極限求值方法總結

極限求值方法總結極限是一個重要的數(shù)學思想。數(shù)學中的“極限”指：某一個函數(shù)中的某一個變量，此變量在變大（或者變?。┑挠肋h變化的過程中，逐漸向某一個確定的數(shù)值A不斷地逼近而“永遠不能夠重合到A”（“永遠不能夠等于A，但是取等于A‘已經(jīng)足夠取得高精度計算結果）的過程中，此變量的變化，被人為規(guī)定為“永遠靠近而不停止”、其有一個“不斷地極為靠近A點的趨勢”。極限是一種“變化狀態(tài)”的描述。此變量永遠趨近的值A叫做“極限值”。下面，我們對求解極限的常見方法進行了總結，希望大家好好理解并熟練運用起來。緒論1.熟記兩個重要極限做題中我們常常運用兩個重要極限，即：（1）lim（sinx)/x=1

x→0（2）lim

（1＋x）^(1/x)=e

x→0大家一定要熟記哦~例：2.利用等價無窮小以下等價關系請大家熟記，但是做題前一定要判斷一下滿不滿足無窮小這一條件哦（有的時候不滿足但可以通過換元法等轉(zhuǎn)化為無窮?。?e^x-1～x(x→0)2e^(x^2)-1～x^2(x→0)31-cosx～1/2x^2(x→0)41-cos(x^2)～1/2x^4(x→0)5sinx~x(x→0)6tanx~x(x→0)7arcsinx~x(x→0)8arctanx~x(x→0)91-cosx~1/2x^2(x→0)10a^x-1~xlna(x→0)11e^x-1~x(x→0)12ln(1+x)~x(x→0)13(1+Bx)^a-1~aBx(x→0)14[(1+x)^1/n]-1~1/nx(x→0)15loga(1+x)~x/lna(x→0)例：3.洛必達法則很多同學遇到求極限問題不管三七二十一就用洛必達法則一洛到底（doge），萬萬不可哦，每一步都要驗證是否滿足路必達法則的運用條件才行哈。首先。洛必達法則是有條件的，不能濫用，它只適用于0/0和∞/∞這兩種類型。若不屬于0/0和∞/∞這兩種類型，就不適用洛必達法則，應通過其它途徑求極限。其次。我們知道，如果limf(x)=0、limg(x)=0或limf(x)=∞、limg(x)=∞，那么limf(x)/g(x)可能存在，也可能不存在，因為不能確定，我們就稱這種類型的函數(shù)極限為不定式，記作0/0和∞/∞這兩種類型。求這兩種類型不定式的極限，就是為了確定它們的極限值。而對求0/0和∞/∞這兩種類型不定式的極限值，應用洛必達法則是非常有效的方法。但應用洛必達法則求這兩種類型不定式的極限值，必須要保證不定式屬于這兩種類型，否則就不適用，這是應用洛必達法則的前提。我們通過洛必達法則，不難看出洛必達法則對0/0和∞/∞這兩種類型不定式，都是通過分子分母分別求導再求極限來確定不定式值的。具體來說，只要條件符合，就可以應用洛必達法則對分子和分母分別求導，應用一次后通過檢查，如果條件仍然符合，還可以二次應用甚至多次應用、反復應用，也就是所謂的“連續(xù)洛”，直到不再是0/0和∞/∞這兩種類型為止，最后就可以得出結論了。這就是應用洛必達法則求極限的具體方法。例：4.夾逼準則夾逼準則也是常用的方法，難度較大，常常運用到了一些放縮的技巧。兩邊夾準則的放縮依據(jù)是如果數(shù)列{Xn},{Yn}及{Zn}滿足下列條件：（1）當n>N0時，其中N0∈N*，有Yn≤Xn≤Zn。（2）{Yn}、{Zn}有相同的極限，設為a。則，數(shù)列Xn}的極限存在，且當limXn=a。注：1、滿足可以拆分為一個常數(shù)項＋多項式的形式，這樣就構成一個常數(shù)q和一個關于n的多項式hn滿足q≤an≤q＋hn，當兩邊取極限時，滿足hn趨近于零，此時就一定可以使用夾逼準則。2、對于證明極限等于某一個數(shù)時，看能不能大概的拆分之后能趨近于某一個數(shù)，此時將我們的數(shù)列an放大，最好一般放縮的技巧是有常數(shù)加n的關系式。對于如何放縮的問題，一般來說放大為我們的常數(shù)項＋關于n的式子。在這里放縮我們有通常的準則：1/（n＋1)^2放縮成1/n來做。放縮的準則是使放縮后的式子比先前的簡單，更可能的讓式子簡單，通常放縮到n的式子＋常數(shù)項的形式！

例：5.導數(shù)的定義導數(shù)的定義就是采用了極限的形式，下面舉個例子來理解一下。6.定積分的定義定積分，二重積分，三重積分，曲線曲面積分的定義都借助到取極限的思想，我們來借助例題理解一下。7.級數(shù)收斂的必要條件這個知識點大家很容易忽略，請大家在做題的時