專題11曲線系（教師版）

專題11：曲線系<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>在解析幾何中，有關求曲線方程的問題，大都采用待定系數(shù)法求解，而采取這種方法有時末知數(shù)較多，解方程組比較麻煩，有些還要分類討論，因此，可以用曲線系的方法解答，這樣省去了解聯(lián)立方程組、求交點等麻煩，而直接設出適合條件的曲線系。然后根據(jù)題中的另外條件，確定曲線系方程里的參數(shù)應取的值，簡化了計算。利用曲線系解題體現(xiàn)了參數(shù)變換的數(shù)學思想。<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型一：題型一：直線系我們把具有某種共同屬性的一類直線的集合，稱為直線系，它的方程稱直線系方程。一般的有以下幾種常見的直線系方程：過兩直線交點的直線系若點Px0,y0是兩直線l1:A1x+B1y+C1=0與l過定點直線系過點Px0,y0的直線方程在斜率存在的情況下可設為y-y0=kx-平行直線系當直線l的斜率k存在時,方程y=kx+b表示斜率為k的平行直線系；另外與已知直線l:Ax+By+C=0平行的直線系方程為Ax+By+λ=0(λ為參數(shù))，注意因為當λ=C時,所設直線與已知直線l重合,如果僅僅是平行直線，則λ≠垂直直線系與已知直線l:Ax+By+C=0垂直的直線系方程為Bx-Ay+λ=0(λ例1(2022·江蘇省南京市模擬)經(jīng)過兩條直線2x+y-3=0和x-y=0的交點，且平行于直線4x-2y-7=0的直線方程為__________；經(jīng)過兩條直線2x+y-3=0和x-y=0的交點，且垂直于直線l2【思路點撥】本題考查兩直線的交點，兩直線平行、垂直的應用.聯(lián)立直線2x+y-3=0和x-y=0，求解得交點坐標，由兩直線平行斜率相等設與直線l1:1,1得m的值，即可得到直線方程；由兩直線垂直斜率之積為-1，設垂直于直線l2:3x-2y+4=0的直線方程為2x+y+n=0，代入點【規(guī)范解析】由2x+y-3=0x-y=0得x=1y=1，即直線2x+y-3=0和設與直線l1:4x-2y-7=0平行的直線方程為4x-2y+m=0，

代入點1,1得4與直線l1:4x-2y-7=0平行的直線方程為4x-2y-2=0，即2x-y-1=0；

設垂直于直線l代入點1,1，得2+3+n=0，即n=-5，所以垂直于直線l2:3x-2y+4=0的直線方程為2x+3y-5=0，

例2(2022·上海市模擬)設直線系M:xcosθ+(y-2)

①M中所有直線均經(jīng)過一個定點；

②存在定點P不在M中的任一條直線上；

③對于任意整數(shù)n(n≥3)，存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上；

④M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．其中真命題的代號是

(寫出所有真命題的序號)．【思路點撥】本題考查直線系方程的應用，要明確直線系M中直線的性質(zhì)，依據(jù)直線系M表示圓x2+y-2【規(guī)范解析】因為點0,2到直線系M:xcosθ+y-2sinθ=10≤θ≤2π中每條直線的距離d=1cos2θ+sin所以M中所有直線均經(jīng)過一個定點不可能，故①不正確;

②.存在定點P不在M中的任一條直線上，觀察知點P0,2符合條件，故②正確;

③.對于任意整數(shù)nn≥3，存在正n邊形，其所有邊均在由于圓的所有外切正多邊形的邊都是圓的切線，故③正確;

④.如下圖，M中的直線所能圍成的正三角形有兩類，一類如△ABE，一類是△BCD，顯然這兩類三角形的面積不相等，故④不正確．

故答案為②③．練1(2022·安徽省聯(lián)考)已知定點P(-2,0)和直線l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ(λ∈R)，則點P到直線l的距離的最大值為(

)A.23 B.10 C.14 D.【思路點撥】本題考查了直線系、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力．直線化為x+y-2+λ(3x+2y-5)=0，令x+y-2=03x+2y-5=0，可得直線l經(jīng)過定點Q(1,1)，可得點P到直線l的距離d的最大值為|PQ|【規(guī)范解析】直線l：(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0，化為：x+y-2+λ(3x+2y-5)=0，

令x+y-2=03x+2y-5=0，解得x=y=1．

因此直線l經(jīng)過定點Q(1,1)，

∴點P到直線l的距離d的最大值為|PQ|=(-2-1)2+(0-1題型二：題型二：圓系我們把具有某種共同屬性的圓的集合,稱為圓系.常見的圓系方程有如下幾種：(1)以a,b為圓心的同心圓系方程為:x-與圓x2+(2)過直線Ax+By+C=0與圓x2x(3)過兩圓C1圓系方程為：x(λ≠-1,此圓系不含C2特別地,當λ=-1時,上述方程為根軸方程.即兩圓相交時,表示公共弦方程;兩圓相切時,注：為了避免利用上述圓系方程時討論圓C2,可等價轉(zhuǎn)化為過圓C1例3(2022·湖北省武漢市聯(lián)考·多選)在平面直角坐標系xOy中，已知動圓C：(x-2m-1)2+(y-m-1)A.存在圓C經(jīng)過原點 B.存在圓C，其所有點均在第一象限

C.動圓C的圓心在一條定直線上 D.所有動圓C僅存在唯一一條公切線【思路點撥】本題考查圓系方程的應用，考查直線與圓相切.對于A，將(0,0)代入圓方程得到的一元二次方程有解可判斷A正確；對于B，要使得圓上所有點均在第一象限，則圓心坐標在第一象限且圓心到兩坐標軸距離都大于半徑即可；對于C，根據(jù)圓的標準方程寫出圓心坐標，消去參數(shù)即可證明；對于D，分斜率存在與不存在進行討論，利用直線與圓相切，圓心到直線距離等于半徑長求解即可．【規(guī)范解析】對于A，將(0,0)代入圓方程，則有(2m+1)即m2+6m+2=0，Δ=62-4×1×2=28>0此方程有解，所以存在圓C經(jīng)過原點，故A正確；

對于B，圓C的圓心為(2m+1,m+1)，半徑為2m，要使得圓上所有點均在第一象限，

則2m+1>0m+1>0m+1>2m，解得-12<m<1，且m≠0，則存在圓C使得圓上所有點均在第一象限，故B正確；

對于C,由a=2m+1b=m+1消去m得a-2b+1=0,故這些圓得圓心在直線x-2y+1=0上,故C正確；

對于D,設公切線方程為y=kx+b,則由直線與圓相切有2|m|=|k(2m+1)-(m+1)+b|1+k2,對一切m≠0成立，

即(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0對一切m≠0恒成立，

所以-4k-3=0k+b-1=0練2(2022·江蘇省揚州市模擬)在平面直角坐標系xOy中，A為直線l:y=3x上在第三象限內(nèi)的點，B-10,0，以線段AB為直徑的圓C(C為圓心)與直線l相交于另一點D，且AB⊥CD，則圓C的標準方程為

．【思路點撥】本題考查圓的方程的求法,考查向量垂直的判斷與證明,直線與圓的位置關系，考查分析與計算能力．

設A(a,3a)，a<0，求出C的坐標，得到圓C的方程，聯(lián)立直線方程與圓的方程，結(jié)合AB⊥CD，即AB?CD=0【規(guī)范解析】設A(a,3a)，a<0，

∵B(-10,0)，∴C(a-102,3a2)，則圓C的方程為(x+10)(x-a)+y(y-3a)=0，

聯(lián)立(x+10)(x-a)+y(y-3a)=0y=3x,∴x=-1y=-3或x=ay=3a,∴D(-1,-3)，

又AB⊥CD，∴AB?CD=0，∴(-10-a,-3a)?(8-a2,-3-3a2)=0題型三：題型三：圓錐曲線系定義:設有兩條曲線C1:f1x,y=0;C2:f2x,y=0.由于λ,μ不同時為零,所以曲線C1和C2當f1=f2時性質(zhì)1:當C1和C2有公共點時,C1和C2的和系(*)為過C性質(zhì)2:除曲線C1和C2的公共點外,C1和C2的和系與曲線C性質(zhì)3:如果C1和C2無公共點,那么C1和C2的和系與C例3(2021·新高考1卷)在平面直角坐標系中，已知點F1(-17,0),MF1-MF（1）求C的方程（2）設T在直線x=12上，過T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點，且TA?TB=|TP|?|TQ|，求直線【思路點撥】本題第（2）問兩條相交直線可視為二次曲線，該二次曲線可用一個方程表示；二次曲線系的適用條件：當兩相交直線與圓錐曲線相交形成有四個交點時，或圓錐曲線上存在四個點時，這四個點在三條二次曲線上(點的三重身份)，這種方法的實質(zhì)是用其中的兩條二次曲線表示第三條二次曲線。本題的命題背景是四點共圓，有結(jié)論：非圓二次曲線上四點A,B,C,D共圓則kABkBC+kAD=0【規(guī)范解析】解：(1)由題意知點M的軌跡C是焦點在x軸上的雙曲線的右支，且a=1，c=17∴b2=c2(2)

設T(12,m)，設直線AB的方程為y=k1由y=k1x-整理得16-k∴x1+∴|TA|?|TB|=(1+=(1+=(1+=(1+k設kPQ=k由|TA|?|TB|=|TP|?|TQ|，得(1+k∴k∴k12=k∴k練3(2020·全國新課標Ⅰ卷)已知A，B分別為橢圓E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右頂點，G為E的上頂點，AG·GB=8，P為直線x=6上的動點，PA與(1)求E的方程;(2)證明：直線CD過定點．【思路點撥】本題考查直線于橢圓的位置關系，定點問題，屬于較難題；(1)求出各點坐標，表示出向量；(2)求出C，D兩點坐標，進而求出直線CD，即可證明．【規(guī)范解析】解：由題意A-a,0AG?∴橢圓E的方程為x2(2)由(1)知A-3,0則直線PA的方程為y=m聯(lián)立y=由韋達定理-3xC=9m2-81即C(-3m2+279+聯(lián)立y=由韋達定理3xD=9m2-9即D(3m2-31+m2∴直線CD的方程為：y--2m1+m2∴直線CD過定點32練4(2022·湖北省八市聯(lián)考)設橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，上頂點為D，點P是橢圓C上異于頂點的動點，已知橢圓的離心率e=32，短軸長為2．

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線AD與直線BP交于點M,【思路點撥】本題主要考查求橢圓方程，以及直線與圓錐曲線的綜合應用問題，考查了圓錐曲線中的定點問題.(1)根據(jù)已知求得橢圓方程中的a，b，即可得出結(jié)論；

(2)設出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立進行求解即可．【規(guī)范解析】解：(1)依題意可得：2b=2e=a2-b2a(2)設直線BP的方程為y=k1(x-2)(k1≠0且k1≠±12).

直線DP的方程為y=k2x+1(k2≠0且k2≠±12)，

易知直線DP與x軸的交點為N(-1k2,0)．

易知直線AD的方程為y=12x+1，

所以直線BP即(1+2k2)(1-2k2+2k1+4k1k2)=0，

因為1+2k2≠0，所以1-2k2+2k1+4k1k2=0．

由M，N點坐標可得直線MN由D，P，N三點共線，易得N(x01-y0,0)，直線MN的斜率kMN=4y02y0-x0+24<<<專題訓練>>><<<專題訓練>>>1.過兩圓x2+y2+6x+4y=0及xA.x+y+2=0 B.x+y-2=0【解析】經(jīng)過兩圓x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y-4=0的交點的圓系方程為：

(2.已知直線l1:3x+4y-10=0,l2:4x-6y+7=0,直線l3過l1與l2【解析】由題意可得l3方程為3x+4y因為l3過點A4,-7,所以解得λ=25,所以l3的方程為3x+4y-10+23.直線l:3x-2y+5=0,直線l1過點P3,-2,且l1//l,則直線【解析】因為l1//l,故設l1因為點P3,-2在l1上,所以所以l1的方程為3x4.求過圓C1:x2+y2-4x+2y=0和圓【解析】所求的圓過已知圓交點,故可表示為:x即1+λx從而圓心坐標為21+λ因為圓心在直線l上,代人可得2×21+λ-4×1-λ代人(1)得x2+y5.方程x2+y2-2x-4y+m=0表示圓,直線x+2y-4=0與圓相交于M,N兩點,且OM⊥ON(O為坐標原點【解析】因為方程表示圓,則-22+-42過交點MN的圓方程可設為:x2化簡得x2因為OM⊥ON,則O在以MN為直徑的圓上,則m-且圓心-λ-22,-2λ-4故-λ-22+4-2λ-4=0,得代人曲線方程,得x-46.已知橢圓C:x24+y2=1上一點P0,1,過點M0,-35的直線與橢圓C交于A【解析】設直線PA,PB的斜率分別為k1則lPA故P,A,B三點滿足方程k1聯(lián)立x2=41-y2,由于P,A,B三點的縱坐標為該方程的根,所以A,B兩點坐標滿足k1即為直線AB的方程.由直線AB過點M0,-35,則-35故直線PA與直線PB的斜率積為定值-1.7.已知圓C1:x2+y2+2x+2y-8=0與圓C(2)求圓心在直線y=-x上，且過A?(3)求經(jīng)過A?【解析】解：(1)由兩圓方程相減即得x-2y+4=0，此為公共弦AB所在的直線方程．

圓心C1(-1,-1)，半徑r1=10，

C1到直線AB的距離為d=|-1+2+4|5=5，

∴公共弦長|AB|=2r12-d2=25；

(2)(法一)：由x-2y+4=0x2+y2+2x+2y-8=0,得x=-4y=0或x=0y=2,

不妨令A(-4,0)，B(0,2)，

∴AB中點為(-2,1)，AB中垂線的斜率為-2，

∴AB中垂線的方程為y-1=-2(x+2)，即y=-2x-3，

由y=-2x-3y=-x，得x=-3y=3,