第六節(jié)空間直線(xiàn)及其方程

第六節(jié)空間直線(xiàn)及其方程

一、空間直線(xiàn)的一般方程二、空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程三、兩直線(xiàn)的夾角四、直線(xiàn)與平面的夾角

五、雜例返回一、空間直線(xiàn)的一般方程

空間直線(xiàn)L可以看作是兩個(gè)平面II1和II2的交線(xiàn)(圖7－55).

如果兩個(gè)相交的平面II1

和II2

的方程分別為A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0，那么直線(xiàn)L上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)平面的方程，即應(yīng)滿(mǎn)足方程組(1)

反過(guò)來(lái)，如果點(diǎn)M不在直線(xiàn)L上，那么它不可能同時(shí)在平面II1和II2上，所以它的坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程組(1).因此，直線(xiàn)L可以用方程組(1)來(lái)表示.方程組(1)叫做空間直線(xiàn)的一般方程.

通過(guò)空間一直線(xiàn)L的平面有無(wú)限多個(gè)，只要在這無(wú)限多個(gè)平面中任意選取兩個(gè)，把它們的方程聯(lián)立起來(lái)，所得的方程組就表示空間直線(xiàn)L.返回二、空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程如果一個(gè)非零向量平行于一條已知直線(xiàn)，這個(gè)向量就叫做這條直線(xiàn)的方向向量.任意知道，直線(xiàn)上任一向量都平行于該直線(xiàn)的方向向量.由于過(guò)空間一點(diǎn)可作而且只能作一條直線(xiàn)平行于一已知直線(xiàn)，所以當(dāng)直線(xiàn)L上一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)和它的一方向向量s=(m,n,p)為已知時(shí)，直線(xiàn)L的位置就完全確定了，下面我們來(lái)建立這直線(xiàn)的方程.

設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)時(shí)直線(xiàn)L上的任一點(diǎn)，那么向量

與L的方向向量s平行(7-56).

所以?xún)上蛄康膶?duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，由于

=(x-x0,y-y0,z-z0),s=(m,n,p)，從而有

(2)

的方程，叫做直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程或點(diǎn)向式方程.反過(guò)來(lái)，如果點(diǎn)M不在直線(xiàn)L上，那么由于

這兩向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)就不成比例.因此方程組(2)就時(shí)直線(xiàn)L與s不平行，

直線(xiàn)的任一方向向量s的坐標(biāo)m、n、p叫做這直線(xiàn)的一組方向數(shù)，二向量s的方向余弦叫做該直線(xiàn)的方向余弦.由直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程容易導(dǎo)出直線(xiàn)的參數(shù)方程.如設(shè)那么

(3)

方程組(3)就是直線(xiàn)的參數(shù)方程.例1

用對(duì)稱(chēng)式方程及參數(shù)方程表示直線(xiàn)解先找出這直線(xiàn)上的一點(diǎn)(x0,y0,z0).例如，可以取x0=1，代入方程組(4)，得解這個(gè)二元一次方程組，得y0=0,z0=-2.

即(1,0,-2)是這直線(xiàn)上的一點(diǎn).

下面再找出這直線(xiàn)的方向向量s.由于兩平面的交線(xiàn)與這兩平面的法線(xiàn)向量n1=(1,1,1)，

n2(2,-1,3)都垂直，所以可取因此，所給直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程為

令

得所給直線(xiàn)的參數(shù)方程為返回三、兩直線(xiàn)的夾角兩條直線(xiàn)的方向向量的夾角(通常指銳角)叫做兩直線(xiàn)的夾角.設(shè)直線(xiàn)L1和L2的方向向量依次為s1=(m1,n1,p1)和s2(m2,n2,p2)，那么L1和L2的夾角

應(yīng)是(s1,s2)和(-s1,s2)=

-(s1,s2)兩者中的銳角，因此cos

=|cos(s1,s2)|.按兩向量的夾角的余弦公式，直線(xiàn)L1和直線(xiàn)L2的夾角

可由cos

=

(5)

來(lái)確定.從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結(jié)論：

兩直線(xiàn)L1、L2互相垂直相當(dāng)與m1m2+n1n2+p1p2=0；

兩直線(xiàn)L1、L2互相平行或重合相當(dāng)于

例2

求直線(xiàn)L1：

和L2：

的夾角.

解

直線(xiàn)L1的方向向量為s1(1,-4,1)；直線(xiàn)L2的方向向量為s2=(2,-2,-1).

設(shè)直線(xiàn)L1和L2的夾角為

，那么由公式(5)有

cos

=

=

所以

返回四、直線(xiàn)與平面的夾角

當(dāng)直線(xiàn)與平面不垂直時(shí)，直線(xiàn)和它在平面上的投影直線(xiàn)的夾角

垂直時(shí)，規(guī)定直線(xiàn)與平面的夾角為

稱(chēng)為直線(xiàn)與平面的夾角(圖7－57)，當(dāng)直線(xiàn)與平面設(shè)直線(xiàn)的方向向量為s=(m,n,p)，平面的法線(xiàn)向量為n=(A,B,C)，直線(xiàn)與平面的夾角為

，那么

＝|

-(s,n)|，因此sin

|cos(s,n)|.因此sin

==|cos(s,n)|，按兩向量

夾角余弦的坐標(biāo)表示式，有

sin

(6)

因此直線(xiàn)與平面垂直相當(dāng)與直線(xiàn)的方向向量與平面的法線(xiàn)向量平行，所以，直線(xiàn)與平面垂直相當(dāng)與(7)

因?yàn)橹本€(xiàn)與平面平行或直線(xiàn)在平面上相當(dāng)于直線(xiàn)的方向向量與平面的法線(xiàn)向量垂直，所以，直線(xiàn)與平面平行或直線(xiàn)在平面上相當(dāng)與

Am+Bn+Cp=0.(8)例3求過(guò)點(diǎn)(1,-2,4)且與平面2x-3y+z-4=0垂直的直線(xiàn)的方程.解

因?yàn)樗笾本€(xiàn)垂直于已知平面，所以可以取已知平面的法線(xiàn)向量(2,-3,1)作為所求直線(xiàn)的方向向量.由此可得所求直線(xiàn)的方程為返回五、雜例例4求與兩平面x-4y=3和2x-y-5z=1的交線(xiàn)平行且過(guò)點(diǎn)(-3,2,5)的直線(xiàn)的方程.解

因?yàn)樗笤谥本€(xiàn)與兩平面的交線(xiàn)平行，也就是直線(xiàn)的方向向量s一定同時(shí)與兩平面的法線(xiàn)向量n1、n2垂直，所以可以取

因此所求直線(xiàn)的方程為

例5

求直線(xiàn)

與平面2x+y+z-6=0的交點(diǎn).

解

所給直線(xiàn)的參數(shù)方程為x=2t,y=3t,z=4+2t,

代入平面方程中，得

2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.

解上列方程，得t=-1.把求得的t值代入直線(xiàn)的參數(shù)方程中，即得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為

x=1,y=2,z=2.

例6

求過(guò)點(diǎn)(2,1,3)且與直線(xiàn)

的方程.

垂直相交的直線(xiàn)解

先作一平面過(guò)點(diǎn)(2,1,3)且垂直與已知直線(xiàn)，那么這平面的方程應(yīng)為

3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0.(9)

再求已知直線(xiàn)與這平面的交點(diǎn).已知直線(xiàn)的參數(shù)方程為

x=-1+3t,y=1+2t,z=-t.(10)

把(10)代入(9)中，求得t=

，從而求得交點(diǎn)為

以點(diǎn)(2,1,3)為起點(diǎn)，點(diǎn)

為終點(diǎn)的向量

是所求直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，故所求直線(xiàn)的方程為有時(shí)用平面束的方程解題比較方便，現(xiàn)在我們來(lái)介紹它的方程.設(shè)直線(xiàn)L由方程組所確定，其中系數(shù)A1、B1、C1與A2、B2、C2不成比例.

我們建立三元一次方程：

(13)其中

為任意常數(shù).因?yàn)锳1、B1、C1與A2、B2、C2不成

比例，所以對(duì)于任何一個(gè)

值，方程(13)的系數(shù)：

不全為零，從而方程(13)表示

一個(gè)平面，若一點(diǎn)在直線(xiàn)L上，則點(diǎn)的坐標(biāo)必同時(shí)滿(mǎn)足方程(11)和(12)，因而也滿(mǎn)足方程(13)，故方程(13)表示通過(guò)直線(xiàn)L的平面，且對(duì)于于不同的同的平面.

值，方程(13)表示通過(guò)直線(xiàn)L的不反之，通過(guò)直線(xiàn)L的任何平面(除平面(12)外)都包含在方程(13)所表示的一族平面內(nèi).通過(guò)定直線(xiàn)的所有平面的全體稱(chēng)為平面束，而方程(13)就作為通過(guò)直線(xiàn)L的平面束的方程(事實(shí)上，方程(13)表示缺少平面(12)的平面束).例7求直線(xiàn)

在平面x+y+z=0上的投影直線(xiàn)的

方程.

解

過(guò)直線(xiàn)

的平面束的方程為

(x+y-z-1)+

(x-y+z