2023年高考金榜預(yù)測數(shù)學(xué)試卷（三）（天津數(shù)學(xué)試卷）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023年高考金榜預(yù)測卷（三）（天津卷）數(shù)學(xué)一、選擇題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗，由，得，解得，所以，所以，所以.故選：C.2．“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，則滿足，而不滿足，當(dāng)時，，所以，即，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B3．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由題意，，∵∴∴故選：D.4．像“，，”這樣能夠成直角三角形的數(shù)稱為勾股數(shù)，又稱為（

）A．畢達(dá)哥拉斯數(shù) B．楊輝數(shù) C．拉格朗日恒等數(shù) D．三角數(shù)〖答案〗A〖解析〗勾股定理又稱為畢達(dá)哥拉斯定理，故勾股數(shù)又稱為畢達(dá)哥拉斯數(shù).故選：A.5．函數(shù)在上的大致圖象為（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗函數(shù)定義域為R，，即函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B；而，排除D，又，排除A，選項C符合題意.故選：C6．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，為的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓與的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗如圖，由題意可得：，不妨設(shè)漸近線，即直線l的斜率，則，故，在中，，即，在中，，即，在中，，即，整理可得：，即，解得或（舍去），故雙曲線的離心率為.故選：C.7．一個球與一個正三棱柱（底面為等邊三角形，側(cè)棱與底面垂直）的兩個底面和三個側(cè)面都相切，若棱柱的體積為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由題意，設(shè)正三棱柱的底面邊長為，則其內(nèi)切球的半徑為，所以正三棱柱的高為，又棱柱的體積為，得，所以球的表面積為．故選：A．8．一種藥在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危險．現(xiàn)給某病人注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過（

）小時向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效．（附：，，結(jié)果精確到）A．小時 B．小時 C．小時 D．小時〖答案〗A〖解析〗設(shè)應(yīng)在病人注射這種藥小時后再向病人的血液補(bǔ)充這種藥，則，整理可得：，，，，，即應(yīng)在用藥小時后再向病人的血液補(bǔ)充這種藥.故選：A.9．已知，函數(shù)恰有3個零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗設(shè)，，求導(dǎo)由反比例函數(shù)及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，且，，故在內(nèi)必有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；令，解得或2，可作出函數(shù)的圖像，令，即，在之間解得或或，作出圖像如下圖數(shù)形結(jié)合可得：，故選：A二、填空題10．復(fù)數(shù)滿足，則______.〖答案〗〖解析〗由題意，故，故〖答案〗為：.11．函數(shù)，，若時，直線是曲線的一條切線，則b的值為______.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時，，設(shè)切點(diǎn)為，因為是的一條切線，所以，解得，所以，又切點(diǎn)在切線上，所以，得．故〖答案〗為：12．在的展開式中，不含的各項系數(shù)之和為______.〖答案〗〖解析〗令可得各項系數(shù)之和為，二項展開式的通項公式為，令，則，故含項的系數(shù)為，則不含的各項系數(shù)之和為.故〖答案〗為：.13．接種疫苗是預(yù)防控制新冠疫情最有效的方法．我國自年月日起實施全民免費(fèi)接種新冠疫苗．截止到年月底，國家已推出了三種新冠疫苗（腺病毒載體疫苗、新冠病毒滅活疫苗、重組新冠病毒疫苗）供接種者選擇，每位接種者任選其中一種．若人去接種新冠疫苗，恰有人接種同一種疫苗的概率為______．〖答案〗〖解析〗由題意，每位接種者等可能地從種任選一種接種，由分步乘法計算原理知，共有不同的結(jié)果，恰有人接種同一種疫苗，可先從5人中任選3人并成一組，有種結(jié)果，這個小團(tuán)體有種疫苗可選，另外兩人各有種疫苗可選，故共有種，故恰有三人接種同一種疫苗共有種不同結(jié)果，由古典概型概率計算公式得：．故〖答案〗為：.14．已知為等腰直角三角形，，圓M為的外接圓，，則__________；若P為圓M上的動點(diǎn)，則的取值范圍為__________．〖答案〗0

〖解析〗在等腰直角中，，由得，點(diǎn)E是弦的中點(diǎn)，在圓M中，，因此；依題意，以圓M的圓心M為原點(diǎn)，直線CB為x軸，點(diǎn)A在y軸正半軸上，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則有，圓M的方程為，因為P為圓M上的動點(diǎn)，設(shè)，，于是得，而，因此當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：0；15．已知函數(shù)，，則______，若方程的所有實根之和為4，則實數(shù)m的取值范圍是______.〖答案〗1

〖解析〗，則令，則的實根個數(shù)即函數(shù)與函數(shù)圖像交點(diǎn)個數(shù)當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)圖像有1個交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)大于1，即，函數(shù)與函數(shù)有2個交點(diǎn)，則方程有兩根，且兩根和為2，不符合題意；當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)圖像有2個交點(diǎn)，即或，則或或，則方程有3個根，且3根和為3，不符合題意；當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)圖像有2個交點(diǎn)，即或，函數(shù)與函數(shù)無交點(diǎn)，不符合題意；函數(shù)與函數(shù)有4個交點(diǎn)，且4個交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為4，則方程有4個根，且4根和為4，符合題意綜上，實數(shù)m的取值范圍是故〖答案〗為：1；三、解答題16．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，已知（1）求角的大??；（2）已知，的面積為6，求：①邊長的值；②的值.解：（1）由題意可得：，可得，∵，∴.（2）①∵的面積，∴，由余弦定理：，則；②∵，即，則，∴，故.17．如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）點(diǎn)在線段上，直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：記的中點(diǎn)為，連結(jié)，因為，，所以四邊形是平行四邊形，則，因為，所以平行四邊形是矩形，則，因為平面，平面，所以，則兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，因為為的中點(diǎn)，所以，則，設(shè)平面的一個法向量為，而，，則，令，則，所以，則，又平面，所以平面．.（2）解：設(shè)平面的一個法向量為，而，，所以，令，則，設(shè)平面的一個法向量為，而，，所以，令，則，記平面與平面夾角為，則，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）解：依題意，不妨設(shè)，則，，又由（2）得平面的一個法向量為，記直線與平面所成角為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以，則，而由（2）得平面的一個法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為.18．已知等比數(shù)列的前項和為，是等差數(shù)列，，，，.（1）求和的通項公式；（2）設(shè)的前項和為，，.求證：.（1）解：①，②，③，②①可得，因為，所以，設(shè)的公差為，則，即，代入③可得，解得，所以；由①②可得，，等比數(shù)列的公比為，所以.（2）證明：，，當(dāng)為奇數(shù)時，，．由，有，即．19．已知橢圓的離心率為，橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.橢圓的左頂點(diǎn)為A，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，直線，與軸分別交于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程.（2）是否存在定點(diǎn)，使得，若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，由題意可得：，解得，故橢圓方程為.（2）存在定點(diǎn)，使得，理由如下：由（1）可得：，設(shè)，則，故直線的斜率，直線的斜率，則，∵點(diǎn)在橢圓上，則，即，∴，即，直線的方程為，令，則，即，同理可得：，設(shè)，則，故，若，則對任意恒成立，可得，解得，故存在定點(diǎn)T為或，使得.20．設(shè)為實數(shù)，函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，直線是曲線的切線，求的最小值；（3）若方程有兩個實數(shù)根，證明：.（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）解：因為，所以，，當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）解：當(dāng)時，，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率，切線方程為，，∴，，所以，令，則，由，可得，由，可得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即的最小值為；（3）證明：由，可得，令，則，由，可得，由，可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，∴，不妨設(shè)，則，故,令，，所以，，，要證，只要證，只要證，令，則，設(shè)，則，由，可得，由，可得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，，，則存在，使得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，，∴在上恒成立，所以.2023年高考金榜預(yù)測卷（三）（天津卷）數(shù)學(xué)一、選擇題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗，由，得，解得，所以，所以，所以.故選：C.2．“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，則滿足，而不滿足，當(dāng)時，，所以，即，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B3．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由題意，，∵∴∴故選：D.4．像“，，”這樣能夠成直角三角形的數(shù)稱為勾股數(shù)，又稱為（

）A．畢達(dá)哥拉斯數(shù) B．楊輝數(shù) C．拉格朗日恒等數(shù) D．三角數(shù)〖答案〗A〖解析〗勾股定理又稱為畢達(dá)哥拉斯定理，故勾股數(shù)又稱為畢達(dá)哥拉斯數(shù).故選：A.5．函數(shù)在上的大致圖象為（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗函數(shù)定義域為R，，即函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B；而，排除D，又，排除A，選項C符合題意.故選：C6．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，為的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓與的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗如圖，由題意可得：，不妨設(shè)漸近線，即直線l的斜率，則，故，在中，，即，在中，，即，在中，，即，整理可得：，即，解得或（舍去），故雙曲線的離心率為.故選：C.7．一個球與一個正三棱柱（底面為等邊三角形，側(cè)棱與底面垂直）的兩個底面和三個側(cè)面都相切，若棱柱的體積為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由題意，設(shè)正三棱柱的底面邊長為，則其內(nèi)切球的半徑為，所以正三棱柱的高為，又棱柱的體積為，得，所以球的表面積為．故選：A．8．一種藥在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危險．現(xiàn)給某病人注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過（

）小時向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效．（附：，，結(jié)果精確到）A．小時 B．小時 C．小時 D．小時〖答案〗A〖解析〗設(shè)應(yīng)在病人注射這種藥小時后再向病人的血液補(bǔ)充這種藥，則，整理可得：，，，，，即應(yīng)在用藥小時后再向病人的血液補(bǔ)充這種藥.故選：A.9．已知，函數(shù)恰有3個零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗設(shè)，，求導(dǎo)由反比例函數(shù)及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，且，，故在內(nèi)必有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；令，解得或2，可作出函數(shù)的圖像，令，即，在之間解得或或，作出圖像如下圖數(shù)形結(jié)合可得：，故選：A二、填空題10．復(fù)數(shù)滿足，則______.〖答案〗〖解析〗由題意，故，故〖答案〗為：.11．函數(shù)，，若時，直線是曲線的一條切線，則b的值為______.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時，，設(shè)切點(diǎn)為，因為是的一條切線，所以，解得，所以，又切點(diǎn)在切線上，所以，得．故〖答案〗為：12．在的展開式中，不含的各項系數(shù)之和為______.〖答案〗〖解析〗令可得各項系數(shù)之和為，二項展開式的通項公式為，令，則，故含項的系數(shù)為，則不含的各項系數(shù)之和為.故〖答案〗為：.13．接種疫苗是預(yù)防控制新冠疫情最有效的方法．我國自年月日起實施全民免費(fèi)接種新冠疫苗．截止到年月底，國家已推出了三種新冠疫苗（腺病毒載體疫苗、新冠病毒滅活疫苗、重組新冠病毒疫苗）供接種者選擇，每位接種者任選其中一種．若人去接種新冠疫苗，恰有人接種同一種疫苗的概率為______．〖答案〗〖解析〗由題意，每位接種者等可能地從種任選一種接種，由分步乘法計算原理知，共有不同的結(jié)果，恰有人接種同一種疫苗，可先從5人中任選3人并成一組，有種結(jié)果，這個小團(tuán)體有種疫苗可選，另外兩人各有種疫苗可選，故共有種，故恰有三人接種同一種疫苗共有種不同結(jié)果，由古典概型概率計算公式得：．故〖答案〗為：.14．已知為等腰直角三角形，，圓M為的外接圓，，則__________；若P為圓M上的動點(diǎn)，則的取值范圍為__________．〖答案〗0

〖解析〗在等腰直角中，，由得，點(diǎn)E是弦的中點(diǎn)，在圓M中，，因此；依題意，以圓M的圓心M為原點(diǎn)，直線CB為x軸，點(diǎn)A在y軸正半軸上，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則有，圓M的方程為，因為P為圓M上的動點(diǎn)，設(shè)，，于是得，而，因此當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：0；15．已知函數(shù)，，則______，若方程的所有實根之和為4，則實數(shù)m的取值范圍是______.〖答案〗1

〖解析〗，則令，則的實根個數(shù)即函數(shù)與函數(shù)圖像交點(diǎn)個數(shù)當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)圖像有1個交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)大于1，即，函數(shù)與函數(shù)有2個交點(diǎn)，則方程有兩根，且兩根和為2，不符合題意；當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)圖像有2個交點(diǎn)，即或，則或或，則方程有3個根，且3根和為3，不符合題意；當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)圖像有2個交點(diǎn)，即或，函數(shù)與函數(shù)無交點(diǎn)，不符合題意；函數(shù)與函數(shù)有4個交點(diǎn)，且4個交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為4，則方程有4個根，且4根和為4，符合題意綜上，實數(shù)m的取值范圍是故〖答案〗為：1；三、解答題16．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，已知（1）求角的大??；（2）已知，的面積為6，求：①邊長的值；②的值.解：（1）由題意可得：，可得，∵，∴.（2）①∵的面積，∴，由余弦定理：，則；②∵，即，則，∴，故.17．如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）點(diǎn)在線段上，直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：記的中點(diǎn)為，連結(jié)，因為，，所以四邊形是平行四邊形，則，因為，所以平行四邊形是矩形，則，因為平面，平面，所以，則兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，因為為的中點(diǎn)，所以，則，設(shè)平面的一個法向量為，而，，則，令，則，所以，則，又平面，所以平面．.（2）解：設(shè)平面的一個法向量為，而，，所以，令，則，設(shè)平面的一個法向量為，而，，所以，令，則，記平面與平面夾角為，則，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）解：依題意，不妨設(shè)，則，，又由（2）得平面的一個法向量為，記直線與平面所成角為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以，則，而由（2）得平面的一個法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為.18．已知等比數(shù)列的前項和為，是等差數(shù)列，，，，.（1）求和的通項公式；（2）設(shè)的前項和為，，.求證：.（1）解：①，②，③，②①可得，因為，所以，設(shè)的公差為，則，即，代入③可得，解得，所以；由①②可得，，等比數(shù)列的