高中數(shù)學必修一函數(shù)知識點與典型例題總結(經(jīng)典)(適合高一或高三復習)

章集合與函數(shù)概念章基本初等函數(shù)Ⅰ章函數(shù)應用2021/5/91數(shù)與形,本是相倚依焉能分作兩邊飛數(shù)無形時少直覺形少數(shù)時難入微數(shù)形結合百般好隔離分家萬事休切莫忘,幾何代數(shù)統(tǒng)一體永遠聯(lián)系莫分離

——華羅庚2021/5/92集合基本關系含義與表示基本運算列舉法描述法包含相等并集交集補集圖示法

一、知識結構2021/5/93一、集合的含義與表示1、集合：把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合2、元素與集合的關系：3、元素的特性：確定性、互異性、無序性（一）集合的含義2021/5/94(二)集合的表示1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并放在{}內(nèi)2、描述法：用文字或公式等描述出元素的特性，并放在{x|}內(nèi)3.圖示法Venn圖,數(shù)軸2021/5/95二、集合間的基本關系1、子集：對于兩個集合A，B如果集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，我們稱A為B的子集.

若集合中元素有n個，則其子集個數(shù)為真子集個數(shù)為非空真子集個數(shù)為2、集合相等：3、空集：規(guī)定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2n2n-12n-22021/5/96三、集合的并集、交集、全集、補集全集：某集合含有我們所研究的各個集合的全部元素，用U表示AB2021/5/970或2題型示例考查集合的含義2021/5/98考查集合之間的關系2021/5/99考查集合的運算2021/5/9101234532021/5/911返回2021/5/912

1.設,其中,如果，求實數(shù)a的取值范圍

擴展提升2021/5/9132.設全集為R，集合，（1）求：A∪B，CR(A∩B)；（數(shù)軸法）（2）若集合,滿足，求實數(shù)a的取值范圍。

2021/5/914{}211-，，=M2.已知集合集合則M∩N是()AB{1}C{1，2}DΦ{}，，MxxyyN?==2練習1.集合A={1,0,x},且x2∈A,則x＝

。3.滿足{1,2}A{1,2,3,4}的集合A的個數(shù)有

個-1B32021/5/915函數(shù)定義域奇偶性圖象值域單調(diào)性函數(shù)的復習主要抓住兩條主線1、函數(shù)的概念及其有關性質(zhì)。2、幾種初等函數(shù)的具體性質(zhì)。二次函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)反比例函數(shù)一次函數(shù)冪函數(shù)2021/5/916函數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的最值函數(shù)的奇偶性函數(shù)知識結構2021/5/917BCx1x2x3x4x5y1y2y3y4y5y6A函數(shù)的三要素：定義域，值域，對應法則A.B是兩個非空的數(shù)集,如果按照某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應，這樣的對應叫做從A到B的一個函數(shù)。一、函數(shù)的概念：思考:函數(shù)值域與集合B的關系2021/5/918二、映射的概念設A,B是兩個非空的集合,如果按照某種確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y于之對應,那么就稱對應f:A→B為集合A到集合B的一個映射映射是函數(shù)的一種推廣,本質(zhì)是:任一對唯一2021/5/919函數(shù)的定義域：使函數(shù)有意義的x的取值范圍。求定義域的主要依據(jù)1、分式的分母不為零.2、偶次方根的被開方數(shù)不小于零.3、零次冪的底數(shù)不為零.4、對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零.5、指、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不為1.6、實際問題中函數(shù)的定義域2021/5/920（一）函數(shù)的定義域1、具體函數(shù)的定義域1.【-1,2）∪（2，+∞）2.（-∞，-1）∪（1，+∞）3.（3∕4,1】2021/5/921練習：2021/5/922

2、抽象函數(shù)的定義域1）已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[1，3]，求f(2x-1)的定義域2）已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[0，5)，求g(x)=f(x-1)-f(x+1)的定義域3)1.[1,2];2.[1,4);3.[-]2021/5/923思考：若值域為R呢？分析：值域為R等價為真數(shù)N能?。?，+∞）每個數(shù)。當a=0時，N=3只是（0，+∞）上的一個數(shù)，不成立；當a≠0時，真數(shù)N?。?，+∞）每個數(shù)即2021/5/924求值域的一些方法：

1、圖像法，2、配方法，3、分離常數(shù)法，4、換元法，5單調(diào)性法。1)2)3)4)2021/5/925三、函數(shù)的表示法1、解析法2、列表法3、圖象法

2021/5/926例10求下列函數(shù)的解析式待定系數(shù)法換元法2021/5/927（5）已知：對于任意實數(shù)x、y，等式恒成立，求賦值法

構造方程組法

(4)已知,求的解析式配湊法2021/5/928增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)函數(shù)是對定義域上的某個區(qū)間而言的。注意三、函數(shù)單調(diào)性定義：一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1、x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)

，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)。區(qū)間D叫做函數(shù)的增區(qū)間。如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1、x2，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)

，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。區(qū)間D叫做函數(shù)的減區(qū)間。2021/5/929寫出常見函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并指明是增區(qū)間還是減區(qū)間１、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是

2、函數(shù)y=ax+b（a≠0）的單調(diào)區(qū)間是3、函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的單調(diào)區(qū)間是2021/5/930用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:(1)設元，設x1,x2是區(qū)間上任意兩個實數(shù)，且x1＜x2;(2)作差，f(x1)－f(x2);(3)變形，通過因式分解轉化為易于判斷符號的形式(4)判號，判斷f(x1)－f(x2)的符號；（5）下結論.2021/5/9311.函數(shù)f(x)=2x+1,(x≥1)４－x,(x＜1)則f(x)的遞減區(qū)間為()A.[1,＋∞)B.(－∞,1)C.(0,＋∞)D.(－∞,0]B2、若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間[4,+∞)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍小試身手？3

判斷函數(shù)的單調(diào)性。2021/5/932拓展提升復合函數(shù)的單調(diào)性復合函數(shù)的定義：設y=f(u)定義域A，u=g(x)值域為B，若AB，則y關于x函數(shù)的y=f[g(x)]叫做函數(shù)f與g的復合函數(shù)，u叫中間量2021/5/933復合函數(shù)的單調(diào)性復合函數(shù)的單調(diào)性由兩個函數(shù)共同決定；引理1：已知函數(shù)y=f[g(x)]，若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，其值域為(c,d),又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，那么，原復合函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。x增→g(x)增→y增:故可知y隨著x的增大而增大引理2：已知函數(shù)y=f[g(x)]，若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，其值域為(c,d),又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復合函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。x增→g(x)減→y增:故可知y隨著x的增大而增大2021/5/934復合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律：當兩個函數(shù)的單調(diào)性相同時，其復合函數(shù)是增函數(shù)；當兩個函數(shù)的單調(diào)性不相同時，其復合函數(shù)是減函數(shù)?！巴霎悳p”2021/5/935復合函數(shù)的單調(diào)性例題：求下列函數(shù)的單調(diào)性y=log4(x2－4x+3)解設

y=log4u（外函數(shù)）,u=x2－4x+3（內(nèi)函數(shù)）.由u＞0,u=x2－4x+3，解得原復合函數(shù)的定義域為{x|x＜1或x＞3}.當x∈(－∞，1)時，u=x2－4x+3為減函數(shù)，而y=log4u為增函數(shù)，所以(－∞，1)是復合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；當x∈(3，±∞)時，u=x2－4x+3為增函數(shù)y=log4u為增函數(shù)，所以，(3，+∞)是復合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.2021/5/936解：設u=x2－4x+3，u=x2－4x+3=(x－2)2－1,x＞3或x＜1，(復合函數(shù)定義域)x＜2

(u減)解得x＜1.所以x∈(－∞，1)時，函數(shù)u單調(diào)遞減.由于y=log4u在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以由引理知：u=(x－2)2－1的單調(diào)性與復合函數(shù)的單調(diào)性一致，所以(－∞，1)是復合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.u=x2－4x+3=(x－2)2－1,x＞3或x＜1，(復合函數(shù)定義域)x＞2

(u增)解得x＞3.所以(3，+∞)是復合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.

代數(shù)解法：2021/5/937解:設y=logu,u=2x－x2.由u＞0,u=2x－x2

解得原復合函數(shù)的定義域為0＜x＜2.

由于y=log13u在定義域(0，+∞)內(nèi)是減函數(shù)，所以，原復合函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)u=2x－x2的單調(diào)性正好相反.易知u=2x-x2=-(x－1)2+1在x≤1時單調(diào)增.由0＜x＜2（復合函數(shù)定義域）

x≤1，(u增)解得0＜x≤1,所以(0，1］是原復合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.

又u=－(x－1)2+1在x≥1時單調(diào)減，由

x＜2，(復合函數(shù)定義域)

x≥1，(u減)

解得0≤x＜2,所以[0，1＝是原復合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.例2求下列復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

y=log(2x－x2)2021/5/938例題：求函數(shù)的單調(diào)性。解：設，f(u)和u(x)的定義域均為R因為，u在上遞減，在上遞增。而在R上是減函數(shù)。所以，在上是增函數(shù)。在上是減函數(shù)。2021/5/939例4：求的單調(diào)區(qū)間.解:設由u∈R,u=x2－2x－1,

解得原復合函數(shù)的定義域為x∈R.因為在定義域R內(nèi)為減函數(shù)，所以由二次函數(shù)u=x2－2x－1的單調(diào)性易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1時單調(diào)減，由

x∈R,

(復合函數(shù)定義域)

x≤1，(u減)解得x≤1.所以(－∞，1］是復合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.同理［1，+∞)是復合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.

2021/5/940復合函數(shù)的單調(diào)性小結復合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性可按下列步驟判斷：(1)將復合函數(shù)分解成兩個簡單函數(shù)：y=f(u)與u=g(x)。其中y=f(u)又稱為外層函數(shù),u=g(x)稱為內(nèi)層函數(shù);(2)確定函數(shù)的定義域；(3)分別確定分解成的兩個函數(shù)的單調(diào)性；(4)若兩個函數(shù)在對應的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復合后的函數(shù)y=f[g(x)]為增函數(shù)；(5)若兩個函數(shù)在對應的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個是增函數(shù)，而另一個是減函數(shù)），則復合后的函數(shù)y=f[g(x)]為減函數(shù)。

復合函數(shù)的單調(diào)性可概括為一句話：“同增異減”。2021/5/941四、函數(shù)的奇偶性1.奇函數(shù):對任意的,都有2.偶函數(shù):對任意的,都有3.奇函數(shù)和偶函數(shù)的必要條件:注:要判斷函數(shù)的奇偶性,首先要看其定義域區(qū)間是否關于原點對稱!定義域關于原點對稱.2021/5/942奇(偶)函數(shù)的一些特征1.若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且在x=0處有定義,則f(0)=0.2.奇函數(shù)圖像關于原點對稱,且在對稱的區(qū)間上不改變單調(diào)性.3.偶函數(shù)圖像關于y軸對稱,且在對稱的區(qū)間上改變單調(diào)性2021/5/943例12判斷下列函數(shù)的奇偶性2021/5/9442021/5/9452021/5/9462021/5/947函數(shù)的圖象1、用學過的圖像畫圖。2、用某種函數(shù)的圖象變形而成。（1）關于x軸、y軸、原點對稱關系。（2）平移關系。（3）絕對值關系。2021/5/948反比例函數(shù)1、定義域

.2、值域3、圖象k>0k<02021/5/949二次函數(shù)1、定義域

.2、值域3、圖象a>0a<02021/5/950指數(shù)函數(shù)1、定義域

.2、值域3、圖象a>10<a<1R+yxo1yxo12021/5/951對數(shù)函數(shù)1、定義域

.2、值域3、圖象a>10<a<1R+yxoyxo112021/5/952

在同一平面直角坐標系內(nèi)作出冪函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的圖象：2021/5/953(-∞,0)減(-∞,0]減(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)公共點(0,+∞)減增增[0,+∞)增增單調(diào)性奇非奇非偶奇偶奇奇偶性{y|y≠0}[0,+∞)R[0,+∞)R值域{x|x≠0}[0,+∞)ＲＲＲ定義域y=x-1y=x3y=x2y=x

函數(shù)性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)21xy=2021/5/954對號函數(shù)(a>0)的性質(zhì)及應用2021/5/955.函數(shù)(a>0)的大致圖像xy02021/5/956獲取新知

利用所掌握的函數(shù)知識,探究函數(shù)

(a>0)的性質(zhì).1.定義域2.奇偶性(-∞,0)∪(0,+∞)

奇函數(shù)f(-x)=-f(x)2021/5/9573.確定函數(shù)(a>0)的單調(diào)區(qū)間⑴.當x∈(0,+∞)時,確定某單調(diào)區(qū)間2021/5/9582021/5/959⑵.當x∈(-∞,0)時,確定某單調(diào)區(qū)間綜上,函數(shù)(a>0)的單調(diào)

區(qū)間是單調(diào)區(qū)間的分界點為:a的平方根2021/5/9604.函數(shù)(a>0)的大致圖像xy02021/5/9615.函數(shù)(a>0)的值域2021/5/962運用知識1.已知函數(shù)2021/5/9632021/5/9642.已知函數(shù),求f(x)的最小值,并

求此時的x值.2021/5/9653.建筑一個容積為800米3,深8米的長方體水池(無蓋).池壁,池底造價分別為a元/米2和2a元/米2.底面一邊長為x米,總造價為y.寫出y與x的函數(shù)式,問底面邊長x為何值時總造價y最低,是多少?2021/5/9662021/5/967函數(shù)圖象與變換1．平移變換(1)水平方向的變換：y＝f(x＋a)的圖象可由y＝f(x)的圖象沿x軸向左平移(a>0)或向右平移(a<0)|a|個單位而得到．(2)豎直方向的變換：y＝f(x)＋b的圖象可由y＝f(x)的圖象沿y軸向上平移(b>0)或向下平移(b<0)|b|個單位而得到．2021/5/9682．對稱變換(1)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關于y軸對稱．(2)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關于x軸對稱．(3)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關于原點對稱．(4)y＝|f(x)|的圖象是保留y＝f(x)圖象中位于x軸上方的部分及與x軸的交點，將y＝f(x)的圖象中位于x軸下方的部分翻折到x軸上方去而得到．(5)y＝f(|x|)的圖象是保留y＝f(x)中位于y軸右邊部分及與y軸的交點，去掉y軸左邊部分而利用偶函數(shù)的性質(zhì)，將y軸右邊部分以y軸為對稱軸翻折到y(tǒng)軸左邊去而得到．2021/5/9692021/5/970(2)先作函數(shù)y＝x2－2x的位于x軸上方的圖象，再作x軸下方圖象關于x軸對稱的圖象，得函數(shù)y＝|x2－2x|的圖象，如圖所示．2021/5/971(3)先作函數(shù)y＝x2－2x位于y軸右邊的圖象，再作關于y軸對稱的圖象，得到函數(shù)y＝x2－2|x|的圖象，如圖所示．2021/5/972例作函數(shù)的圖象yxo1yxo12021/5/973抓住函數(shù)中的某些性質(zhì)，通過局部性質(zhì)或圖象的局部特征，利用常規(guī)數(shù)學思想方法（如類比法、賦值法添、拆項

等）。高考題和平時的模擬題中經(jīng)常出

現(xiàn)。抽象性較強；綜合性強；靈活性強；

難度大。

沒有具體給出函數(shù)解析式但給出某些函數(shù)特性或相應條件的函數(shù)