CH5常微分方程數(shù)值解法-51引言基本求解公式

第五章常微分方程數(shù)值解法數(shù)值計算方法張紅梅自動化學(xué)院2010年4月5.1

引言5.1引言(基本求解公式)基于數(shù)值微分的求解（Euler公式）基于數(shù)值積分的求解（梯形公式Simpson公式）5.2Runge-Kutta法本章主要研究基于微積分?jǐn)?shù)值解法的常微分方程數(shù)值解，主要研究內(nèi)容：

本章要點(diǎn)

5.1引言(基本求解公式)工程和科學(xué)技術(shù)的實(shí)際問題中,常需要求解微分方程：-----------(1)常微分方程初值問題:-----------(2)積分方程:問:初值問題(1)的解是否存在？如何判斷解的存在性？本章重點(diǎn)研究形如(1)和(2)問題的數(shù)值解法.

對于上述問題，可以用解析法求解。但實(shí)際問題中的很多常微分方程，解析解很難求得或不存在。定理1.如果

f(x,y)滿足

Lipschitz

條件,即正數(shù)

L

,使得

,均有則初值問題(1)的解存在且唯一.初值問題(1)的數(shù)值解,即未知函數(shù)y(x)在區(qū)間[a,b]上一系列離散點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）：上函數(shù)值的近似值,而就是初值問題(1)的數(shù)值解.初值問題解的存在唯一性定理導(dǎo)數(shù)y’(x)的數(shù)值計算或積分的數(shù)值計算數(shù)值積分問題知，常微分方程初值問題的數(shù)值解問題涉及：由數(shù)值微分問題常微分方程數(shù)值解問題的實(shí)質(zhì)：計算函數(shù)y(x)在離散點(diǎn)xk

處函數(shù)值y(xk)的近似。“步進(jìn)法”求解常微分方程……步進(jìn)法：單步法：多步法：1-1基于數(shù)值微分的求解公式兩點(diǎn)數(shù)值微分公式：--------(3)以下涉及的節(jié)點(diǎn)均為等距,即:對于初值問題(1),有：--------(4)--------(5)--------(6)得近似解及誤差：其中:(前進(jìn))Euler公式，顯示公式，直接計算yj+1的公式(4)式中區(qū)間上第一等式的一般格式：即--------(7)--------(8)(4)式中區(qū)間上第二等式的一般格式：其中:得近似解及誤差即后退Euler公式，隱示公式，右端函數(shù)含有未知量yj+1(5)式和(7)式特點(diǎn)：稱這類方法為單步法／單步格式Euler方法的幾何體現(xiàn)——前進(jìn)

Euler公式在計算

yj+1

時只用到之前一個值

yj后退

Euler公式例1.解:用前進(jìn)Euler

公式求解初值問題：顯然由前進(jìn)Euler

公式,有得依此類推,有

01.00000.10001.10000.20001.19180.30001.27740.40001.35820.50001.43510.60001.50900.70001.58030.80001.64980.90001.71781.00001.7848--------(9)預(yù)測—校正系統(tǒng)先由前進(jìn)Euler

公式得到的預(yù)測值,然后將代入后退Euler公式計算,就可得到新的Euler

公式:預(yù)測校正求解過程：后退Euler

公式中,

為了把從函數(shù)公式中求解出來很難。實(shí)際上，隱式公式公式能獲得更高精度的解。為了避免求解函數(shù)方程，采用“顯式+隱式”的方式——用

Euler

公式的預(yù)測——校正系統(tǒng)求解例1.例2.解:由(9)式,有依此類推,得

01.00000.10001.09180.20001.17630.30001.25460.40001.32780.50001.39640.60001.46090.70001.52160.80001.57860.90001.63211.00001.6819把此值和例1中前進(jìn)Euler公式的結(jié)果以及精確值比較發(fā)現(xiàn),用預(yù)測——校正系統(tǒng)的結(jié)果與精確解更接近.常微分方程求解公式中,雖然顯式比隱式方便,但由隱式可獲得更高精度.評價一個微分方程求解公式好壞的標(biāo)準(zhǔn)是什么？只能表示求解公式第j+1步的誤差。在求解公式中,一般都是近似值,因此1-2截斷誤差評價一個微分方程求解公式的標(biāo)準(zhǔn):精度,即精確值與計算值之差：定義1.

稱為計算

yk

的求解公式第

k

步的局部截斷誤差.定義2.設(shè)

ei(h)(i=1,2,…,k)

為計算

yi

求解公式第

i步的局部截斷誤差,且則稱

Ek(h)

為該求解公式第k步的累計截斷誤差,即求解公式在

xk

點(diǎn)上的整體截斷誤差.定義3.

若求解公式的局部截斷誤差為則稱該求積公式具有p階精度.局部截斷誤差和整體截斷誤差均與步長h

有關(guān),因此可以用h

的次數(shù)來刻畫求解公式的精度：y2y(x2)y1y(x1)y3y(x3)顯然,求解公式的精度越高,計算解的精確性也就越好.從前面的分析可知,

Euler

法的精度并不算高,因此有必要尋找精度更高的求解公式.具有

1

階精度前進(jìn)Euler公式的局部截斷誤差為:具有

1

階精度后退

Euler公式的局部截斷誤差為:注:由于和難以確定,可用(或)代替,也可根據(jù)的性態(tài)直接估計和的值.對初值問題：在區(qū)間上積分，得--------(10)1-3基于數(shù)值積分的常微分方程數(shù)值解法若已知,則計算只需計算積分將以上求積公式代入(11)式,并加以處理,得求解公式：矩形求積公式的計算假設(shè)已知梯形求積公式誤差為：Simpson求積公式誤差為：(一)矩形求解公式令--------(11)(11)式稱為Euler求解公式,又稱矩形公式由可得以及顯式公式(二)梯形求解公式令稱(12)式為梯形求解公式(梯形法)由可得：以及隱式公式------(12)梯形法具有

2階精度由于梯形公式為隱形公式,一般情況下不易顯化,可以先使用Euler公式(矩形法),即公式(11),求出的預(yù)測值,然后將代入梯形公式(12)進(jìn)行校正,即如果在中,，則梯形公式第

k步的截斷誤差為：即改進(jìn)的

Euler

求解公式(改進(jìn)

Euler

法)------(14)注:

改進(jìn)

Euler法是由梯形公式和

Euler

公式復(fù)合而成，且已知梯形公式具有

2

階精度.可證：改進(jìn)

Euler

法也具有

2階精度.改進(jìn)的Euler求解公式------(13)例3.用

Euler法、梯形法和改進(jìn)

Euler法求解初值問題,并比較結(jié)果的精度。解:對上式取k=1,2,3,4,5,結(jié)果如表1-1所示.(1)Euler公式：(2)梯形公式：

其余結(jié)果見表1-1.(3)改進(jìn)

Euler公式:其余結(jié)果見表1-1.Euler法梯形法改進(jìn)Euler法表1-10.10.20.30.40.51.0000001.0100001.0290001.0561001.0904901.0047621.0185941.0406331.0700961.1062781.0050001.0190251.0412181.0708021.1070764.8X10-38.7X10-31.2X10-21.4X10-21.6X10-27.5X10-41.4X10-41.9X10-42.2X10-42.5X10-41.6X10-42.9X10-44.0X10-44.8X10-45.5X10-41、Euler

法的誤差數(shù)量級最大；2、梯形公式與改進(jìn)的Euler

法誤差數(shù)量級相當(dāng)，均優(yōu)于Euler法。(三)Simpson

求解公式將

Simpson

求積公式代入（11）,得：簡化后,得------(15)由

Simps