2022-2023學年廣東省東莞市東華初級中學九年級（上）期中數(shù)學試題及答案解析

2022-2023學年廣東省東莞市東華初級中學九年級（上）期中數(shù)

學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列式子是一元二次方程的是（）

A.x2—5x—3B.x2—1=yC.5x+1=0D.7—x（x—1）=5

2.將拋物線y=3/向左平移2個單位后所得拋物線的表達式是（）

A.y=3（%+2）2B.y=（3x—2）2C.y=3x2+2D.y=3x2—2

3.在同一平面內，己知O。的半徑為3cm,OP=4cm,則點P與。。的位置關系是（）

A.點P在。。圓外B.點P在。。上C.點P在。0內D.無法確定

4.關于X的一元二次方程k/+2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）

A.k>—1B.k>-1且k0C.k<1D.k<1且k*0

5.對于二次函數(shù)y=3/+2,下列說法錯誤的是（）

A.最小值為2B.圖象與y軸沒有公共點

C.當％<0時，y隨支的增大而減小D.其圖象的對稱軸是y軸

6.如圖，四邊形ABCD內接于回。，44=110。，則NBOD的度數(shù)是（）

A.70°B,110°C.120°D.140°

7.如圖，AB.AC,8。是。。的切線，切點分別為P、C、D,若4B=4,AC=3,則8。的

長是（）

A.2.5

B.2

C.1.5

D.1

8.2022年北京冬奧會女子冰壺比賽，有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽（每兩隊之間都賽一場

）,單循環(huán)比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？設共有工支隊伍參加比賽，則所列

方程為（）

A.x(x+1)=45

B.^12=45

C.x(x-1)=45

D,當上=45

9.如圖，拋物線y=a/+.+c與x軸交于點4（1,0）,對稱軸為直線x=-l,當y>0時,

x的取值范圍是（）

A.-1<x<1B.-3<x<1C.x<1D.x>-1

10.函數(shù)y=ax+1與丫=a/+ax+l(a片0)的圖象可能是()

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

11.若一元二次方程/-6%—5=0的兩根分別為%i，x2＞則兩根的和與+外

12.一元二次方程2/=8的解為.

13.如圖，48是。。的直徑，點C在圓上，且N4BC=55。.則4B4C=.

14.如圖，正六邊形4BCDEF內接于。。，。。的半徑為1,則邊心距0M的長為

15.已知二次函數(shù)y=a/+bx+c（ar0）的圖象如圖所示，有下列5個結論：?abc<0；

@a—b+c>0；③4a+2b+c>0；④2c<3b；⑤a+b<m（cun+b）（mK1的實數(shù)）,

其中正確結論的序號有.

三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（本小題8.0分）

解方程：2x?—5%—1=0.

17.（本小題8.0分）

如圖，△ABC分別交。。于點4B,D,E,且C4=CB.求證：AD=BE.

18.(本小題8.0分)

如圖，一個圓形噴水池的中央豎直安裝了一個柱形噴水裝置04,4處的噴頭向外噴水，水流

在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，按如圖所示的直角坐標系，水流噴出的高度

y(m)與水平距離x(m)之間的關系式是y=-x2+2x+^(x>0).

(1)柱子。力的高度是米；

(2)若不計其他因素，水池的半徑至少為多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？

19.(本小題9.0分)

用一條長40厘米的繩子圍成一個矩形，設其一邊長為x厘米.

(1)若矩形的面積為96平方厘米，求x的值；

(2)矩形的面積是否可以為103平方厘米？如果能，請求x的值；如果不能，請說明理由.

20.(本小題9.0分)

如圖所示，已知AB為。。的直徑，CD是弦，且481CD于點E.連接AC、OC、BC.

⑴若44co=25。，求/BCD的度數(shù).

(2)若EB=4cm,CD=16cm,求。。的直徑.

21.(本小題9.0分)

某文具店購進一批紀念冊，每本進價為20元，出于營銷考慮，要求每本紀念冊的售價不低于

20元且不高于28元,在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀念冊每周的銷售量y(本)與每本紀念冊的售價元

)之間滿足一次函數(shù)關系：當銷售單價為23元時，銷售量為34本；當銷售單價為25元時，銷

售量為30本.

(1)求y與其之間的函數(shù)關系式；

(2)設該文具店每周銷售這種紀念冊所獲得的利潤為w元，將該紀念冊銷售單價定為多少元時,

才能使文具店銷售該紀念冊所獲得利潤最大？最大利潤是多少？

22.(本小題12.0分)

如圖，四邊形力BCD內接于。。，AB為。。的直徑，過點C作CE_L4D交4D的延長線于點E,

延長EC,4B交于點F,4ECD=4BCF.

(1)求證：CE為。。的切線；

(2)求證：CD=CB；

(3)若DE=2,CD=6,求。。的半徑.

23.(本小題12.0分)

如圖，已知拋物線y=a/-9+c與x軸相交于4、B兩點,并與直線y=b-2交于8、C兩

點，其中點C是直線丫=3芯一2與、軸的交點，連接ZC.

(1)求B、C兩點坐標以及拋物線的解析式；

(2)證明：AABC為直角三角形;

(3)求拋物線的頂點。的坐標，并求出四邊形ZCDB的面積；

(4)在拋物線的對稱軸上有一點P,當AACP周長的最小時，直接寫出點P的坐標.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4/一5萬一3是代數(shù)式，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

8./—i=y是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

C.5x+l=0是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意：

D7-x(x—1)=5是一元二次方程，故本選項符合題意.

故選：D.

根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可.

本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵.只含有一個未知

數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

2.【答案】A

【解析】解：?.?拋物線y=3/的頂點坐標是(0,0),拋物線y=3/向左平移2個單位后的頂點坐標

為(-2,0),

二所得拋物線的解析式為y=3(%+2)2.

故選:A.

根據(jù)向左平移橫坐標減，縱坐標不變求出平移后的拋物線的頂點坐標，然后利用頂點式形式寫出

即可.

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.并用規(guī)

律求函數(shù)解析式.

3.【答案】A

【解析】解：丫0。的半徑為3cm,OP=4cm,

.--OP>G)。的半徑，

???點P在。。外.

故選：A.

直接根據(jù)點與圓的位置關系進行解答即可.

本題考查了點與圓的位置關系：設。。的半徑為r,點P到圓心的距離OP=d,則點P在圓外0d>

r；點P在圓上Qd=r；點P在圓內Qd<r.

4.【答案】B

【解析】解：???關于》的一元二次方程k/+2%-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

21=22-4xfcx(-1)>0且k*0,

解得k>一1且k。0,

故選：B.

由關于x的一元二次方程氏/+2%-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，知4=22-4xkx(-1)>0

且kKO,解之可得答案.

本題主要考查根的判別式及一元二次方程的定義，一元二次方程aM+bx+c=0(a#0)的根與

4=川一4ac有如下關系：①當A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當4=0時，方程有兩

個相等的實數(shù)根；③當4<0時，方程無實數(shù)根.

5.【答案】B

【解析】解：4、開口向上有最小值2,正確；

B、圖象與y軸交與點(0,2),錯誤；

對稱軸為y軸，開口向上，所以當x<0時，y隨著x的增大而減小，C、。正確，

故選：B.

利用二次函數(shù)的性質逐一判斷后即可得到答案.

本題考查了二次函數(shù)的性質，了解二次函數(shù)的性質是解決本題的關鍵.

6.【答案】D

【解析】解：,??四邊形/BCD內接于。。，

乙4+"=180°,

???Z.C=180°-110°=70°,

???LBOD=2Z.C=140°.

故選。.

本題主要考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理的應用.

依據(jù)圓內接四邊形的性質求得NC的度數(shù)，然后再求得4B0D的度數(shù)即可.

7.【答案】D

【解析】解：???"、AC是。。的切線，

.-.AP=AC=3,

vAB=4,

???PB=AB-4P=4-3=1,

?：BP、BD是。。的切線，

:.BD=BP=1,

故選：D.

先根據(jù)切線長定理求出4P，進而求出BP,再根據(jù)切線長定理解答即可.

本題考查的是切線長定理，根據(jù)切線長定理得出AP=AC,BD=BP是解題的關鍵.

8.【答案】D

【解析】解：設共有x支隊伍參加比賽，

依題意得：%2=45,

故選：D.

設共有x支隊伍參加比賽，利用比賽的總場數(shù)=參賽球隊數(shù)量x(參賽球隊數(shù)量-1)+2,即可得出

關于x的一元二次方程.

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關

鍵.

9.【答案】B

【解析】解：,:拋物線y=a/+bx+c(a芋0)與x軸交于點4(1,0),對稱軸為直線x=-1,

???拋物線與x軸的另一交點為(—3,0),

.?.當y>0時，x的取值范圍是一3<x<1.

故選：B.

先判斷出拋物線與x軸的另一交點的坐標，再利用二次函數(shù)圖象判斷出y>0時x的范圍.

本題主要考查拋物線與支軸交點，二次函數(shù)與不等式，解題關鍵是能數(shù)形結合處理二次函數(shù)與不等

式的問題.

10.【答案】C

【解析】解：由函數(shù)y=QX+1與拋物線y=ax2+a%+1可知兩函數(shù)圖象交y軸上同一點(0,1),

拋物線的對稱軸為直線X=-￡=-p在y軸的左側，

A、拋物線的對稱軸在y軸的右側，故選項錯誤；

B、拋物線的對稱軸在y軸的右側，故選項錯誤；

C、由一次函數(shù)的圖象可知a>0,由二次函數(shù)的圖象知道a>0,且交于y軸上同一點，故選項正

確；

。、由一次函數(shù)的圖象可知a>0,由二次函數(shù)的圖象知道a<0,故選項錯誤；

故選：C.

根據(jù)圖象與系數(shù)的關系，看兩個函數(shù)的系數(shù)符號是否一致，即可判斷.

本題考查了一次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質是本題的關

犍.

11.【答案】6

【解析】解：???一元二次方程一-6x-5=0的兩根分別為右,x2,

.b-6於

+%2=--=--=6.

故答案為：6.

利用兩根之和等于即可求出其1+%2的值.

本題考查了根與系數(shù)的關系，牢記“兩根之和等于-2,兩根之積等于?是解題的關鍵.

aQ

12.【答案】右=2,x2=一2

【解析】解：2%2=8,

x2=4,

%=±2,

解得:勺=2,x2=-2.

故答案為：%i=2,x2=-2.

系數(shù)化為1后，利用直接開平方解方程.

此題主要考查了直接開方法求一元二次方程的解，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等

號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成/=a(a20)的形式，利用數(shù)的開方直接求解.

13.【答案】35°.

【解析】解：「AB是。的直徑，

“=90°,

vNABC=55°,

^BAC=90°-/.ABC=35°.

故答案為:35°.

由4B是。。的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即可求得NC的度數(shù)，又由4ZBC=50。，利

用直角三角形中兩銳角互余，即可求得NB4C的度數(shù).

此題考查了圓周角定理與直角三角形的性質.此題比較簡單，注意掌握直徑所對的圓周角是直角

定理的應用，注意數(shù)形結合思想的應用.

14.【答案】當

【解析】解：連接。B,

???六邊形4BCDEF是。。內接正六邊形，

:.乙BOM=駕=30°,

6x2

OM=OB,cos4BOM=1xy=y；

故答案為：字

根據(jù)正六邊形的性質求出ZBOM,利用余弦的定義計算即可.

本題考查的是正多邊形和圓的有關計算，掌握正多邊形的中心角的計算公式、熟記余弦的概念是

解題的關鍵.

15?【答案】①③④

【解析】解：①由圖象可知：a<0,c>0,

0,

2a

Ah>0,

abc<0,故此選項正確;

②當％=—1時，y=Q—b+cVO,故a—b+c>0,錯誤；

③由對稱知，當％=2時，函數(shù)值大于0,即y=4a+2b+c>0,故此選項正確;

④當％=3時函數(shù)值小于0,y=9a+3b+cV0,且》=一/=1,

即Q=-々，代入得9(一分+3b+c<0,得2cV3b,故此選項正確；

⑤當％=1時，y的值最大.此時，y=a+b+c,

而當x=?n時，y=am24-bm+c,

所以a+b+c>am2+bm+c,

2

故a+b>am+bm,即Q+b>m(am+b),故此選項錯誤.

故①③④正確.

故答案為：①③④.

由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物

線與久軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.

此題主要考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，二次函數(shù)y=ax2+"+c系數(shù)符號由拋物線開

口方向、對稱軸和拋物線與y軸的交點、拋物線與工軸交點的個數(shù)確定.

16.【答案】解:2x2-5x-l=0,

b2-4ac=(-5)2-4x2x(-1)=33,

5±V33

X=2x2'

5+V335-V33

X1=-4-，X2=-4--

【解析】本題考查了用公式法解一元二次方程的應用，能熟記公式是解此題的關鍵.

求出接一4知的值，再代入公式求出即可.

17.【答案】證明：?.TC=BC,

:.Z-A=(B，

.??BD=AEf

:?BD-DE=AE—DE，即BE=4D，

：?AD=BE.

【解析】根據(jù)等腰三角形的性質得到乙4=NB,根據(jù)圓心角、弧、弦的關系定理證明結論.

本題考查的是圓心角、弧、弦的關系、等腰三角形的性質，掌握圓心角、弧、弦的關系定理是解

題的關鍵.

18.【答案】\

【解析】解：(1)當x=0時，y=p

???柱子。4的高度為:米，

故答案為：;

4

,7

(2)在y=—x2+2%+4中，

當y=0時-/+2%+(=0,

，

???%i=—+1x2=1―

又%>0,

???x=—+1，

???水池的半徑至少要手+1米才能使噴出的水流不至于落在池外.

(1)柱子。4的高度即為拋物線與y軸交點的縱坐標，令二次函數(shù)解析式中的x=0即可求解；

(2)令y=0,解關于x的一元二次方程，求得正數(shù)解即可.

本題考查了二次函數(shù)的實際應用，解題的關鍵是從實際問題中抽象出二次函數(shù)模型，難度中等.

19.【答案】解：(1)根據(jù)題意得：x?竺盧=96,

解得：x=8或12,

答：x的值為8或12；

(2)矩形的面積不能為103平方厘米，理由如下：

假設矩形的面積可以為103平方厘米，

則x(20-x)=103,

整理得：x2-20x+103=0,

v4=(-20)2-4x1x103=-12<0,

???此方程無解，

矩形的面積不能為103平方厘米.

【解析】(1)根據(jù)矩形的面積為96平方厘米列出方程，求出方程的解即可：

(2)假設矩形的面積可以為103平方厘米，得出方程x(20-x)=103,再判斷方程是否有解即可.

本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解此題的關鍵.

20.【答案】解：(1)?.?4。=CO,

AA=4ACO=25°,

???AB為。。的直徑，CD是弦，且4BJ.CD,

???BC=BD，

???乙BCD=AA=25°；

(2)設O。的半徑為xcm,則0C=xcm,OE=OB-BE={x—4)cm,

vABA.CD,CD=16cm,

CE=：CD=8cm,

在RMOCE中，OC2=OE2+CE2,

x2=82+(x—4)2,

解得：x=10,

??.0。的直徑為20cm.

【解析】(1)由AB為。。的直徑，CD是弦，且4BJ.CD,由垂徑定理即可求得前=^,然后由

圓周角定理，可得乙BCD=44；

(2)首先設半徑為xcm,即可得/=82+(x-4)2,繼而求得答案.

此題考查了垂徑定理、圓周角定理以及勾股定理.此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想與方程

思想的應用.

21.【答案】解：(1)設y與x的關系式為y=kx+b,

把(23,34)與(25,30)代入,

徂(23k+b=34

l25fc+b=30,

解得：仁言

???y與久之間的函數(shù)關系式為y=-2%+80；

(2)由題意可得：

w=(%—20)(-2x+80)

=-2x2+120x-1600

=-2(x-30)2+200,

此時當x=30時，w最大，

即當x-30時，w最大=—2x(30—30)2+200=200(元)，

答:該紀念冊銷售單價定為30元時，才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大,最大利潤是200元.

【解析】(1)利用待定系數(shù)法求解可得；

(2)根據(jù)所獲得總利潤=每本利潤x銷售數(shù)量列出函數(shù)解析式，配方成頂點式可得答案.

本題主要考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)銷售問題

中關于利潤的相等關系列出函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質.

22.【答案】(1)證明：如圖1,

連接OC,BD,

???4B是。。的直徑，

Z.ADB=90°,

vCE1AE,

??.Z,E=90°,

:.Z.E=Z^ADB,

???EF//BDf

:.乙ECD=乙CDB,Z.BCF=乙CBD,

vZ-ECD=乙BCF,

:.Z.CDB=乙CBD,

ACD=BC，

???半徑OC1EF,

CE為。。的切線；

(2)連接。C交BD于H,如圖:

圖1

???4B為。。的直徑，

?-?/.ADB=90°,

vCF1.AD,

???Z.AFC=Z.ADB=90°,

BD//CF,

CF是。。的切線，

Z.OCF=90°,

.??40"。=90。，即OC1B。,

.??弧CD=弧。3,

:.BC=CD；

(3)解:如圖2,

圖2

連接BD,AC,

4B是直徑，

4ACB=90°,

???Z.E=乙ACB,

由(1)知：Z.ECD=Z.CDB,CB=CD=6,

???BC=BC^

：?Z-CDB=Z.BAC,

???乙BAC=乙ECD,

CED~AACB,

:、—BC=——DE,

ABCD

62

—―?

AB6

AB=18.

.?.O。的半徑是9.

【解析】(1)連接OC,BD,可推出EF〃BD,進而可證弧CD=弧8。，進而得出CE為。。的切線;

(2)證明由CH是。。的切線，可得。C1BD,從而弧CD=弧。8,即可得證；

(3)可證△CED八ACB,進而求得結果.

本題考查了圓周角定理及其推論，圓的切線判定，相似三角形的判定和性質等知識，解決問題的

關鍵是作合適的輔助線.

23.【答案】解：(1)直線y='x-2,當y=0時，由楙％-2=0,

解得％=4；

當％=0時，y=-2,

???8(4,0),C(0,-2),

???拋物線y=ax2-|x+c經(jīng)過點8(4,0)和點C(0,-2),

,C16a—6+c=0

?.1c=-2

解得卜=:,

Ic=-2

???拋物線的解析式為y=1X2-|X-2.%

(2)證明：拋物線y=1x2-|x-2,當y=0時，則一暫

2=0,

解得%1=-1,%2=4,

???4(-1,0),

D

???8(4,0),C(0,-2),

圖1

???0A=1,0B=4,0C=2,

???AB=1+4=5,

???AB2=25,

???^AOC=乙BOC=90°,

AC2=OA2+OC2=l2+22=5,BC2=OB2+OC2=42+22=20,

AC2+BC2=25,

AC2+BC2=AB2,

??.△4BC是直角三角形.

、

(/3)vy=-1x2--3x-2Q=-1(fx--3)2--25,

拋物線的頂點。的坐標是(|,-得)；

如圖1,連接OD，

11

S四邊形ACDB=S-oc+S^DOC+S^BOD=EX2X1+EX2X

3,1