數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)序號：8日期：6/5班級信科姓名學(xué)號實(shí)驗(yàn)名稱概率與頻率問題背景描述：概率，又稱為幾率、或然率，是反映某種事件發(fā)生的可能性大小的一種數(shù)量指標(biāo)。它介于0和1之間。這里的事件是指隨機(jī)現(xiàn)象中出現(xiàn)的某個可能成果。實(shí)驗(yàn)?zāi)康模焊怕收撌茄芯侩S機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)分支學(xué)科，它有著悠久的歷史。通過本實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)，加深對頻率和概率等概念的理解和認(rèn)識，并協(xié)助掌握某些概率統(tǒng)計(jì)的原理。實(shí)驗(yàn)原理與數(shù)學(xué)模型：有關(guān)函數(shù)（命令）介紹1．rand(m,n):生成m×n的隨機(jī)矩陣,每個元素都在(0,1)間,生成方式為均勻分布2．randn(m,n):生成m×n的隨機(jī)矩陣,每個元素都在(0,1)間,生成方式為正態(tài)分布3.randperm(m)：生成一種1~n的隨機(jī)整數(shù)排列。4．perms(1:n)：生成1到n的全排列，共n！個。5．一系列取整的函數(shù)：(1)fix(x)：截尾法取整；(2)floor(x)：退一法取整(不超出x的最大整數(shù))；(3)ceil(x)：進(jìn)一法取整(=floor(x)+1)；(4)round(x)：四舍五入法取整。6．unique(a)：合并a中相似的項(xiàng)。7．switch體現(xiàn)式case狀況1命令系列1case狀況2命令系列2……otherwise命令系列end8．prod(x)：向量x的全部分量元素的積。9.unidrnd(n)生成一種1到n的隨機(jī)整數(shù)。實(shí)驗(yàn)所用軟件及版本：Matlab重要內(nèi)容（要點(diǎn)）：1．通過實(shí)驗(yàn)，填寫完畢表格2~6的數(shù)據(jù)3．用MonteCarlo辦法求兩平面曲線y=x4．分析附錄中的[程序丙]和[程序丁]的設(shè)計(jì)本意。請問他們?yōu)槭裁炊际清e誤的？5．設(shè)計(jì)一種三維投點(diǎn)的蒙特卡羅法計(jì)算π。并比較運(yùn)行成果與二維投點(diǎn)的蒙特卡羅法的運(yùn)行成果，哪個更精確些。提示：隨機(jī)投點(diǎn)落在單位正方體的內(nèi)切球體內(nèi)部。實(shí)驗(yàn)過程統(tǒng)計(jì)（含基本環(huán)節(jié)、重要程序清單及異常狀況統(tǒng)計(jì)等）：1．通過實(shí)驗(yàn)，填寫完畢表格2~6的數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)1：隨機(jī)投擲均勻骰子，驗(yàn)證各點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的概率與否為1/6表2實(shí)驗(yàn)次數(shù)/n100001000010000100001000010000國徽朝上頻率0.49680.50780.49360.49990.50070.5004國徽朝下頻率0.50310.49780.49910.49430.50170.5019實(shí)驗(yàn)2：隨機(jī)投擲均勻骰子，驗(yàn)證各點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的概率與否為1/6表3實(shí)驗(yàn)次數(shù)n1000010000100001000010000出現(xiàn)一點(diǎn)頻率0.17150.16750.17040.1660.1683出現(xiàn)二點(diǎn)頻率0.16610.16280.16170.16480.1673出現(xiàn)三點(diǎn)頻率0.16290.16560.16850.16760.1748出現(xiàn)四點(diǎn)頻率0.17230.16290.16380.1660.1616出現(xiàn)五點(diǎn)頻率0.1610.170.16760.16580.1634出現(xiàn)六點(diǎn)頻率0.16620.17120.1680.16980.1646實(shí)驗(yàn)3：運(yùn)用蒙特卡羅（montecarlo）投點(diǎn)法計(jì)算π。表4實(shí)驗(yàn)次數(shù)n100000100000100000100000100000100000所得π的近似值3.13843.14523.13823.13853.14223.1321實(shí)驗(yàn)4：蒲豐（buffon）投針實(shí)驗(yàn)表5實(shí)驗(yàn)次數(shù)n100000100000100000100000100000針長l/平行線間距d0.50.50.50.50.5相交頻率0.31760.31960.31690.31660.3191相交概率的理論值3.14153.14153.14153.14153.1415π的近似值3.14853.12873.15603.15863.1335實(shí)驗(yàn)5：生日問題，設(shè)某班有m個學(xué)生，則該班最少有兩人同一天生日的概率為多少？表6實(shí)驗(yàn)次數(shù)n10001000100010001000班級人數(shù)m5050505050最少有兩人生日相似的頻率0.96900.97400.97600.96500.9600最少有兩人生日相似的概率的理論值0.97040.97040.97040.97040.97043．用MonteCarlo辦法求兩平面曲線y=x[程序甲]成果[程序乙]成果從實(shí)驗(yàn)成果我們能夠看出[程序乙]的誤差要小諸多，因此我們有理由認(rèn)為[程序乙]對的，另首先，分析[程序甲]和[程序乙]的不同之處：（1）[程序甲]沒有分別用變量x和y事先定義rand(1)*a和rand(1)*b（2）[程序甲]的if條件句：rand(1)*b>=(rand(1)*a)^2&rand(1)*b<1-(rand(1)*a)^2[程序乙]的if條件句：y<=1-x^2&y>x^2即：rand(1)*b<=1-(rand(1)*a)^2&rand(1)*b>(rand(1)*a)^2?能夠看出[程序甲]和[程序乙]的取等狀況及不等式的次序不同，但是很顯然，這兩種邏輯并不影響實(shí)驗(yàn)成果。通過分析[程序甲]和[程序乙]的不同之處我們能夠認(rèn)為，由于[程序甲]沒有用變量x和y事先定義rand(1)*a和rand(1)*b而引發(fā)甲乙兩成果不同，因此Monte?Carlo投點(diǎn)法在使用過程中應(yīng)事先定義，再進(jìn)行if語句的運(yùn)行。4．分析附錄中的[程序丙]和[程序丁]的設(shè)計(jì)本意。請問他們?yōu)槭裁炊际清e誤的？[程序丙]成果[程序丁]成果通過分析對比[程序丙]和[程序丁]與[程序乙]的區(qū)別，我們能夠看出：[程序丙]的a的賦值是錯誤的，曲線y=x2x≥0與y=1-x2[程序丁]不僅沒有事先定義rand(1)*a和rand(1)*b，并且[程序丁]的if條件句rand(1)<1-rand(1)^2&rand(1)>=rand(1)^2也是錯誤的，rand(1)沒有乘以a或b，使得成果偏小諸多。5．設(shè)計(jì)一種三維投點(diǎn)的蒙特卡羅法計(jì)算π。并比較運(yùn)行成果與二維投點(diǎn)的蒙特卡羅法的運(yùn)行成果，哪個更精確些。提示：隨機(jī)投點(diǎn)落在單位正方體的內(nèi)切球體內(nèi)部。實(shí)驗(yàn)次數(shù)n100000100000100000100000100000100000（二維）所得π的近似值3.13843.14523.13823.13853.14223.1321（三維）所得π的近似值3.14833.12673.13983.12953.14523.1216通過對比二維與三維投點(diǎn)的蒙特卡羅法的運(yùn)行成果能夠發(fā)現(xiàn)，二維投點(diǎn)的蒙特卡羅法的運(yùn)行成果更加精確。實(shí)驗(yàn)成果報(bào)告與實(shí)驗(yàn)總結(jié)：通過本實(shí)驗(yàn)加深了我們對頻率和概率等概念的理解和認(rèn)識，并且我們能夠體會到運(yùn)用典型的蒙特卡羅投點(diǎn)法能夠近似求解無理數(shù)π或是不規(guī)則曲面面積等，從頻率與概率