第10章第2節(jié)無界函數(shù)的反常積分

本節(jié)討論把定積分概念在另一個(gè)方面進(jìn)行拓廣,即假定積分區(qū)間仍為有限,但被積函數(shù)在區(qū)間上是無界的.這種情況下的積分稱為無界函數(shù)的反常積分(瑕積分).引言11/14/20231一、無界函數(shù)的廣義積分概念二、無界函數(shù)的廣義積分性質(zhì)三、無界函數(shù)的廣義積分收斂判別法四、無界函數(shù)的廣義積分主值主要內(nèi)容11/14/202321.定義:

設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù),存在,則稱此極限為函數(shù)

f(x)在(a,b]上的廣義積分.

這時(shí)也稱廣義積分

收斂.

一.無界函數(shù)反常積分(瑕積分)的概念注意區(qū)間左端點(diǎn)而在點(diǎn)a

的右鄰域內(nèi)無界,

取

>0.如果極限如果上述極限不存在,就稱廣義積分發(fā)散.11/14/202332.定義:

設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間

上連續(xù),存在,則稱此極限為函數(shù)

f(x)在

上的廣義積分.

以上定義中的a，b稱為函數(shù)的奇點(diǎn)或瑕點(diǎn).注意區(qū)間右端點(diǎn)而在點(diǎn)

b的左鄰域內(nèi)無界,取

>0.如果極限（即函數(shù)在區(qū)間上的不連續(xù)點(diǎn)）11/14/20234

若在內(nèi)部有一個(gè)奇點(diǎn)c，a<c<b,3.定義:奇點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)部則收斂,且有且都收斂,11/14/20235例1:解:11/14/20236所以11/14/20237例2：解：11/14/20238二.無界函數(shù)反常積分(瑕積分)的性質(zhì)和無窮積分相仿，瑕積分也有定積分具有的性質(zhì),包括分部積分法和換元法對(duì)于瑕積分也成立.瑕積分同樣可以引進(jìn)絕對(duì)收斂和條件收斂的概念，并且也有：絕對(duì)收斂必收斂，但反之未必.11/14/20239性質(zhì)１11/14/202310性質(zhì)2（瑕積分）（定積分）11/14/202311性質(zhì)３11/14/202312注:性質(zhì)３說明絕對(duì)收斂的積分自身一定收斂．我們稱收斂而不絕對(duì)收斂的積分為條件收斂．（這里的結(jié)論與級(jí)數(shù)中有關(guān)結(jié)論相似注意比較）但自身收斂的積分不一定絕對(duì)收斂．11/14/202313性質(zhì)4(柯西收斂原理)等價(jià)敘述為：11/14/202314柯西判別法極限形式這里關(guān)鍵是記清楚條件中的p、k關(guān)系問題.11/14/202315無窮積分與瑕積分的聯(lián)系：瑕積分無窮積分兩種積分的關(guān)系通過上述等式就聯(lián)系起來了.11/14/202316例3：解：11/14/202317所以,x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn).

于是:oyx

a-

加11/14/202318由于解：加作業(yè):P701、2（1、3、5、7）11/14/202319三.瑕積分收斂的判別法*1.阿貝爾判別法（記清條件和結(jié)論會(huì)用）11/14/202320*2.狄利克雷判別法（記清條件和結(jié)論會(huì)用）11/14/202321解根據(jù)比較判別法,加11/14/202322解由洛必達(dá)法則知根據(jù)柯西判別法極限形式,所給廣義積分發(fā)散.

a=1這里k=1，

p=1加11/14/202323四.廣義積分（無窮積分.瑕積分)的主值1.瑕積分的柯西主值:11/14/2023242.無窮積分的柯西主值:例6：解：作業(yè):P714（2、4、5）6（1、2）11/14/202325特點(diǎn):1.積分區(qū)間為無窮;11/14/20232611/14/202327－函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)：11/14/202328小結(jié)一