率無效塑性變形流動(dòng)法則的推導(dǎo)

率無效塑性變形流動(dòng)法則的推導(dǎo)

1928年，彈性位勢函數(shù)可以應(yīng)用于mihs類的彈性變形矩陣擴(kuò)展，該函數(shù)可以提出棕櫚位勢的概念。它的數(shù)學(xué)形式是。˙εp=˙λ?g?σ.ε˙p=λ˙?g?σ.式中g(shù)為塑性位勢函數(shù).當(dāng)g=f時(shí),上式稱為相關(guān)流動(dòng)法則;當(dāng)g≠f時(shí),稱為非相關(guān)流動(dòng)法則.一般認(rèn)為,對彈塑性耦合材料或內(nèi)摩擦材料,應(yīng)采用非相關(guān)流動(dòng)法則.對于非相關(guān)流動(dòng)法則中塑性勢函數(shù),學(xué)者們嘗試將其引入到損傷等其他方面,如文獻(xiàn),但至今仍未有完全一致的看法,而且不能得到比較系統(tǒng)、方便的構(gòu)造方法;相反,由于塑性勢函數(shù)的數(shù)學(xué)形式與彈性勢函數(shù)相同,不能反映塑性形變的物理本質(zhì),其物理意義不明確的弱點(diǎn)無法回避.同時(shí),有學(xué)者提出,在彈塑性耦合的情況下,可以避免構(gòu)造“非相關(guān)”的塑性勢函數(shù);更有學(xué)者提出塑性勢理論并非由固體力學(xué)理論推導(dǎo)得到,僅為一條假設(shè),對摩擦材料,該理論有不可克服的矛盾.本文比較、分析了由能量原理和熱力學(xué)方法得到的流動(dòng)法則的形式,旨在對“非相關(guān)”流動(dòng)法則的意義和引入塑性勢函數(shù)的必要性進(jìn)行討論.1塑性耗散最大法能量原理是任何過程均遵守的普遍原理,由能量原理來建立塑性本構(gòu)方程和流動(dòng)法則,得出的結(jié)果具有很大的普遍性.最大耗散法則從能量的角度描述了材料屈服后應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)的特性.最大耗散法則最初由vonMises針對剛塑性固體提出,之后Mandel將其推廣到了彈塑性的情形,Hill也曾經(jīng)獨(dú)立地推導(dǎo)出了這個(gè)法則.最大塑性耗散法則可以表述為:當(dāng)塑性應(yīng)變率為正(負(fù))時(shí),真實(shí)應(yīng)力大于(小于)任何卸載后得到的應(yīng)力.表達(dá)式為(σ-σ*):˙εp≥0.(1)(σ?σ?):ε˙p≥0.(1)其中˙εε˙p表示塑性應(yīng)變增量張量,σ為真實(shí)應(yīng)力張量,σ*為當(dāng)前屈服面上或屈服面內(nèi)的任一點(diǎn)的應(yīng)力張量.在塑性過程中,單位體積耗散能量增量為Dp=σ:˙εp?Dp=σ:ε˙p?代入式(1)可得Dp≥σ*:˙εp?Dp≥σ?:ε˙p?即塑性耗散達(dá)到最大值:Dp=σ:˙εp→max.Dp=σ:ε˙p→max.同時(shí),材料的應(yīng)力狀態(tài)還應(yīng)該滿足屈服條件f=0,即還受到屈服條件約束.所以,耗散最大法則最終成為以下的約束優(yōu)化問題:min.-Dp=-σ:˙εpsub.f=0.min.?Dp=?σ:ε˙psub.f=0.或表示為Lp≥-Dp+˙λf→min,式中˙λ≥0為Lagrange乘子.由Kuhn-Tucker優(yōu)化條件可得?Lp?σ=-εp+˙λ?f?σ=0,即˙εp=˙λ?f?σ.˙λ成為塑性理論中的塑性乘子,可根據(jù)該優(yōu)化問題的約束條件確定.上面的推導(dǎo),可推廣到考慮內(nèi)變量和彈塑性耦合的情形下.在確定耗散材料的本構(gòu)時(shí),應(yīng)力與歷史有關(guān),可觀察的外部變量之間不存在狀態(tài)方程,必須補(bǔ)充反映材料在變形過程中內(nèi)部結(jié)構(gòu)變化的內(nèi)部狀態(tài)變量,才能確定材料的狀態(tài),形成狀態(tài)方程.考慮到內(nèi)部變量的存在,單位體積的耗散率為Dp=σ:˙εp+χ:˙α.其中:χ、α分別為類應(yīng)力內(nèi)變量張量和類應(yīng)變內(nèi)變量張量.通過與以上類似的步驟,可以得到以下結(jié)果:˙εp=˙λ?f?σ,˙α=˙λ?f?χ.對混凝土等材料,在加載過程中表現(xiàn)出彈塑性耦合的特性,此時(shí),總應(yīng)變不能分解為彈性應(yīng)變εe和塑性應(yīng)變εp兩個(gè)部分,而應(yīng)分解為可恢復(fù)應(yīng)變εr和不可恢復(fù)應(yīng)變εi兩個(gè)部分.此時(shí),通過與前述相同的推導(dǎo),可以得到彈塑性耦合時(shí)的塑性本構(gòu)模型:˙εi=˙λ?f?σ,˙α=˙λ?f?χ.可以看出,由塑性耗散最大法則推導(dǎo)出的本構(gòu)模型中,不會出現(xiàn)非相關(guān)流動(dòng)法則.要出現(xiàn)非相關(guān)流動(dòng)法則,就必須不使用屈服函數(shù)為約束條件,采取另一個(gè)“位勢函數(shù)”作為約束條件.當(dāng)這個(gè)位勢函數(shù)不包含屈服條件時(shí),意味著允許材料在加載過程中不滿足屈服條件,這是值得商榷的.2廣義應(yīng)力空間中的屈服函數(shù)及相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則記Dp≡θ˙si=χ:˙α為耗散函數(shù),對率無關(guān)塑性變形,由于材料無內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間,Dp必為˙α的一階齊次函數(shù),由Euler定理有Dp=?Dp?˙α:˙α,由上式和Dp的定義,可以得出χ=?Dp?˙α.(2)對上式進(jìn)行Legendre變換,可以得到˙α=?Ω?χ,(3)其中Dp+Ω=χ:˙α.如前所述,Dp是˙α的一階齊次函數(shù),Legendre變換是奇異的,變換后函數(shù)值為0:f(α,χ)=0.(4)更進(jìn)一步,由于轉(zhuǎn)換不是一對一的,式(2)的對偶式不唯一,因此,對某些乘子˙λ,可以將式(3)寫為˙α=˙λ?f?χ,(5)并有?Dp?α=-˙λ?f?α.式(4)和式(5)就是廣義應(yīng)力空間中表述的屈服函數(shù)和相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則.文獻(xiàn)推導(dǎo)了當(dāng)內(nèi)變量α取為塑性應(yīng)變εp時(shí),χ和σ之間的關(guān)系為χ=σ-ρ(α)?其中ρ(α)為“背應(yīng)力”,為隨動(dòng)硬化模型中屈服面中心點(diǎn)的遷移張量.將其代入式(4),可以得到真實(shí)應(yīng)力空間中的屈服函數(shù),記為ˉf(α,σ).利用熱力學(xué)的知識,最終可以得到˙εi=˙λ?ˉf?σ.(6)對內(nèi)摩擦材料,耗散函數(shù)與應(yīng)力有關(guān).此時(shí),式(3)仍然成立,式(4)成為f(σ,α,χ)=0,轉(zhuǎn)化到真實(shí)應(yīng)力空間后,得到下面的流動(dòng)法則:˙εi=˙λ?ˉf?σ+?Dp?σ.(7)式(6)表明,對非內(nèi)摩擦材料,已知屈服函數(shù)時(shí),就可完全確定流動(dòng)法則;式(7)則表明,對于內(nèi)摩擦材料,流動(dòng)法則分解為兩個(gè)部分,不可恢復(fù)應(yīng)變不再正交于真實(shí)應(yīng)力空間中的屈服函數(shù).這解釋了為什么流動(dòng)法則會出現(xiàn)非正交性.但由式(7)可見,不可恢復(fù)應(yīng)變增量與屈服函數(shù)仍是“相關(guān)”的,而且由真實(shí)應(yīng)力空間中的屈服函數(shù)和耗散函數(shù),就可以確定不可恢復(fù)應(yīng)變增量.若采用塑性勢函數(shù),并不能簡化問題的求解.3流動(dòng)法則中的熵增信息上述兩種方法推導(dǎo)出的流動(dòng)法則的共同點(diǎn)為不論流動(dòng)法則是否正交,塑性應(yīng)變增量總與屈服函數(shù)有關(guān),或者說,總是與屈服函數(shù)“相關(guān)”.在求解的過程中,無需再假設(shè)一個(gè)塑性勢函數(shù),就可以由屈服函數(shù)以及耗散函數(shù)確定塑性應(yīng)變增量.同時(shí),兩種流動(dòng)法則表面上也存在一定的差異,當(dāng)材料為摩擦型材料時(shí),由耗散最大法則得到的流動(dòng)法則仍是正交的,而由熱力學(xué)方法得到的流動(dòng)法則是非正交的.差異的出現(xiàn)是由于兩種方法在建立流動(dòng)法則時(shí),屈服函數(shù)的定義空間不同.在由最大耗散法則推導(dǎo)流動(dòng)法則的過程中,屈服函數(shù)是在廣義應(yīng)力空間中定義的,記ˉf為真實(shí)應(yīng)力空間中的屈服函數(shù),將得到的流動(dòng)法則轉(zhuǎn)換到真實(shí)應(yīng)力空間中,有˙εi=˙λ?f?σ=˙λ?ˉf(σ,α,χ(σ,α))?σ=˙λ?f?σ+˙λ?ˉf?x?x?σ.其中˙λ?ˉf?χ?χ?σ=˙α?2Dp?˙α?σ=?2σ(˙α?Dp?˙α).˙λ?ˉf?χ?χ?σ=?Dp?σ,˙εi=˙λ?ˉf?σ+?Dp?σ.由于Dp是α﹒的一階齊次函數(shù),有最終可以得到由此可以看出,兩種方法得到的流動(dòng)法則是一致的.VonMises提出的塑性勢理論,塑性位勢的數(shù)學(xué)表達(dá)式與彈性位勢的表達(dá)式相同,無法僅從其表達(dá)式區(qū)別它所包含的物理信息,且無法將塑性應(yīng)變的物理本質(zhì)———熱力學(xué)熵增從其數(shù)學(xué)形式上與彈性位勢區(qū)別開來.由本文介紹的兩種方法得到的流動(dòng)法則,按照能量原理或熱力學(xué)原理推導(dǎo)而來,具有必要的理論基礎(chǔ),且由于其表達(dá)式中含有耗散函數(shù),因此明確包含了塑性過程中的熵增信息,可以克服塑性勢理論意義不清的缺點(diǎn).4模擬結(jié)果的討論對率無關(guān)的塑性變形過程,在廣義應(yīng)力空間中得到的流動(dòng)法則,總是具有正交性.當(dāng)耗散函數(shù)與應(yīng)力顯式相關(guān)