通遼市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

通遼市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．正數(shù)a,b滿足,若不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A. B.C. D.2．在空間直角坐標(biāo)系中，方程所表示的圖形是（）A圓 B.橢圓C.雙曲線 D.球3．?dāng)?shù)列中，，，則（）A.32 B.62C.63 D.644．設(shè)滿足則的最大值為A. B.2C.4 D.165．一個(gè)幾何體的三視圖都是半徑為1的圓，在該幾何體內(nèi)放置一個(gè)高度為1的長方體，則長方體的體積最大值為（）A. B.C. D.16．已知，則在方向上的投影為（）A. B.C. D.7．已知直線與拋物線C：相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的斜率分別為，，則（）A. B.C. D.8．圓的圓心和半徑分別是（）A.， B.，C.， D.，9．已知函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.10．等差數(shù)列中，已知，，則的前項(xiàng)和的最小值為（）A. B.C. D.11．已知是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓上，，且當(dāng)時(shí)，的面積最大，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.12．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在n時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為__________14．已知直線，，若，則實(shí)數(shù)______15．某校共有學(xué)生480人；現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取80人進(jìn)行體能測試；若這80人中有30人是男生，則該校女生共有___________.16．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）設(shè)點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，直接寫出線段長度最小值.（不需證明）18．（12分）已知點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離比為（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若過點(diǎn)的直線被點(diǎn)的軌跡截得的弦長為，求直線的方程19．（12分）在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，分別是棱，的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若，且四棱錐的體積是6，求三棱錐的體積20．（12分）已知橢圓的焦點(diǎn)為，且長軸長是焦距的倍（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為1的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，求面積的最大值21．（12分）已知拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為5，點(diǎn)M到x軸的距離為（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線C的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線FA，F(xiàn)B的斜率分別為，．求的值22．（10分）男子10米氣步槍比賽規(guī)則如下：在資格賽中，射手在距離靶子10米處，采用立姿，在105分鐘內(nèi)射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8名的射手進(jìn)入決賽；在決賽中，每位射手僅射擊10發(fā)子彈．已知甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員均進(jìn)入了決賽，資格賽中的環(huán)數(shù)情況整理得下表：環(huán)數(shù)頻數(shù)678910甲2352327乙5502525以各人這60發(fā)子彈環(huán)數(shù)的頻率作為決賽中各發(fā)子彈環(huán)數(shù)發(fā)生的概率，甲乙兩人射擊互不影響（1）求甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；（2）決賽打完第9發(fā)子彈后，甲比乙落后2環(huán)，求最終甲能戰(zhàn)勝乙（甲環(huán)數(shù)大于乙環(huán)數(shù)）的概率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用基本不等式求得的最小值，把問題轉(zhuǎn)化為恒成立的類型，求解的最大值即可.【詳解】,，且a,b為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，若不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則對任意實(shí)數(shù)x恒成立，即對任意實(shí)數(shù)x恒成立，，，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了恒成立問題，基本不等式求最值，二次函數(shù)求最值，屬于中檔題.2、D【解析】方程表示空間中的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，從而可知圖形的形狀【詳解】由，得，表示空間中的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，所以方程所表示的圖形是以原點(diǎn)為球心，2為半徑的球，故選：D3、C【解析】把化成，故可得為等比數(shù)列，從而得到的值.【詳解】數(shù)列中，，故，因?yàn)?，故，故，所以，所以為等比?shù)列，公比為，首項(xiàng)為.所以即，故，故選C.【點(diǎn)睛】給定數(shù)列的遞推關(guān)系，我們常需要對其做變形構(gòu)建新數(shù)列（新數(shù)列的通項(xiàng)容易求得），常見的遞推關(guān)系和變形方法如下：（1），取倒數(shù)變形為；（2），變形為，也可以變形為；4、C【解析】可行域如圖,則直線過點(diǎn)A(0,1)取最大值2,則的最大值為4,選C.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.5、B【解析】根據(jù)題意得到幾何體為半徑為1的球，長方體的體對角線為球的直徑時(shí)，長方體體積最大，設(shè)出長方體的長和寬，得到等量關(guān)系，利用基本不等式求解體積最大值.【詳解】由題意得：此幾何體為半徑為1的球，長方體為球的內(nèi)接長方體時(shí)，體積最大，此時(shí)長方體的體對角線為球的直徑，設(shè)長方體長為，寬為，則由題意得：，解得：，而長方體體積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故選：B6、C【解析】利用向量數(shù)量積的幾何意義即得【詳解】,故在方向上的投影為：故選：C7、C【解析】設(shè)，，由消得：，又，由韋達(dá)定理代入計(jì)算即可得答案.【詳解】設(shè)，，由消得：，所以，故.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率公式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.8、D【解析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求圓心半徑即可.【詳解】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故圓心為，半徑為.故選：D.9、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則求得，再求解【詳解】因?yàn)?，所以，所以故選：C10、B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，而，可知數(shù)列是遞增數(shù)，從而可求得結(jié)果【詳解】∵等差數(shù)列中，，∴，即．又，∴的前項(xiàng)和的最小值為故選：B11、A【解析】由題意知c＝3，當(dāng)△F1PF2的面積最大時(shí)，點(diǎn)P與橢圓在y軸上的頂點(diǎn)重合，即可解出【詳解】由題意知c＝3，當(dāng)△F1PF2的面積最大時(shí)，點(diǎn)P與橢圓在y軸上的頂點(diǎn)重合，∵時(shí)，△F1PF2的面積最大，∴a＝＝，b＝∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A12、D【解析】由題建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，結(jié)合條件即求.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為，由題意知：在拋物線上，即，解得：，，當(dāng)水位下降1米后，即將代入，即，解得：，∴水面寬為米.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】化成標(biāo)準(zhǔn)形式，結(jié)合焦點(diǎn)定義即可求解.【詳解】由，得，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：14、【解析】由直線垂直可得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程即可.【詳解】由直線垂直可得：，解得：.故答案為：15、人##300【解析】根據(jù)人數(shù)占比直接計(jì)算即可.【詳解】該校女生共有人.故答案為：人.16、【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，即可得到答案.【詳解】由題意各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列得：，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】（1）設(shè)，連結(jié)，根據(jù)中位線定理即可證，再根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)果；（2）由菱形的性質(zhì)可知，可證，又底面，可得，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；（3）根據(jù)等體積法，即，經(jīng)過計(jì)算直接寫出結(jié)果即可.【小問1詳解】證明：設(shè)，連結(jié).因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?【小問2詳解】證明：因?yàn)榈酌鏋榱庑危?因?yàn)榈酌?，所?又因?yàn)?，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問3詳解】解：線段長度的最小值為.18、（1）（2）或【解析】（1）設(shè)出，表達(dá)出，直接法求出軌跡方程；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，先考慮直線斜率不存在時(shí)是否符合要求，再考慮斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，表達(dá)出圓心到直線的距離，利用垂徑定理列出方程，求出直線方程.【小問1詳解】設(shè),則，，故，兩邊平方得：【小問2詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線為，此時(shí)弦長為，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，則圓心到直線距離為，由垂徑定理得：，解得：，此時(shí)直線的方程為，綜上：直線的方程為或.19、（1）證明見解析.（2）2.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，．運(yùn)用面面平行的判定和性質(zhì)可得證；（2）過點(diǎn)作，垂足為，連接，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)棱錐的體積求得，再利用三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，可求得答案.【小問1詳解】證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面因?yàn)椋?，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面因?yàn)槠矫?，且，所以平面平面因?yàn)槠矫?，所以平面【小?詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，連接，，則四邊形是正方形，從而因?yàn)椋?，則，從而直角梯形的面積設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則四棱錐的體積，解得因?yàn)槿忮F的體積與三棱錐的體積相等，所以三棱錐的體積因?yàn)槠矫妫匀忮F的體積與三棱錐的體積相等，所以三棱錐的體積為220、（1）；（2）1.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓半焦距c，長短半軸長a，b即可得解.(2)設(shè)出直線的方程，再與橢圓C的方程聯(lián)立，求出弦AB長及點(diǎn)P到直線的距離，然后求出面積的表達(dá)式并求其最大值即得.【小問1詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意，半焦距，，即，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】依題意，設(shè)直線，，由消去y并整理得：，由，解得，則有，，于是得，而點(diǎn)到直線的距離為，因此，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以面積最大值為1.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：直線l：y=kx+b上兩點(diǎn)間的距離；直線l：x=my+t上兩點(diǎn)間的距離.21、（1）（2）0【解析】（1）由焦半徑公式求C的方程；（2）設(shè)直線AB方程，與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理表示出，，代入中化簡求值即可.小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，則，所以，解得因?yàn)?，所以．所以拋物線C的方程為【小問2詳解】由題知，，，直線AB的斜率必存在，且不為零設(shè)，，直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為，由，得所以，，且，即所以所以的值為022、（1）（2）【解析】（1）先求出甲運(yùn)動(dòng)員打中10環(huán)的概率，從而可求出甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；（2）由于甲比乙落后