極限求值方法總結(jié)

極限求值方法總結(jié)極限是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)中的“極限”指：某一個(gè)函數(shù)中的某一個(gè)變量，此變量在變大（或者變?。┑挠肋h(yuǎn)變化的過程中，逐漸向某一個(gè)確定的數(shù)值A(chǔ)不斷地逼近而“永遠(yuǎn)不能夠重合到A”（“永遠(yuǎn)不能夠等于A，但是取等于A‘已經(jīng)足夠取得高精度計(jì)算結(jié)果）的過程中，此變量的變化，被人為規(guī)定為“永遠(yuǎn)靠近而不停止”、其有一個(gè)“不斷地極為靠近A點(diǎn)的趨勢(shì)”。極限是一種“變化狀態(tài)”的描述。此變量永遠(yuǎn)趨近的值A(chǔ)叫做“極限值”。下面，我們對(duì)求解極限的常見方法進(jìn)行了總結(jié)，希望大家好好理解并熟練運(yùn)用起來。緒論1.熟記兩個(gè)重要極限做題中我們常常運(yùn)用兩個(gè)重要極限，即：（1）lim（sinx)/x=1

x→0（2）lim

（1＋x）^(1/x)=e

x→0大家一定要熟記哦~例：2.利用等價(jià)無窮小以下等價(jià)關(guān)系請(qǐng)大家熟記，但是做題前一定要判斷一下滿不滿足無窮小這一條件哦（有的時(shí)候不滿足但可以通過換元法等轉(zhuǎn)化為無窮?。?e^x-1～x(x→0)2e^(x^2)-1～x^2(x→0)31-cosx～1/2x^2(x→0)41-cos(x^2)～1/2x^4(x→0)5sinx~x(x→0)6tanx~x(x→0)7arcsinx~x(x→0)8arctanx~x(x→0)91-cosx~1/2x^2(x→0)10a^x-1~xlna(x→0)11e^x-1~x(x→0)12ln(1+x)~x(x→0)13(1+Bx)^a-1~aBx(x→0)14[(1+x)^1/n]-1~1/nx(x→0)15loga(1+x)~x/lna(x→0)例：3.洛必達(dá)法則很多同學(xué)遇到求極限問題不管三七二十一就用洛必達(dá)法則一洛到底（doge），萬萬不可哦，每一步都要驗(yàn)證是否滿足路必達(dá)法則的運(yùn)用條件才行哈。首先。洛必達(dá)法則是有條件的，不能濫用，它只適用于0/0和∞/∞這兩種類型。若不屬于0/0和∞/∞這兩種類型，就不適用洛必達(dá)法則，應(yīng)通過其它途徑求極限。其次。我們知道，如果limf(x)=0、limg(x)=0或limf(x)=∞、limg(x)=∞，那么limf(x)/g(x)可能存在，也可能不存在，因?yàn)椴荒艽_定，我們就稱這種類型的函數(shù)極限為不定式，記作0/0和∞/∞這兩種類型。求這兩種類型不定式的極限，就是為了確定它們的極限值。而對(duì)求0/0和∞/∞這兩種類型不定式的極限值，應(yīng)用洛必達(dá)法則是非常有效的方法。但應(yīng)用洛必達(dá)法則求這兩種類型不定式的極限值，必須要保證不定式屬于這兩種類型，否則就不適用，這是應(yīng)用洛必達(dá)法則的前提。我們通過洛必達(dá)法則，不難看出洛必達(dá)法則對(duì)0/0和∞/∞這兩種類型不定式，都是通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定不定式值的。具體來說，只要條件符合，就可以應(yīng)用洛必達(dá)法則對(duì)分子和分母分別求導(dǎo)，應(yīng)用一次后通過檢查，如果條件仍然符合，還可以二次應(yīng)用甚至多次應(yīng)用、反復(fù)應(yīng)用，也就是所謂的“連續(xù)洛”，直到不再是0/0和∞/∞這兩種類型為止，最后就可以得出結(jié)論了。這就是應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限的具體方法。例：4.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則也是常用的方法，難度較大，常常運(yùn)用到了一些放縮的技巧。兩邊夾準(zhǔn)則的放縮依據(jù)是如果數(shù)列{Xn},{Yn}及{Zn}滿足下列條件：（1）當(dāng)n>N0時(shí)，其中N0∈N*，有Yn≤Xn≤Zn。（2）{Yn}、{Zn}有相同的極限，設(shè)為a。則，數(shù)列Xn}的極限存在，且當(dāng)limXn=a。注：1、滿足可以拆分為一個(gè)常數(shù)項(xiàng)＋多項(xiàng)式的形式，這樣就構(gòu)成一個(gè)常數(shù)q和一個(gè)關(guān)于n的多項(xiàng)式hn滿足q≤an≤q＋hn，當(dāng)兩邊取極限時(shí)，滿足hn趨近于零，此時(shí)就一定可以使用夾逼準(zhǔn)則。2、對(duì)于證明極限等于某一個(gè)數(shù)時(shí)，看能不能大概的拆分之后能趨近于某一個(gè)數(shù)，此時(shí)將我們的數(shù)列an放大，最好一般放縮的技巧是有常數(shù)加n的關(guān)系式。對(duì)于如何放縮的問題，一般來說放大為我們的常數(shù)項(xiàng)＋關(guān)于n的式子。在這里放縮我們有通常的準(zhǔn)則：1/（n＋1)^2放縮成1/n來做。放縮的準(zhǔn)則是使放縮后的式子比先前的簡(jiǎn)單，更可能的讓式子簡(jiǎn)單，通常放縮到n的式子＋常數(shù)項(xiàng)的形式！

例：5.導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義就是采用了極限的形式，下面舉個(gè)例子來理解一下。6.定積分的定義定積分，二重積分，三重積分，曲線曲面積分的定義都借助到取極限的思想，我們來借助例題理解一下。7.級(jí)數(shù)收斂的必要條件這個(gè)知識(shí)點(diǎn)大家很容易忽略，請(qǐng)大家在做題的時(shí)