人教版七7年級下冊數(shù)學期末解答題難題(附答案)

人教版七7年級下冊數(shù)學期末解答題難題（附答案）一、解答題1．（1）如圖1，分別把兩個邊長為的小正方形沿一條對角線裁成4個小三角形拼成一個大正方形，則大正方形的邊長為______；（2）若一個圓的面積與一個正方形的面積都是，設圓的周長為．正方形的周長為，則______（填“”，或“”，或“”）（3）如圖2，若正方形的面積為，李明同學想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長和寬之比為，他能裁出嗎？請說明理由？2．如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1，正方形的頂點都在網格的格點上．（1）求正方形的面積和邊長；（2）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，寫出正方形四個頂點的坐標．3．如圖1，用兩個邊長相同的小正方形拼成一個大的正方形．（1）如圖2，若正方形紙片的面積為1，則此正方形的對角線AC的長為dm．（2）如圖3，若正方形的面積為16，李明同學想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為12的長方形紙片，使它的長和寬之比為3∶2，他能裁出嗎？請說明理由．4．小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片,沿著邊的方向裁處一塊面積為300cm2的長方形紙片.(1)請幫小麗設計一種可行的裁剪方案；(2)若使長方形的長寬之比為3:2,小麗能用這塊紙片裁處符合要求的紙片嗎？若能,請幫小麗設計一種裁剪方案,若不能，請簡要說明理由.5．如圖用兩個邊長為cm的小正方形紙片拼成一個大的正方形紙片，沿著大正方形紙片的邊的方向截出一個長方形紙片，能否使截得的長方形紙片長寬之比為，且面積為cm2？請說明理由．二、解答題6．如圖，直線AB∥直線CD，線段EF∥CD，連接BF、CF．（1）求證：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；（2）連接BE、CE、BC，若BE平分∠ABC，BE⊥CE，求證：CE平分∠BCD；（3）在（2）的條件下，G為EF上一點，連接BG，若∠BFC＝∠BCF，∠FBG＝2∠ECF，∠CBG＝70°，求∠FBE的度數(shù)．7．如圖1，點在直線、之間，且．（1）求證：；（2）若點是直線上的一點，且，平分交直線于點，若，求的度數(shù)；（3）如圖3，點是直線、外一點，且滿足，，與交于點．已知，且，則的度數(shù)為______（請直接寫出答案，用含的式子表示）．8．已知：如圖（1）直線AB、CD被直線MN所截，∠1＝∠2．（1）求證：AB//CD；（2）如圖（2），點E在AB，CD之間的直線MN上，P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，則∠PEQ和∠PFQ之間有什么數(shù)量關系，請直接寫出你的結論；（3）如圖（3），在（2）的條件下，過P點作PH//EQ交CD于點H，連接PQ，若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度數(shù)．9．已知：直線AB∥CD，M，N分別在直線AB，CD上，H為平面內一點，連HM，HN．（1）如圖1，延長HN至G，∠BMH和∠GND的角平分線相交于點E．求證：2∠MEN﹣∠MHN＝180°；（2）如圖2，∠BMH和∠HND的角平分線相交于點E．①請直接寫出∠MEN與∠MHN的數(shù)量關系：；②作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延長線于點Q，若∠H＝140°，求∠ENQ的度數(shù)．（可直接運用①中的結論）10．已知AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點E，F(xiàn)．（1）請在橫線上填上合適的內容，完成下面的解答：如圖1，當點P在線段EF上時，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度數(shù)；解：過點P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是；因為AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是；所以∠C＝（），所以∠APC＝（）+（）＝∠A+∠C＝97°．（2）當點P，Q在線段EF上移動時（不包括E，F(xiàn)兩點）：①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立嗎？請說明理由；②如圖3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，請直接寫出∠M，∠A與∠C的數(shù)量關系．三、解答題11．如圖1，由線段組成的圖形像英文字母，稱為“形”．（1）如圖1，形中，若，則______；（2）如圖2，連接形中兩點，若，試探求與的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，且的延長線與的延長線有交點，當點在線段的延長線上從左向右移動的過程中，直接寫出與所有可能的數(shù)量關系．12．已知：三角形ABC和三角形DEF位于直線MN的兩側中，直線MN經過點C，且，其中，，，點E、F均落在直線MN上．（1）如圖1，當點C與點E重合時，求證：；聰明的小麗過點C作，并利用這條輔助線解決了問題．請你根據(jù)小麗的思考，寫出解決這一問題的過程．（2）將三角形DEF沿著NM的方向平移，如圖2，求證：；（3）將三角形DEF沿著NM的方向平移，使得點E移動到點，畫出平移后的三角形DEF，并回答問題，若，則________．（用含的代數(shù)式表示）13．已知：直線∥，A為直線上的一個定點，過點A的直線交于點B，點C在線段BA的延長線上．D，E為直線上的兩個動點，點D在點E的左側，連接AD，AE，滿足∠AED＝∠DAE．點M在上，且在點B的左側．（1）如圖1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接寫出ABM的度數(shù)；（2）射線AF為∠CAD的角平分線．①如圖2，當點D在點B右側時，用等式表示∠EAF與∠ABD之間的數(shù)量關系，并證明；②當點D與點B不重合，且∠ABM＋∠EAF＝150°時，直接寫出∠EAF的度數(shù)．14．已知，交AC于點E，交AB于點F．（1）如圖1，若點D在邊BC上，①補全圖形；②求證：．（2）點G是線段AC上的一點，連接FG，DG．①若點G是線段AE的中點，請你在圖2中補全圖形，判斷，，之間的數(shù)量關系，并證明；②若點G是線段EC上的一點，請你直接寫出，，之間的數(shù)量關系．15．已知，直角的邊與直線a分別相交于O、G兩點，與直線b分別交于E、F點，．（1）將直角如圖1位置擺放，如果，則______；（2）將直角如圖2位置擺放，N為AC上一點，，請寫出與之間的等量關系，并說明理由．（3）將直角如圖3位置擺放，若，延長AC交直線b于點Q，點P是射線GF上一動點，探究，與的數(shù)量關系，請直接寫出結論．四、解答題16．己知:如圖①，直線直線，垂足為，點在射線上，點在射線上(、不與點重合)，點在射線上且，過點作直線.點在點的左邊且(1)直接寫出的面積;(2)如圖②，若，作的平分線交于，交于，試說明;(3)如圖③，若，點在射線上運動，的平分線交的延長線于點,在點運動過程中的值是否變化?若不變，求出其值;若變化，求出變化范圍.17．模型與應用.（模型）（1）如圖①，已知AB∥CD，求證∠1＋∠MEN＋∠2＝360°.（應用）（2）如圖②，已知AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)為．如圖③，已知AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n的度數(shù)為．（3）如圖④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分線M1O與∠CMnMn－1的角平分線MnO交于點O，若∠M1OMn＝m°．在（2）的基礎上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）18．如圖，平分，平分，請判斷與的位置關系并說明理由；如圖，當且與的位置關系保持不變，移動直角頂點，使，當直角頂點點移動時，問與否存在確定的數(shù)量關系？并說明理由．如圖，為線段上一定點，點為直線上一動點且與的位置關系保持不變，①當點在射線上運動時（點除外），與有何數(shù)量關系？猜想結論并說明理由．②當點在射線的反向延長線上運動時（點除外），與有何數(shù)量關系？直接寫出猜想結論，不需說明理由．19．互動學習課堂上某小組同學對一個課題展開了探究．小亮：已知，如圖三角形，點是三角形內一點，連接，，試探究與，，之間的關系．小明：可以用三角形內角和定理去解決．小麗：用外角的相關結論也能解決．（1）請你在橫線上補全小明的探究過程：∵，（______）∴，（等式性質）∵，∴，∴．（______）（2）請你按照小麗的思路完成探究過程；（3）利用探究的結果，解決下列問題：①如圖①，在凹四邊形中，，，求______；②如圖②，在凹四邊形中，與的角平分線交于點，，，則______；③如圖③，，的十等分線相交于點、、、…、，若，，則的度數(shù)為______；④如圖④，，的角平分線交于點，則，與之間的數(shù)量關系是______；⑤如圖⑤，，的角平分線交于點，，，求的度數(shù)．20．已知，如圖1，直線l2⊥l1，垂足為A，點B在A點下方，點C在射線AM上，點B、C不與點A重合，點D在直線11上，點A的右側，過D作l3⊥l1，點E在直線l3上，點D的下方．（1）l2與l3的位置關系是；（2）如圖1，若CE平分∠BCD，且∠BCD＝70°，則∠CED＝°，∠ADC＝°；（3）如圖2，若CD⊥BD于D，作∠BCD的角平分線，交BD于F，交AD于G．試說明：∠DGF＝∠DFG；（4）如圖3，若∠DBE＝∠DEB，點C在射線AM上運動，∠BDC的角平分線交EB的延長線于點N，在點C的運動過程中，探索∠N:∠BCD的值是否變化，若變化，請說明理由；若不變化，請直接寫出比值．【參考答案】一、解答題1．（1）；（2）＜；（3）不能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)所拼成的大正方形的面積為2即可求得大正方形的邊長；（2）由圓和正方形的面積公式可分別求的圓的半徑及正方形的邊長，進而可求得圓和正方形的解析：（1）；（2）＜；（3）不能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)所拼成的大正方形的面積為2即可求得大正方形的邊長；（2）由圓和正方形的面積公式可分別求的圓的半徑及正方形的邊長，進而可求得圓和正方形的周長，利用作商法比較這兩數(shù)大小即可；（3）利用方程思想求出長方形的長邊，與正方形邊長比較大小即可；【詳解】解：（1）∵小正方形的邊長為1cm，∴小正方形的面積為1cm2，∴兩個小正方形的面積之和為2cm2，即所拼成的大正方形的面積為2cm2，設大正方形的邊長為xcm，∴，∴∴大正方形的邊長為cm；（2）設圓的半徑為r，∴由題意得，∴，∴，設正方形的邊長為a∵，∴，∴，∴故答案為：＜；（3）解：不能裁剪出，理由如下：∵正方形的面積為900cm2，∴正方形的邊長為30cm∵長方形紙片的長和寬之比為，∴設長方形紙片的長為，寬為，則，整理得：，∴，∴，∴，∴長方形紙片的長大于正方形的邊長，∴不能裁出這樣的長方形紙片．【點睛】本題通過圓和正方形的面積考查了對算術平方根的應用，主要是對學生無理數(shù)運算及比較大小進行了考查．2．（1）面積為29，邊長為；（2），，，，圖見解析．【分析】（1）面積等于一個大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，再利用算術平方根定義求得邊長即可；（2）建立適當?shù)淖鴺讼岛髮懗鏊膫€頂點的坐標解析：（1）面積為29，邊長為；（2），，，，圖見解析．【分析】（1）面積等于一個大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，再利用算術平方根定義求得邊長即可；（2）建立適當?shù)淖鴺讼岛髮懗鏊膫€頂點的坐標即可．【詳解】解：（1）正方形的面積，正方形邊長為；（2）建立如圖平面直角坐標系，則，，，．【點睛】本題考查了算術平方根及坐標與圖形的性質及割補法求面積，從圖形中整理出直角三角形是進一步解題的關鍵．3．（1）；（2）不能，理由見解析【分析】（1）由正方形面積，可求得正方形邊長，然后利用勾股定理即可求出對角線長；（2）利用方程思想求出長方形的長邊，然后與正方形邊長比較大小即可．【詳解】解：解析：（1）；（2）不能，理由見解析【分析】（1）由正方形面積，可求得正方形邊長，然后利用勾股定理即可求出對角線長；（2）利用方程思想求出長方形的長邊，然后與正方形邊長比較大小即可．【詳解】解：（1）∵正方形紙片的面積為，∴正方形的邊長，∴．故答案為：．（2）不能；根據(jù)題意設長方形的長和寬分別為和．∴長方形面積為：，解得：，∴長方形的長邊為．∵，∴他不能裁出．【點睛】本題考查了算術平方根在長方形和正方形面積中的應用，靈活的進行算術平方根計算及無理數(shù)大小比較是解題的關鍵．4．（1）可以以正方形一邊為長方形的長，在其鄰邊上截取長為15cm的線段作為寬即可裁出符合要求的長方形；（2）不能，理由見解析.【解析】（1）解：設面積為400cm2的正方形紙片的邊長為acm∴解析：（1）可以以正方形一邊為長方形的長，在其鄰邊上截取長為15cm的線段作為寬即可裁出符合要求的長方形；（2）不能，理由見解析.【解析】（1）解：設面積為400cm2的正方形紙片的邊長為acm∴a2=400又∵a＞0∴a=20又∵要裁出的長方形面積為300cm2∴若以原正方形紙片的邊長為長方形的長，則長方形的寬為：300÷20=15（cm）∴可以以正方形一邊為長方形的長，在其鄰邊上截取長為15cm的線段作為寬即可裁出符合要求的長方形（2）∵長方形紙片的長寬之比為3：2∴設長方形紙片的長為3xcm，則寬為2xcm∴6x2=300∴x2=50又∵x＞0∴x=∴長方形紙片的長為又∵＞202即：＞20∴小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片5．不能截得長寬之比為，且面積為cm2的長方形紙片，見解析【分析】根據(jù)拼圖求出大正方形的邊長，再根據(jù)長方形的長、寬之比為3：2，計算長方形的長與寬進行驗證即可．【詳解】解：不能，因為大正方形紙解析：不能截得長寬之比為，且面積為cm2的長方形紙片，見解析【分析】根據(jù)拼圖求出大正方形的邊長，再根據(jù)長方形的長、寬之比為3：2，計算長方形的長與寬進行驗證即可．【詳解】解：不能，因為大正方形紙片的面積為（）2+（）2=36（cm2），所以大正方形的邊長為6cm，設截出的長方形的長為3bcm，寬為2bcm，則6b2=30，所以b=（取正值），所以3b=3=＞，所以不能截得長寬之比為3：2，且面積為30cm2的長方形紙片．【點睛】本題考查了算術平方根，理解算術平方根的意義是正確解答的關鍵．二、解答題6．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）∠FBE＝35°．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，進而解答即可；（2）由（1）的結論和垂直的定義解答即可；解析：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）∠FBE＝35°．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，進而解答即可；（2）由（1）的結論和垂直的定義解答即可；（3）由（1）的結論和三角形的角的關系解答即可．【詳解】證明：（1）∵AB∥CD，EF∥CD，∴AB∥EF，∴∠ABF＝∠BFE，∵EF∥CD，∴∠DCF＝∠EFC，∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF；（2）∵BE⊥EC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°，由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°，∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ECD＝∠BCE，∴CE平分∠BCD；（3）設∠BCE＝β，∠ECF＝γ，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE＝β，∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ，∴∠EFC＝β﹣γ，∵∠BFC＝∠BCF，∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β，∴∠ABF＝∠BFE＝2γ，∵∠FBG＝2∠ECF，∴∠FBG＝2γ，∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣β，∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β，∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE，∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ，整理得：2γ+β＝55°，∴∠FBE＝∠FBG+∠GBE＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°．【點睛】本題主要考查平行線的性質，解決本題的關鍵是根據(jù)平行線的性質解答．7．（1）見解析；（2）10°；（3）【分析】（1）過點E作EF∥CD，根據(jù)平行線的性質，兩直線平行，內錯角相等，得出結合已知條件，得出即可證明；（2）過點E作HE∥CD，設由（1）得AB∥CD解析：（1）見解析；（2）10°；（3）【分析】（1）過點E作EF∥CD，根據(jù)平行線的性質，兩直線平行，內錯角相等，得出結合已知條件，得出即可證明；（2）過點E作HE∥CD，設由（1）得AB∥CD，則AB∥CD∥HE，由平行線的性質，得出再由平分，得出則，則可列出關于x和y的方程，即可求得x，即的度數(shù)；（3）過點N作NP∥CD，過點M作QM∥CD，由（1）得AB∥CD，則NP∥CD∥AB∥QM，根據(jù)和，得出根據(jù)CD∥PN∥QM,DE∥NB,得出即根據(jù)NP∥AB，得出再由，得出由AB∥QM,得出因為，代入的式子即可求出．【詳解】（1）過點E作EF∥CD，如圖，∵EF∥CD,∴∴∵,∴∴EF∥AB，∴CD∥AB；（2）過點E作HE∥CD，如圖，設由（1）得AB∥CD，則AB∥CD∥HE，∴∴又∵平分，∴∴即解得：即；（3）過點N作NP∥CD，過點M作QM∥CD，如圖，由（1）得AB∥CD，則NP∥CD∥AB∥QM，∵NP∥CD，CD∥QM，∴,又∵，∴∵,∴∴又∵PN∥AB，∴∵,∴又∵AB∥QM，∴∴∴．【點睛】本題考查平行線的性質，角平分線的定義，解決問題的關鍵是作平行線構造相等的角，利用兩直線平行，內錯角相等，同位角相等來計算和推導角之間的關系．8．（1）見解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°【分析】（1）首先證明∠1＝∠3，易證得AB//CD；（2）如圖2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行線解析：（1）見解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°【分析】（1）首先證明∠1＝∠3，易證得AB//CD；（2）如圖2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行線的性質即可證明；（3）如圖3中，設∠QPF＝y(tǒng)，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，則∠EQF＝∠FQH＝5y，想辦法構建方程即可解決問題；【詳解】（1）如圖1中，∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB//CD．（2）結論：如圖2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．理由：作EH//AB．∵AB//CD，EH//AB，∴EH//CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝∠1+∠4，∴∠PEQ＝∠1+∠4，同法可證：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD，∵∠BPE＝2∠BPF，∠EQD＝2∠FQD，∠1+∠BPE＝180°，∠4+∠EQD＝180°，∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE＝2×180°，即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°，∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°．（3）如圖3中，設∠QPF＝y(tǒng)，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，則∠EQF＝∠FQH＝5y，∵EQ//PH，∴∠EQC＝∠PHQ＝x，∴x+10y＝180°，∵AB//CD，∴∠BPH＝∠PHQ＝x，∵PF平分∠BPE，∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH，∴∠FPH＝y(tǒng)+z﹣x，∵PQ平分∠EPH，∴Z＝y(tǒng)+y+z﹣x，∴x＝2y，∴12y＝180°，∴y＝15°，∴x＝30°，∴∠PHQ＝30°．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，角平分線的定義等知識．（2）中能正確作出輔助線是解題的關鍵；（3）中能熟練掌握相關性質，找到角度之間的關系是解題的關鍵．9．（1）見解析；（2）①2∠MEN＋∠MHN＝360°；②20°【分析】（1）過點E作EP∥AB交MH于點Q，利用平行線的性質、角平分線性質、鄰補角和為180°，角與角之間的基本運算、等量代換等即解析：（1）見解析；（2）①2∠MEN＋∠MHN＝360°；②20°【分析】（1）過點E作EP∥AB交MH于點Q，利用平行線的性質、角平分線性質、鄰補角和為180°，角與角之間的基本運算、等量代換等即可得證．（2）①過點H作GI∥AB，利用（1）中結論2∠MEN﹣∠MHN＝180°，利用平行線的性質、角平分線性質、鄰補角和為180°，角與角之間的基本運算、等量代換等得出∠AMH＋∠HNC＝360°﹣（∠BMH＋∠HND），進而用等量代換得出2∠MEN＋∠MHN＝360°．②過點H作HT∥MP，由①的結論得2∠MEN＋∠MHN＝360°，∠H＝140°，∠MEN＝110°．利用平行線性質得∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°，由角平分線性質及鄰補角可得∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣（180°﹣∠BMH）＝180°．繼續(xù)使用等量代換可得∠ENQ度數(shù)．【詳解】解：（1）證明：過點E作EP∥AB交MH于點Q．如答圖1∵EP∥AB且ME平分∠BMH，∴∠MEQ＝∠BME＝∠BMH．∵EP∥AB，AB∥CD，∴EP∥CD，又NE平分∠GND，∴∠QEN＝∠DNE＝∠GND．（兩直線平行，內錯角相等）∴∠MEN＝∠MEQ＋∠QEN＝∠BMH＋∠GND＝（∠BMH＋∠GND）．∴2∠MEN＝∠BMH＋∠GND．∵∠GND＋∠DNH＝180°，∠DNH＋∠MHN＝∠MON＝∠BMH．∴∠DHN＝∠BMH﹣∠MHN．∴∠GND＋∠BMH﹣∠MHN＝180°，即2∠MEN﹣∠MHN＝180°．（2）①：過點H作GI∥AB．如答圖2由（1）可得∠MEN＝（∠BMH＋∠HND），由圖可知∠MHN＝∠MHI＋∠NHI，∵GI∥AB，∴∠AMH＝∠MHI＝180°﹣∠BMH，∵GI∥AB，AB∥CD，∴GI∥CD．∴∠HNC＝∠NHI＝180°﹣∠HND．∴∠AMH＋∠HNC＝180°﹣∠BMH＋180°﹣∠HND＝360°﹣（∠BMH＋∠HND）．又∵∠AMH＋∠HNC＝∠MHI＋∠NHI＝∠MHN，∴∠BMH＋∠HND＝360°﹣∠MHN．即2∠MEN＋∠MHN＝360°．故答案為：2∠MEN＋∠MHN＝360°．②：由①的結論得2∠MEN＋∠MHN＝360°，∵∠H＝∠MHN＝140°，∴2∠MEN＝360°﹣140°＝220°．∴∠MEN＝110°．過點H作HT∥MP．如答圖2∵MP∥NQ，∴HT∥NQ．∴∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）．∵MP平分∠AMH，∴∠PMH＝∠AMH＝（180°﹣∠BMH）．∵∠NHT＝∠MHN﹣∠MHT＝140°﹣∠PMH．∴∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣（180°﹣∠BMH）＝180°．∵∠ENH＝∠HND．∴∠ENQ＋∠HND＋140°﹣90°＋∠BMH＝180°．∴∠ENQ＋（HND＋∠BMH）＝130°．∴∠ENQ＋∠MEN＝130°．∴∠ENQ＝130°﹣110°＝20°．【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的性質，鄰補角，等量代換，角之間的數(shù)量關系運算，輔助線的作法，正確作出輔助線是解題的關鍵，本題綜合性較強．10．（1）兩直線平行，內錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由見解答過程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．解析：（1）兩直線平行，內錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由見解答過程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質即可完成填空；（2）結合（1）的輔助線方法即可完成證明；（3）結合（1）（2）的方法，根據(jù)∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可證明∠PMQ，∠A與∠C的數(shù)量關系．【詳解】解：過點P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是兩直線平行，內錯角相等；因為AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是平行于同一條直線的兩條直線平行；所以∠C＝（∠CPH），所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．故答案為：兩直線平行，內錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：過點P作直線PH∥AB，QG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；②如圖3，過點P作直線PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【點睛】考核知識點：平行線的判定和性質．熟練運用平行線性質和判定，添加適當輔助線是關鍵．三、解答題11．（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由見解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】（1）過M作MN∥AB，由平行線的性質即可求得∠M的值．（2）延長BA，DC交于E，解析：（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由見解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】（1）過M作MN∥AB，由平行線的性質即可求得∠M的值．（2）延長BA，DC交于E，應用四邊形的內角和定理與平角的定義即可解決問題．（3）分兩種情形分別求解即可；【詳解】解：（1）過M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠1=∠A，∠2=∠C，∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；故答案為：50°；（2）∠A+∠C=30°+α，延長BA，DC交于E，∵∠B+∠D=150°，∴∠E=30°，∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；即∠A+∠C=30°+α；（3）①如下圖所示：延長BA、DC使之相交于點E，延長MC與BA的延長線相交于點F，∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°由三角形的內外角之間的關系得：∠1=30°+∠2∠2=∠3+α∴∠1=30°+∠3+α∴∠1-∠3=30°+α即：∠A-∠C=30°+α．②如圖所示，210-∠A=（180°-∠DCM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α．綜上所述，∠A-∠DCM=30°+α或30°-α．【點睛】本題考查了平行線的性質．解答該題時，通過作輔助線準確作出輔助線l∥AB，利用平行線的性質（兩直線平行內錯角相等）將所求的角∠M與已知角∠A、∠C的數(shù)量關系聯(lián)系起來，從而求得∠M的度數(shù)．12．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；．【分析】（1）過點C作，得到，再根據(jù)，，得到，進而得到，最后證明；（2）先證明，再證明，得到，問題得證；（3）根據(jù)題意得到，根據(jù)（２）結論得到∠D解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；．【分析】（1）過點C作，得到，再根據(jù)，，得到，進而得到，最后證明；（2）先證明，再證明，得到，問題得證；（3）根據(jù)題意得到，根據(jù)（２）結論得到∠DEF=∠ECA=，進而得到，根據(jù)三角形內角和即可求解．【詳解】解：（1）過點C作，，，，，，，，，；（2）解：，，又，，，，，，；（3）如圖三角形DEF即為所求作三角形．∵，∴，由（2）得，DE∥AC，∴∠DEF=∠ECA=，∵，∴∠ACB=，∴，∴∠A=180°-=．故答案為為：．【點睛】本題考查了平行線的判定，三角形的內角和等知識，綜合性較強，熟練掌握相關知識，根據(jù)題意畫出圖形是解題關鍵．13．（1）；（2）①，見解析；②或【分析】（1）由平行線的性質可得到：，，再利用角的等量代換換算即可；（2）①設，，利用角平分線的定義和角的等量代換表示出對比即可；②分類討論點在的左右兩側的情況，解析：（1）；（2）①，見解析；②或【分析】（1）由平行線的性質可得到：，，再利用角的等量代換換算即可；（2）①設，，利用角平分線的定義和角的等量代換表示出對比即可；②分類討論點在的左右兩側的情況，運用角的等量代換換算即可．【詳解】．解：（1）設在上有一點N在點A的右側，如圖所示：∵∴，∴∴（2）①．證明：設，．∴．∵為的角平分線，∴．∵，∴．∴．∴．②當點在點右側時，如圖：由①得：又∵∴∵∴當點在點左側，在右側時，如圖：∵為的角平分線∴∵∴，∵∴∴∵∴又∵∴∴當點和在點左側時，設在上有一點在點的右側如圖：此時仍有，∴∴綜合所述：或【點睛】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，角的等量代換等，靈活運用平行線的性質和角平分線定義等量代換出角的關系是解題的關鍵．14．（1）①見解析；②；見解析（2）①∠AFG+∠EDG=∠DGF；②∠AFG-∠EDG=∠DGF【分析】（1）①根據(jù)題意畫出圖形；②依據(jù)DE∥AB，DF∥AC，可得∠EDF+∠AFD=180°，∠解析：（1）①見解析；②；見解析（2）①∠AFG+∠EDG=∠DGF；②∠AFG-∠EDG=∠DGF【分析】（1）①根據(jù)題意畫出圖形；②依據(jù)DE∥AB，DF∥AC，可得∠EDF+∠AFD=180°，∠A+∠AFD=180°，進而得出∠EDF=∠A；（2）①過G作GH∥AB，依據(jù)平行線的性質，即可得到∠AFG+∠EDG=∠FGH+∠DGH=∠DGF；②過G作GH∥AB，依據(jù)平行線的性質，即可得到∠AFG-∠EDG=∠FGH-∠DGH=∠DGF．【詳解】解：（1）①如圖，②∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠EDF+∠AFD=180°，∠A+∠AFD=180°，∴∠EDF=∠A；（2）①∠AFG+∠EDG=∠DGF．如圖2所示，過G作GH∥AB，∵AB∥DE，∴GH∥DE，∴∠AFG=∠FGH，∠EDG=∠DGH，∴∠AFG+∠EDG=∠FGH+∠DGH=∠DGF；②∠AFG-∠EDG=∠DGF．如圖所示，過G作GH∥AB，∵AB∥DE，∴GH∥DE，∴∠AFG=∠FGH，∠EDG=∠DGH，∴∠AFG-∠EDG=∠FGH-∠DGH=∠DGF．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質：兩直線平行，內錯角相等．正確的作出輔助線是解題的關鍵．15．（1）136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由見解析；（3）當點P在GF上時，∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；當點P在線段GF的延長線上時，140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．解析：（1）136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由見解析；（3）當點P在GF上時，∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；當點P在線段GF的延長線上時，140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．【分析】（1）如圖1，作CP∥a，則CP∥a∥b，根據(jù)平行線的性質可得∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可求得答案；（2）如圖2，作CP∥a，則CP∥a∥b，根據(jù)平行線的性質可得∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，然后結合已知條件可得∠BCP＝∠NEF，然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可得到結論；（3）分兩種情況，如圖3，當點P在GF上時，過點P作PN∥OG，則NP∥OG∥EF，根據(jù)平行線的性質可推出∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，進一步可得結論；如圖4，當點P在線段GF的延長線上時，同上面方法利用平行線的性質解答即可．【詳解】解：（1）如圖1，作CP∥a，∵，∴CP∥a∥b，∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，∵∠AOG＝46°，∴∠CEF＝136°，故答案為136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°．理由如下：如圖2，作CP∥a，則CP∥a∥b，∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，而∠NEF+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝∠NEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+∠NEF＝90°；（3）如圖3，當點P在GF上時，過點P作PN∥OG，∴NP∥OG∥EF，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；如圖4，當點P在線段GF的延長線上時，過點P作PN∥OG，∴NP∥OG∥EF，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．【點睛】本題考查了平行線的性質以及平行公理的推論等知識，屬于?？碱}型，正確添加輔助線、靈活應用平行線的判定和性質是解題的關鍵．四、解答題16．(1)3;(2)見解析;(3)見解析【詳解】分析：（1）因為△BCD的高為OC，所以S△BCD=CD?OC，（2）利用∠CFE+∠CBF=90°，∠OBE+∠OEB=90°，求出∠CEF=∠解析：(1)3;(2)見解析;(3)見解析【詳解】分析：（1）因為△BCD的高為OC，所以S△BCD=CD?OC，（2）利用∠CFE+∠CBF=90°，∠OBE+∠OEB=90°，求出∠CEF=∠CFE．（3）由∠ABC+∠ACB=2∠DAC，∠H+∠HCA=∠DAC，∠ACB=2∠HCA，求出∠ABC=2∠H，即可得答案．詳解：（1）S△BCD=CD?OC=×3×2=3．（2）如圖②，∵AC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠CFE+∠CBF=90°．∵直線MN⊥直線PQ，∴∠BOC=∠OBE+∠OEB=90°．∵BF是∠CBA的平分線，∴∠CBF=∠OBE．∵∠CEF=∠OBE，∴∠CFE+∠CBF=∠CEF+∠OBE，∴∠CEF=∠CFE．（3）如圖③，∵直線l∥PQ，∴∠ADC=∠PAD．∵∠ADC=∠DAC∴∠CAP=2∠DAC．∵∠ABC+∠ACB=∠CAP，∴∠ABC+∠ACB=2∠DAC．∵∠H+∠HCA=∠DAC，∴∠ABC+∠ACB=2∠H+2∠HCA∵CH是，∠ACB的平分線，∴∠ACB=2∠HCA，∴∠ABC=2∠H，∴=．點睛：本題主要考查垂線，角平分線和三角形面積，解題的關鍵是找準相等的角求解．17．（1）證明見解析；（2）900°，180°(n－1)；（3）(180n－180－2m)°【詳解】【模型】（1）證明：過點E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1＋∠MEF解析：（1）證明見解析；（2）900°，180°(n－1)；（3）(180n－180－2m)°【詳解】【模型】（1）證明：過點E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1＋∠MEF＝180°，同理∠2＋∠NEF＝180°∴∠1＋∠2＋∠MEN＝360°【應用】（2）分別過E點，F(xiàn)點，G點，H點作L1，L2，L3，L4平行于AB，利用（1）的方法可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180×5=900°；由上面的解題方法可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n=180°(n－1)，故答案是：900°，180°(n－1)；（3）過點O作SR∥AB，∵AB∥CD，∴SR∥CD，∴∠AM1O＝∠M1OR同理∠CMnO＝∠MnOR∴∠AM1O＋∠CMnO＝∠M1OR＋∠MnOR，∴∠AM1O＋∠CMnO＝∠M1OMn＝m°，∵M1O平分∠AM1M2，∴∠AM1M2＝2∠AM1O，同理∠CMnMn-1＝2∠CMnO，∴∠AM1M2＋∠CMnMn-1＝2∠AM1O＋2∠CMnO＝2∠M1OMn＝2m°，又∵∠AM1M2＋∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1＋∠CMnMn-1＝180°(n－1)，∴∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n－1＝(180n－180－2m)°點睛：本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，解決此類題目，過拐點作平行線是解題的關鍵，準確識圖理清圖中各角度之間的關系也很重要．18．（1）詳見解析；（2）∠BAE+∠MCD=90°，理由詳見解析；（3）詳見解析.【詳解】試題分析：（1）先根據(jù)CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再解析：（1）詳見解析；（2）∠BAE+∠MCD=90°，理由詳見解析；（3）詳見解析.【詳解】試題分析：（1）先根據(jù)CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180，故可得出結論；（2）過E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質可知EF∥AB∥CD，∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，故∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出結論；（3）根據(jù)AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°，∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，故∠BAC=∠PQC+∠QPC．試題解析：證明：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE．∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAC+∠ACD=180，∴AB∥CD；（2）∠BAE+∠MCD=90°．證明如下：過E作EF∥AB．∵AB∥CD，∴EF∥∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE．∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°．∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°；（3）①∠BAC=∠PQC+∠QPC．理由如下：如圖3：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°．∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，∴∠BAC=∠PQC+∠QPC；