機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)課件第七章機(jī)器人軌跡規(guī)劃

第七章機(jī)器人軌跡規(guī)劃7.3笛卡爾空間軌跡規(guī)劃法

第七章機(jī)器人軌跡規(guī)劃7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃7.1機(jī)器人的軌跡規(guī)劃第七章機(jī)器人軌跡規(guī)劃

第七章機(jī)器人軌跡規(guī)劃7.1機(jī)器人的軌跡規(guī)劃?rùn)C(jī)器人軌跡規(guī)劃?rùn)C(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人關(guān)節(jié)變量運(yùn)動(dòng)方程機(jī)器人位姿機(jī)器人軌跡規(guī)劃?rùn)C(jī)器人位姿1軌跡：關(guān)節(jié)變量機(jī)器人位姿2機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)速度、加速度軌跡：機(jī)械手在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位移、速度和加速度。軌跡規(guī)劃：根據(jù)作業(yè)任務(wù)的要求，計(jì)算出預(yù)期的運(yùn)動(dòng)軌跡。分為關(guān)節(jié)空間規(guī)劃和直角坐標(biāo)空間規(guī)劃兩類。運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)軌跡規(guī)劃關(guān)節(jié)空間操作空間控制位置控制軌跡控制力控制協(xié)調(diào)控制第七章機(jī)器人軌跡規(guī)劃軌跡規(guī)劃既可在關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行，也可在直角坐標(biāo)空間中進(jìn)行。在關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行軌跡規(guī)劃是指將所有關(guān)節(jié)變量表示為時(shí)間的函數(shù)，用這些關(guān)節(jié)函數(shù)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)描述機(jī)器人預(yù)期的運(yùn)動(dòng)。在直角坐標(biāo)空間中進(jìn)行軌跡規(guī)劃，是指將手爪位姿、速度和加速度表示為時(shí)間的函數(shù)，而相應(yīng)的關(guān)節(jié)位置、速度和加速度由手爪信息導(dǎo)出。7.1機(jī)器人的軌跡規(guī)劃關(guān)節(jié)空間描述與直角坐標(biāo)描述關(guān)節(jié)空間描述：采用關(guān)節(jié)量來(lái)描述機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)。優(yōu)點(diǎn)：描述方法簡(jiǎn)單缺點(diǎn)：機(jī)器人在兩點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)不可預(yù)知直角坐標(biāo)描述：機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)序列首先在直角坐標(biāo)空間中進(jìn)行描述，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)空間描述。優(yōu)點(diǎn)：機(jī)器人在兩點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)可預(yù)知缺點(diǎn)：計(jì)算量大t關(guān)節(jié)空間軌跡θP0P1P2P3P4P5P6直角坐標(biāo)空間軌跡直角坐標(biāo)空間軌跡7.1機(jī)器人的軌跡規(guī)劃當(dāng)需要更詳細(xì)地描述運(yùn)動(dòng)時(shí)，不僅要規(guī)定機(jī)器人的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)，而且要給出介于起始點(diǎn)和終止點(diǎn)之間的中間點(diǎn)，也稱路徑點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)軌跡除了位姿約束外，還存在著各路徑點(diǎn)之間的時(shí)間分配問(wèn)題。例如，在規(guī)定路徑的同時(shí)，必須給出兩個(gè)路徑點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)應(yīng)當(dāng)平穩(wěn)，不平穩(wěn)的運(yùn)動(dòng)將加劇機(jī)械部件的磨損，并導(dǎo)致機(jī)器人的振動(dòng)和沖擊。一階導(dǎo)數(shù)(速度)，有時(shí)甚至二階導(dǎo)數(shù)(加速度)也應(yīng)該連續(xù).7.1機(jī)器人的軌跡規(guī)劃?rùn)C(jī)器人從位置A移動(dòng)到位置B。方式1：每秒每軸轉(zhuǎn)10度。方式2：兩軸同步轉(zhuǎn)動(dòng)。7.1機(jī)器人的軌跡規(guī)劃?rùn)C(jī)器人從位置A移動(dòng)到位置B。方式3：沿直線等分運(yùn)動(dòng)。方式4：沿直線非等分運(yùn)動(dòng)。7.1機(jī)器人的軌跡規(guī)劃沿期望路徑運(yùn)動(dòng)方式5：加速—?jiǎng)蛩佟獪p速—停止。方式6：平滑轉(zhuǎn)接小線段。方式7：修正軌跡+平滑轉(zhuǎn)接。7.1機(jī)器人的軌跡規(guī)劃第七章機(jī)器人軌跡規(guī)劃第七章機(jī)器人軌跡規(guī)劃7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃首先需要將每個(gè)作業(yè)路徑點(diǎn)向關(guān)節(jié)空間變換，即用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方法把路徑點(diǎn)轉(zhuǎn)換成關(guān)節(jié)角度值，或稱關(guān)節(jié)路徑點(diǎn)；然后，為每個(gè)關(guān)節(jié)相應(yīng)的關(guān)節(jié)路徑點(diǎn)擬合光滑函數(shù)；這些關(guān)節(jié)函數(shù)分別描述了機(jī)器人各關(guān)節(jié)從起始點(diǎn)開(kāi)始，依次通過(guò)路徑點(diǎn)，最后到達(dá)某目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。由于每個(gè)關(guān)節(jié)在相應(yīng)路徑段運(yùn)行的時(shí)間相同，這樣就保證了所有關(guān)節(jié)都將同時(shí)到達(dá)路徑點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)，從而也保證了工具坐標(biāo)系在各路徑點(diǎn)具有預(yù)期的位姿；7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃t某關(guān)節(jié)的反解值（線性化）θ反解關(guān)節(jié)值光滑函數(shù)擬合每個(gè)關(guān)節(jié)確定路徑點(diǎn)每個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同以關(guān)節(jié)角度（位置）函數(shù)描述機(jī)器人軌跡：計(jì)算簡(jiǎn)單、無(wú)奇異性。▼關(guān)鍵要使關(guān)節(jié)軌跡滿足約束條件，如各點(diǎn)上的位姿、速度和加速度要求和連續(xù)性要求等，在滿足約束條件下選取不同的插值函數(shù)。7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃當(dāng)已知末端操作器的起始位姿和終止位姿時(shí)，由逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)，即可求出對(duì)應(yīng)于兩位姿的各個(gè)關(guān)節(jié)角度。因此，末端操作器實(shí)現(xiàn)兩位姿的運(yùn)動(dòng)軌跡描述，可在關(guān)節(jié)空間中用通過(guò)起始點(diǎn)關(guān)節(jié)角和終止點(diǎn)關(guān)節(jié)角的一個(gè)平滑軌跡函數(shù)θ(t)來(lái)表示；為了實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)的平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，每個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡函數(shù)θ(t)至少需要滿足四個(gè)約束條件：兩端點(diǎn)位置約束和兩端點(diǎn)速度約束。7.2.1三次多項(xiàng)式插值

考慮機(jī)械手末端在一定時(shí)間內(nèi)從初始位置和方位移動(dòng)到目標(biāo)位置和方位的問(wèn)題。利用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算，可以首先求出一組起始和終點(diǎn)的關(guān)節(jié)位置?，F(xiàn)在的問(wèn)題是求出一組通過(guò)起點(diǎn)和終點(diǎn)的光滑函數(shù)。滿足這個(gè)條件的光滑函數(shù)可以有許多條，如下圖所示：157.2.1三次多項(xiàng)式插值圖7.3單個(gè)關(guān)節(jié)的不同軌跡曲線顯然，這些光滑函數(shù)必須滿足以下條件：同時(shí)若要求在起點(diǎn)和終點(diǎn)的速度為零，即：那么可以選擇如下的三次多項(xiàng)式：作為所要求的光滑函數(shù)。式7-3中有4個(gè)待定系數(shù)，而該式需滿足式7-1和7-2的4個(gè)約束條件，因此可以唯一地解出這些系數(shù)：（7-3）（7-2）（7-1）滿足起點(diǎn)和終點(diǎn)的關(guān)節(jié)角度約束滿足起點(diǎn)和終點(diǎn)的關(guān)節(jié)速度約束16關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃7.2.1三次多項(xiàng)式插值利用約束條件確定三次多項(xiàng)式系數(shù)，有下列方程組：7.2.1三次多項(xiàng)式插值（7-4）關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃求解方程組

由上式確定的三次多項(xiàng)式描述了起始點(diǎn)和終止點(diǎn)具有任意給定位置和速度的運(yùn)動(dòng)軌跡。剩下的問(wèn)題就是如何確定路徑點(diǎn)上的期望關(guān)節(jié)速度。7.2.1三次多項(xiàng)式插值（7-5）例：

設(shè)機(jī)械手的某個(gè)關(guān)節(jié)的起始關(guān)節(jié)角θ0＝150，并且機(jī)械手原來(lái)是靜止的。要求在3秒鐘內(nèi)平滑地運(yùn)動(dòng)到θf(wàn)=750時(shí)停下來(lái)(即要求在終端時(shí)速度為零)。規(guī)劃出滿足上述條件的平滑運(yùn)動(dòng)的軌跡，并求出關(guān)節(jié)角位置、角速度及角加速度隨時(shí)間變化的方程。解：根據(jù)所給約束條件，直接代入式(7-4)，可得：a0=15，a1=0，a2=20，a3=-4.44

所求關(guān)節(jié)角的位置函數(shù)為：對(duì)上式求導(dǎo)，可以得到角速度和角加速度197.2.1三次多項(xiàng)式插值

三次多項(xiàng)式插值的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡曲線如圖所示。由圖可知，其速度曲線為拋物線，相應(yīng)的加速度曲線為直線。圖

三次多項(xiàng)式插值的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡7.2.1三次多項(xiàng)式插值

過(guò)路徑點(diǎn)的三次多項(xiàng)式方法：把所有路徑點(diǎn)都看成是“起點(diǎn)”或“終點(diǎn)”，求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，得到相應(yīng)的關(guān)節(jié)矢量值。然后確定所要求的三次多項(xiàng)式插值函數(shù)，把路徑點(diǎn)平滑的連接起來(lái)。不同的是，這些“起點(diǎn)”和“終點(diǎn)”的關(guān)節(jié)速度不再是零。21圖7.4過(guò)路徑點(diǎn)的三次多項(xiàng)式7.2.1三次多項(xiàng)式插值

把每個(gè)關(guān)節(jié)上相鄰的兩個(gè)路徑點(diǎn)分別看做起始點(diǎn)和終止點(diǎn)，再確定相應(yīng)的三次多項(xiàng)式插值函數(shù)，把路徑點(diǎn)平滑連接起來(lái)。一般情況下，這些起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)速度不再為零。速度約束條件7.2.1三次多項(xiàng)式插值其約束條件是：聯(lián)接處不僅速度連續(xù)，而且加速度也連續(xù)。

如果對(duì)于運(yùn)動(dòng)軌跡的要求更為嚴(yán)格，約束條件增多，那么三次多項(xiàng)式就不能滿足需要，必須用更高階的多項(xiàng)式對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的路徑段進(jìn)行插值。例如，對(duì)某段路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)都規(guī)定了關(guān)節(jié)的位置、速度和加速度（有六個(gè)未知的系數(shù)），則要用一個(gè)五次多項(xiàng)式進(jìn)行插值。多項(xiàng)式的系數(shù)必須滿足6個(gè)約束條件。237.2.2高級(jí)多項(xiàng)式插值（7-6）247.2.2高級(jí)多項(xiàng)式插值257.2.2高級(jí)多項(xiàng)式插值可畫(huà)出它們隨時(shí)間的變化曲線如圖所示，（a）、（b）、（c）分別表示該機(jī)器人手臂關(guān)節(jié)的位移、速度、加速度運(yùn)動(dòng)軌跡曲線。可以看出，角速度曲線為一拋物線。將約束條件帶入，可得：

前面介紹了利用三次多項(xiàng)式函數(shù)插值的規(guī)劃方法。另外一種常用方法是線性函數(shù)插值法，即用一條直線將起點(diǎn)與終點(diǎn)連接起來(lái)。但是，簡(jiǎn)單的線性函數(shù)插值將使得關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)速度在起點(diǎn)和終點(diǎn)處不連續(xù)，它也意味著需要產(chǎn)生無(wú)窮大的加速度，這顯然是不希望的。因此可以考慮在起點(diǎn)和終點(diǎn)處，用拋物線與直線連接起來(lái)，在拋物線段內(nèi)，使用恒定的加速度來(lái)平滑地改變速度，從而使得整個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡的位置和速度是連續(xù)的。7.2.3用拋物線過(guò)渡的線性插值圖7.6利用拋物線過(guò)渡的線性函數(shù)插值圖27圖7.5線性函數(shù)插值圖7.2.3用拋物線過(guò)渡的線性插值28圖

多段帶有拋物線過(guò)渡的線性插值軌跡在實(shí)際應(yīng)用中，雖然各路徑段采用拋物線過(guò)渡域的線性函數(shù)，但是機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)并不能真正到達(dá)那些路徑點(diǎn)。即使選取的加速度充分大，實(shí)際路徑也只是十分接近理想路徑點(diǎn)。7.2.3用拋物線過(guò)渡的線性插值線性函數(shù)+兩段拋物線函數(shù)平滑地銜接在一起，形成帶有拋物線過(guò)渡域的線性軌跡。7.2.3用拋物線過(guò)渡的線性插值綜合上述式子，可得：（7.7）（7.8）（7.9）7.2.3用拋物線過(guò)渡的線性插值

當(dāng)上式中的等號(hào)成立時(shí)，軌跡線性段的長(zhǎng)度縮減為零，整個(gè)軌跡由兩個(gè)過(guò)渡域組成，這兩個(gè)過(guò)渡域在銜接處的斜率(關(guān)節(jié)速度)相等；

加速度

的取值愈大，過(guò)渡域的長(zhǎng)度會(huì)變得愈短，若加速度趨于無(wú)窮大，軌跡又復(fù)歸到簡(jiǎn)單的線性插值情況。用拋物線過(guò)渡的線性函數(shù)插值進(jìn)行軌跡規(guī)劃的物理概念非常清楚，即如果機(jī)器人每一關(guān)節(jié)電動(dòng)機(jī)采用等加速、等速和等減速運(yùn)動(dòng)規(guī)律。7.2.3用拋物線過(guò)渡的線性插值7.2.3用拋物線過(guò)渡的線性插值7.2.3用拋物線過(guò)渡的線性插值7.2.3用拋物線過(guò)渡的線性插值目前，在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)分析中，面向關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法被廣泛采用，它還可以把笛卡爾路徑點(diǎn)變換為相應(yīng)的關(guān)節(jié)坐標(biāo)，并用低次多項(xiàng)式內(nèi)插這些關(guān)節(jié)點(diǎn)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算較快，而且易于處理機(jī)器人手臂關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)約束。但當(dāng)取樣點(diǎn)落在擬合的光滑多項(xiàng)式曲線上時(shí)，面向關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法沿笛卡爾路徑的準(zhǔn)確性會(huì)有所損失。t關(guān)節(jié)角軌跡光滑θ▼關(guān)節(jié)空間函數(shù)的光滑性并不表示操作空間運(yùn)動(dòng)的光滑性7.2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃第七章機(jī)器人軌跡規(guī)劃7.3笛卡爾空間軌跡規(guī)劃法第七章機(jī)器人軌跡規(guī)劃

在關(guān)節(jié)空間內(nèi)的規(guī)劃，可以保證運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過(guò)給定的路徑點(diǎn)。但是在直角坐標(biāo)空間，路徑點(diǎn)之間的軌跡形狀往往是十分復(fù)雜的，它取決于機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)構(gòu)特性。在有些情況下，對(duì)機(jī)械手末端的軌跡形狀也有一定要求，如要求它在兩點(diǎn)之間走一條直線，或者沿著一個(gè)圓弧運(yùn)動(dòng)以繞過(guò)障礙物等。這時(shí)便需要在直角坐標(biāo)空間內(nèi)規(guī)劃?rùn)C(jī)械手的運(yùn)動(dòng)軌跡。

直角坐標(biāo)空間的路徑點(diǎn)，指的是機(jī)械手末端的工具坐標(biāo)相對(duì)于基坐標(biāo)的位置和姿態(tài)。每一個(gè)點(diǎn)由6個(gè)量組成，其中3個(gè)量描述位置，另外3個(gè)量描述姿態(tài)。

在直角坐標(biāo)空間內(nèi)規(guī)劃的方法主要有：線性函數(shù)插值法和圓弧插值法。377.3笛卡兒空間規(guī)劃法例一個(gè)兩自由度機(jī)器人要求從起點(diǎn)(3,10)沿直線運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)(8,14)。假設(shè)路徑分為10段，求出機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量。每一根桿的長(zhǎng)度為9英寸。解：直角空間坐標(biāo)系中直線方程為：7.3.1空間直線插補(bǔ)坐標(biāo)和關(guān)節(jié)角插補(bǔ)：關(guān)節(jié)空間：已知初始和終止關(guān)節(jié)角通常采用三次多項(xiàng)式作為平滑函數(shù)操作空間：已知初始和終止末端位姿分直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)操作空間的直線軌跡插補(bǔ)方法如下：1）設(shè)定末端運(yùn)動(dòng)的速度v，加速度a，及插補(bǔ)的時(shí)間t，即機(jī)器人的伺服周期，通常為20ms。2）計(jì)算兩點(diǎn)之間的直線的距離7.3.1空間直線插補(bǔ)3）計(jì)算插補(bǔ)次數(shù)4）求得各插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)值。5）應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解算法求解各插補(bǔ)點(diǎn)的關(guān)節(jié)變量。7.3.1空間直線插補(bǔ)2023/11/11-41-平面圓弧插補(bǔ)平面圓弧是指圓弧平面與基坐標(biāo)系的三大平面之一重合，以XOY平面圓弧為例。已知不在一條直線上的三點(diǎn)P1、P2、P3及這三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的機(jī)器人手端的姿態(tài)，如圖所示。

7.3.2圓弧插補(bǔ)

圖

由已知的三點(diǎn)P1、P2、P3決定的圓弧圖

圓弧插補(bǔ)2023/11/11-42-平面圓弧插補(bǔ)

圖

由已知的三點(diǎn)P1、P2、P3決定的圓弧7.3.2圓弧插補(bǔ)2023/11/11-43-平面圓弧插補(bǔ)

圖

由已知的三點(diǎn)P1、P2、P3決定的圓弧7.3.2圓弧插補(bǔ)2023/11/11-44-

平面圓弧插補(bǔ)

圖

由已知的三點(diǎn)P1、P2、P3決定的圓弧7.3.2圓弧插補(bǔ)2023/11/11-45-

空間圓弧插補(bǔ)

7.3.2圓弧插補(bǔ)

空間圓弧是指三維空間任一平面內(nèi)的圓