2求的值。3、線段AB=18，點(diǎn)C是AB一個(gè)黃金分割點(diǎn),求AC的長(zhǎng)。4、用平行線分線段成比例定理求線段的長(zhǎng)度：如圖，ABC中，DE∥BC〔1〕假設(shè)AD=4BD=2AE=7求EC。〔2〕假設(shè)AD=4AB=7EC=10求AE?！?〕假設(shè)AB=10AE=3EC=4求DB?！?〕假設(shè)AD:AB=4:5,AE－EC=3求AE，EC的長(zhǎng)。分析：平行出比，有下面的比①上：下=上：下②上：全=上：全③下：全=下：全④左：右=左：右【達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)】1、等腰RtΔABC的直角邊與斜邊之比是_______2、以下各組線段長(zhǎng)度成比例的是〔〕〔A〕2cm，3cm，4cm，1cm〔B〕1.5cm，2.5cm，〔C〕1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm〔D〕1cm，2cm，2cm，4cm3、點(diǎn)M將線段AB黃金分割，且AM＞BM,則以下各式中不正確的選項(xiàng)是〔〕(A)AM：BM=AB：AM(B)AM=AB(C)BM=AB(D)AM≈0.618AB4、.現(xiàn)有三個(gè)數(shù)1，，2，請(qǐng)你再添上一個(gè)數(shù)使它們成為比例式，想一想這樣的比例式唯一嗎5、：，求的值。6、假設(shè),且2a－b+3c=21.試求a∶b：c.7、：，求k的值。能力題〔師生共作〕例1、運(yùn)用平行線分線段解決“知二求二〞這類題的解法。如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，過(guò)B作射線BE分別交AC、AD于E、F，,求的值思路點(diǎn)撥：由為線段的比，需作恰當(dāng)平行線，構(gòu)造線段的比，產(chǎn)生含的比例線段，并設(shè)法溝通比例式與未知比例式的聯(lián)系。解：小結(jié)：當(dāng)利用圖中的線段無(wú)法得到比例線段時(shí)，可考慮添加平行線，其方法是添加成A字圖或X字圖。【達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)】如圖，在△ABC中，D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC，AD=3，AB=5，CE=1，那么AC=______________.如圖，在△ABC中，DE∥BC，如果，那么=__________________.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于D，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E，假設(shè)AB=6，DE=4，則BC=_______.如圖，EF∥BC，F(xiàn)D∥AB，AE=18，BE=12，CD=14，則BD=______________.5、直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD=3，BC=6，CD=4，則AO=________6、如圖，平行四邊形ABCD中,G是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG交BD和BC于E,F，求證：EQ\F(AE,EF)=EQ\F(EG,AE)7.：如圖，AB∥EF∥CD,求證：第四章《圖形的相似》知識(shí)點(diǎn)與經(jīng)典題型〔2015.7.29〕知識(shí)點(diǎn)5相似三角形的概念相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比(或相似系數(shù))．相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．注：①對(duì)應(yīng)性：即兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上，這樣寫(xiě)比擬容易找到相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．②順序性：相似三角形的相似比是有順序的．知識(shí)點(diǎn)6三角形相似的等價(jià)關(guān)系與三角形相似的判定定理的預(yù)備定理(1)相似三角形的等價(jià)關(guān)系：①反身性：對(duì)于任一有∽．②對(duì)稱性：假設(shè)∽，則∽．③傳遞性：假設(shè)∽，且∽，則∽(2)三角形相似的判定定理的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．定理的根本圖形：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：，∴∽．知識(shí)點(diǎn)7三角形相似的判定方法1、定義法：三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，三條對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似．2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．3、判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似．4、判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似．5、判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各種判定均適用．(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則AD2=BD·DC，AB2=BD·BC，AC2=CD·BC。知識(shí)點(diǎn)8相似三角形常見(jiàn)的圖形1、下面我們來(lái)看一看相似三角形的幾種根本圖形：如圖：稱為“平行線型〞的相似三角形〔有“A型〞與“X型〞圖〕(2)如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“斜交型〞的相似三角形?！灿小胺碅共角型〞、“反A共角共邊型〞、“蝶型〞〕如圖：稱為“垂直型〞“雙垂直共角型〞、“雙垂直共角共邊型〔也稱“射影定理型〞〕〞“三垂直型〞也稱K字圖〕(4)如圖：∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型〞的相似三角形。2、幾種根本圖形的具體應(yīng)用：〔1〕假設(shè)DE∥BC〔A型和X型〕則△ADE∽△ABC〔2〕射影定理假設(shè)CD為Rt△ABC斜邊上的高〔雙直角圖形〕則Rt△ABC∽R(shí)t△ACD∽R(shí)t△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；〔3〕滿足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．〔4〕當(dāng)或AD·AB=AC·AE時(shí)，△ADE∽△ACB．知識(shí)點(diǎn)9：全等與相似的比擬：三角形全等三角形相似兩角夾一邊對(duì)應(yīng)相等(ASA)

兩角一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等(AAS)

兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等(SAS)

三邊對(duì)應(yīng)相等(SSS)

直角三角形中一直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)相等(HL)兩角分別相等

兩邊成比例，且?jiàn)A角相等

三邊成比例

直角三角形中斜邊與一直角邊對(duì)應(yīng)成比例知識(shí)點(diǎn)10相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比．(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方．注：相似三角形性質(zhì)可用來(lái)證明線段成比例、角相等，也可用來(lái)計(jì)算周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)等．知識(shí)點(diǎn)11相似三角形中有關(guān)證〔解〕題規(guī)律與輔助線作法1、證明四條線段成比例的常用方法：

(1)線段成比例的定義(2)三角形相似的預(yù)備定理(3)利用相似三角形的性質(zhì)(4)利用中間比等量代換(5)利用面積關(guān)系

2、證明題常用方法歸納：〔1〕總體思路:“等積〞變“比例〞，“比例〞找“相似〞

(2)找相似：通過(guò)“橫找〞“豎看〞尋找三角形，即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共各有三個(gè)不同的字母，并且這幾個(gè)字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，則可證明這兩個(gè)三角形相似，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論.

(3)找中間比：假設(shè)沒(méi)有三角形(即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共有四個(gè)字母或者三個(gè)字母，但這幾個(gè)字母在同一條直線上)，則需要進(jìn)展“轉(zhuǎn)移〞(或“替換〞)，常用的“替換〞方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來(lái)。①②③(4)添加輔助線：假設(shè)上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線(通常是添加平行線)構(gòu)成比例.以上步驟可以不斷的重復(fù)使用，直到被證結(jié)論證出為止.注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線〔即得平行線〕構(gòu)造相似三角形或比例線段?！?〕比例問(wèn)題：常用處理方法是將“一份〞看著k;對(duì)于等比問(wèn)題，常用處理方法是設(shè)“公比〞為k。〔6〕．對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，通常采用將局部需要的圖形〔或根本圖形〕“別離〞出來(lái)的方法處理。口訣：1、遇乘積化比例，橫找豎找定相似，不相似，不著急，等線等比來(lái)代替2、幾何證明題：分析從求證入手，做題從出〔分析在草稿上完成〕知識(shí)點(diǎn)12相似多邊形的性質(zhì)(1)相似多邊形周長(zhǎng)比，對(duì)應(yīng)對(duì)角線的比都等于相似比．(2)相似多邊形中對(duì)應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比．(3)相似多邊形面積比等于相似比的平方．注意：相似多邊形問(wèn)題往往要轉(zhuǎn)化成相似三角形問(wèn)題去解決，因此，熟練掌握相似三角形知識(shí)是根基和關(guān)鍵．【典型例題示范】【例1】如圖：小明欲測(cè)量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動(dòng)，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時(shí)他距離該塔18m，小明的身高是1.6m，他的影長(zhǎng)是2m．

(1)圖中△ABC與△ADE是否相似?為什么?

(2)求古塔的高度．

【例2】△ABC中，DE∥BC，M為DE中點(diǎn)，CM交AB于N，假設(shè)，求.

解【變式1】：如圖，陽(yáng)光通過(guò)窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC

類型六、綜合探究【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，BE與AC相交于P，與CD延長(zhǎng)線相交于Q，EF∥AB，交AC于F，求證：〔1〕AF·DQ=AB·CF〔2〕AP2=PF·PC9．如圖，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合)，PE⊥BP，P為垂足，PE交DC于點(diǎn)E，

(1)設(shè)AP=x，DE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；

(2)請(qǐng)你探索在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形ABED能否構(gòu)成矩形如果能，求出AP的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

解：(1)∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°∵∠A=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D

又∵PE⊥BP，∴∠APB+∠DPE=90°，

又∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPE，

∴△ABP∽△DPE

∴，即∴

(2)欲使四邊形ABED為矩形，只需DE=AB=2，即，解得∵，∵均符合題意，故AP=1或4.三．能力訓(xùn)練：1.如圖5，中，是高，是邊的中點(diǎn)的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于，求證〔1〕，〔2〕2..如圖6在中點(diǎn)從點(diǎn)A開(kāi)場(chǎng)沿邊向點(diǎn)B以秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)場(chǎng)沿邊向點(diǎn)以/秒的速度移動(dòng)，如果分別從同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過(guò)幾秒鐘，與相似第四章《圖形的相似》知識(shí)點(diǎn)與經(jīng)典題型〔2015.7.29〕知識(shí)點(diǎn)13位似圖形有關(guān)的概念與性質(zhì)及作法1、如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形.2.這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比.注：〔1〕位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn).〔2〕位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.〔3〕位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或共線.3.位似圖形的性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.注：位似圖形具有相似圖形的所有性質(zhì).4.畫(huà)位似圖形的一般步驟：〔1〕確定位似中心〔位似中心可以是平面中任意一點(diǎn)〕〔2〕分別連接原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)和位似中心，并延長(zhǎng)〔或截取〕.〔3〕根據(jù)的位似比，確定所畫(huà)位似圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的位置.〔4〕順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點(diǎn)，即可得到一個(gè)放大或縮小的圖形.①②③④⑤注：①位似中心可以是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，該點(diǎn)可在圖形內(nèi)，或在圖形外，或在圖形上〔圖形邊上或頂點(diǎn)上〕。②外位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外，稱為“外位似〞〔即同向位似圖形〕③內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上，稱為“內(nèi)位似〞〔即反向位似圖形〕〔5〕在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為k〔k>0〕,原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為〔x,y〕,那么同向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky),反向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-kx,-ky),經(jīng)典例題透析類型一、相似三角形的概念1．判斷對(duì)錯(cuò)：

(1)兩個(gè)直角三角形一定相似嗎為什么

(2)兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎為什么

(3)兩個(gè)等腰直角三角形一定相似嗎為什么

(4)兩個(gè)等邊三角形一定相似嗎為什么

(5)兩個(gè)全等三角形一定相似嗎為什么

思路點(diǎn)撥：要說(shuō)明兩個(gè)三角形相似，要同時(shí)滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.要說(shuō)明不相似，則只要否認(rèn)其中的一個(gè)條件.

解：(1)不一定相似.反例

直角三角形只確定一個(gè)直角，其他的兩對(duì)角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.

(2)不一定相似.反例

等腰三角形中只有兩邊相等，而底邊不固定.因此兩個(gè)等腰三角形中有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，兩底邊的比不一定等于對(duì)應(yīng)腰的比，所以等腰三角形不一定相似.

(3)一定相似.

在直角三角形ABC與直角三角形A′B′C′中

設(shè)AB=a，A′B′=b，則BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′=b

∴∴ABC∽A′B′C′(4)一定相似.

因?yàn)榈冗吶切胃鬟叾枷嗟?，各角都等?0度，所以兩個(gè)等邊三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，因此兩個(gè)等邊三角形一定相似.

(5)一定相似.

全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，所以對(duì)應(yīng)邊比為1，所以全等三角形一定相似，且相似比為1.

舉一反三

【變式1】?jī)蓚€(gè)相似比為1的相似三角形全等嗎

解析：全等.因?yàn)檫@兩個(gè)三角形相似，所以對(duì)應(yīng)角相等.又相似比為1，所以對(duì)應(yīng)邊相等.

因此這兩個(gè)三角形全等.

總結(jié)升華：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.

(1)兩個(gè)直角三角形，兩個(gè)等腰三角形不一定相似.

(2)兩個(gè)等腰直角三角形，兩個(gè)等邊三角形一定相似.

(3)兩個(gè)全等三角形一定相似，且相似比為1；相似比為1的兩個(gè)相似三角形全等.

【變式2】以下能夠相似的一組三角形為()

A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形

解析：根據(jù)相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要滿足三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，三條對(duì)應(yīng)邊的比相等.而A中只有一組直角相等，其他的角是否對(duì)應(yīng)相等不可知；B中什么條件都不滿足；D中只有一條對(duì)應(yīng)邊的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角組成的三角形，且對(duì)應(yīng)邊的比也相等.答案選C.

類型二、相似三角形的判定2．如以下圖，中，E為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB=3BE，DE與BC相交于F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.思路點(diǎn)撥：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根據(jù)平行線找相似三角形.

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.

∴△BEF∽△CDF∽△AED.

∴當(dāng)△BEF∽△CDF時(shí)，相似比；當(dāng)△BEF∽△AED時(shí)，相似比；

當(dāng)△CDF∽△AED時(shí)，相似比.

總結(jié)升華：此題中△BEF、△CDF、△AED都相似，共構(gòu)成三對(duì)相似三角形.求相似比不僅要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，還需注意兩個(gè)三角形的先后次序，假設(shè)次序顛倒，則相似比成為原來(lái)的倒數(shù).

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，則△ABC和△EDF相似嗎為什么思路點(diǎn)撥：△ABC和△EDF都是直角三角形，且兩邊長(zhǎng)，所以可利用勾股定理分別求出第三邊AC和DE，再看三邊是否對(duì)應(yīng)成比例.

解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°.

由勾股定理得.

在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.

由勾股定理，得.

在△ABC和△EDF中，，，，

∴，

∴△ABC∽△EDF(三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似).

總結(jié)升華：

(1)此題易錯(cuò)為只看3，6，4，10四條線段不成比例就判定兩三角形不相似.利用三邊判定兩三角形相

似，應(yīng)看三角形的三邊是否對(duì)應(yīng)成比例，而不是兩邊.

(2)此題也可以只求出AC的長(zhǎng)，利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，判定兩三角形相似.

4．如以下圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時(shí)，△ACD與△ABC相似試分別加以列舉.思路點(diǎn)撥：此題屬于探索問(wèn)題，由相似三角形的識(shí)別方法可知，△ACD與△ABC已有公共角∠A，要使此兩個(gè)三角形相似，可根據(jù)相似三角形的識(shí)別方法尋找一個(gè)條件即可.

解：當(dāng)滿足以下三個(gè)條件之一時(shí)，△ACD∽△ABC.

條件一：∠1=∠B.

條件二：∠2=∠ACB.

條件三：，即.

總結(jié)升華：此題的探索鑰匙是相似三角形的識(shí)別方法.在探索兩個(gè)三角形相似時(shí)，用分析法，可先假設(shè)△ACD∽△ABC，然后尋找兩個(gè)三角形中邊的關(guān)系或角的關(guān)系即可.此題易錯(cuò)為出現(xiàn)條件四：.不符合條件“最小化〞原則，因?yàn)闂l件三能使問(wèn)題成立，所以出現(xiàn)條件四是錯(cuò)誤的.

舉一反三

【變式1】：如圖正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)．

求證：△ADQ∽△QCP．

思路點(diǎn)撥：因△ADQ與△QCP是直角三角形，雖有相等的直角，但不知AQ與PQ是否垂直，所以不能用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等判定．而四邊形ABCD是正方形，Q是CD中點(diǎn)，而B(niǎo)P=3PC，所以可用對(duì)應(yīng)邊成比例夾角相等的方法來(lái)判定．具體證明過(guò)程如下：

證明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中點(diǎn)，∴=2

∵=3，∴=4

又∵BC=2DQ，∴=2

在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°，

∴△ADQ∽△QCP．

【變式2】如圖，弦和弦相交于內(nèi)一點(diǎn)，求證：.

思路點(diǎn)撥：題目中求證的是等積式，我們可以轉(zhuǎn)化為比例式，從而找到應(yīng)證哪兩個(gè)三角形相似.同時(shí)圓當(dāng)中同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等要會(huì)靈活應(yīng)用.

證明：連接，.

在∴∽∴.

【變式3】：如圖，AD是△ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．

求證：△DFE∽△ABC．

思路點(diǎn)撥：EF為△ABC的中位線，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜邊上的中線，DE=AB，DF=AC．因此考慮用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．證明：在Rt△ABD中，DE為斜邊AB上的中線，

∴DE=AB，

即=．

同理=．

∵EF為△ABC的中位線，

∴EF=BC，

即=．

∴==．

∴△DFE∽△ABC．

總結(jié)升華：此題證明方法較多，可先證∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再證夾這個(gè)角的兩邊成比例，即=，也可證明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以證出△DEF∽△ABC．

類型三、相似三角形的性質(zhì)5．△ABC∽△DEF，假設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一邊的長(zhǎng)度，你能求出△DEF的另外兩邊的長(zhǎng)度嗎試說(shuō)明理由.思路點(diǎn)撥：因沒(méi)有說(shuō)明長(zhǎng)4cm的線段是△DEF的最大邊或最小邊，因此需分三種情況進(jìn)展討論.

解：設(shè)另兩邊長(zhǎng)是xcm，ycm，且x<y.

(1)當(dāng)△DEF中長(zhǎng)4cm線段與△ABC中長(zhǎng)5cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有，

從而x=cm，y=cm.

(2)當(dāng)△DEF中長(zhǎng)4cm線段與△ABC中長(zhǎng)6cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有，

從而x=cm，y=cm.

(3)當(dāng)△DEF中長(zhǎng)4cm線段與△ABC中長(zhǎng)7cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有，

從而x=cm，y=cm.

綜上所述，△DEF的另外兩邊的長(zhǎng)度應(yīng)是cm,cm或cm，cm或cm，cm三種可能.

總結(jié)升華：一定要深刻理解“對(duì)應(yīng)〞，假設(shè)題中沒(méi)有給出圖形，要特別注意是否有圖形的分類.

6．如以下圖，△ABC中，AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC中，且長(zhǎng)邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，假設(shè)BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面積.思路點(diǎn)撥：利用條件及相似三角形的判定方法及性質(zhì)求出矩形的長(zhǎng)和寬，從而求出矩形的面積.

解：∵四邊形EFGH是矩形，∴EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC.

∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.

∵矩形兩鄰邊之比為1：2，設(shè)EF=xcm，則EH=2xcm.

由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，得，

∴，∴，.

∴EF=6cm，EH=12cm.

∴.

總結(jié)升華：解決有關(guān)三角形的內(nèi)接矩形、內(nèi)接正方形的計(jì)算問(wèn)題，經(jīng)常利用相似三角形“對(duì)應(yīng)高的比等于相似比〞和“面積比等于相似比的平方〞的性質(zhì)，假設(shè)圖中沒(méi)有高可以先作出高.

舉一反三

【變式1】△ABC中，DE∥BC，M為DE中點(diǎn)，CM交AB于N，假設(shè)，求.

解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC

∴∵M(jìn)為DE中點(diǎn)，∴∵DM∥BC，∴△NDM∽△NBC

∴∴=1：2.總結(jié)升華：圖中有兩個(gè)“〞字形，線段AD與AB的比和要求的線段ND與NB的比分別在這兩個(gè)“〞字形，利用M為DE中點(diǎn)的條件將條件由一個(gè)“〞字形轉(zhuǎn)化到另一個(gè)“〞字形，從而解決問(wèn)題.

類型四、相似三角形的應(yīng)用

7．如圖，我們想要測(cè)量河兩岸相對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)A、B之間的距離(即河寬)，你有什么方法

方案1：如上左圖，構(gòu)造全等三角形，測(cè)量CD，得到AB=CD，得到河寬.

方案2：

思路點(diǎn)撥：這是一道測(cè)量河寬的實(shí)際問(wèn)題，還可以借用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，比例式中四條線段，測(cè)出了三條線段的長(zhǎng)，必能求出第四條.

如上右圖，先從B點(diǎn)出發(fā)與AB成90°角方向走50m到O處立一標(biāo)桿，然前方向不變，繼續(xù)向前走10m到C處，在C處轉(zhuǎn)90°，沿CD方向再走17m到達(dá)D處，使得A、O、D在同一條直線上．那么A、B之間的距離是多少

解：∵AB⊥BC，CD⊥BC

∴∠ABO=∠DCO=90°

又∵∠AOB=∠DOC

∴△AOB∽△DOC

∴∵BO=50m，CO=10m，CD=17m

∴AB=85m

答：河寬為85m．

總結(jié)升華：方案2利用了“〞型根本圖形，實(shí)際上測(cè)量河寬有很多方法，可以用“〞型根本圖形，借助相似；也可用等腰三角形等等.

舉一反三

【變式1】如圖：小明欲測(cè)量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動(dòng)，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時(shí)他距離該塔18m，小明的身高是1.6m，他的影長(zhǎng)是2m．

(1)圖中△ABC與△ADE是否相似?為什么?

(2)求古塔的高度．

解：(1)△ABC∽△ADE．

∵BC⊥AE，DE⊥AE

∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A

∴△ABC∽△ADE

(2)由(1)得△ABC∽△ADE

∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m

∴∴DE=16m

答：古塔的高度為16m.

【變式2】：如圖，陽(yáng)光通過(guò)窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC

思路點(diǎn)撥：光線AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.則，利用邊的比例關(guān)系求出BC.

解：作EF⊥DC交AD于F.因?yàn)锳D∥BE，所以又因?yàn)椋?/p>

所以，所以.

因?yàn)锳B∥EF，AD∥BE，所以四邊形ABEF是平行四邊形，所以EF=AB=1.8m.

所以m.

類型五、相似三角形的周長(zhǎng)與面積8．：如圖，在△ABC與△CAD中，DA∥BC，CD與AB相交于E點(diǎn)，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F點(diǎn)，△ADE的面積為1，求△BCE和△AEF的面積．思路點(diǎn)撥：利用△ADE∽△BCE，以及其他有關(guān)的條件，可以求出△BCE的面積．△ABC的邊AB上的高也是△BCE的高，根據(jù)AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面積．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面積．

解：∵DA∥BC，

∴△ADE∽△BCE．

∴S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2．

∵AE︰BE=1︰2，

∴S△ADE︰S△BCE=1︰4．

∵S△ADE=1，

∴S△BCE=4．

∵S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2，

∴S△ABC=6．

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC．

∵AE︰AB=1︰3，

∴S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9．

∴S△AEF==．

總結(jié)升華：注意，同底(或等底)三角形的面積比等于這底上的高的比；同高(或等高)三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比．當(dāng)兩個(gè)三角形相似時(shí)，它們的面積比等于對(duì)應(yīng)線段比的平方，即相似比的平方．

舉一反三

【變式1】有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比例尺分別為1∶200和1∶500，求：甲地圖與乙地圖的相似比和面積比.

解：設(shè)原地塊為△ABC，地塊在甲圖上為△A1B1C1，在乙圖上為△A2B2C2.

∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2

且，，

∴，

∴.

【變式2】如圖，：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P點(diǎn)在AC上(與點(diǎn)A、C不重合)，Q點(diǎn)在BC上．

(1)當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；

解：(1)∵S△PQC=S四邊形PABQ∴S△PQC：S△ABC=1：2

∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC

∴S△PQC：S△ABC=(CP：CA)2=1：2

∴CP2=42×，∴CP=.

(2)∵S△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等，

∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC的周長(zhǎng))=6

∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC

∴，即：

解得，CP=總結(jié)升華：

(1)求以線段長(zhǎng)為變量的兩個(gè)函數(shù)間的關(guān)系時(shí)，常常將未知線段和線段作為三角形的邊，利用相似

三角形的知識(shí)解決.

(2)解決第(2)小問(wèn)時(shí)要充分挖掘運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中點(diǎn)的特殊位置，再轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)值，通過(guò)建設(shè)方程

解決，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想.

10．如圖，在△ABC中，BC=2，BC邊上的高AD=1，P是BC上任意一點(diǎn)，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.

(1)設(shè)BP=，△PEF的面積為，求與的函數(shù)解析式和的取值范圍；

(2)當(dāng)P在BC邊上什么位置時(shí)，值最大.解：(1)∵BC=2，BC邊上的高AD=1

∴△ABC的面積為1

∵PF∥AC，∴△BFP∽△BAC

∴，∴

同理△CEP∽△CAB

∴，

∴∵PE∥AB，PF∥AC，∴四邊形PFAE為平行四邊形

∴∴.

(2)∴當(dāng)時(shí)，即P點(diǎn)在BC邊的中點(diǎn)時(shí)，值最大.

總結(jié)升華：建設(shè)三角形的面積與線段長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系，可考慮從以下幾方面考慮：

(1)從面積公式入手；

(2)從相似三角形的性質(zhì)入手；將面積的比轉(zhuǎn)化為相似比的平方；

(3)從同底或等高入手，將面積比轉(zhuǎn)化為底之比或高之比.八年級(jí)下冊(cè)直線形復(fù)習(xí)成都航天中學(xué)唐德瑞審核人巫英相【學(xué)習(xí)課題】第11課時(shí)比例的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解線段比、比例、比例中項(xiàng)、黃金分割等概念；熟練記憶比例的根本性質(zhì)、合比性質(zhì)、等比性質(zhì)會(huì)用比例性質(zhì)求比值、進(jìn)展比例變形。2、會(huì)用“k值法〞解決比例問(wèn)題。【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】會(huì)用比例性質(zhì)和“k值法〞解決比例問(wèn)題。【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】根據(jù)需要比照例式變形?！緦W(xué)習(xí)過(guò)程】知識(shí)構(gòu)造1、線段的比：如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條線段AB、CD的長(zhǎng)度分別是m、n，那么就說(shuō)這兩條線段的比AB∶CD=m∶n，或?qū)懗?。2、比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做__________，簡(jiǎn)稱比例線段.。特別地，假設(shè)，則稱線段是線段和的__________。3、性質(zhì)：〔1〕根本性質(zhì)：在比例中，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積，.用式子表示就是：如果〔b,d都不為0〕，那么ad=bc.。〔2〕合比性質(zhì)：，則?！?〕等比性質(zhì)：如果那么。4、點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果=，那么稱線段AB被點(diǎn)C，點(diǎn)C叫做線段AB的，AC與AB的比叫做。AC：AB=。典例示范1、.小明身高1.65m,臂長(zhǎng)60cm,則小明身高與臂長(zhǎng)的比值是_____。2、在，求BC:CA:AB.3、假設(shè)2x－5y=0，求、、的值。4、：＝=2求：〔1〕，〔2〕的值。5、線段AB=18，點(diǎn)C是AB一個(gè)黃金分割點(diǎn),求AC的長(zhǎng)。反思提煉1、、線段的比、比例線段的順序性①,問(wèn)這四條線段成比例嗎〔答：成比例。，這里與順序無(wú)關(guān)〕。②假設(shè)a、b、c、d是成比例線段，是指不能寫(xiě)成〔在說(shuō)四條線段成比例時(shí)，一定要將這四條線段按順序列出，這里與順序有關(guān)，線段的比有順序性，四條線段成比例也有順序性.如是a、b、c、d線段成比例，而不是線段成比例.2、比例根本性質(zhì)的記憶及重要作用在比例線段中，比例式常寫(xiě)成分式形式，它的內(nèi)項(xiàng)、外項(xiàng)位置不如橫式好觀察、判斷。對(duì)此，最好記成〞穿插位置兩條線段的積相等〞。今后，解決比例問(wèn)題，一般用根本性質(zhì)與“k值法〞結(jié)合進(jìn)展。3、合比性質(zhì)、等比性質(zhì)的作用與“k值法〞。在例3中，由根本性質(zhì)易得：再由合比性質(zhì)就得到=，也可以由設(shè)、求得。但是，求的值，就只好用后一種方法。在例4中，〔1〕小題用等比性質(zhì)方便，〔2〕小題用“k值法〞容易。所以，比例根本性質(zhì)結(jié)和“k值法〞可以代替這兩個(gè)性質(zhì)。但是，在幾何圖形中，熟悉這兩個(gè)性質(zhì)，比照例式的觀察、分析、證明都是必要的?！具_(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)】1、等腰RtΔABC的直角邊與斜邊之比是_______2、以下各組線段長(zhǎng)度成比例的是〔〕〔A〕2cm，3cm，4cm，1cm〔B〕1.5cm，2.5cm，〔C〕1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm〔D〕1cm，2cm，2cm，4cm3、點(diǎn)M將線段AB黃金分割，且AM＞BM,則以下各式中不正確的選項(xiàng)是〔〕(A)AM：BM=AB：AM(B)AM=AB(C)BM=AB(D)AM≈0.618AB4、、求以下各式中的x〔1〕〔2〕〔3〕【課后練習(xí)】1、：，求的值。2、假設(shè),且2a－b+3c=21.試求a∶b：c3、：，求k的值。4、.現(xiàn)有三個(gè)數(shù)1，，2，請(qǐng)你再添上一個(gè)數(shù)寫(xiě)出一個(gè)比例式，這樣的比例式唯一嗎5、如圖：，，求證：。【資源鏈接】1、黃金矩形：如果一個(gè)矩形的寬與長(zhǎng)之比為：：1〔近似比0.618：1〕，那么這個(gè)矩形常說(shuō)成是黃金矩形。如果在黃金矩形里畫(huà)出一個(gè)正方形，證明余下的矩形仍然是黃金矩形。2、黃金三角形：在等腰三角形ABC中，頂角，這樣的底三角形叫黃金三角形。如圖，角平分線BD交AC于D，可得D是線段AC的黃金分割點(diǎn)。請(qǐng)證明它。八年級(jí)下冊(cè)直線形復(fù)習(xí)成都航天中學(xué)巫英相審核人巫英相【學(xué)習(xí)課題】第12課平行線分線段成比例【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、熟記常見(jiàn)平行線中比例線段的結(jié)論并靈活應(yīng)用。2、了解“知二求二〞這類題的解法?！緦W(xué)習(xí)重點(diǎn)】平行線分線段成比例【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】平行線分線段成比例在組合圖形中應(yīng)用.【學(xué)習(xí)過(guò)程】知識(shí)構(gòu)造：平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊〔或兩邊的延長(zhǎng)線〕，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．：__________________：________________：______________則：__________________________則：__________________________則：__________________________典例示范：例1、用平行線分線段成比例定理求線段的長(zhǎng)度：如圖，ABC中，DE∥BC〔1〕假設(shè)AD=4BD=2AE=7求EC。〔2〕假設(shè)AD=4AB=7EC=10求AE?！?〕假設(shè)AB=10AE=3EC=4求DB?！?〕假設(shè)AD:AB=4:5,AE－EC=3求AE，EC的長(zhǎng)。分析：平行出比，有下面的比①上：下=上：下②上：全=上：全③下：全=下：全④左：右=左：右解:例2、運(yùn)用平行線分線段成比例定理解決求證比例式或乘積式的題型〔1〕：E為ABCD邊CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE交AC于O，求證：BO2=OF·OE分析:表達(dá)式BO2=OF·OE為乘積形式,可適當(dāng)變形改寫(xiě)成比例形式,再利用平行線分線段成比例可證。證明：〔2〕：如圖，AB∥EF∥CD,求證：例3、運(yùn)用平行線分線段解決“知二求二〞這類題的解法。如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，過(guò)B作射線BE分別交AC、AD于E、F，,求的值思路點(diǎn)撥：由為線段的比，需作恰當(dāng)平行線，構(gòu)造線段的比，產(chǎn)生含的比例線段，并設(shè)法溝通比例式與未知比例式的聯(lián)系。解：過(guò)點(diǎn)D作DG∥BE交AC于G∵FE∥DG且∴則又∵D是BC上的中點(diǎn)，且DG∥BE∴DG是△BEC的______線，則：EG=_______=____AE故=反思提煉:通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲，還有哪些疑問(wèn)我的收獲____________________________________________________________________________我的疑問(wèn)____________________________________________________________________________【達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)】如圖，在△ABC中，D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC，AD=3，AB=5，CE=1，那么AC=______________.如圖，在△ABC中，DE∥BC，如果，那么=__________________.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于D，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E，假設(shè)AB=6，DE=4，則BC=_______.如圖，EF∥BC，F(xiàn)D∥AB，AE=18，BE=12，CD=14，則BD=______________.【課后練習(xí)】1、如圖，在△ABC中，DE∥BC，AB=4，AC=8，DB=AE，則AE=________.2、如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，假設(shè)DE：FG：BC=2：5：9，則AD：DF：FB=_________________.3、直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD=3，BC=6，CD=4，則AO=________4、如圖，平行四邊形ABCD中,G是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG交BD和BC于E,F，求證：EQ\F(AE,EF)=EQ\F(EG,AE)5、如圖，在△ABC中，AM與BN相交于D,BM=3MC,AD=DM求的值.【資源鏈接】〔三角形外角平分線定理〕△ABC中，AD為∠BAC的外角∠EAC的平分線，D為平分線與BC延長(zhǎng)線交點(diǎn)。求證：證明：八年級(jí)下冊(cè)直線形復(fù)習(xí)成都航天中學(xué)潘昌玲審核人巫英相【學(xué)習(xí)課題】第13課相似三角形的判定【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、正確理解三角形相似的判定方法2、熟悉判別三角形相似的根本思路。3、能夠運(yùn)用三角形相似的判定方法解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題，開(kāi)展合情推理能力?！緦W(xué)習(xí)重點(diǎn)】三角形相似的判定?！緦W(xué)習(xí)難點(diǎn)】尋找三角形相似的條件以及證明過(guò)程的正確書(shū)寫(xiě)。【學(xué)習(xí)過(guò)程】知識(shí)構(gòu)造：相似三角形的概念：三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。相似三角形與全等三角形的關(guān)系：相似三角形是相似比為1的全等三角形。相似三角形的判定方法：兩角對(duì)應(yīng)相等兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似。三邊對(duì)應(yīng)成比例４．寫(xiě)相似三角形時(shí)，注意把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上。二．典型例析：例1．判定ABC與DEF滿足以下條件時(shí)是否相似〔1〕〔2〕〔3〕根據(jù)題意：1、畫(huà)出草圖；2、標(biāo)出；3、計(jì)算并得出結(jié)果。例2．如圖1在中，點(diǎn)在上且，點(diǎn)在上，連接，假設(shè)要使與原三角形相似，則請(qǐng)注意解題格式的書(shū)寫(xiě)請(qǐng)注意解題格式的書(shū)寫(xiě)分析：由于不明確的位置，所以可能有如圖2的的兩種可能解：〔1〕當(dāng)時(shí)，要使需使，〔2〕當(dāng)不平行于時(shí)，要使，因,需使故答案為2或例3．如圖2在正方形網(wǎng)格上有兩個(gè)三角形和，問(wèn)這兩個(gè)三角形相似嗎分析：利用勾股定理易證這兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例。證明例4．，如圖3矩形中，點(diǎn)在上，且求證：分析：由矩形知，再加上條件中涉及線段關(guān)系，因此去證夾的兩邊與夾的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。證明：〔由學(xué)生獨(dú)立完成證明過(guò)程的書(shū)寫(xiě)，待學(xué)生完成后，師生針對(duì)證明過(guò)程中存在的問(wèn)題加以糾正〕例5．如圖4，為的高，與相似嗎為什么分析：要說(shuō)明相似，可找對(duì)應(yīng)角相等，因?yàn)闉楣步?，可考慮再找一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，但這樣做比擬困難，故轉(zhuǎn)為找公共角的夾邊對(duì)應(yīng)成比例。即去證,從橫向看，利用三點(diǎn)定形法確定出與，因，易證，于是問(wèn)題可以解決了。證明：三．能力訓(xùn)練：1.如圖5，中，是高，是邊的中點(diǎn)的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于，求證〔1〕，〔2〕2..如圖6在中點(diǎn)從點(diǎn)A開(kāi)場(chǎng)沿邊向點(diǎn)B以秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)場(chǎng)沿邊向點(diǎn)以/秒的速度移動(dòng)，如果分別從同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過(guò)幾秒鐘，與相似四．反思總結(jié)：判別三角形相似的根本思路為，先找兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相應(yīng)相等的條件，因?yàn)橛盟鼇?lái)判別三角形相似較為簡(jiǎn)單；假設(shè)只找到一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，可再找相等的角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例；假設(shè)已有兩邊對(duì)應(yīng)成比例的條件，應(yīng)再找它們的夾角相等；以上均不奏效，就只能找三邊對(duì)應(yīng)成比例的條件了?！具_(dá)標(biāo)檢測(cè)】以下各組三角形中，兩個(gè)三角形能夠相似的是〔〕△ABC中，∠A＝42o，∠B＝118o，△A`B`C`中，∠A`＝118o，∠B`＝15o△ABC中，AB=8，AC=4,∠A＝105o，△A`B`C`中，A`B`＝16，B`C`＝8，∠A`＝100o△ABC中，AB=18，BC＝20，CA＝35，△A`B`C`中，A`B`＝36，B`C`＝40，C`A`＝70△ABC和△A`B`C`中，有，∠C＝∠C`。如圖，△ABC中∠ACB＝90o，CD⊥AB于D。則圖中能夠相似的三角形共有〔〕A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)△ABC中，D是AB上一固定點(diǎn)。E是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)使△ABC和△ADE相似，則這樣的點(diǎn)E有〔〕A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．很多4．以下說(shuō)法①所有等腰三角形都相似；②有一個(gè)底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似；③有一個(gè)角相等的等腰三角形相似；④有一個(gè)角為60o的兩個(gè)直角三角形相似，其中正確的說(shuō)法是〔〕A．②④B．①③C．①②④D．②③④5．如圖，BD平分∠ABC，且AB＝4，BC＝6，則當(dāng)BD＝_________時(shí)，△ABC∽△DBC。6．如圖，在△ABC中，D，E分別為AC，AB上的點(diǎn)，且∠ADE＝∠B，AE＝3，BE＝4，則AD·AC＝_______.6題圖7題圖8題圖9題圖7．如圖，正方形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，BF＝BC，那么圖中與△ADE相似的三角形有___________.8．如圖，〔1〕假設(shè)___________,則△ABC∽△AEF；〔2〕假設(shè)∠E＝_________，則△ABC∽△AEF。9．如圖，假設(shè)∠B＝∠C，則_________∽_________,理由是__________,且_________∽_________,理由是_________。10．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90o對(duì)角線BD⊥DC，試問(wèn)：〔1〕△ABD與△DCB相似嗎請(qǐng)說(shuō)明理由。〔2〕如果AD＝4，BC＝9，你能求出BD的長(zhǎng)嗎10題圖【資源鏈接】相似三角形的開(kāi)放探索題：條件型開(kāi)放題1．如圖，分別是的邊上的點(diǎn)，請(qǐng)你添加一個(gè)條件使與相似，你添加的條件是。二．結(jié)論型開(kāi)放探索題：2．如以下圖，是平行四邊形的邊的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接交于，則圖中共有相似三角形〔〕。A.1對(duì)B.2對(duì).C.3對(duì).D.4對(duì).三．存在性開(kāi)放探索題：3．如圖是中位線，，，在射線上是否存在點(diǎn)，使相似假設(shè)存在，請(qǐng)先確定，并說(shuō)明這兩個(gè)三角形為什么相似，假設(shè)不存在，也請(qǐng)說(shuō)明理由。八年級(jí)下冊(cè)直線形復(fù)習(xí)成都航天中學(xué)鄧?yán)驅(qū)徍巳宋子⑾唷緦W(xué)習(xí)課題】第14課：相似三角形性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過(guò)一些具體的情境和應(yīng)用深化對(duì)相似三角形的理解和認(rèn)識(shí)。2.進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步認(rèn)識(shí)特殊與一般之間的辯證關(guān)系。【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】相似三角形的特征〔性質(zhì)〕【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】應(yīng)用相似三角形的特征解決問(wèn)題〔性質(zhì)〕【學(xué)習(xí)過(guò)程】學(xué)習(xí)準(zhǔn)備知識(shí)要點(diǎn)1.相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形,△ABC和△DEF相似，記作△ABC∽△DEF2.性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。3.相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似三角形的相似比。相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。對(duì)應(yīng)練習(xí)：寫(xiě)出以下各組相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比例式?！?〕如圖〔1〕，：△ADE∽△ABC，且AD與AB是對(duì)應(yīng)邊?！?〕如圖〔2〕，：△ABC∽△AED，∠B＝∠AED。點(diǎn)評(píng)：此題兩類相似三角形的圖形是相似三角形的根本圖形。第一類為平行線型，第二類是相交線型。典例分析例1如圖,DE//BC,D是AB的中點(diǎn),DC、BE相交于點(diǎn)G，求：〔1〕〔2〕例2：如圖，分別取等邊三角形ABC各邊的中點(diǎn)D、E、F，得△DEF.假設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a.〔1〕△DEF與△ABC相似嗎如果相似，相似比是多少〔2〕分別求出這兩個(gè)三角形的面積.〔3〕這兩個(gè)三角形的面積比與邊長(zhǎng)之比有什么關(guān)系嗎例3．如圖，梯形ABCD中,AD∥BC,AC,BD交于E,過(guò)E作FG∥BC交AB、CD于F、G。求證:EF=EG.變式：如圖，EQ\F(AB,AD)＝EQ\F(BC,DE)=EQ\F(AC,AE)，求證：∠BAD=∠CAE。例4.一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長(zhǎng)為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖(1)、(2)所示，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位同學(xué)的加工方法符合要求(加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保存)．例5：如圖4-26，：△ABC的邊AB上有一點(diǎn)D，邊BC的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)E，且AD＝CE，DE交AC于F．求證：AB·DF＝BC·EF．【達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)】1.如圖1，在△ABC中，∠ACD＝∠B，則_________∽_________，AD：AC＝_______：_________。2.如圖2，AB、CD相交于點(diǎn)O，且AC∥BD，則_________∽_________，AO：BO＝_________：_________，OA·OD＝_________·_________。3.如圖3，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使△ADC∽△AEB。___________________________圖1圖2圖34、兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之比為9：5，則面積比為〔〕〔A〕9∶5〔B〕81∶25〔C〕3∶eq\r(5)〔D〕不能確定【課后作業(yè)】1、RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，那么和ΔABC相似但不全等的三角形共有〔〕(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)2、在RtΔABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，以下等式中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕〔A〕AD?BD=CD2〔B〕AC?BD=CB?AD〔C〕AC2=AD?AB〔D〕AB2=AC2+BC23、在平行四邊形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，EF交AC于G，交AD于F，eq\f(AF,FD)=eq\f(1,3)則eq\f(CG,GA)的比值是〔〕〔A〕2〔B〕3〔C〕4〔D〕54、在RtΔABC中，AD是斜邊上的高，BC=3AC則ΔABD與ΔACD的面積的比值是〔〕〔A〕2〔B〕3〔C〕4〔D〕85、在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，則BD∶AD等于〔〕〔A〕a∶b〔B〕a2∶b2〔C〕eq\r(a)∶eq\r(b)〔D〕不能確定6、邊長(zhǎng)為a的等邊三角形被平行于一邊的直線分成等積的兩局部，則截得的梯形一底的長(zhǎng)為〔〕〔A〕eq\f(1,2)a〔B〕eq\r(2)a〔C〕eq\f(eq\r(2),2)a〔D〕eq\f(2,3)a【資源鏈接】關(guān)于多種情況問(wèn)題的探討：例：在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，點(diǎn)P在AC上〔與點(diǎn)A、C不重合〕，點(diǎn)Q在BC上。試問(wèn)：在AB上是否存在點(diǎn)M，使得△PQM為等腰直角三角形假設(shè)不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；假設(shè)存在，請(qǐng)求出PQ的長(zhǎng)。八年級(jí)下冊(cè)直線形復(fù)習(xí)成都航天中學(xué)熊緒安審核人巫英相【學(xué)習(xí)課題】第15課相似三角形應(yīng)用(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、會(huì)用比例式尋找所用相似三角形。2、會(huì)通過(guò)作輔助線解決相似三角形問(wèn)題?！緦W(xué)習(xí)重點(diǎn)】能從圖中找出相似三角形【學(xué)習(xí)過(guò)程】知識(shí)構(gòu)造相似三角形的判定方法有：。相似三角形性質(zhì)有：①；②；③；通過(guò)相似三角形可以求解線段、角；證明角相等；證明線段成比例或證明線段相等。例題解析例1：如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于O,OF⊥AC于O,交AB于E,交CB的延長(zhǎng)線于F,求證:OB2=OE·OF分析：要證OB2=OE·OF，化等積式為_(kāi)______________。由“三點(diǎn)定型〞知道該證明△∽△。證明：∵矩形ABCD中，OA=OB∴∠OAB=∠OBA∵∠OAB+∠ACB=900∴∠OBA+∠ACB=900∵OF⊥AC∴∠F+∠ACB=900∴∠OBA=∠F且∠BOE=∠FOB∴△OBE～△OFB∴∴OB=OE·OF變式1.如圖，平行四邊形ABCD中，E是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE交AB于F,求證:AD·AB＝AF·CE例2：在△ABC中，AD是角平分線，求證。分析：中，三個(gè)不同字母B、D、C在同一直線上，不能構(gòu)成一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)，因此，作CE∥AD交BA延長(zhǎng)線于E。證明：【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，BE與AC相交于P，與CD延長(zhǎng)線相交于Q，EF∥AB，交AC于F，求證：〔1〕AF·DQ=AB·CF〔2〕AP2=PF·PC2．如圖，AB=AC，DE為直線AB上的兩點(diǎn)，∠DCB=∠ECB，求證：AB2=AD·AE3.如圖，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AB=2AD，假設(shè)BC=3cm,則DE=________cm.4.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AE=EB，MN=1，線段MN的兩端分別在CB、CD上滑動(dòng)，當(dāng)△ADE與△MNC相似時(shí),求CM的長(zhǎng)度．【課后反思】八年級(jí)下冊(cè)直線形復(fù)習(xí)成都航天中學(xué)熊緒安審核人巫英相【學(xué)習(xí)課題】第16課相似三角形應(yīng)用(二)Q_A_C_DQ_A_C_D_B_PEA12.會(huì)用相似三角形有關(guān)知識(shí)解決其他計(jì)算問(wèn)題.【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】理解折疊問(wèn)題中的等量關(guān)系_CD__CD_A_B_E_A1知識(shí)構(gòu)造：1、折疊問(wèn)題〔圖一〕〔圖二〕圖一中折痕為DE，點(diǎn)A落在BD上，△BEA1∽，圖二中折痕為PQ，點(diǎn)A落在CD上，△AEP∽。2、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題〔1〕注意根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的位置確定對(duì)應(yīng)元素?！?〕根據(jù)動(dòng)點(diǎn)位置確定變量取值范圍。例題解析：例1：在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,折疊AD，使點(diǎn)A落在BD上的點(diǎn)F，得