橢圓檢測題(自主命題)

./橢圓過關(guān)檢測題1已知橢圓的一個焦點(diǎn)為〔0,2求的值．2已知橢圓的中心在原點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn),,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．3已知橢圓方程,長軸端點(diǎn)為,,焦點(diǎn)為,,是橢圓上一點(diǎn),,．求：的面積〔用、、表示．4已知橢圓,〔1求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；〔2求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；〔3過引橢圓的割線,求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；〔4橢圓上有兩點(diǎn)、,為原點(diǎn),且有直線、斜率滿足,求線段中點(diǎn)的軌跡方程．5橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2,為的中點(diǎn),則〔為坐標(biāo)原點(diǎn)的值為A．4B．2C．8D．6已知是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn),求直線的方程．7橢圓的一個頂點(diǎn)為,其長軸長是短軸長的2倍,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．8已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線交于、兩點(diǎn),為中點(diǎn),的斜率為0.25,橢圓的短軸長為2,求橢圓的方程．9橢圓上不同三點(diǎn),,與焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列．〔1求證；〔2若線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為,求直線的斜率．10已知橢圓,求過點(diǎn)且被平分的弦所在的直線方程．11在直角坐標(biāo)系xOy中,已知中心在原點(diǎn),離心率為的橢圓E的一個焦點(diǎn)為圓C：x2＋y2－4x＋2＝0的圓心．<1>求橢圓E的方程；<2>設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn),過P作兩條斜率之積為的直線l1,l2,當(dāng)直線l1,l2都與圓C相切時,求P的坐標(biāo)．12橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,當(dāng)為最小值時,求點(diǎn)的坐標(biāo)．參考答案1分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,由,根據(jù)關(guān)系可求出的值．解：方程變形為．因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上,所以,解得．又,所以,適合．故．2分析：因橢圓的中心在原點(diǎn),故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況．根據(jù)題設(shè)條件,運(yùn)用待定系數(shù)法,求出參數(shù)和〔或和的值,即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時,設(shè)其方程為．由橢圓過點(diǎn),知．又,代入得,,故橢圓的方程為．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時,設(shè)其方程為．由橢圓過點(diǎn),知．又,聯(lián)立解得,,故橢圓的方程為．3分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊,從而利用求面積．解：如圖,設(shè),由橢圓的對稱性,不妨設(shè),由橢圓的對稱性,不妨設(shè)在第一象限．由余弦定理知：·．①由橢圓定義知：②,則得．故．4分析：此題中四問都跟弦中點(diǎn)有關(guān),因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法．解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為,,線段的中點(diǎn),則①－②得．由題意知,則上式兩端同除以,有,將③④代入得．⑤〔1將,代入⑤,得,故所求直線方程為：．⑥將⑥代入橢圓方程得,符合題意,為所求．〔2將代入⑤得所求軌跡方程為：．〔橢圓內(nèi)部分〔3將代入⑤得所求軌跡方程為：．〔橢圓內(nèi)部分〔4由①＋②得：,⑦,將③④平方并整理得,⑧,,⑨將⑧⑨代入⑦得：,⑩再將代入⑩式得：,即．此即為所求軌跡方程．當(dāng)然,此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法,還可用其它方法解決．5解：如圖所示,設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為,由橢圓第一定義得,所以,又因?yàn)闉榈闹形痪€,所以,故答案為A．說明：<1>橢圓定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)〔大于的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．<2>橢圓上的點(diǎn)必定適合橢圓的這一定義,即,利用這個等式可以解決橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的有關(guān)距離．6分析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題．通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去<或>,得到關(guān)于<或>的一元二次方程,再由根與系數(shù)的關(guān)系,直接求出,<或,>的值代入計算即得．并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo),這種"設(shè)而不求"的方法,在解析幾何中是經(jīng)常采用的．解：方法一：設(shè)所求直線方程為．代入橢圓方程,整理得①設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為,,則、是①的兩根,∴∵為中點(diǎn),∴,．∴所求直線方程為．方法二：設(shè)直線與橢圓交點(diǎn),．∵為中點(diǎn),∴,．又∵,在橢圓上,∴,兩式相減得,即．∴．∴直線方程為．方法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點(diǎn)為,另一個交點(diǎn)．∵、在橢圓上,∴①。②從而,在方程①－②的圖形上,而過、的直線只有一條,∴直線方程為．說明：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點(diǎn)考查的解析幾何問題,"設(shè)而不求"的方法是處理此類問題的有效方法．若已知焦點(diǎn)是、的橢圓截直線所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4,則如何求橢圓方程？7解：〔1當(dāng)為長軸端點(diǎn)時,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；〔2當(dāng)為短軸端點(diǎn)時,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；說明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個,給出一個頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對稱軸的位置,是不能確定橢圓的橫豎的,因而要考慮兩種情況．8解：由題意,設(shè)橢圓方程為,由,得,∴,,,∴,∴為所求．說明：〔1此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；〔2直線與曲線的綜合問題,經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系,來解決弦長、弦中點(diǎn)、弦斜率問題．9證明：〔1由橢圓方程知,,．由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：,∴．同理．∵,且,∴,即．〔2因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為,所以它的垂直平分線方程為．又∵點(diǎn)在軸上,設(shè)其坐標(biāo)為,代入上式,得又∵點(diǎn),都在橢圓上,∴∴．將此式代入①,并利用的結(jié)論得∴．10分析一：已知一點(diǎn)求直線,關(guān)鍵是求斜率,故設(shè)斜率為,利用條件求．解法一：設(shè)所求直線的斜率為,則直線方程為．代入橢圓方程,并整理得．由韋達(dá)定理得．∵是弦中點(diǎn),∴．故得．所以所求直線方程為．分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為、,列關(guān)于、、、的方程組,從而求斜率：．解法二：設(shè)過的直線與橢圓交于、,則由題意得①－②得．⑤將③、④代入⑤得,即直線的斜率為．所求直線方程為．說明：〔1有關(guān)弦中點(diǎn)的問題,主要有三種類型：過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡．〔2解法二是"點(diǎn)差法",解決有關(guān)弦中點(diǎn)問題的題較方便,要點(diǎn)是巧代斜率．〔3有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用的方法是："韋達(dá)定理應(yīng)用"及"點(diǎn)差法"．有關(guān)二次曲線問題也適用．11解：<1>由x2＋y2－4x＋2＝0得<x－2>2＋y2＝2,故圓C的圓心為點(diǎn)<2,0>．從而可設(shè)橢圓E的方程為<a＞b＞0>,其焦距為2c.由題設(shè)知c＝2,,所以a＝2c＝4,b2＝a2－c2＝12.故橢圓E的方程為.<2>設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為<x0,y0>,l1,l2的斜率分別為k1,k2.則l1,l2的方程分別為l1：y－y0＝k1<x－x0>,l2：y－y0＝k2<x－x0>,且.由l1與圓C：<x－2>2＋y2＝2相切得,即[<2－x0>2－2]k12＋2<2－x0>y0k1＋y02－2＝0.同理可得[<2－x0>2－2]k22＋2<2－x0>y0k2＋y02－2＝0.從而k1,k2是方程[<2－x0>2－2]k2＋2<2－x0>y0k＋y02－2＝0的兩個實(shí)根．于是①且.由得5x02－8x0－36＝0,解得x0＝－2或.由x0＝－2得y0＝±3；由得,它們均滿足①式,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為<－2,3>,故<－2,－3>,或,或．12分析：本題的關(guān)鍵是求出離心率,把轉(zhuǎn)化為到右準(zhǔn)線的距離,從而得最