第4章　萬有引力定律及航天

2/59第4章萬有引力定律及航天第1節(jié)天地力的綜合：萬有引力定律(強(qiáng)基課—逐點(diǎn)理清物理觀念)課標(biāo)要求層級(jí)達(dá)標(biāo)1.通過史實(shí)，了解萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)過程。2.知道萬有引力定律。3.認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的重要意義。學(xué)考層級(jí)1.了解開普勒定律和萬有引力定律，能解釋簡(jiǎn)單的自然現(xiàn)象，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。2.能對(duì)簡(jiǎn)單的行星運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行分析和推理，獲取行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)論。選考層級(jí)1.能將行星運(yùn)動(dòng)近似看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型，對(duì)有關(guān)萬有引力定律的綜合性問題進(jìn)行分析，并獲得結(jié)論。2.有學(xué)習(xí)和研究天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的內(nèi)在動(dòng)機(jī)，研究中堅(jiān)持實(shí)事求是，在實(shí)驗(yàn)探究合作中既能堅(jiān)持觀點(diǎn)又能修正錯(cuò)誤。逐點(diǎn)清(一)行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律[多維度理解]1．開普勒第一定律：所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。2．開普勒第二定律：任何一個(gè)行星與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。3．開普勒第三定律：行星繞太陽運(yùn)行軌道半長(zhǎng)軸a的立方與其公轉(zhuǎn)周期T的平方成正比，公式：eq\f(a3,T2)＝k。1．開普勒第一定律eq\o(→,\s\up7(確定),\s\do5())行星運(yùn)動(dòng)的軌道行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，如圖所示。不同行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道是不同的，但所有軌道都有一個(gè)共同的焦點(diǎn)——太陽。開普勒第一定律又叫軌道定律。2．開普勒第二定律eq\o(→,\s\up7(確定),\s\do5())行星運(yùn)動(dòng)的快慢如圖所示，在相等的時(shí)間內(nèi)，面積SA＝SB，這說明離太陽越近，行星在相等時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，即行星的速率越大。開普勒第二定律又叫面積定律。3．開普勒第三定律eq\o(→,\s\up7(確定),\s\do5())行星運(yùn)動(dòng)的周期(1)公式：eq\f(a3,T2)＝k，k是一個(gè)對(duì)所有行星都相同的物理量，由中心天體太陽決定，與行星無關(guān)。(2)橢圓軌道半長(zhǎng)軸越長(zhǎng)的行星，其公轉(zhuǎn)周期越長(zhǎng)；反之，則公轉(zhuǎn)周期越短。(3)由于大多數(shù)行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道與圓十分接近，因此，在中學(xué)階段的研究中我們可以按圓軌道處理，且把行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，寫成eq\f(r3,T2)＝k。[全方位練明]1．判斷下列說法是否正確。(1)宇宙的中心是太陽，所有行星都在繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(×)(2)造成太陽每天東升西落的原因是天空不轉(zhuǎn)動(dòng)，太陽每天自東向西旋轉(zhuǎn)一周。(×)(3)圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的行星的速率是一成不變的。(×)(4)八大行星中海王星離太陽“最遠(yuǎn)”，則公轉(zhuǎn)周期最長(zhǎng)。(√)2．(2023·東營高一檢測(cè))如圖所示，火星和地球都在圍繞著太陽旋轉(zhuǎn)，運(yùn)行軌道都是橢圓。根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律可知()A．太陽位于地球運(yùn)行軌道的中心B．地球靠近太陽的過程中，運(yùn)行速率減小C．火星遠(yuǎn)離太陽的過程中，它與太陽的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積逐漸增大D．火星繞太陽運(yùn)行一周的時(shí)間比地球的長(zhǎng)解析：選D根據(jù)開普勒第一定律可知，太陽位于地球運(yùn)行軌道的焦點(diǎn)處，A錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第二定律可知，地球靠近太陽的過程中，運(yùn)行速率增加，B錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第二定律可知，火星遠(yuǎn)離太陽的過程中，它與太陽的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積不變，C錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第三定律可知，火星繞太陽運(yùn)行的半長(zhǎng)軸大于地球繞太陽運(yùn)行的半長(zhǎng)軸，可知火星繞太陽運(yùn)行一周的時(shí)間比地球的長(zhǎng)，D正確。3.如圖所示，某人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑為月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)半徑的eq\f(1,9)，設(shè)月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為27天，則此衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期大約是()A.eq\f(1,9)天 B.eq\f(1,3)天C．1天 D．9天解析：選C由于r衛(wèi)＝eq\f(1,9)r月，T月＝27天，由開普勒第三定律eq\f(r衛(wèi)3,T衛(wèi)2)＝eq\f(r月3,T月2)，可得T衛(wèi)＝1天，故選項(xiàng)C正確。逐點(diǎn)清(二)萬有引力定律[多維度理解]1．內(nèi)容自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的，引力的方向沿兩物體的連線，引力的大小F與這兩個(gè)物體質(zhì)量的乘積m1m2成正比，與這兩個(gè)物體間的距離r的平方成反比。2．表達(dá)式：F＝Geq\f(m1m2,r2)。(1)r是兩質(zhì)點(diǎn)的距離(若為勻質(zhì)球體，則是兩球心的距離)。(2)G為引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2。3．“月—地”檢驗(yàn)牛頓的月—地檢驗(yàn)，將地球?qū)Φ孛嫖矬w的引力、行星對(duì)衛(wèi)星的引力統(tǒng)一起來，證明了它們都遵守萬有引力定律。4．引力常量的測(cè)定(1)測(cè)定：1798年，英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤實(shí)驗(yàn)，較精確地得到了引力常量數(shù)值。(2)意義：使萬有引力定律能進(jìn)行定量運(yùn)算，顯示出其真正的實(shí)用價(jià)值。(3)知道G的值后，利用萬有引力定律可以計(jì)算出天體的質(zhì)量，卡文迪許也因此被稱為“能稱出地球質(zhì)量的人”。1．萬有引力的四個(gè)特性特性內(nèi)容普遍性萬有引力不僅存在于太陽與行星、地球與月球之間，宇宙間任何兩個(gè)有質(zhì)量的物體之間都存在著這種相互吸引的力相互性兩個(gè)有質(zhì)量的物體之間的萬有引力是一對(duì)作用力和反作用力，遵守牛頓第三定律宏觀性地面上的一般物體之間的萬有引力比較小，與其他力比較可忽略不計(jì)，但在質(zhì)量巨大的天體之間或天體與其附近的物體之間，萬有引力起著決定性作用特殊性兩個(gè)物體之間的萬有引力只與它們本身的質(zhì)量和它們間的距離有關(guān)，而與它們所在空間的性質(zhì)無關(guān)，也與周圍是否存在其他物體無關(guān)2.公式F＝Geq\f(m1m2,r2)的適用條件(1)嚴(yán)格地說，公式適用于兩質(zhì)點(diǎn)間的相互作用。(2)兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用，也可用公式來計(jì)算，其中，r是兩個(gè)球體球心間的距離。(3)一個(gè)均勻球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，公式也適用，其中r為球心到質(zhì)點(diǎn)的距離。(4)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，公式也近似適用，其中r為兩物體間的距離。[典例](多選)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R。已知引力常量為G，下列說法正確的是()A．一顆衛(wèi)星對(duì)地球的引力大小為eq\f(GMm,r2)B．地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為eq\f(GMm,r－R2)C．三顆衛(wèi)星對(duì)地球引力的合力大小為eq\f(3GMm,r2)D．兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為eq\f(Gm2,3r2)[解析]萬有引力定律公式F＝Geq\f(m1m2,r2)中的r指的是兩星體中心間的距離，因此A正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)幾何知識(shí)，兩衛(wèi)星之間的距離為eq\r(3)r，故兩衛(wèi)星間的引力大小為F′＝Geq\f(m2,\r(3)r2)＝eq\f(Gm2,3r2)，D正確；由于三顆衛(wèi)星對(duì)地球的引力大小相等，且等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，因此三顆衛(wèi)星對(duì)地球引力的合力為0，C錯(cuò)誤。[答案]AD[全方位練明]1．(多選)對(duì)于萬有引力定律的表達(dá)式，下列說法中正確的是()A．公式中G為引力常量，與兩個(gè)物體的質(zhì)量無關(guān)B．當(dāng)r趨近于零時(shí)，萬有引力趨近于無窮大C．m1與m2受到的引力大小總是相等的，方向相反，是一對(duì)平衡力D．m1與m2受到的引力大小總是相等的，而與m1、m2是否相等無關(guān)解析：選AD公式中的G為比例系數(shù)，稱作引力常量，與兩個(gè)物體的質(zhì)量無關(guān)，A正確；當(dāng)兩物體表面距離r越來越小，直至趨近于零時(shí)，物體不能再看作質(zhì)點(diǎn)，表達(dá)式F＝Geq\f(m1m2,r2)已不再適用于計(jì)算它們之間的萬有引力，B錯(cuò)誤；m1與m2受到彼此的引力為作用力與反作用力，此二力總是大小相等、方向相反，與m1、m2是否相等無關(guān)，C錯(cuò)誤，D正確。2．兩個(gè)大小相同的實(shí)心勻質(zhì)小鐵球，緊靠在一起時(shí)它們之間的萬有引力為F；若兩個(gè)半徑為小鐵球2倍的實(shí)心勻質(zhì)大鐵球緊靠在一起，則它們之間的萬有引力為()A．2F B．4FC．8F D．16F解析：選D設(shè)小鐵球的半徑為R、密度為ρ，則兩小鐵球間：F＝Geq\f(mm,2R2)＝Geq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ·\f(4,3)πR3))2,4R2)＝eq\f(4,9)Gπ2ρ2R4，同理兩大鐵球之間：F′＝Geq\f(m′m′,4R2)＝eq\f(4,9)Gπ2ρ2(2R)4＝16F，A、B、C錯(cuò)誤，D正確。3．(2023·新課標(biāo)卷)2023年5月，世界現(xiàn)役運(yùn)輸能力最大的貨運(yùn)飛船天舟六號(hào)，攜帶約5800kg的物資進(jìn)入距離地面約400km(小于地球同步衛(wèi)星與地面的距離)的軌道，順利對(duì)接中國空間站后近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。對(duì)接后，這批物資()A．質(zhì)量比靜止在地面上時(shí)小B．所受合力比靜止在地面上時(shí)小C．所受地球引力比靜止在地面上時(shí)大D．做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度大小比地球自轉(zhuǎn)角速度大解析：選D物資在低速(速度遠(yuǎn)小于光速)宏觀條件下質(zhì)量保持不變，即在空間站中和在地面上質(zhì)量相同，故A錯(cuò)誤；設(shè)空間站離地面的高度為h，這批物資在地面上靜止時(shí)合力為零，在空間站所受合力為萬有引力，即F＝eq\f(GMm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋h))2)，在地面受地球引力為F1＝eq\f(GMm,R2)，因此有F1>F，故B、C錯(cuò)誤；物資在空間站內(nèi)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力eq\f(GMm,r2)＝mω2r，解得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，空間站的軌道半徑小于同步衛(wèi)星的軌道半徑，即這批物資的角速度大于地球自轉(zhuǎn)的角速度，故D正確。逐點(diǎn)清(三)“填補(bǔ)法”計(jì)算物體間的萬有引力[多維度理解]對(duì)于質(zhì)量分布均勻的不完整的球形物體間的萬有引力，無法直接應(yīng)用萬有引力公式求得，解決該類問題常用“填補(bǔ)法”。所謂“填補(bǔ)法”，即對(duì)本來是非對(duì)稱的物體，通過“填補(bǔ)”后構(gòu)成對(duì)稱物體，然后再利用對(duì)稱物體所滿足的物理規(guī)律進(jìn)行求解的方法。常見的類型是把非對(duì)稱物體(挖空部分為球體)補(bǔ)成球體，即先把挖去的部分“填補(bǔ)”上，使其成為半徑為R的完整球體，再根據(jù)萬有引力公式，分別計(jì)算出半徑為R的球體和“填補(bǔ)”上的球體對(duì)物體的萬有引力，最后兩引力相減即可得到答案。[典例]一個(gè)質(zhì)量為M的勻質(zhì)實(shí)心球，半徑為R。如果從球上挖去一個(gè)直徑為R的球，放在與被挖球相距為d的地方，求下列兩種情況中，兩球之間的萬有引力分別是多大，并指出在什么條件下，以下兩種情況計(jì)算結(jié)果相同。(1)如圖甲所示，從球的正中心挖去；(2)如圖乙所示，從與球面相切處挖去。[解題指導(dǎo)]當(dāng)從球M的正中心挖去一個(gè)直徑為R的球m時(shí)，剩余部分M′仍關(guān)于球心對(duì)稱，且質(zhì)量均勻分布，所以剩余部分M′與挖出的球m之間的距離為d。當(dāng)從與球面相切處挖去直徑為R的球m時(shí)，剩余部分M′不再關(guān)于球心對(duì)稱，所以剩余部分M′與球m之間的距離不再是d。[解析]根據(jù)勻質(zhì)實(shí)心球的質(zhì)量與其半徑的關(guān)系M球＝eq\f(4,3)πr3·ρ∝r3，可知被挖去球的質(zhì)量和剩余部分的質(zhì)量分別為m＝eq\f(M,8)，M′＝eq\f(7M,8)。(1)當(dāng)從球的正中心挖去時(shí)，根據(jù)萬有引力定律，這時(shí)兩球之間的引力F1＝Geq\f(M′m,d2)＝eq\f(7,64)Geq\f(M2,d2)。(2)當(dāng)從與球面相切處挖去時(shí)，這種情況不能直接用萬有引力公式計(jì)算，可利用填補(bǔ)法，先將M′轉(zhuǎn)化為理想模型，即用同樣的材料將其填補(bǔ)為實(shí)心球M，這時(shí)M與m之間的引力F＝Geq\f(Mm,d2)＝eq\f(1,8)Geq\f(M2,d2)，因?yàn)樘钛a(bǔ)空心球而增加的引力ΔF＝Geq\f(mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))2)＝eq\f(1,64)Geq\f(M2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))2)，所以，這時(shí)M′與m之間的引力F2＝F－ΔF＝eq\f(1,8)GM2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,d2)－\f(1,8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))2)))。當(dāng)d?R時(shí)，F(xiàn)2≈eq\f(1,8)GM2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,d2)－\f(1,8d2)))＝eq\f(7,64)Geq\f(M2,d2)＝F1，即兩種情況計(jì)算結(jié)果相同。[答案]見解析[全方位練明]如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為R，密度均勻的大球體。從中挖去一個(gè)半徑為eq\f(R,2)的小球體，并在空腔中心放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，則大球體的剩余部分對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為(已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零)()A．Geq\f(Mm,R2) B．0C．4Geq\f(Mm,R2) D．Geq\f(Mm,2R2)解析：選D若將挖去的小球體用原材料補(bǔ)回，可知剩余部分對(duì)m的吸引力等于完整大球體對(duì)m的吸引力與挖去小球體對(duì)m的吸引力之差，挖去的小球體球心與m重合，對(duì)m的萬有引力為零，則剩余部分對(duì)m的萬有引力等于完整大球體對(duì)m的萬有引力；以大球體球心為中心分離出半徑為eq\f(R,2)的球，易知其質(zhì)量為eq\f(1,8)M，則剩余均勻球殼對(duì)m的萬有引力為零，故大球體的剩余部分對(duì)m的萬有引力等于分離出的球?qū)ζ涞娜f有引力，根據(jù)萬有引力定律得F＝Geq\f(\f(1,8)mM,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2)＝Geq\f(Mm,2R2)，D正確。eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])A級(jí)——學(xué)考達(dá)標(biāo)1．(2023·廣東江門高一檢測(cè))關(guān)于萬有引力常量G，下列說法中正確的是()A．人們?yōu)榱擞?jì)算引力大小，規(guī)定了G值B．在不同的星球上，G的數(shù)值不一樣C．G值由卡文迪許通過扭秤實(shí)驗(yàn)測(cè)定D．G值由牛頓通過理論計(jì)算得到解析：選CG的數(shù)值是卡文迪許通過扭秤實(shí)驗(yàn)測(cè)定的，在不同星球上，G的數(shù)值一樣。故選C。2．我國嫦娥五號(hào)探測(cè)器成功攜月壤返回地球。在探測(cè)器“奔向”月球的過程中，用h表示探測(cè)器與地球表面的距離，F(xiàn)表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關(guān)系的圖像是()解析：選D由萬有引力公式F＝Geq\f(Mm,R＋h2)可知，探測(cè)器與地球表面距離h越大，F(xiàn)越小，排除B、C；而F與h不是一次函數(shù)關(guān)系，排除A，故選D。3．(2022·河南駐馬店高一期末)(多選)在央視元宵晚會(huì)上，航天員王亞平在中國天宮空間站用古箏演奏了一曲《茉莉花》，將美好的祝福以音樂的方式從萬米高空傳送給千家萬戶。下列說法正確的是()A．開普勒在牛頓運(yùn)動(dòng)定律的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律B．相同時(shí)間內(nèi)，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積C．牛頓剛發(fā)現(xiàn)萬有引力定律時(shí)，并不能算出兩個(gè)天體之間萬有引力的大小D．物體受地球的引力、月球受地球的引力，與太陽、行星間的引力，遵從相同的規(guī)律解析：選CD開普勒用20年的時(shí)間研究了丹麥天文學(xué)家第谷的行星觀測(cè)記錄，總結(jié)出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律，故A錯(cuò)誤；對(duì)任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，對(duì)于不同行星與太陽連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積不一定相等，故B錯(cuò)誤；牛頓得出了萬有引力與物體質(zhì)量及它們之間距離的關(guān)系，但卻無法算出兩個(gè)天體之間萬有引力的大小，因?yàn)樗麤]有測(cè)出引力常量G的值，故C正確；牛頓通過月—地檢驗(yàn)，表明地面物體和月球受地球的引力，與太陽行星間的引力遵從相同的規(guī)律，故D正確。4．(2022·全國乙卷)2022年3月，中國航天員翟志剛、王亞平、葉光富在離地球表面約400km的“天宮二號(hào)”空間站上通過天地連線，為同學(xué)們上了一堂精彩的科學(xué)課。通過直播畫面可以看到，在近地圓軌道上飛行的“天宮二號(hào)”中，航天員可以自由地漂浮，這表明他們()A．所受地球引力的大小近似為零B．所受地球引力與飛船對(duì)其作用力兩者的合力近似為零C．所受地球引力的大小與其隨飛船運(yùn)動(dòng)所需向心力的大小近似相等D．在地球表面上所受引力的大小小于其隨飛船運(yùn)動(dòng)所需向心力的大小解析：選C航天員在空間站中所受地球引力完全提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故C正確，A、B錯(cuò)誤；根據(jù)萬有引力公式F萬＝Geq\f(Mm,r2)，可知在地球表面上所受引力的大小大于在飛船中所受的萬有引力大小，因此在地球表面上所受引力大于其隨飛船運(yùn)動(dòng)所需向心力的大小，故D錯(cuò)誤。5.如圖所示，一個(gè)質(zhì)量分布均勻的半徑為R的球體對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力為F。如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r＝eq\f(R,2)，則球體剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力變?yōu)?)A.eq\f(F,2) B.eq\f(F,8)C.eq\f(7F,8) D.eq\f(F,4)解析：選C原來物體間的萬有引力為F，挖去的半徑為eq\f(R,2)的球體的質(zhì)量為原來球體質(zhì)量的eq\f(1,8)，其他條件不變，所以挖去的球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力為eq\f(F,8)，故剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力為F－eq\f(F,8)＝eq\f(7F,8)。C正確。6.(2023·廈門高一檢測(cè))如圖所示，1、2分別是A、B兩顆衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的軌道，1為圓軌道，2為橢圓軌道，橢圓軌道的長(zhǎng)軸(近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)間的距離)是圓軌道半徑的4倍。P點(diǎn)為橢圓軌道的近地點(diǎn)；M點(diǎn)為橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)，TA是衛(wèi)星A的周期。則下列說法正確的是()A．B衛(wèi)星在由近地點(diǎn)向遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中受到地球引力將先增大后減小B．地心與衛(wèi)星B的連線在eq\r(2)TA時(shí)間內(nèi)掃過的面積為橢圓面積C．衛(wèi)星B的周期是衛(wèi)星A的周期的8倍D．1軌道圓心與2軌道的橢圓焦點(diǎn)重合解析：選D根據(jù)萬有引力定律F＝Geq\f(Mm,r2)可知，B衛(wèi)星在由近地點(diǎn)向遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中受到地球引力逐漸減小，A錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第三定律得eq\f(R3,TA2)＝eq\f(2R3,TB2)，解得TB＝2eq\r(2)TA，所以地心與衛(wèi)星B的連線在eq\r(2)TA時(shí)間內(nèi)掃過的面積小于橢圓面積，B、C錯(cuò)誤；1軌道圓心在地心，2軌道的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)也是地心，所以二者重合，D正確。7．根據(jù)開普勒第一定律，行星圍繞恒星運(yùn)動(dòng)的軌跡是橢圓。如果某一行星的橢圓軌跡距離中央天體中心最近為4×106km，最遠(yuǎn)為3×107km，那么與之周期相同的另一行星繞該中央天體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)半徑為()A．3.4×107km B．1.7×107kmC．3.4×106km D．1.7×106km解析：選B根據(jù)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k可知，題目所述的沿橢圓軌道運(yùn)行的行星的軌道半長(zhǎng)軸與沿圓軌道運(yùn)行的行星的軌道半徑相等，即r＝a＝eq\f(4×106＋3×107,2)km＝1.7×107km，故選B。8．2022年3月5日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功將銀河航天的通信衛(wèi)星發(fā)射升空。衛(wèi)星進(jìn)入高度為400kmeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(約為地球半徑的\f(1,16)))的預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功。則衛(wèi)星在地面上與軌道上受地球引力之比約為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,16)))2 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,15)))2C.eq\f(17,16) D.eq\f(16,15)解析：選A由萬有引力定律有F＝Geq\f(Mm,r2)可知，衛(wèi)星在地面上受地球萬有引力F1＝Geq\f(Mm,R2)，在軌道上受地球萬有引力F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)，又h＝eq\f(R,16)，所以eq\f(F1,F2)＝eq\f(R＋h2,R2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,16)))2，故選A。9.(多選)如圖所示，某行星沿橢圓軌道運(yùn)行，A為遠(yuǎn)日點(diǎn)，離太陽的距離為a，B為近日點(diǎn)，離太陽的距離為b，行星過遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速率為va，過近日點(diǎn)時(shí)的速率為vb。已知圖中的兩個(gè)陰影部分的面積相等，則()A．vb＝eq\r(\f(a,b))vaB．vb＝eq\f(a,b)vaC．行星從A到A′的時(shí)間小于從B到B′的時(shí)間D．太陽一定在該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上解析：選BD取極短時(shí)間Δt，根據(jù)開普勒第二定律得eq\f(1,2)a·va·Δt＝eq\f(1,2)b·vb·Δt，得到vb＝eq\f(a,b)va，故A錯(cuò)誤，B正確；題圖中的兩個(gè)陰影部分的面積相等，則它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，故C錯(cuò)誤；由開普勒第一定律可知太陽一定在該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，故D正確。B級(jí)——選考進(jìn)階10.(多選)宇宙中存在著由四顆星組成的孤立星系。如圖所示，一顆母星處在正三角形的中心，三角形的頂點(diǎn)各有一顆質(zhì)量相等的小星圍繞母星做圓周運(yùn)動(dòng)。如果任意兩顆小星間的萬有引力為F，母星與任意一顆小星間的萬有引力為9F。則()A．每顆小星受到的萬有引力為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋9))FB．每顆小星受到的萬有引力為(eq\r(3)＋9)FC．母星的質(zhì)量是小星質(zhì)量的3倍D．母星的質(zhì)量是小星質(zhì)量的3eq\r(3)倍解析：選BC假設(shè)每顆小星的質(zhì)量為m，母星的質(zhì)量為M，正三角形的邊長(zhǎng)為a，則小星繞母星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r＝eq\f(\r(3),3)a。根據(jù)萬有引力定律可知F＝Geq\f(mm,a2)，9F＝Geq\f(Mm,r2)，聯(lián)立解得M＝3m，故C正確，D錯(cuò)誤；任意一顆小星受到的萬有引力F總＝9F＋2F·cos30°＝(eq\r(3)＋9)F，故A錯(cuò)誤，B正確。11.某行星繞太陽沿橢圓軌道運(yùn)行，如圖所示，在這顆行星的軌道上有a、b、c、d四個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，其中a點(diǎn)為近日點(diǎn)，c點(diǎn)為遠(yuǎn)日點(diǎn)，若行星運(yùn)動(dòng)周期為T，則該行星()A．從a點(diǎn)到b點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于從c點(diǎn)到d點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間B．從d點(diǎn)經(jīng)a點(diǎn)到b點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于從b點(diǎn)經(jīng)c點(diǎn)到d點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間C．從a點(diǎn)到b點(diǎn)的時(shí)間tab＜eq\f(T,4)D．從c點(diǎn)到d點(diǎn)的時(shí)間tcd＜eq\f(T,4)解析：選C根據(jù)開普勒第二定律知：在相等時(shí)間內(nèi)，太陽和運(yùn)動(dòng)著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。據(jù)此行星運(yùn)行在近日點(diǎn)時(shí)，與太陽連線距離短，故運(yùn)行速度大，在遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)，太陽與行星連線長(zhǎng)，故運(yùn)行速度小。即在行星運(yùn)動(dòng)中，遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度最小，近日點(diǎn)的速度最大。圖中a點(diǎn)為近日點(diǎn)，所以速度最大，c點(diǎn)為遠(yuǎn)日點(diǎn)，所以速度最小，則從d點(diǎn)經(jīng)a點(diǎn)到b點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于從b點(diǎn)經(jīng)c點(diǎn)到d點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從a點(diǎn)到b點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于從c點(diǎn)到d點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，且從a點(diǎn)到b點(diǎn)的時(shí)間tab＜eq\f(T,4)，c點(diǎn)到d點(diǎn)的時(shí)間tcd＞eq\f(T,4)。故A、B、D錯(cuò)誤，C正確。12.(2023·廈門高一檢測(cè))如圖所示，空間有一半徑為R質(zhì)量分布均勻的球體，球的右側(cè)有一質(zhì)量為m的可視為質(zhì)點(diǎn)的物體，物體距離球體球心O之間的距離為2R，O與物體的連線在同一水平線上，球?qū)ξ矬w的引力大小為F1?，F(xiàn)從球中挖走兩個(gè)半徑為eq\f(R,2)的小球，小球的球心O1、O2與O點(diǎn)的連線在同一豎直線上，剩余部分對(duì)物體的引力大小為F2。則F1∶F2為()A．34eq\r(17)∶16 B．34eq\r(17)∶(34eq\r(17)－16)C．17eq\r(17)∶16 D．17eq\r(17)∶(17eq\r(17)－16)解析：選D假設(shè)大球的質(zhì)量為M，則該球?qū)ξ矬w的引力大小為F1＝eq\f(GMm,2R2)＝eq\f(GMm,4R2)，挖走的一個(gè)小球質(zhì)量為M′＝eq\f(\f(4,3)π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))3,\f(4,3)πR3)M＝eq\f(M,8)，挖走的兩小球與物體之間的距離均為r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2＋2R2)＝eq\r(\f(17,4))R，挖走的一個(gè)小球與物體之間的引力大小為F＝eq\f(GM′m,r2)，整理得F＝eq\f(GMm,34R2)，設(shè)O1與物體的連線與水平方向的夾角為θ，則挖走的兩個(gè)小球與物體之間的引力為F0＝2Fcosθ＝2×eq\f(GMm,34R2)×eq\f(2R,\r(\f(17,4))R)＝eq\f(4GMm,17\r(17)R2)，解得F1∶F0＝17eq\r(17)∶16，剩余部分對(duì)物體的引力大小F2＝F1－F0，得F1∶F2＝17eq\r(17)∶(17eq\r(17)－16)，故選D。13.近幾年，全球興起探索火星的熱潮。發(fā)射火星探測(cè)器可按以下步驟進(jìn)行，第一步，在地球表面用火箭對(duì)探測(cè)器進(jìn)行加速，使之沿地球公轉(zhuǎn)軌道運(yùn)動(dòng)。第二步是在適當(dāng)時(shí)刻啟用探測(cè)器上的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，在短時(shí)間內(nèi)對(duì)探測(cè)器沿原方向加速，使其速度值增加到適當(dāng)值，從而使探測(cè)器沿著一個(gè)與地球軌道及火星軌道分別在長(zhǎng)軸兩端相切的半個(gè)橢圓軌道飛行，運(yùn)行半個(gè)周期后正好飛行到火星表面附近，此時(shí)，啟動(dòng)探測(cè)器上的發(fā)動(dòng)機(jī)，使之成為繞火星運(yùn)轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，然后采取措施使之降落在火星上。如圖所示，設(shè)地球的軌道半徑為R，火星的軌道半徑為1.5R，探測(cè)器從地球運(yùn)行軌道到火星運(yùn)行軌道大約需要多長(zhǎng)時(shí)間？解析：由題可知，探測(cè)器在飛向火星的橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)，其軌道半長(zhǎng)軸為eq\f(1.5R＋R,2)＝1.25R由開普勒第三定律可得eq\f(R3,T地2)＝eq\f(1.25R3,T′2)解得T′≈1.4T地所以探測(cè)器從地球運(yùn)行軌道到火星運(yùn)行軌道所需時(shí)間t＝eq\f(T′,2)≈0.7年。答案：0.7年2、3節(jié)萬有引力定律的應(yīng)用人類對(duì)太空的不懈探索(賦能課—精細(xì)培優(yōu)科學(xué)思維)課標(biāo)要求層級(jí)達(dá)標(biāo)1.認(rèn)識(shí)科學(xué)定律對(duì)人類探索未知世界的作用。2.形成初步的第一、二、三宇宙速度的概念，能對(duì)簡(jiǎn)單的宇宙航行現(xiàn)象進(jìn)行分析和推理。3.能在熟悉的問題情境中應(yīng)用天體運(yùn)動(dòng)模型。學(xué)考層級(jí)1.了解用萬有引力定律計(jì)算天體質(zhì)量的基本思路。2.會(huì)計(jì)算人造地球衛(wèi)星的環(huán)繞速度。3.知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。選考層級(jí)1.能對(duì)萬有引力定律的綜合性問題進(jìn)行分析和推理，獲得結(jié)論并做出解釋。2.會(huì)計(jì)算人造地球衛(wèi)星的環(huán)繞速度，用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律解決宇宙航行問題。一、天體質(zhì)量的計(jì)算1．地球質(zhì)量的計(jì)算：如果不考慮地球的自轉(zhuǎn)，可以認(rèn)為在地面附近重力等于萬有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2)，可以求得地球的質(zhì)量：M＝eq\f(gR2,G)。2．一般天體質(zhì)量的計(jì)算：分析圍繞該天體運(yùn)動(dòng)的行星(或衛(wèi)星)，測(cè)出行星(或衛(wèi)星)的運(yùn)行周期和軌道半徑，由萬有引力提供向心力即可求中心天體的質(zhì)量。由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得M＝eq\f(4π2r3,GT2)。二、人造衛(wèi)星上天1．衛(wèi)星原理：一般情況下可認(rèn)為人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由地球?qū)λ娜f有引力提供，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，則衛(wèi)星在軌道上運(yùn)行的線速度v＝eq\r(\f(GM,r))。2．宇宙速度(1)第一宇宙速度使衛(wèi)星能環(huán)繞地球運(yùn)行所需的最小發(fā)射速度，其大小為v1＝7.9_km/s，又稱環(huán)繞速度。(2)第二宇宙速度使人造衛(wèi)星脫離地球的引力束縛，不再繞地球運(yùn)行，從地球表面發(fā)射所需的最小速度，其大小為v2＝11.2_km/s，又稱脫離速度。(3)第三宇宙速度使物體脫離太陽引力的束縛而飛出太陽系，從地球表面發(fā)射所需的最小速度，其大小為v3＝16.7_km/s，也稱逃逸速度。1．宇宙速度指的是發(fā)射速度，環(huán)繞速度一定不大于其發(fā)射速度。2．第一宇宙速度的其他三種叫法：最小發(fā)射速度、最大環(huán)繞速度、近地環(huán)繞速度。三、預(yù)測(cè)未知天體1．海王星的發(fā)現(xiàn)英國劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國天文愛好者勒維耶，根據(jù)天王星的觀測(cè)資料，利用萬有引力定律計(jì)算出天王星外未知行星的軌道。1846年9月23日，德國的伽勒在勒維耶預(yù)測(cè)的區(qū)域發(fā)現(xiàn)了這顆神秘的行星——海王星。2．預(yù)言哈雷彗星回歸英國物理學(xué)家哈雷，依據(jù)萬有引力定律計(jì)算彗星軌道，準(zhǔn)確預(yù)言了彗星的回歸時(shí)間。3．意義海王星的發(fā)現(xiàn)和哈雷彗星的“按時(shí)回歸”確立了萬有引力定律的地位。四、人類對(duì)太空的不懈探索1．古希臘人的探索與文藝復(fù)興時(shí)期的學(xué)說。2．牛頓的大綜合：牛頓在前人研究的基礎(chǔ)上，逐步建立了萬有引力定律，將地上的力學(xué)與天上的力學(xué)統(tǒng)一起來，是物理學(xué)的第一次大綜合，形成了以牛頓三大運(yùn)動(dòng)定律為基礎(chǔ)的力學(xué)體系。3．對(duì)太空的探索成果：1957年10月，蘇聯(lián)成功發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星。1969年7月，美國“阿波羅十一號(hào)”登上月球。2003年10月，“神舟五號(hào)”載人飛船成功發(fā)射，中國成為世界上第三個(gè)獨(dú)立掌握載人航天技術(shù)的國家。2012年6月，我國“神舟九號(hào)”飛船首次完成與“天宮一號(hào)”的手控交會(huì)對(duì)接任務(wù)。[微情境·大道理]1．如圖是我們測(cè)量物體質(zhì)量的常用工具，地球這么大，我們?nèi)绾巍胺Q量”地球的質(zhì)量呢？卡文迪許在實(shí)驗(yàn)室測(cè)出了引力常量G的值，他稱自己是“可以稱量地球質(zhì)量的人”。他“稱量”的依據(jù)是什么？提示：若忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，在地球表面上物體受到的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，因?yàn)榈厍虮砻娴闹亓铀俣萭已知，地球的半徑R已知，由mg＝Geq\f(m地m,R2)，得m地＝eq\f(gR2,G)。2．牛頓設(shè)想，如圖所示，把物體從高山上水平拋出，當(dāng)速度足夠大時(shí)物體不再落回地面，成為人造地球衛(wèi)星。請(qǐng)對(duì)以下結(jié)論作出判斷。(1)若物體的初速度v＝7.9km/s時(shí)，物體將繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(√)(2)若物體的初速度v＞11.2km/s，物體將繞地球做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)。(×)(3)若物體的初速度v＞16.7km/s，物體將掙脫太陽的束縛。(√)(4)若物體的初速度滿足7.9km/s＜v＜11.2km/s，物體將繞地球做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)。(√)(5)發(fā)射同步衛(wèi)星的最小發(fā)射速度為7.9km/s。(×)3．發(fā)射人造衛(wèi)星(或宇宙飛船)應(yīng)選擇靠近赤道處來建較高的發(fā)射塔，而且發(fā)射的方向都是向東發(fā)射。這是什么原因呢？提示：因?yàn)檫@樣可節(jié)省火箭燃料，且物體都有慣性，在生活中我們要盡量利用慣性的有利面，發(fā)射衛(wèi)星所需的推力，不但與衛(wèi)星的重量和發(fā)射傾角有關(guān)，而且與發(fā)射的方向和發(fā)射地點(diǎn)的緯度有關(guān)，地球自西向東自轉(zhuǎn)，隨地球緯度變化，各處自轉(zhuǎn)的線速度也不同。在赤道處，地球自轉(zhuǎn)的線速度最大，自轉(zhuǎn)的線速度大小隨緯度的增大而減小，在南北兩極速度為零。如果我們順著地球自轉(zhuǎn)方向，在赤道附近向東發(fā)射傾角為零的衛(wèi)星，這時(shí)就可以充分利用發(fā)射的衛(wèi)星隨地球自轉(zhuǎn)的慣性，宛如“順?biāo)浦邸保?jié)省能量。

強(qiáng)化點(diǎn)(一)重力與萬有引力的關(guān)系任務(wù)驅(qū)動(dòng)假如某個(gè)人做環(huán)球旅行，可能到達(dá)地球的任何地點(diǎn)，如果將地球看成標(biāo)準(zhǔn)的球體，那么該人分別位于赤道上某點(diǎn)、北半球的某點(diǎn)、南半球的某點(diǎn)、北極點(diǎn)、南極點(diǎn)等不同地點(diǎn)。(1)該人在各地點(diǎn)所受的萬有引力有什么關(guān)系？(2)該人在各地點(diǎn)所受的重力有什么關(guān)系？提示：(1)該人在各地點(diǎn)所受的萬有引力大小相等，方向沿對(duì)應(yīng)的地球半徑指向地心。(2)由于地球自轉(zhuǎn)的影響，該人在各地點(diǎn)所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心。[要點(diǎn)釋解明]1．“天上的物體”“天上的物體”就是指在空中繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，物體在空中時(shí)受到地球的萬有引力等于物體的重力，即mg＝Geq\f(Mm,r2)，隨著離地面的高度增加，萬有引力減小，物體的重力隨之減小(重力加速度減小)。2．“地上的物體”(1)“地上的物體”就是指在地面上隨地球一起自轉(zhuǎn)的物體，地面上的物體受到地球的萬有引力F可以分解為物體受到的重力G和使物體隨地球做圓周運(yùn)動(dòng)(自轉(zhuǎn))所需的向心力F向(方向指向地軸)，如圖所示。(2)特殊位置①南、北極點(diǎn)：mg＝Geq\f(Mm,R2)(F向＝0)，物體的重力有最大值，方向指向地心。②赤道處：eq\f(GMm,R2)－mg＝mRω2，物體的重力有最小值，且mg＝Geq\f(Mm,R2)－mRω2，方向指向地心。[題點(diǎn)全練清]1．將物體由赤道向兩極移動(dòng)，則()A．它的重力減小B．它隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)的向心力增大C．它隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)的向心力減小D．向心力方向、重力的方向都指向地心解析：選C地球表面上所有物體所受地球的萬有引力，按其作用效果分為重力和向心力，向心力使物體得以隨地球一起繞地軸自轉(zhuǎn)，所以說重力是地球?qū)ξ矬w的萬有引力的一個(gè)分力。萬有引力、重力和向心力三個(gè)力遵循力的平行四邊形定則，只有萬有引力的方向指向地心，D錯(cuò)誤；物體由赤道向兩極移動(dòng)時(shí)，萬有引力大小不變，向心力減小，重力增大，當(dāng)?shù)竭_(dá)兩極時(shí)，重力等于萬有引力，A、B錯(cuò)誤，C正確。2．地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，若高空中某處的重力加速度為eq\f(g,4)，則該處距地球表面的高度為()A．(eq\r(2)－1)R B．RC.eq\r(2)R D．2R解析：選B根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝mg′，可得g′＝eq\f(GM,r2)，則有g(shù)＝eq\f(GM,R2)，eq\f(g,4)＝eq\f(GM,r2)，聯(lián)立解得r＝2R，則該處距地球表面的高度h＝r－R＝R，故B正確。3．(2023·廈門高一檢測(cè))設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期為T，質(zhì)量為M，引力常量為G，假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R。同一物體在南極和赤道水平面上靜止時(shí)所受到的支持力之比為()A.eq\f(GMT2,GMT2－4π2R3) B.eq\f(GMT2,GMT2＋4π2R3)C.eq\f(GMT2－4π2R3,GMT2) D.eq\f(GMT2＋4π2R3,GMT2)解析：選A設(shè)物體質(zhì)量為m，在赤道上：Geq\f(Mm,R2)－FN＝meq\f(4π2,T2)R，可得FN＝Geq\f(Mm,R2)－meq\f(4π2,T2)R；在南極：Geq\f(Mm,R2)＝FN′；聯(lián)立可得：eq\f(FN′,FN)＝eq\f(GMT2,GMT2－4π2R3)，故選項(xiàng)A正確。

強(qiáng)化點(diǎn)(二)天體質(zhì)量與密度的計(jì)算任務(wù)驅(qū)動(dòng)若已知月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期T和半徑r，由此可以求出地球的質(zhì)量嗎？是否也能求出月球的質(zhì)量呢？提示：能求出地球的質(zhì)量。利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，求出的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)為中心天體的質(zhì)量。做圓周運(yùn)動(dòng)的月球的質(zhì)量m在等式中已約掉，所以根據(jù)月球的周期T、公轉(zhuǎn)半徑r，無法計(jì)算月球的質(zhì)量。[要點(diǎn)釋解明]方法重力加速度法環(huán)繞法情境已知天體的半徑R和天體表面的重力加速度g行星或衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)思路物體在天體表面的重力近似等于天體與物體間的萬有引力mg＝Geq\f(Mm,R2)行星或衛(wèi)星受到的萬有引力充當(dāng)向心力Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r(以T為例)天體質(zhì)量天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)中心天體質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)天體密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πRG)ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)說明g為天體表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用實(shí)驗(yàn)測(cè)出，例如讓小球做自由落體、平拋、上拋等運(yùn)動(dòng)T為公轉(zhuǎn)周期，r為軌道半徑，R為中心天體半徑。這種方法只能求中心天體質(zhì)量，不能求環(huán)繞星體質(zhì)量[典例]半徑為R的某天體的一顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測(cè)得衛(wèi)星在該高度做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，已知引力常量為G，求該天體的質(zhì)量和密度。[解析]設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為M，衛(wèi)星距天體表面的高度為h時(shí)，由萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)則該天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)則該天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R＋h3,GT2·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)。[答案]eq\f(4π2R＋h3,GT2)eq\f(3πR＋h3,GT2R3)[拓展]結(jié)合[典例]中的情境，假設(shè)在該天體上發(fā)射一顆貼近該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，它的周期為T0。求該天體的質(zhì)量和密度。解析：設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為M。衛(wèi)星貼近天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T02)R，則該天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2R3,GT02)根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知天體的體積為V＝eq\f(4,3)πR3故該天體的密度為ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3π,GT02)。答案：eq\f(4π2R3,GT02)eq\f(3π,GT02)/易錯(cuò)警示/計(jì)算天體質(zhì)量和密度時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)區(qū)別(1)天體的半徑R和衛(wèi)星環(huán)繞軌道半徑r只有在中心天體表面附近的衛(wèi)星才有r≈R，而計(jì)算中心天體體積時(shí)V＝eq\f(4,3)πR3中的“R”只能是中心天體的半徑R。(2)自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期自轉(zhuǎn)周期是指天體繞自身某軸線運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間。公轉(zhuǎn)周期是指天體繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間。自轉(zhuǎn)周期與公轉(zhuǎn)周期一般不相等。[題點(diǎn)全練清]1．(2023·遼寧沈陽質(zhì)檢)金星是太陽系的八大行星中從太陽向外的第二顆行星，在中國古代稱為太白、啟明或長(zhǎng)庚。如果金星的公轉(zhuǎn)周期為T，自轉(zhuǎn)周期為T′，半徑為R，金星到太陽的距離為r，引力常量為G，則()A．金星質(zhì)量為eq\f(4π2R3,GT′2) B．金星質(zhì)量為eq\f(4π2r3,GT′2)C．太陽質(zhì)量為eq\f(4π2r3,GT2) D．太陽質(zhì)量為eq\f(4π2R3,GT2)解析：選C設(shè)金星質(zhì)量為m，太陽質(zhì)量為M，根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，解得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，故C正確，D錯(cuò)誤；行星繞恒星運(yùn)行的公轉(zhuǎn)周期、軌道半徑可以計(jì)算中心天體的質(zhì)量，而不能計(jì)算行星質(zhì)量，根據(jù)題中條件無法求出金星的質(zhì)量，故A、B錯(cuò)誤。2.已知M、N兩星球的半徑之比為2∶1，在星球表面豎直上拋物體時(shí)，其上升的最大高度h與初速度的二次方v2的關(guān)系如圖所示(不計(jì)空氣阻力)，則M、N兩星球的密度之比為()A．1∶1B．1∶4C．1∶8D．1∶16解析：選B由豎直上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律和題圖可知v02＝2gM·2h0，v02＝2gN·h0，所以gM∶gN＝1∶2，根據(jù)mg＝eq\f(GMm,R2)，ρ＝eq\f(M,V)，V＝eq\f(4,3)πR3，可得ρ＝eq\f(3g,4πGR)，則ρM∶ρN＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gM,RM)))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gN,RN)))＝eq\f(gM,gN)·eq\f(RN,RM)＝eq\f(1,4)，故選B。強(qiáng)化點(diǎn)(三)發(fā)射速度與宇宙速度[要點(diǎn)釋解明]1．人造衛(wèi)星的兩個(gè)速度(1)發(fā)射速度：指將人造衛(wèi)星送入預(yù)定軌道運(yùn)行所必須具有的速度。衛(wèi)星離地面越高，衛(wèi)星的發(fā)射速度越大。(2)繞行速度：衛(wèi)星進(jìn)入軌道后繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知，軌道半徑越大，衛(wèi)星的繞行速度就越小。2．第一宇宙速度的推導(dǎo)方法一：方法二：3．三大宇宙速度項(xiàng)目數(shù)值意義第一宇宙速度7.9km/s發(fā)射的人造地球衛(wèi)星在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最小發(fā)射速度第二宇宙速度11.2km/s發(fā)射的衛(wèi)星掙脫地球引力束縛，離開地球的最小發(fā)射速度第三宇宙速度16.7km/s發(fā)射的衛(wèi)星掙脫太陽引力束縛，飛到太陽系以外的宇宙空間去的最小發(fā)射速度[典例]若取地球的第一宇宙速度為8km/s，某行星質(zhì)量是地球的6倍，半徑是地球的1.5倍，此行星的第一宇宙速度約為()A．16km/s B．32km/sC．4km/s D．2km/s[解析]第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，對(duì)于近地衛(wèi)星，其軌道半徑近似等于星球半徑，所受萬有引力提供其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(\f(GM,R))，因?yàn)樾行堑馁|(zhì)量M′是地球質(zhì)量M的6倍，半徑R′是地球半徑R的1.5倍，故eq\f(v′,v)＝eq\f(\r(\f(GM′,R′)),\r(\f(GM,R)))＝eq\r(\f(M′R,MR′))＝2，即v′＝2v＝2×8km/s＝16km/s，A正確。[答案]A/易錯(cuò)警示/發(fā)射速度、繞行速度與第一宇宙速度的區(qū)別(1)某一星球的第一宇宙速度是一定的。(2)衛(wèi)星的發(fā)射速度越大，軌道越高，其繞行速度越小。(3)第一宇宙速度是衛(wèi)星最小的發(fā)射速度，也是最大的繞行速度。[題點(diǎn)全練清]1．(2023·濟(jì)南學(xué)考檢測(cè))下列關(guān)于三個(gè)宇宙速度的說法中正確的是()A．第一宇宙速度v1＝7.9km/s，第二宇宙速度v2＝11.2km/s，則人造衛(wèi)星繞地球在圓軌道上運(yùn)行時(shí)的速度大于等于v1，小于v2B．“天問一號(hào)”火星探測(cè)器發(fā)射速度大于第三宇宙速度C．第二宇宙速度是在地面附近使物體可以掙脫地球引力束縛，成為繞太陽運(yùn)行的人造行星的最小發(fā)射速度D．第一宇宙速度7.9km/s是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最小運(yùn)行速度解析：選C根據(jù)v＝eq\r(\f(GM,r))可知，衛(wèi)星的軌道半徑r越大，即距離地面越遠(yuǎn)，衛(wèi)星的環(huán)繞速度越小，v1＝7.9km/s是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大運(yùn)行速度，D錯(cuò)誤；實(shí)際上，由于人造衛(wèi)星的軌道半徑都大于地球半徑，故衛(wèi)星繞地球在圓軌道上運(yùn)行時(shí)的速度都小于第一宇宙速度，A錯(cuò)誤；“天問一號(hào)”火星探測(cè)器仍在太陽系內(nèi)，所以其發(fā)射速度小于第三宇宙速度，B錯(cuò)誤；第二宇宙速度是在地面附近使物體掙脫地球引力束縛而成為太陽的一顆人造行星的最小發(fā)射速度，C正確。2．物體脫離星球引力所需要的最小速度稱為第二宇宙速度，第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關(guān)系是v2＝eq\r(2)v1。已知某星球半徑是地球半徑R的eq\f(1,2)，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的eq\f(1,4)，不計(jì)其他星球的影響，則該星球的第二宇宙速度為()A.eq\f(1,2)eq\r(gR) B.eq\f(1,3)eq\r(gR)C.eq\f(1,6)eq\r(gR) D.eq\r(gR)解析：選A根據(jù)第一宇宙速度的表達(dá)式v＝eq\r(gR)，可得該星球的第一宇宙速度為v1＝eq\r(\f(1,4)g·\f(1,2)R)＝eq\f(1,2)eq\r(\f(gR,2))，則該星球的第二宇宙速度為v2＝eq\r(2)v1＝eq\f(1,2)eq\r(gR)，A正確。強(qiáng)化點(diǎn)(四)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析[要點(diǎn)釋解明]一、衛(wèi)星的運(yùn)行參量的求解問題1．分析思路一般衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)可看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需要的向心力都由中心天體對(duì)它的萬有引力提供，即F向＝F萬。2．常用關(guān)系(1)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mreq\f(4π2,T2)＝mωv＝ma，萬有引力提供行星或衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。(2)mg＝Geq\f(Mm,R2)，在天體表面上物體的重力等于它受到的萬有引力，可得gR2＝GM，該公式稱為黃金代換。3．重要結(jié)論項(xiàng)目推導(dǎo)式關(guān)系式結(jié)論v與r的關(guān)系Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)v＝eq\r(\f(GM,r))r越大，v越小ω與r的關(guān)系Geq\f(Mm,r2)＝mω2rω＝eq\r(\f(GM,r3))r越大，ω越小T與r的關(guān)系Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2rT＝2πeq\r(\f(r3,GM))r越大，T越大a與r的關(guān)系Geq\f(Mm,r2)＝maa＝eq\f(GM,r2)r越大，a越小二、衛(wèi)星相距“最近”或“最遠(yuǎn)”問題兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)同向繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a衛(wèi)星的角速度為ωa，b衛(wèi)星的角速度為ωb。若某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過地面同一點(diǎn)正上方，相距最近，如圖甲所示。1．當(dāng)它們轉(zhuǎn)過的角度之差Δθ＝π，即滿足ωaΔt－ωbΔt＝π時(shí)，兩衛(wèi)星第一次相距最遠(yuǎn)，如圖乙所示。2．當(dāng)它們轉(zhuǎn)過的角度之差Δθ＝2π，即滿足ωaΔt－ωbΔt＝2π時(shí)，兩衛(wèi)星再次相距最近。[典例]a、b兩顆衛(wèi)星均在赤道正上方同方向繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a為近地衛(wèi)星，b衛(wèi)星離地面高度為3R，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，試求：(1)a、b兩顆衛(wèi)星周期分別是多少？(2)a、b兩顆衛(wèi)星速度之比是多少？(3)若某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過赤道同一點(diǎn)的正上方，則至少經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)？[解析](1)衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)引＝F向，對(duì)地面上質(zhì)量為m0的物體有Geq\f(Mm0,R2)＝m0g，a衛(wèi)星在地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)：eq\f(GMma,R2)＝maeq\f(4π2,Ta2)R，解得Ta＝2πeq\r(\f(R,g))，對(duì)b衛(wèi)星有：eq\f(GMmb,4R2)＝mbeq\f(4π2,Tb2)·4R，解得Tb＝16πeq\r(\f(R,g))。(2)衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)引＝F向，對(duì)a衛(wèi)星有eq\f(GMma,R2)＝eq\f(mava2,R)，解得va＝eq\r(\f(GM,R))，對(duì)b衛(wèi)星有Geq\f(Mmb,4R2)＝mbeq\f(v2,4R)，解得vb＝eq\r(\f(GM,4R))＝eq\f(1,2)eq\r(\f(GM,R))，所以eq\f(va,vb)＝2。(3)由題可知，eq\f(2π,Ta)t－eq\f(2π,Tb)t＝π，解得t＝eq\f(8π,7)eq\r(\f(R,g))。[答案](1)2πeq\r(\f(R,g))16πeq\r(\f(R,g))(2)2(3)eq\f(8π,7)eq\r(\f(R,g))[題點(diǎn)全練清]1．(2023·廣東1月學(xué)考)中國空間站運(yùn)行軌道近似為圓形。為補(bǔ)充物資，貨運(yùn)飛船需定期與空間站交會(huì)對(duì)接，對(duì)接后形成的組合體仍在原軌道運(yùn)行。與對(duì)接前的空間站相比，組合體運(yùn)行()A．周期變大 B．線速度變大C．向心加速度變大 D．所需的向心力變大解析：選D與對(duì)接前的空間站相比，組合體運(yùn)行的軌道半徑不變，根據(jù)F向＝Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r＝mω2r＝ma，可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，v＝eq\r(\f(GM,r))，a＝eq\f(GM,r2)，可知組合體運(yùn)行的周期、線速度和向心加速度都不變，因組合體的質(zhì)量變大，則所需的向心力變大。故選D。2．(多選)赤道平面內(nèi)的某顆衛(wèi)星自西向東繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，該衛(wèi)星離地面的高度小于地球同步衛(wèi)星的高度，赤道上一觀測(cè)者發(fā)現(xiàn)，該衛(wèi)星連續(xù)兩次出現(xiàn)在觀測(cè)者正上方的最小時(shí)間間隔為t，已知地球自轉(zhuǎn)周期為T0，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，由此可知該衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期T和離地面的高度H為()A．T＝eq\f(tT0,T0＋t) B．H＝eq\r(3,\f(gR2t2T02,4π2t＋T02))－RC．T＝eq\f(tT0,T0－t) D．H＝eq\r(3,\f(gR2t2T02,4π2t－T02))－R解析：選AB設(shè)衛(wèi)星的周期為T，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)－\f(2π,T0)))t＝2π，解得T＝eq\f(tT0,T0＋t)，由萬有引力提供向心力有Geq\f(m地m,R＋H2)＝m(R＋H)eq\f(4π2,T2)，又在地表處有g(shù)＝eq\f(Gm地,R2)，聯(lián)立解得H＝eq\r(3,\f(gR2t2T02,4π2t＋T02))－R，故選A、B。3．(2022·廣東高考)“祝融號(hào)”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的冬季。假設(shè)火星和地球的冬季是各自公轉(zhuǎn)周期的四分之一，且火星的冬季時(shí)長(zhǎng)約為地球的1.88倍?；鹦呛偷厍蚶@太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。下列關(guān)于火星、地球公轉(zhuǎn)的說法正確的是()A．火星公轉(zhuǎn)的線速度比地球的大B．火星公轉(zhuǎn)的角速度比地球的大C．火星公轉(zhuǎn)的半徑比地球的小D．火星公轉(zhuǎn)的加速度比地球的小解析：選D由題意可知，火星和地球的冬季是各自公轉(zhuǎn)周期的四分之一，且火星的冬季時(shí)長(zhǎng)約為地球的1.88倍，說明火星的公轉(zhuǎn)周期為地球公轉(zhuǎn)周期的1.88倍，根據(jù)萬有引力提供向心力，得：Geq\f(Mm,r2)＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝ma，解得：T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，a＝eq\f(GM,r2)，由于T火>T地，可知，r火>r地，v火<v地，ω火<ω地，a火<a地，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤。eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])A級(jí)——學(xué)考達(dá)標(biāo)1．(2023·濟(jì)南高一檢測(cè))下列與重力相關(guān)的敘述正確的是()A．同一物體所處緯度越高，重力越小B．同一物體所處海拔越高，重力越大C．重力G＝mg中的g就是自由落體運(yùn)動(dòng)中的加速度gD．重力不一定作用于重心上解析：選C根據(jù)萬有引力和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)可得，重力是萬有引力的一個(gè)分量，緯度越高時(shí)物體因地球自轉(zhuǎn)所需的向心力越小，重力越大，同時(shí)物體所處海拔越高受到的萬有引力越小，重力也越小，A、B錯(cuò)誤；重力G＝mg中的g就是自由落體運(yùn)動(dòng)中的加速度g，C正確；重心是物體各部分所受重力的合力點(diǎn)，所以重力一定不是作用于重心上，D錯(cuò)誤。2.如圖，P是緯度為θ的地球表面上一點(diǎn)，人造地球衛(wèi)星Q、A均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星A為地球赤道同步衛(wèi)星。若某時(shí)刻P、Q、A與地心O在同一平面內(nèi)，其中O、P、Q在一條直線上，且∠OQA＝90°，下列說法正確的是()A．12小時(shí)后O、P、Q、A再一次共面B．P點(diǎn)向心加速度大于衛(wèi)星Q的向心加速度C．P、Q、A均繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)D．A的線速度小于Q的線速度解析：選D由公式Geq\f(mM,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝2πeq\r(\f(r3,MG))，Q、A的周期之比為TQ∶TA＝eq\r(OQ3)∶eq\r(OA3)＝eq\r(cos3θ)∶1，故12小時(shí)后，Q轉(zhuǎn)過的角度大于O、P、A轉(zhuǎn)過的角度，則不會(huì)再一次共面，故A錯(cuò)誤；P是緯度為θ的地球表面上一點(diǎn)，繞地軸做圓周運(yùn)動(dòng)，向心加速度基本可以忽略，重力約等于萬有引力，而人造地球衛(wèi)星Q繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，則Q的向心加速度大，故B錯(cuò)誤；P繞地軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，Q、A繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤；設(shè)地球半徑為R，由公式Geq\f(mM,R＋h2)＝meq\f(v2,R＋h)，可知v＝eq\r(\f(MG,R＋h))，A距離地心遠(yuǎn)，則A的線速度小于Q的線速度，故D正確。3．(2023·福建南平調(diào)研)(多選)對(duì)于我們生活的宇宙，人類對(duì)它的認(rèn)識(shí)直到今天都很膚淺。從地心說到日心說，從開普勒定律到牛頓萬有引力定律，從恒星演變到黑洞推演，直到我們最近新拍到黑洞照片，關(guān)于天體物理，下列說法正確的是()A．萬有引力定律是牛頓提出的，但引力常量G由卡文迪許測(cè)出B．日心說是由丹麥天文學(xué)家第谷提出的C．地球圍繞太陽運(yùn)動(dòng)橢圓軌道的半長(zhǎng)軸R1和周期T1，月球圍繞地球運(yùn)動(dòng)橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為R2，周期為T2，則eq\f(R13,T12)＝eq\f(R23,T22)D．若已知某恒星繞一黑洞旋轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期以及恒星到黑洞中心距離，則可以估算該黑洞的質(zhì)量解析：選AD萬有引力定律是牛頓提出的，但引力常量G由卡文迪許測(cè)出，引力常量的測(cè)出賦予了萬有引力定律的實(shí)際價(jià)值，故A正確；日心說是由波蘭天文學(xué)家哥白尼提出的，故B錯(cuò)誤；地球公轉(zhuǎn)軌道的中心天體與月球公轉(zhuǎn)軌道的中心天體不同，則eq\f(R3,T2)不同，故C錯(cuò)誤；由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(4π2mr,T2)，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，可以估算該黑洞的質(zhì)量，故D正確。4．已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，假設(shè)航天員的質(zhì)量為70kg，重力加速度g取10m/s2，則航天員在火星表面的質(zhì)量和重力分別為()A．70kg,280N B．70kg,1750NC．28kg,280N D．28kg,1750N解析：選A根據(jù)地球表面的物體萬有引力近似等于重力，有Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得g＝eq\f(GM,R2)＝10m/s2，同理，火星表面的重力加速度為g′＝eq\f(GM′,R′2)＝eq\f(G×0.1M,0.5R2)＝4m/s2，質(zhì)量不隨重力加速度的變化而變化，所以質(zhì)量還是70kg，航天員在火星表面的重力為G′＝mg′＝280N，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。5．(2023·江蘇高考)設(shè)想將來發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，能在月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道上穩(wěn)定運(yùn)行，該軌道可視為圓軌道。該衛(wèi)星與月球相比，一定相等的是()A．質(zhì)量B．向心力大小C．向心加速度大小D．受到地球的萬有引力大小解析：選C根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)，因該衛(wèi)星與月球的軌道半徑相同，可知向心加速度大小相同；因該衛(wèi)星的質(zhì)量與月球質(zhì)量不一定相等，則向心力大小以及受到地球的萬有引力大小均不一定相等。故選C。6．(2023·廣東1月學(xué)考)北斗導(dǎo)航系統(tǒng)中的地球同步衛(wèi)星繞地球近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)行的線速度()A．大于第一宇宙速度 B．等于第一宇宙速度C．小于第一宇宙速度 D．等于第二宇宙速度解析：選C根據(jù)萬有引力提供向心力可知Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，當(dāng)衛(wèi)星的軌道半徑等于地球半徑時(shí)，運(yùn)行速度等于第一宇宙速度，而同步衛(wèi)星的軌道半徑大于地球半徑，故同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度小于第一宇宙速度，第二宇宙速度大于第一宇宙速度。故選C。7．(多選)“天宮課堂”第二課在中國空間站開講，由航天員在軌演示太空“冰雪”實(shí)驗(yàn)、水油分離實(shí)驗(yàn)、太空拋物實(shí)驗(yàn)等實(shí)驗(yàn)?？臻g站軌道高度約為400km，傾角約為42°，總重量約為100t，地球半徑約為6400km，已知地球表面重力加速度g取10m/s2，忽略地球自轉(zhuǎn)影響。下列說法正確的是()A．空間站實(shí)質(zhì)上就是一顆同步衛(wèi)星B．航天員進(jìn)駐空間站內(nèi)為完全失重狀態(tài)C．空間站的環(huán)繞地球的速度大于7.9km/sD．空間站向心加速度大小約為8.9m/s2解析：選BD地球同步衛(wèi)星的軌道平面在赤道平面，傾角為0，且軌道位于赤道上方高度約36000km，所以空間站顯然不是同步衛(wèi)星，故A錯(cuò)誤；航天員進(jìn)駐空間站內(nèi)隨空間站繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，航天員處于完全失重狀態(tài)，故B正確；第一宇宙速度7.9km/s是物體在地球表面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，同時(shí)也是物體繞地球運(yùn)行的最大環(huán)繞速度，所以空間站的環(huán)繞速度不可能大于第一宇宙速度7.9km/s，故C錯(cuò)誤；近地軌道衛(wèi)星的向心加速度等于重力加速度g，根據(jù)牛頓第二定律有Geq\f(Mm,R2)＝mg，設(shè)空間站的向心加速度大小為a，同理有Geq\f(Mm′,R＋h2)＝m′a，聯(lián)立以上兩式可得a≈8.9m/s2，故D正確。8．(2023·鄭州高一檢測(cè))下列關(guān)于萬有引力定律理論成就的說法，錯(cuò)誤的是()A．已知地球的半徑、地球表面的重力加速度和引力常量，可以“稱量”出地球的質(zhì)量B．已知地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑、地球的自轉(zhuǎn)周期和引力常量，可以估算出太陽的質(zhì)量C．海王星的軌道是利用萬有引力定律計(jì)算預(yù)言的，因此被稱為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”D．牛頓用月球和太陽的萬有引力解釋了潮汐現(xiàn)象解析：選B根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg，可得M＝eq\f(gR2,G)，故A正確，不符合題意；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，需要知道地球的公轉(zhuǎn)周期而不是自轉(zhuǎn)周期，故B錯(cuò)誤，符合題意；海王星的軌道是利用萬有引力定律計(jì)算預(yù)言的，因此被稱為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”，故C正確，不符合題意；牛頓用月球和太陽的萬有引力解釋了潮汐現(xiàn)象，故D正確，不符合題意。9．兩顆人造地球衛(wèi)星都繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知它們的軌道半徑之比r1∶r2＝4∶1，求這兩顆衛(wèi)星的：(1)線速度大小之比；(2)角速度之比；(3)向心加速度大小之比。解析：(1)地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，設(shè)地球的質(zhì)量為M，兩衛(wèi)星的質(zhì)量分別為m1、m2，線速度大小分別為v1、v2，由牛頓第二定律得eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(G\f(Mm1,r12)＝m1\f(v12,r1),G\f(Mm2,r22)＝m2\f(v22,r2)))可得eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))＝eq\r(\f(1,4))＝1∶2。(2)由角速度與線速度的關(guān)系ω＝eq\f(v,r)，得兩衛(wèi)星的角速度分別為eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ω1＝\f(v1,r1),ω2＝\f(v2,r2)))可得eq\f(ω1,ω2)＝eq\f(v1r2,v2r1)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝1∶8。(3)由向心加速度的公式a＝rω2，得兩衛(wèi)星的向心加速度大小分別為eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a1＝r1ω12,a2＝r2ω22))可得eq\f(a1,a2)＝eq\f(ω12r1,ω22r2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))2×4＝1∶16。答案：(1)1∶2(2)1∶8(3)1∶16B級(jí)——選考進(jìn)階10．(2023·浙江1月選考)太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)?shù)厍蚯『眠\(yùn)行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象，稱為“行星沖日”。已知地球及各地外行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道半徑如下表：行星名稱地球火星木星土星天王星海王星軌道半徑R/AU1.01.55.29.51930則相鄰兩次“沖日”時(shí)間間隔約為()A．火星365天 B．火星800天C．天王星365天 D．天王星800天解析：選B由題意對(duì)“火星沖日”有：eq\f(t火,T地)－eq\f(t火,T火)＝1，且eq\f(R地3,T地2)＝eq\f(R火3,T火2)，解得t火≈800天，同理對(duì)“天王星沖日”可知t天≈369天，故選B。11．(2022·湖北高考)2022年5月，我國成功完成了天舟四號(hào)貨運(yùn)飛船與空間站的對(duì)接，形成的組合體在地球引力作用下繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，周期約90分鐘。下列說法正確的是()A．組合體中的貨物處于超重狀態(tài)B．組合體的速度大小略大于第一宇宙速度C．組合體的角速度大小比地球同步衛(wèi)星的大D．組合體的加速度大小比地球同步衛(wèi)星的小解析：選C組合體在地球引力作用下繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，只受萬有引力的作用，則組合體中的貨物處于失重狀態(tài)，A錯(cuò)誤；第一宇宙速度為最大的環(huán)繞速度，則組合體的速度大小不可能大于第一宇宙速度，B錯(cuò)誤；已知同步衛(wèi)星的周期為24h，則根據(jù)角速度和周期的關(guān)系有ω＝eq\f(2π,T)，由于T同>T組合體，則組合體的角速度大小比地球同步衛(wèi)星的大，C正確；組合體在地球引力作用下繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，整理有T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由于T同>T組合體，則r同>r組合體，根據(jù)ma＝Geq\f(Mm,r2)，則有a同<a組合體，D錯(cuò)誤。12．(2023·福建三明調(diào)研)石墨烯是一種具有超輕超高強(qiáng)度的新型材料。有人設(shè)想：用石墨烯制作超級(jí)纜繩連接地球赤道上的固定基地與同步空間站，利用超級(jí)纜繩承載太空電梯從地球基地向空間站運(yùn)送物資。已知地球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球北極表面重力加速度為g0，引力常量為G。(1)求地球的質(zhì)量M；(2)太空電梯停在距地3R的站點(diǎn)，求該站點(diǎn)處的重力加速度g的大小。解析：(1)設(shè)質(zhì)量為m0的物體在北極地面靜止，則m0g0＝Geq\f(Mm0,R2)，解得M＝eq\f(g0R2,G)。(2)設(shè)貨物質(zhì)量為m，在距地面高3R站點(diǎn)受到的萬有引力為F，則F＝Geq\f(Mm,4R2)，貨物繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)太空電梯對(duì)貨物的支持力為N，則F－N＝mω2·4RN＝mgω＝eq\f(2π,T)聯(lián)立解得g＝eq\f(g0,16)－eq\f(16Rπ2,T2)。答案：(1)eq\f(g0R2,G)(2)eq\f(g0,16)－eq\f(16Rπ2,T2)綜合·融通應(yīng)用萬有引力定律解決三個(gè)熱點(diǎn)問題(融會(huì)課—主題串知綜合應(yīng)用)通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)初步掌握天體質(zhì)量和密度的計(jì)算、宇宙速度的理解和計(jì)算、不同軌道的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)參量的分析與比較，這節(jié)課將進(jìn)一步學(xué)習(xí)衛(wèi)星變軌問題，同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星和赤道上物體的運(yùn)動(dòng)參量比較，雙星和三星模型。主題(一)衛(wèi)星變軌問題[知能融會(huì)通]1．變軌問題概述2．變軌過程(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上，如圖所示。(2)在A點(diǎn)(近地點(diǎn))點(diǎn)火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供在軌道Ⅰ上做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ。(3)在B點(diǎn)(遠(yuǎn)地點(diǎn))再次點(diǎn)火加速進(jìn)入圓軌道Ⅲ。3．變軌過程各物理量分析(1)兩個(gè)不同軌道的“切點(diǎn)”處線速度v不相等，圖中vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ。(2)同一個(gè)橢圓軌道上近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)線速度大小不相等，從遠(yuǎn)地點(diǎn)到近地點(diǎn)線速度逐漸增大。(3)兩個(gè)不同圓軌道上的線速度v不相等，軌道半徑越大，v越小，圖中vⅠ＞vⅢ。(4)不同軌道上運(yùn)行周期T不相等。根據(jù)開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k知，內(nèi)側(cè)軌道的周期小于外側(cè)軌道的周期。圖中TⅠ＜TⅡ＜TⅢ。(5)兩個(gè)不同軌道的“切點(diǎn)”處加速度a相同，圖中aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ。[典例](2023·海南高考)(多選)如圖所示，1、2軌道分別是天宮二號(hào)飛船在變軌前、后的軌道，下列說法正確的是()A．飛船從1軌道變到2軌道要點(diǎn)火加速B．飛船在1軌道的周期大于2軌道的C．飛船在1軌道的速度大于2軌道的D．飛船在1軌道的加速度大于2軌道的[解析]飛船從較低的軌道1進(jìn)入較高的軌道2要進(jìn)行加速做離心運(yùn)動(dòng)，A正確；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知飛船在軌道1的周期小于在軌道2的周期，在軌道1的速度大于在軌道2的速度，在軌道1的加速度大于在軌道2的加速度，故B錯(cuò)誤，C、D正確。[答案]ACD[題點(diǎn)全練清]1．(2022·浙江1月選考)“天問一號(hào)”從地球發(fā)射后，在如圖甲所示的P點(diǎn)沿地火轉(zhuǎn)移軌道到Q點(diǎn)，再依次進(jìn)入如圖乙所示的調(diào)相軌道和停泊軌道，則天問一號(hào)()A．發(fā)射速度介于7.9km/s與11.2km/s之間B．從P點(diǎn)轉(zhuǎn)移到Q點(diǎn)的時(shí)間小于6個(gè)月C．在環(huán)繞火星的停泊軌道運(yùn)行的周期比在調(diào)相軌道上小D．在地火轉(zhuǎn)移軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度均大于地球繞太陽的速度解析：選C因“天問一號(hào)”要掙脫地球引力束縛，變軌到繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)，則發(fā)射速度要大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度，即發(fā)射速度介于11.2km/s與16.7km/s之間，A錯(cuò)誤；由P點(diǎn)轉(zhuǎn)移到Q點(diǎn)的轉(zhuǎn)移軌道的半長(zhǎng)軸大于地球公轉(zhuǎn)軌道半徑，則其周期大于地球公轉(zhuǎn)周期(12個(gè)月)，則從P點(diǎn)轉(zhuǎn)移到Q點(diǎn)的時(shí)間為轉(zhuǎn)移軌道周期的一半，應(yīng)大于6個(gè)月，B錯(cuò)誤；因“天問一號(hào)”在環(huán)繞火星的停泊軌道的半長(zhǎng)軸小于調(diào)相軌道的半長(zhǎng)軸，則由開普勒第三定律可知在停泊軌道運(yùn)行的周期比在調(diào)相軌道上小，C正確；從P點(diǎn)變軌時(shí)，要增大速度，此后做離心運(yùn)動(dòng)，速度減小，在地火轉(zhuǎn)移軌道Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度小于地球繞太陽的速度，D錯(cuò)誤。2．2023年5月30日16時(shí)29分，神舟十六號(hào)載人飛船成功對(duì)接于空間站天和核心艙徑向端口，整個(gè)對(duì)接過程歷時(shí)約6.5小時(shí)。對(duì)接過程的示意圖如圖所示，天和核心艙處于半徑為r2的圓軌道Ⅲ；神舟十六號(hào)飛船處于半徑為r1的圓軌道Ⅰ，運(yùn)行周期為T1，通過變軌操作后，沿橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到B處與天和核心艙對(duì)接。則神舟十六號(hào)飛船()A．在軌道Ⅰ和軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)速度大小相同B．沿軌道Ⅱ從A運(yùn)動(dòng)到對(duì)接點(diǎn)B過程中，速度不斷增大C．沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期為T2＝T1eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r2,2r1)))3)D．沿軌道Ⅰ運(yùn)行的周期大于天和核心艙沿軌道Ⅲ運(yùn)行的周期解析：選C飛船從軌道Ⅰ變軌到軌道Ⅱ需要加速，所以經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)速度大小不相同，故A錯(cuò)誤；飛船沿軌道Ⅱ從A運(yùn)動(dòng)到對(duì)接點(diǎn)B過程中，萬有引力做負(fù)功，速度不斷減小，故B錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第三定律，有eq\f(r13,T12)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1