橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

傳說，很久以前，在意大利的西西里島上有一個(gè)山洞，敘拉古的暴君杰尼西亞用這個(gè)山洞囚禁犯人.囚犯?jìng)兌啻蚊苤\逃跑，但是每次計(jì)劃都被杰尼西亞發(fā)現(xiàn).起初，囚犯?jìng)儜岩捎袃?nèi)奸，但是始終沒有發(fā)現(xiàn)內(nèi)奸是誰.后來他們察覺到關(guān)押他們的山洞很奇怪，人只要站在山洞入口處的某個(gè)地方，就能聽到很遠(yuǎn)處洞底的聲音，甚至連人的呼吸聲都能聽到，因此這個(gè)山洞被命名為“杰尼西亞的耳朵”.這個(gè)山洞的特別之處就在于它呈橢圓形，聲音可以從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)反射到另一個(gè)焦點(diǎn)上，從而可以在洞口清晰地聽到洞底的聲音.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用1.了解橢圓在實(shí)際生活中的應(yīng)用.2.進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用，會(huì)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系.(重點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)一、實(shí)際生活中的橢圓問題例1

(多選)中國(guó)的嫦娥四號(hào)探測(cè)器，簡(jiǎn)稱“四號(hào)星”，是世界首個(gè)在月球背面軟著陸和巡視探測(cè)的航天器.如圖所示，現(xiàn)假設(shè)“四號(hào)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則下列式子正確的是A.a1＋c1＝a2＋c2

B.a1－c1＝a2－c2√√由圖可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A錯(cuò)誤；在橢圓軌道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，在橢圓軌道Ⅱ中可得，a2－c2＝|PF|，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正確；所以a1＋c2＝a2＋c1，兩邊同時(shí)平方，解決和橢圓有關(guān)的實(shí)際問題的思路(數(shù)學(xué)抽象)(1)通過數(shù)學(xué)抽象，找出實(shí)際問題中涉及的橢圓，將原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.(2)確定橢圓的位置及要素，并利用橢圓的方程或幾何性質(zhì)求出數(shù)學(xué)問題的解.(3)用解得的結(jié)果說明原來的實(shí)際問題.跟蹤訓(xùn)練1某隧道的拱線設(shè)計(jì)為半個(gè)橢圓的形狀，最大拱高h(yuǎn)為6米(如圖所示)，路面設(shè)計(jì)是雙向車道，車道總寬為

米，如果限制通行車輛的高度不超過米，那么隧道設(shè)計(jì)的拱寬d至少應(yīng)是______米.32解得a＝16，∵車輛高度不超過米，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱寬至少為32米.二、直線與橢圓的位置關(guān)系問題1

類比直線與圓的位置關(guān)系，探究直線與橢圓的位置關(guān)系時(shí)，如何確定直線與橢圓的位置關(guān)系？提示聯(lián)立直線與橢圓的方程，看公共解的個(gè)數(shù).位置關(guān)系解的個(gè)數(shù)Δ的取值相交

解Δ

0相切

解Δ

0相離

解Δ

0兩一無>＝<注意點(diǎn)：設(shè)直線方程時(shí)，容易忽略斜率不存在的情況.通法“數(shù)”課本例7如圖，已知直線l：4x－5y＋m＝0和橢圓C：

＝1.m為何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)？(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)？(3)沒有公共點(diǎn)？消去y，得25x2＋8mx＋m2－225＝0.①方程①的根的判別式Δ＝64m2－4×25×(m2－225)＝36×(252－m2).（1）由Δ>0得－25<m<25.此時(shí)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).（2）由Δ＝0得m1＝25，m2＝－25.此時(shí)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn).（3）由Δ<0得m<－25，或m>25.此時(shí)方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根，直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn).反思感悟研究直線與橢圓有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實(shí)數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個(gè)數(shù)問題.跟蹤訓(xùn)練2直線y＝kx－k與橢圓

＝1的位置關(guān)系為A.相交

B.相切C.相離

D.不確定√你能想到那些辦法？問題2

已知橢圓的方程為

＝1(m>0，n>0，m≠n)，直線與橢圓相交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，弦的中點(diǎn)為M(x0，y0)，你能求出kOM·kAB的值嗎？三、中點(diǎn)弦問題設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入橢圓的方程，將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，

三個(gè)未知量，這樣就聯(lián)系了中點(diǎn)坐標(biāo)和直線的斜率.點(diǎn)差法例3已知橢圓

＝1的弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)，則直線AB的方程為______________.x＋2y－4＝0方法一

設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)則∵M(jìn)(2,1)為AB的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線滿足題意.方法二

易知直線AB的斜率k存在，設(shè)所求直線的方程為y－1＝k(x－2)，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0則有

Δ

>0設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1，x2是上述方程的兩根，又M為AB的中點(diǎn)，滿足Δ>0故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.方法三

設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A(x，y)，由于AB的中點(diǎn)為M(2,1)，則另一個(gè)交點(diǎn)為B(4－x,2－y).∵A，B兩點(diǎn)都在橢圓上，①－②，化簡(jiǎn)得x＋2y－4＝0.故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.①②涉及弦的中點(diǎn)，可以使用點(diǎn)差法：設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，兩式相減即得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與斜率的關(guān)系式.跟蹤訓(xùn)練3過點(diǎn)M(1,1)作斜率為

的直線與橢圓C：

＝