第1節(jié) 消元法、線性方程組解的判定與解的性質(zhì)

第四章線性方程組§3克拉默法則§1消元法、線性方程組解的判定與解的性質(zhì)§2線性方程組解的結(jié)構(gòu)§1消元法、線性方程組解的判定與解的性質(zhì)一、消元法§1消元法、線性方程組解的判定與解的性質(zhì)二、線性方程組解的判定與解的性質(zhì)1、線性方程組的基本概念2、線性方程組的初等變換3、消元法1、線性方程組解的判定2、線性方程組解的性質(zhì)§1消元法、線性方程組解的判定與解的性質(zhì)(1)一般線性方程組是指形式為(1)是方程的個(gè)數(shù);的方程組，其中代表個(gè)未知量，稱為方程組的系數(shù)；稱為常數(shù)項(xiàng)。一、消元法1、線性方程組的基本概念簡(jiǎn)記為(2)方程組的解設(shè)是個(gè)數(shù)，如果分別用代入后，(1)中每一個(gè)式子都變成恒等式,則稱有序數(shù)組是（1）的一個(gè)解.(1)的解的全體所成集合稱為它的解集合．解集合是空集時(shí)就稱方程組（1）無解．(3)同解方程組如果兩個(gè)線性方程組有相同的解集合，則稱它們是同解的．(4)方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣矩陣稱為方程組（1）的系數(shù)矩陣

;而矩陣稱為方程組（1）的增廣矩陣．一般線性方程組是指形式為(1)簡(jiǎn)記為（1）

簡(jiǎn)記為（2）

其中A為線性方程組的系數(shù)矩陣，

簡(jiǎn)記為（3）

定義線性方程組的初等變換是指下列三種變換①用一個(gè)非零的數(shù)乘某一個(gè)方程；②將一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上；③交換兩個(gè)方程的位置．性質(zhì)線性方程組經(jīng)初等變換后，得到的線性方程組與原線性方程組同解．倍法消法換法一、消元法2、線性方程組的初等變換如對(duì)方程組（1）作第二種初等變換:簡(jiǎn)便起見，不妨設(shè)把第二個(gè)方程的k倍加到第一個(gè)方程得到新方程組（1'）．（1'）設(shè)是方程組（1）的任一解，則所以也是方程組（1'）的解.于是有同理可證的（1'）任一解也是（1）的解.故方程組（1'）與（1）是同解的.對(duì)于另外兩種變換可以用類似的方法證得.(1)引例解：第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程的2倍，第三個(gè)方程一、消元法3、消元法與線性方程組的初等變換解線性方程組減去第一個(gè)方程，得

第二個(gè)方程減去第三個(gè)方程的2倍，再互換第二、第三兩個(gè)方程，即得將第三個(gè)方程代人第二個(gè)方程，然后乘以，得最后將第二、第三個(gè)方程代人第一個(gè)方程，便可得原方程組的解為或結(jié)論消元過程就是對(duì)線性方程組反復(fù)施行初等變換的過程.(3)線性方程組的消元法不妨設(shè)線性方程組(1)的增廣矩陣初等行變換其中１°時(shí)，方程組(1)無解．２°時(shí)，方程組(1)有解.對(duì)應(yīng)方程組與原方程組同解階梯陣階梯陣對(duì)應(yīng)方程組為(1')當(dāng)時(shí)，方程組(1)有無窮多解．所以，當(dāng)時(shí)，方程組(1)有唯一解；（這樣，方程組(1)有沒有解，以及有怎樣的解，都可以通過它的增廣矩陣看出.）從而，原方程組(1)與方程組(1')同解注意對(duì)線性方程組作消元法相當(dāng)于對(duì)其增廣矩陣作初等行變換化成行階梯陣，同時(shí)由這個(gè)行階梯陣能完整重現(xiàn)對(duì)應(yīng)線性方程組.步驟（1）寫出增廣矩陣；（2）對(duì)增廣矩陣作初等行變換化成行階梯陣；（3）由行階梯陣判斷線性方程組解的情況；（4）在有解的情況下，由行階梯陣寫出同解方程組，并求出原方程組的解.

例1.解下列方程組解：對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換由知，原方程組有唯一解。由知，原方程組的解為

解：對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換由知，原方程組有無限多個(gè)解。即得與原方程組同解的方程組由此即得

解：對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換從最后一行知，“0=5”為矛盾方程，所以原方程組無解。1.線性方程組解的判定元線性方程組（1）無解二、線性方程組解的判定與解的性質(zhì)（2）有唯一解定理1（判定定理1）（3）有無限多個(gè)解元線性方程組有解的充分必要條件是線性方程組理論的基本定理定理2（判定定理2）系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，即定理3元齊次線性方程組一定有解，且（1）只有零解（2）有非零解例２判斷非齊次線性方程組解的情況解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，故方程組無解．例３判斷非齊次方程組解的情況解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換故方程組有解，且有無限多個(gè)解。所以方程組的解為例4

判斷齊次線性方程組解的情況解即得與原方程組同解的方程組故齊次線性方程組有非零解，且有由此即得

練習(xí)

判別齊次方程組解的情況解故齊次線性方程組只有零解.元非齊次線性方程組有解非齊次與齊次線性方程組解的關(guān)系定理4（關(guān)系定理）有唯一解，有無限多個(gè)解.元非齊次線性方程組有唯一解只有零解元非齊次線性方程組有無限多個(gè)解有非零解()()

例5.判別下列齊次方程組解的情況2.線性方程組解的性質(zhì)元非齊次線性方程組二、線性方程組解的判定與解的性質(zhì)也是（2）的解.元齊次線性方程組性質(zhì)1若是（2）的解，則性質(zhì)2若是（2）的解，則也是（2）的解.其中（2）稱為（1）的對(duì)應(yīng)的導(dǎo)出組。性質(zhì)4若是（1）的解，則性質(zhì)5若是（1）的解，是對(duì)應(yīng)（2）性質(zhì)3若是（2）的解，則也是（2）的解.是對(duì)應(yīng)（2）的解.的解，則