2021-2022學(xué)年度強(qiáng)化訓(xùn)練北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第三章 圓定向攻克練習(xí)題（含詳解）

北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第三章圓定向攻克

考試時(shí)間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新

的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無(wú)效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計(jì)30分）

1、直角三角形△序5一條邊為16,另一頂點(diǎn)。在直線［上，下面是三個(gè)學(xué)生做直角三角形的過(guò)程以

及自認(rèn)為正確的最終結(jié)論：

甲：過(guò)點(diǎn)/作/的垂線，垂足為4；過(guò)點(diǎn)6作/的垂線，垂足為旦；作故符合題意的點(diǎn)。

有三處；

乙：以46為直徑作圓。，。。與交J于兩點(diǎn)A、P2,故符合題意的點(diǎn)一有兩處；

丙：過(guò)點(diǎn)4作垂足為4,交/于點(diǎn)4；過(guò)點(diǎn)6作2日然，垂足為8,交/于點(diǎn)故符合

題意的點(diǎn)。有兩處.

下列說(shuō)法正確的是（）

A.甲的作法和結(jié)論均正確

B.乙、丙的作法和結(jié)論合在一起才正確

C.甲、乙、丙的作法和結(jié)論合在一起才正確

D.丙的作法和結(jié)論均正確

2、下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.相等的圓心角所對(duì)的弧相等

B.過(guò)任意三點(diǎn)可以畫(huà)一個(gè)圓

C.周長(zhǎng)相等的圓是等圓

D.平分弦的直徑垂直于弦

3、計(jì)算半徑為1,圓心角為60。的扇形面積為（）

A.-B.C.-D.%

362

4、如圖，△4比內(nèi)接于圓，弦即交AC于點(diǎn)P,連接力〃下列角中，AB所對(duì)圓周角的是（）

A.4APBB.NABDC.乙ACBD.ABAC

5、如圖，正,8。的邊長(zhǎng)為女m,邊長(zhǎng)為1cm的正ARP。的頂點(diǎn)〃與點(diǎn)/重合，點(diǎn)尸，0分別在〃;，

48上,將ARPQ沿著邊48BC,。連續(xù)翻轉(zhuǎn)（如圖所示），直至點(diǎn)。第一次回到原來(lái)的位置，則點(diǎn)尸

運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為（）

A.4cmB.27rcmC.3^rcmD.67rcm

6、在平面直角坐標(biāo)系立加中，已知點(diǎn)力（-4,-3）,以點(diǎn)4為圓心，4為半徑畫(huà)。4則坐標(biāo)原點(diǎn)。

與。1的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)。在。4內(nèi)B.點(diǎn)。在。力外

C.點(diǎn)。在。4上D.以上都有可能

7、如圖，一個(gè)寬為2厘米的刻度尺（刻度單位：厘米）.放在圓形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一邊與

杯口外沿相切，另一邊與杯口外沿兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)恰好是2和8,那么玻璃杯的杯口外沿半徑為

（）

A.5厘米B.4厘米C.號(hào)13厘米D.I13厘米

8、小明設(shè)計(jì)了如圖所示的樹(shù)型圖案，它是由4個(gè)正方形、8個(gè)等邊三角形和5個(gè)扇形組成，其中正

方形的邊長(zhǎng)、等邊三角形的邊長(zhǎng)和扇形的半徑均為3,則圖中扇形的弧長(zhǎng)總和為（）

B.小19

A.8nC.yD.12〃

9、如圖，中，ZABC=50°,ZAC3=74。，點(diǎn)。是AABC的內(nèi)心.則40c等于（)

A

A.124°B.118°C.112°D.62°

10、在半徑為6cm的圓中，120。的圓心角所對(duì)弧的弧長(zhǎng)是（）

A.12^-cmB.3^-cmC.4^cmD.64cm

第n卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計(jì)20分）

1、如圖，點(diǎn)4B,。在。0上，四邊形以比1是平行四邊形，若對(duì)角線/。=2石，則AC的長(zhǎng)為

2、已知0、/分別是a'的外心和內(nèi)心，/6"=125°,則N6%的大小是一度.

3、如圖，它是在紙板上剪下的一個(gè)半圓和一個(gè)圓形，它們恰好能組成一個(gè)圓錐模型.已知半圓的半

徑為1,則該圓錐的側(cè)面積是.

4、如圖，PA,如分別與。。相切于48兩點(diǎn)，C是優(yōu)弧居上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若/2=50°,則/〃方

~B

5、如圖，。。的半徑為5cm,正六邊形力8(2內(nèi)接于。0,則圖中陰影部分的面積為

三、解答題(5小題，每小題10分，共計(jì)50分)

1、新定義：在一個(gè)四邊形中，若有一組對(duì)角都等于90°,則稱這個(gè)四邊形為雙直角四邊形.如圖

1,在四邊形4靦中，Z/f=Zf=90°,那么四邊形力靦就是雙直角四邊形.

(1)若四邊形/靦是雙直角四邊形，且46=3,BC=4,CD=2,求的長(zhǎng)；

(2)已知，在圖2中，四邊形48(力內(nèi)接與。。，比、=切且/胡。=45°；

①求證：四邊形徵是雙直角四邊形；

②若AB=AC,AD=\,求的長(zhǎng)和四邊形46口的面積.

AA

圖1圖2

2、(1)如圖①，AB,切是。。的兩條平行弦，0E1CD交。。于點(diǎn)、E,則弧力C_____弧劭(填

“>",或“=”)；

(2)如圖②，△必6是。。的內(nèi)接三角形，OELAB交Q0千點(diǎn)、E,則/加乏____NBPE(填”'，

“〈”或“=”).

(3)如圖③，△為6是。。的內(nèi)接三角形，/。陽(yáng)是它的外角，在弧上有一點(diǎn)&滿足PG平分

/QPA,請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出線段如.(不要求證明)

3、已知力8是。。的直徑，點(diǎn)，在。。上，〃為弧究的中點(diǎn).

(1)如圖①，連接4GAD,0D,求證：OD//AC^

(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)〃作場(chǎng)工45交。0于點(diǎn)反直徑環(huán)■交力C于點(diǎn)G,若G為/C的中點(diǎn)，。0的半徑

為2,求〃'的長(zhǎng).

圖①圖②

4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=a*+6x+c(aWO)過(guò)。、B、C三點(diǎn),

B、C坐標(biāo)分別為(10,0)和(葭，-y),以如為直徑的。力經(jīng)過(guò)。點(diǎn)，直線/垂直x軸于6

點(diǎn).

(1)求直線比的解析式；

(2)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)"是。［上一動(dòng)點(diǎn)(不同于。，B),過(guò)點(diǎn)材作的切線，交y軸于點(diǎn)￡,交直線/于點(diǎn)E

設(shè)線段，陽(yáng)長(zhǎng)為見(jiàn)，妒長(zhǎng)為〃，請(qǐng)猜想獷〃的值，并證明你的結(jié)論；

(4)若點(diǎn)。從。出發(fā)，以每秒一個(gè)單位的速度向點(diǎn)6作直線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)0同時(shí)從6出發(fā)，以相同速度

向點(diǎn)C作直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t(0<^8)秒時(shí)恰好使Ab圖為等腰三角形，請(qǐng)求出滿足條件的力值.

5、如圖，4?是。。的一條弦，6是4?的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)￡作況1處于點(diǎn)G過(guò)點(diǎn)6作。的切線交黨的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)。.

5

(1)求證：DB=DE；

(2)若四=12,切=5,求然長(zhǎng).

-參考答案-

一、單選題

1、B

【分析】

根據(jù)三個(gè)學(xué)生的作法作出圖形即可判斷

【詳解】

解：甲的作圖如下，

PiBPi

AAB/AAB?不是直角三角形，故甲的不正確

乙：如圖,

B

A

P\PI

根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可知，乙的作法正確，但不完整,

丙的作法如下,

P\Pi

丙的作法也正確，但不完整，

乙、丙的作法和結(jié)論合在一起才正確

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形的判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵.

2、C

【分析】

根據(jù)確定圓的條件，圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，垂徑定理和圓周角定理逐個(gè)判斷即可.

【詳解】

4在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故本選項(xiàng)說(shuō)法不正確;

6、不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，若這三個(gè)點(diǎn)在一條直線上，就不能確定圓，故本選項(xiàng)說(shuō)法

不正確；

a周長(zhǎng)相等半徑就相等，半徑相等的兩個(gè)圓能重合，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確；

以平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是對(duì)圓的認(rèn)識(shí)，圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，垂徑定理，利用相關(guān)的知識(shí)逐項(xiàng)判斷是基本

的方法.

3、B

【分析】

直接根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】

_nTtr1_60°xxI2_1

扇形-360。——360°一

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了扇形的面積的計(jì)算，熟記扇形的面積公式無(wú)形=需■是解題的關(guān)鍵.

4、C

【分析】

根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解.

【詳解】

解：由圖可知：A8所對(duì)圓周角的是N40或N4況

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓周角的定義，熟練掌握?qǐng)A周角是解題的關(guān)鍵.

5、B

【分析】

從圖中可以看出在48邊，翻轉(zhuǎn)的第一次是一個(gè)120度的圓心角，半徑是1,第二次是以點(diǎn)f為圓

心，所以沒(méi)有路程，同理在4C和6C上也是相同的情況，由此求解即可.

【詳解】

解：從圖中可以看出在48邊，翻轉(zhuǎn)的第一次是一個(gè)120度的圓心角，半徑是1,所以弧長(zhǎng)=%盧，

1oU

第二次是以點(diǎn)。為圓心，所以沒(méi)有路程，在■邊上，第一次喀蘆，第二次同樣沒(méi)有路程，ZC邊上

1OV

也是如此，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為卑3x3=2

IoU

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，求弧長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到尸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

6、B

【分析】

本題可先由勾股定理等性質(zhì)算出點(diǎn)與圓心的距離d,再根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，即當(dāng)

心r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)加r時(shí)，點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓外；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)；來(lái)確定點(diǎn)與圓的位置

關(guān)系.

【詳解】

解：,點(diǎn)4(-4,-3),

/.OA=J(T)2+(—3)2=5,

的半徑為4,

.,.5>4,

.?.點(diǎn)。在。4外；

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，能夠根據(jù)勾股定理求得點(diǎn)到圓心的距離，根據(jù)數(shù)量

關(guān)系判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.

7、D

【分析】

根據(jù)題意先求出弦〃■的長(zhǎng)，再過(guò)點(diǎn)。作仍，〃'于點(diǎn)6,由垂徑定理可得出力6的長(zhǎng)，設(shè)杯口的半徑

為r,則。廬廣2,勿=r,在成△力必中根據(jù)勾股定理求出r的值即可.

【詳解】

解：?.?杯口外沿兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)恰好是2和8,

.,.心8-2=6厘米,

過(guò)點(diǎn)。作仍，然于點(diǎn)B,

則15=36=3厘米，

設(shè)杯口的半徑為r,則沖L2,OA=r,

在Rt/XAOB中,

材=如+力慶即/=（廣2）2+32,

解得廣與13厘米.

4

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

8、C

【分析】

如圖（見(jiàn)解析），先分別求出扇形①、②、③、④和⑤的圓心角的度數(shù)，再利用弧長(zhǎng)公式即可得.

【詳解】

解:如圖，扇形①、③和⑤的圓心角的度數(shù)均為360。-90。-60。-60。=150。，

扇形②和④的圓心角的度數(shù)均為180。-60。-60。=60。，

則圖中扇形的弧長(zhǎng)總和”方身穿乂=殍+）

x3+22%-71,

1oU1oU22

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了求弧長(zhǎng)，熟記弧長(zhǎng)公式（/=覆，其中/為弧長(zhǎng),〃。為圓心角的度數(shù)，一為扇形的半徑）

180

是解題關(guān)鍵.

9、B

【分析】

根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到/%0^/4除25°,40cB=三/ACg37：然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算

/8%的度數(shù).

【詳解】

解：?.?點(diǎn)。是△/1比的內(nèi)心，

：.0B平■分乙ABC,0C平■分4ACB,

：.NOBC=WNABC=gx50°=25。，ZOCB=^ZACB=^X74°=37°,

.?.N60e180°-4()BC-/0CB=18Q°-25°-37°=118°.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)，三角形的內(nèi)

心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.

10、C

【分析】

直接根據(jù)題意及弧長(zhǎng)公式可直接進(jìn)行求解.

【詳解】

解：由題意得：120。的圓心角所對(duì)弧的弧長(zhǎng)是怒=明等=4萬(wàn)；

1OV1OV

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查弧長(zhǎng)計(jì)算，熟練掌握弧長(zhǎng)計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

4兀

1、T

【分析】

連接如，交AC干點(diǎn)、。,根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得四邊形如比'為菱形，根據(jù)菱

形的性質(zhì)可得：OB±AC,OA=AB,AD=DC,根據(jù)等邊三角形的判定得出AOAB為等邊三角形，

由此得出ZAOC=12()。，在直角三角形中利用勾股定理即可確定圓的半徑，然后代入弧長(zhǎng)公式求解即

可.

【詳解】

解：如圖所示，連接仍，交AC于點(diǎn)、D,

?.?四邊形如6C為平行四邊形，OA=OC,

...四邊形力勿為菱形，

OBVAC,OA=AB,AD=DC=-AC6,

2

,:OA=OB=AB,

...AOAB為等邊三角形，

...ZAOB=60a,

：.ZAOC=120°,

在HAOAD中，設(shè)AO=r,貝ljoo=0r,

2

/.AD2+OD2=AO2,

解得：r=2或廠=-2（舍去）,

gi/力\20XTTX24

AC的長(zhǎng)為：———=￡7,

1oU3

4

故答案為：.

【點(diǎn)睛】

題目主要考查菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，弧長(zhǎng)公式等，熟練掌握各個(gè)

定理和公式是解題關(guān)鍵.

2、140

【分析】

作A43C的外接圓，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得：N/BC=gNABC,〃CB=gzACB,再由三角形內(nèi)

角和定理得出：24=70。，最后根據(jù)三角形外心的性質(zhì)及圓周角定理即可得.

【詳解】

解：如圖所示，作AABC的外接圓，

1?點(diǎn)/是AABC的內(nèi)心，

BI,CI分別平分ZABC和NAC8,

/.ZIBC=-ZABC,NICB=-ZACB,

22

?.?ZB/C=125°,

???ZIBC+ZICB=180°-125°=55°,

.??ZABC+Z4a=2(N/BC+N/CB)=110。,

AZA=70°,

?.?點(diǎn)。是AABC的外心，

，ZBOC=2ZA=140°,

故答案為：140.

【點(diǎn)睛】

題目主要考查三角形內(nèi)心與外心的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，理解題意，熟練掌握三角形內(nèi)心與外

心的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3土

2

【分析】

首先根據(jù)題意可確定組成的圓錐側(cè)面剛好為該半圓形，所以求出該半圓形的面積即為該圓錐的側(cè)面

積.

【詳解】

解：由題意，半圓為該圓錐的側(cè)面，完整的圓形為該圓錐的底面，

.?.半圓形的面積即為該圓錐的側(cè)面積，

?.?半圓的半徑為1,

?c_o_乃_n

'"玉而一?半圓-2一'2'

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓錐的側(cè)面積計(jì)算，本題中理解組成的圓錐側(cè)面恰好為半圓形是解題關(guān)鍵.

4、65

【分析】

連接根據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和定理求得4408=130。，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理即可求

得N4C8

【詳解】

解：連接OAO8,如圖,

■■-PA,也分別與。。相切

:.Z.OAP=ZOBP=90°

ZAOB=360°-Z.OAP-NOBP-ZP=130°

?：AB=AB

:.^ACB=-ZAOB=65°

2

故答案為：65

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，四邊形的內(nèi)角和，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

_25%

5、T

【分析】

根據(jù)圖形分析可得求陰影部分面積實(shí)為求扇形面積，將原圖陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形面積求解即可.

【詳解】

如圖，連接80,0C,0A,

由題意得：XB0C,如都是等邊三角形,

:"A0B=/OBC=60°,

???0A〃BC,

?q_q

??Q4OBC~“AABC，

_60x^,x52_254

??陰一^BOC-~麗——

故答案為：W25乃.

O

【點(diǎn)睛】

本題考查正多邊形與圓、扇形的面積公式、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是得出力=$則..

三、解答題

1、(1)JiT；(2)①見(jiàn)解析；②,+也

【分析】

(1)連接物，運(yùn)用勾股定理求出物和助即可；

(2)①連接仍，00,勿，證明勿是。。的直徑即可；②過(guò)點(diǎn)〃作。E_LAC于點(diǎn)6,設(shè)圓的半徑為

R,由勾股定理求出4?,AD,BC,口的長(zhǎng)，再根據(jù)SMCOUSSM+SA8s運(yùn)用三角形面積公式求解即

可.

【詳解】

解：（1）連接初，如圖,

在RfABCD中，BC=4,CD=2,

'：BD2=BC2+CD2

：.8￡>=J16+4=2逐

在R/AABQ中，AB=3,BD=2后,

,/BD2=BA2+AD2

：.AD=V20-9=VH

(2)連接/，OC,0D,如圖，

C

丁NB4c=45。

???ZBOC=90°

在ABOC和AZ)OC中

OB=OD

<oc=oc

BC=CD

：.\BOC^\DOC

：./DOC=/BOC=9(T

???。是線段8〃的中點(diǎn)，

???切為OO的直徑

/.ZBCD=ZBAD=90°

，四邊形45"是雙直角四邊形;

(3)過(guò)點(diǎn)〃作OEJ_AC于點(diǎn)￡,

?.?ZBAC=45°,ABAD=90°

???NEW=45。

.?.4團(tuán)是等腰直角三角形

在RfAAE。中，AE=ED,AE2+ED2=AD2

,/AD=\

,J2

..AE=ED=—

2

設(shè)圓的半徑為此

,/ABOC和AZ9OC均為等腰直角三角形，

，BC=CD=OR

在松ADC中，EC=dDC2-ED。={2改-；=與《4★-1

在RrAABD中，AB=-^BD--AD2=^4/?2-l

VAB^AC,AC^AE+EC

：.“R2-1=—J4R2-1+—

22

解得，2=1+也

2

??S.CD=SSBD+SMCD

=-ABxAD+-BCxCD

22

=^^+-xV2/?xV2/?

22

出+后

2

V2+1,夜

=-------+1+——

22

=3+3

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理，圓周角定理，三角形面積計(jì)算等知識(shí)，靈活添加輔助線是解答本題的難

點(diǎn).

2、(1)=；(2)=;(3)作圖見(jiàn)詳解.

【分析】

(1)連接4。，BO,CO,DO,根據(jù)平行線及垂直的性質(zhì)可得OEL45,由垂徑定理可得施'平分CD,

AB-得出NCOE=NDOE,ZAOE=NBOE,利用各角之間的關(guān)系可得NAOC=N8OD,由圓心角相

等，即可得出弧相等；

(2)連接以0B,由及垂徑定理可得AE=BE，ZAOE=NBOE,利用圓周角是圓心角的一

半即可得；

(3)連接/〃、必交于點(diǎn)"連接并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)G,連接用,由NAPQ=NPAB+NPB4,可得

BP+PA=APB^由垂徑定理可得：點(diǎn)〃在線段力入切的垂直平分線上，連接并延長(zhǎng)交GX?于點(diǎn)

G,得出點(diǎn)。恰好平分APB，即點(diǎn)G恰好平分8尸與P4所對(duì)的圓周角的和，由此即可得出.

【詳解】

解(1)如圖所示：連接/。，BO,CO,DO,

'：AB//CD,OEA.CD,

：.OEVAB,

.?.應(yīng)1平分C￡>，AB>

，NCOE=ZDOE,ZAOE=ZBOE,

ZAOE-ZCOE=ZBOE-ZDOE,

即ZAOC=ZBOD,

??AC=BD，

故答案為：=;

(2)如圖所示：連接OA、0B,

9：OE±AB,

，AE=BE，

JZAOE=/BOE,

：.NAPE=-/AOE,NBPE=-4BOE,

22

：?ZAPE=ZBPE,

故答案為：=;

(3)如圖所示：連接1。、CB交于點(diǎn)H,連接〃。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)G連接4,即為所求,

ZAPQ=NPAB+NPBA,

根據(jù)圖可得：即BP+PA=APB，

由垂徑定理可得：點(diǎn)〃在線段46、5的垂直平分線上,

連接并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)G,

則點(diǎn)G恰好平分AP8，即點(diǎn)G恰好平分BP與PA所對(duì)的圓周角的和，

即為所求.

【點(diǎn)睛】

題目主要考查垂徑定理的應(yīng)用及圓周角定理，角平分線的性質(zhì)等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，結(jié)合

垂徑定理是解題關(guān)鍵.

3、⑴證明見(jiàn)解析;(2)2近.

【分析】

(1)連接BO,由。為AC的中點(diǎn)，得BD=CD，則N8AO=NC4。，由等腰三角形的性質(zhì)得

ZDAB^ZADO,推出NC4￡>=NA。。，即可得出結(jié)論；

(2)由垂徑定理得OF_LAC,由平行線的性質(zhì)得則△￡>國(guó)是等腰直角三角形，

NOED=45°,易證△OG4是等腰直角三角形，得BG=^OB,再由8c=28G,即可得出結(jié)果.

2

【詳解】

(1)證明：Q。為5c的中點(diǎn)，

「BD=CD，

：.ZDAB=ZCADf

?：OD=OB,

：.ZDAB=ZADOf

：.ZCAD=ZADO,

:.OD//AC；

(2)解：?.?G為AC中點(diǎn)，

:.OFrACfAC=2AG

由(1)得：OD//AC,

..DO±EF,

「.△DOE是等腰直角三角形，

.?.ZOE￡)=45°,

YDE工AB,

..ZEOB=ZAOG=45°f

「.△OGA是等腰直角三角形，

...AG=立。人也x2=V2，

22

r.AC=2AG=2夜.

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂徑定理、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰直角三角

形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握垂徑定理和平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

31551?5

4、(1)尸%-9；(2)拋物線的解析式為：片卷V-含X，頂點(diǎn)坐標(biāo)為⑸-詈)；⑶m?n=

T乙NT11乙乙、

25；(4).或5或)?

【分析】

(1)用待定系數(shù)法即可求得；

(2)應(yīng)用待定系數(shù)法以及頂點(diǎn)公式即可求得；

(3)連接力區(qū)AM.AF,則4D,證得此△加匡K7A4監(jiān)；求得NG4QN物反同理證得N的產(chǎn)=

/MAF,進(jìn)而求得/￡46=90°,然后證明△￡"S4(昭，得到生=等，即可求得.

(4)分三種情況分別討論，①當(dāng)心制時(shí)，悴QH1PB,得到ABHgABOP,求出直線比解析式，

得至“珈:BQ=4：5；即可求得，②當(dāng)陽(yáng)=〃時(shí)，則10-t=t即可求得，③當(dāng)Pg歷時(shí)，作

QHLOB,根據(jù)勾股定理即可求得.

【詳解】

解：(1)設(shè)直線優(yōu)的解析式為y="x+)

?.?直線比'經(jīng)過(guò)8、C,

0=102+力

2418,,,

---=—k+b

55

,3

k=一

4

解得：

,-15

b----

2

315

..?直線犯的解析式為：片廣亍

(2)：拋物線尸aV+6x+c(aWO)過(guò)0、B、C三點(diǎn)，B、C坐標(biāo)分別為(10,0)和(y,-y),

c=0

0=100^7+10/?+c

2418，18人

555

5

a--

24

,25

解得

12

c=0

5225

拋物線的解析式為:V=—X--------X;

2412

_25

??五一一三一5,

2412241224

12

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5,-賽125);

(3)加?〃=25；

如圖2,連接力區(qū)AM.AF,則4ML

在RtAAOE與RtAAME中

jOA=MA

\AE=AE

：.Rt/\AOE^Rt/\AME(應(yīng))，

：?/OAE=/MAE,

同理可證/胡QN例凡

??