數(shù)字信號處理1課件

數(shù)字信號處理緒論一、從模擬到數(shù)字1、信號：信號傳遞信息的函數(shù)也是獨立變量的函數(shù)，這個變量可以是時間、空間位置等。2、連續(xù)信號：在某個時間區(qū)間，除有限間斷點外所有瞬時均有確定值。3、模擬信號是連續(xù)信號的特例。時間和幅度均連續(xù)。4、離散信號：時間上不連續(xù)，幅度連續(xù)。5、數(shù)字信號：幅度量化，時間和幅度均不連續(xù)。數(shù)字信號處理采用數(shù)字系統(tǒng)完成信號處理的任務，它具有數(shù)字系統(tǒng)的一些共同優(yōu)點，例如抗干擾、可靠性強，便于大規(guī)模集成等。除此而外，與傳統(tǒng)的模擬信號處理方法相比較，它還具有以下一些明顯的優(yōu)點：二、數(shù)字信號處理的主要優(yōu)點1、精度高在模擬系統(tǒng)的電路中，元器件精度要到達１０－３以上已經不容易了，而數(shù)字系統(tǒng)17位字長可以到達１０－５的精度，這是很平常的。例如，基于離散傅里葉變換的數(shù)字式頻譜分析儀，其幅值精度和頻率分辨率均遠遠高于模擬頻譜分析儀。數(shù)字信號處理采用了專用或通用的數(shù)字系統(tǒng)，其性能取決于運算程序和乘法器的各系數(shù)，這些均存儲在數(shù)字系統(tǒng)中，只要改變運算程序或系數(shù)，即可改變系統(tǒng)的特性參數(shù)，比改變模擬系統(tǒng)方便得多。2、靈活性強例如：有限長單位脈沖響應數(shù)字濾波器可以實現(xiàn)嚴格的線性相位；在數(shù)字信號處理中可以將信號存儲起來，用延遲的方法實現(xiàn)非因果系統(tǒng)，從而提高了系統(tǒng)的性能指標；數(shù)據(jù)壓縮方法可以大大地減少信息傳輸中的信道容量。3、可以實現(xiàn)模擬系統(tǒng)很難到達的指標或特性利用龐大的存儲單元，可以存儲二維的圖像信號或多維的陣列信號，實現(xiàn)二維或多維的濾涉及譜分析等。4、可以實現(xiàn)多維信號處理〔1〕增加了系統(tǒng)的復雜性。他需要模擬接口以及比較復雜的數(shù)字系統(tǒng)?！?〕應用的頻率范圍受到限制。主要是A/D轉換的采樣頻率的限制?！?〕系統(tǒng)的功率消耗比較大。數(shù)字信號處理系統(tǒng)中集成了幾十萬甚至更多的晶體管，而模擬信號處理系統(tǒng)中大量使用的是電阻、電容、電感等無源器件，隨著系統(tǒng)的復雜性增加這一矛盾會更加突出。5、缺點三、開展特點(1)由簡單的運算走向復雜的運算，目前幾十位乘幾十位的全并行乘法器可以在數(shù)個納秒的時間內完成一次浮點乘法運算，這無論在運算速度上和運算精度上均為復雜的數(shù)字信號處理算法提供了先決條件；

(2)由低頻走向高頻，模數(shù)轉換器的采樣頻率已高達數(shù)百兆赫，可以將視頻甚至更高頻率的信號數(shù)字化后送入計算機處理；(3)由一維走向多維，像高分辨率彩色電視、雷達、石油勘探等多維信號處理的應用領域已與數(shù)字信號處理結下了不解之緣?！?〕各種數(shù)字信號處理系統(tǒng)均幾經更新?lián)Q代在圖像處理方面，圖像數(shù)據(jù)壓縮是多媒體通信、影碟機(VCD或DVD)和高清晰度電視(HDTV)的關鍵技術。國際上先后制定的標準H.261、JPEG、MPEG—1和MPEG—2中均使用了離散余弦變換(DCT)算法。近年來開展起來的小波(Wavelet)變換也是一種具有高壓縮比和快速運算特點的嶄新壓縮技術，應用前景十分廣闊，可望成為新一代壓縮技術的標準。年代 特點 $/MIPS60年代 大學探索 $100-$1,00070年代 軍事運用 $10-$10080年代 商用成功 $1-$1090年代 進入消費類電子$0.1-$1今后 生活用品 $0.01-$0.1三、開展特點四、各種數(shù)字信息系統(tǒng)DigitalMediaProcessingWebpadTelematicsWirelessDevices:

802.11,Bluetooth,OthersEnhanced

GamingMilitaryandGovernmentCellular,SecureConnectivityIndustry-Specific

PDAsBiometricsMedicalDevices在機械制造中，基于FFT算法的頻譜分析儀用于振動分析和機械故障診斷；醫(yī)學中使用數(shù)字信號處理技術對心電(ECG)和腦電(EEG)等生物電信號作分析和處理；數(shù)字音頻播送(DAB)廣泛地使用了數(shù)字信號處理技術?？梢哉f，數(shù)字信號處理技術已在信息處理領域引起了廣泛的關注和高度的重視。數(shù)字信號處理不斷開辟新的應用領域五、數(shù)字信號處理系統(tǒng)的實現(xiàn)軟件實現(xiàn)硬件實現(xiàn)片上系統(tǒng)〔SOC,SystemonaChip〕軟件實現(xiàn)是用一臺通用的數(shù)字計算機運行數(shù)字信號處理程序。其優(yōu)點是經濟，一機可以多用；缺點是處理速度慢，這是由于通用數(shù)字計算機的體系結構并不是為某一種特定算法而設計的。在許多非實時的應用場合，可以采用軟件實現(xiàn)方法。例如，處理一盤混有噪聲的錄像(音)帶，我們可以將圖像(聲音)信號轉換成數(shù)字信號并存入計算機，用較長的時間一幀幀地處理這些數(shù)據(jù)。處理完畢后，再實時地將處理結果復原成一盤清晰的錄像(音)帶。通用計算機即可完成上述任務，而不必花費較大的代價去設計一臺專用數(shù)字計算機。數(shù)字信號處理的軟件實現(xiàn)硬件實現(xiàn)是針對特定的應用目標，經優(yōu)化，設計一專用的軟硬件系統(tǒng)。其優(yōu)點是容易做到實時處理，缺點是設備只能專用。數(shù)字信號處理的硬件實現(xiàn)片上系統(tǒng)〔SOC,SystemonaChip〕隨著大規(guī)模集成電路的開展，一個復雜數(shù)字信號處理系統(tǒng)已可以集成在一個芯片上。SOC包含有數(shù)字和模擬電路、模擬和數(shù)字轉換電路、微處理器、微控制器以及數(shù)字信號處理器等。與傳統(tǒng)的集成電路不同的是，嵌入式軟件的設計也被集成到了SOC的設計流程中，SOC的設計方法將以組裝為根底，采用自上至下的設計方法，在設計過程中大量重復使用自行設計或其他第三方擁有知識產權的IP(IntelligentProperty)模塊。SOC要充分考慮如何合理劃分軟件和硬件所實現(xiàn)的系統(tǒng)功能以及如何實現(xiàn)軟、硬件之間的信息傳遞。SOC將是數(shù)字信號處理系統(tǒng)的一個新型的實現(xiàn)方法。并行是指為了完成同一個任務，幾個處理器同時工作，使系統(tǒng)能勝任單個處理器所不能完成的任務；當一個處理器完成單個任務(比方一個濾波器)有很大的充裕量時，可讓其完成多個任務，這就是復用；流水結構也是多處理器完成同一任務，它與并行結構的主要區(qū)別在于并行的各個處理器之間數(shù)據(jù)交換不多，而流水結構類似于生產中的流水線，數(shù)據(jù)經一道道“工序〞處理。采用并行或流水結構，完全取決于數(shù)字信號處理的運算結構。并行、復用和流水研究內容

經典的數(shù)字信號處理限于線性時不變系統(tǒng)理論,數(shù)字濾波和FFT是常用方法。

目前DSP研究熱點：時變非線性系統(tǒng)、非平穩(wěn)信號、非高斯信號

處理方法的開展：自適應濾波、離散小波變換、高階矩分析、盲處理、分形、混沌理論

第1章離散時間信號與系統(tǒng)離散時間信號離散信號的傅氏變換與Z變換離散時間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)1.1離散時間信號〔１〕單位脈沖序列〔２〕單位階躍序列〔３〕矩形序列1……

N-1

n〔４〕實指數(shù)序列

〔５〕正弦序列x(n)=sin〔nω0〕sin(n

0)-1〔５〕復指數(shù)序列當時x(n)的實部和虛部分別是余弦和正弦序列。

x(n)=(0.65+j0.5)nu(n).序列的運算1、序列的相加

z(n)=x(n)+y(n)

2、序列的相乘

f(n)=x(n)y(n)

3、序列的移位

y(n)=x(n-n0)4、序列的能量

平方可和序列絕對可和序列

有界序列

6、序列的單位脈沖序列表示

5、實序列的偶部和奇部

1.2離散信號的DTFT與z變換

一、離散信號的DTFT變換離散信號〔數(shù)字序列〕的DTFT定義數(shù)字序列的IDTFT變換定義

DTFT中的級數(shù)求和不一定總是收斂的，假設x(n)絕對可和，那么該級數(shù)絕對收斂(充分條件)。另外,平方可和序列的DTFT也存在,要強調的是平方可和序列不一定滿足絕對可和的條件。值得指出：〔1〕由于，所以是以2π為周期的周期函數(shù)。〔2〕DTFT

正是周期函數(shù)的付氏級數(shù)展開，而x(n)是付氏級數(shù)的系數(shù)。這一概念在以后濾波器設計中有用。DTFT的一些主要性質見表1.2。

二

、z變換定義利用差分方程可求離散系統(tǒng)的結構及瞬態(tài)解，為了分析系統(tǒng)的另外一些重要特性，如穩(wěn)定性和頻率響應等，需要研究離散時間系統(tǒng)的z變換〔類似于模擬系統(tǒng)的拉氏變換〕，它是分析離散系統(tǒng)和離散信號的重要工具。一個離散序列x〔n〕的Z變換定義為

其中z為復變量，以其實部為橫坐標，虛部為縱坐標構成的平面為z平面。

常用Z[x(n)]表示對序列x(n)的z變換，即

這種變換也稱為雙邊z變換，與此相應還有單邊z變換，單邊z變換只是對單邊序列〔n>=0局部〕進行變換的z變換，其定義為單邊z變換只在少數(shù)情況下與雙邊z變換有所區(qū)別，即序列的起始條件不同，可以把單邊z變換看成是雙邊z變換的一種特例，即因果序列情況下的雙邊z變換。三、z變換的收斂域一般，序列的Z變換并不一定對任何z值都收斂，z平面上使上述級數(shù)收斂的區(qū)域稱為“收斂域〞。我們知道，級數(shù)一致收斂的條件是絕對值可和，因此z平面的收斂域應滿足

因為對于實數(shù)序列，

因此，|z|值在一定范圍內才能滿足絕對可和條件，這個范圍一般表示為Rx-〈|z|〈Rx+

這就是收斂域，一個以Rx-和Rx+為半徑的兩個圓所圍成的環(huán)形區(qū)域，Rx-和Rx+稱為收斂半徑，Rx-和Rx+的大小，即收斂域的位置與具體序列有關，特殊情況為Rx-等于0，Rx+為無窮大，這時圓環(huán)變成圓或空心圓。

z變換的收斂域

jIm[z]Rx+Rx-Re[z]0這里主要討論以下四種序列：a有限長序列序列(序列x(n)只在有限長度n1~n2內有值，其余為零)其Z變換X〔z〕是有限項的級數(shù)和，只要級數(shù)每一項有界，有限項和也有界，所以有限長序列z變換的收斂域取決于|z|-n〈∞，n1≤n≤n2。顯然|z|在整個開域〔0，∞〕都能滿足以上條件，因此有限長序列的收斂域是除0及∞兩個點〔對應n<0和n>0不收斂〕以外的整個z平面：0〈|z|〈∞如果對n1，n2加以一定的限制，如n1≥0或n2≤0，那么根據(jù)條件|z|-n〈∞〔n1≤n≤n2〕，收斂域可進一步擴大為包括0點或∞點的半開域：

例1

序列x〔n〕=δ〔n〕由于n1=n2=0，其收斂域為整個閉域z平面，0≤|Z|≤∞，例2

矩形序列x〔n〕=RN〔n〕等比級數(shù)求和

b右邊序列指x〔n〕只在n≥n1，有值，而n〈n1時，x〔n〕=0

收斂域：|z|〉Rx-，為收斂半徑Rx-以外的z平面，

右邊序列中最重要的一種序列是“因果序列〞，即n1≥0的右邊序列，因果序列只在n≥0有值，n〈0時，x〔n〕=0，其z變換為：

收斂域：Z變換的收斂域包括∞點是因果序列的特征。c左邊序列序列x〔n〕只在n≤n2有值，n〉n2時，x〔n〕=0

收斂域：|Z|〈Rx+，在收斂半徑為Rx+的圓內

d雙邊序列可看作一個左邊序列和一個右邊序列之和，因此雙邊序列z變換的收斂域是這兩個序列z變換收斂域的公共局部。

如果Rx+〉Rx-，那么存在公共的收斂區(qū)間，X〔z〕有收斂域:Rx-〈|z|〈Rx-如Rx+〈Rx-，無公共收斂區(qū)間，X〔z〕無收斂域，不收斂.

Z變換小結Z變換收斂域的特點：1〕收斂域是一個圓環(huán)，有時可向內收縮到原點，有時可向外擴展到∞，只有x〔n〕=δ〔n〕的收斂域是整個z平面。2〕在收斂域內沒有極點，X〔z〕在收斂域內每一點上都是解析函數(shù)。

Z變換表示法：級數(shù)形式解析表達式〔注意:只表示收斂域上的函數(shù)，要同時注明收斂域〕函數(shù)X(z)及其收斂域，反過來求序列x(n)的變換稱為逆z變換，常用Z-1[x(z)]表示。假設那么逆z變換為：

逆z變換是一個對X〔z〕zn-1進行的圍線積分，積分路徑C是一條在X〔z〕收斂環(huán)域〔Rx-，Rx+〕以內反時針方向繞原點一周的單圍線。四、逆z變換圍線積分路徑證：

設積分路徑C在半徑為R的圓上，即z=Rejθ，Rx-〈R〈Rx+，那么

這個公式稱為柯西積分定理。因此

或直接計算圍線積分比較麻煩，一般不采用此法求z反變換，求解逆z變換的常用方法有：l

冪級數(shù)l

留數(shù)定律法l

局部分式法常用序列z變換〔可直接使用〕五、z變換的性質

z變換的許多重要性質在數(shù)字信號處理中常常要用到

、

六、DTFT與z變換

七、Parseval定理——z變換的重要性質之一假設有兩序列x〔n〕，y〔n〕，且X〔z〕=Z[x〔n〕]Rx-〈|z|〈Rx+Y〔z〕=Z[y〔n〕]Ry-〈|z|〈Ry+它們的收斂域滿足條件：Rx-Ry-〈1，Rx+Ry+〉1那么

其中，C所在收斂域為X(v)和Y*(1/V*)兩者收斂區(qū)域的重迭局部Max[Rx-,1/Ry+]<|v|<min[Rx+,1/Ry-]證：令w〔n〕=x〔n〕y*〔n〕利用復共軛和復卷積特性(p21表1.3，第7和第10)：那么

由于假設條件中已規(guī)定收斂域滿足：Rx-Ry-〈1〈Rx+Ry+

因此，|z|=1在收斂域內，即w〔z〕在單位圓上收斂，w〔z〕|z=1存在，又因

因此 證畢如果X〔v〕、Y〔v〕在單位圓上收斂，那么選取單位圓為圍線積分途徑，這時

,Parseval定理的一個重要應用是計算序列能量：一個序列值的平方總和稱為“序列能量〞

即時域中對序列求能量與頻域中求能量是一致的。1.3離散時間系統(tǒng)與差分方程

T[·]

離散時間系統(tǒng)

x(n)y(n)

一個離散時間系統(tǒng)在數(shù)學上的定義是將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一性變換或運算。它的輸入是一個序列，輸出也是一個序列，其本質是將輸入序列轉變成輸出序列的一個運算。y(n)=T[x(n)]對T[·]加以種種約束,可定義出各類離散時間系統(tǒng)。離散時間系統(tǒng)中最重要、最常用的是“線性、時不變系統(tǒng)〞。T[.]1.線性系統(tǒng)〔滿足迭加原理的系統(tǒng)〕假設系統(tǒng)的輸入為x1〔n〕和x2〔n〕時，輸出分別為y1〔n〕和y2〔n〕，即y1〔n〕=T[x1〔n〕]，y2〔n〕=T[x2〔n〕]如果系統(tǒng)輸入為ax1〔n〕+bx2〔n〕時，輸出為ay1〔n〕+by2〔n〕，其中a，b為任意常數(shù)，那么該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。所以，線性系統(tǒng)的條件為T[ax1〔n〕+bx2〔n〕]=aT[x1〔n〕]+bT[x2〔n〕]=ay1〔n〕+by2〔n〕線性系統(tǒng)對信號的處理可應用迭加定理。例:設一系統(tǒng)的輸入輸出關系為

y[n]=x2[n]試判斷系統(tǒng)是否為線性？解：輸入信號x

[n]產生的輸出信號T{x

[n]}為

T{x

[n]}=x2[n]輸入信號ax

[n]產生的輸出信號T{ax

[n]}為

T{ax

[n]}=a2x2[n]除了a=0,1情況，T{ax

[n]}

aT{x

[n]}。故系統(tǒng)不滿足線性系統(tǒng)的的定義，所以系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。2.時不變系統(tǒng)如果T[x〔n〕]=y〔n〕，那么T[x〔n-n0〕]=y〔n-n0〕〔n0為任意整數(shù)〕即系統(tǒng)的特性不隨時間而變化。線性時不變系統(tǒng)簡稱為：LTI3.線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)——既滿足迭加原理又具有時不變性的系統(tǒng)。線性時不變系統(tǒng)可以用單位脈沖響應來表示。我們知道，任一序列都可表示成各延時單位脈沖序列的加權和

如令h〔n〕為系統(tǒng)對單位脈沖序列的響應，h〔n〕=T[δ〔n〕]那么系統(tǒng)對任一輸入序列x〔n〕的響應為

由于系統(tǒng)是線性的，滿足迭加定理

又由于系統(tǒng)是時不變的，對移位的單位脈沖的響應等于單位脈沖響應的移位。

注：只有線性時不變系統(tǒng)才能由單位脈沖響應來表示因此該式說明：對任何線性時不變系統(tǒng)，可完全通過其單位脈沖響應h〔n〕來表示。這個公式和模擬系統(tǒng)的卷積是類似的，稱為離散卷積，或線性卷積。F:/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8D%B7%E7%A7%AF/Page1.htm：①

對h〔m〕繞縱軸折疊，得h〔-m〕；②

對h〔-m〕移位得h〔n-m〕；③將x(m)和h(n-m)所有對應項相乘之后相加，得離散卷積結果y〔n〕。

令m′=n-m，做變量代換，那么卷積公式變?yōu)橐虼?，x(m)與h(n-m)的位置可對調?！布摧斎霝閤〔n〕、單位脈沖響應為h〔n〕的線性時不變系統(tǒng)與輸入為h〔n〕、單位脈沖響應為x〔n〕的線性時不變系統(tǒng)具有同樣的輸出〕離散卷積也稱為“線性卷積〞或“直接卷積〞，以區(qū)別其他種類的卷積。4、系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性線性和時不變兩個約束條件定義了一類可用卷積和表示的系統(tǒng)。穩(wěn)定性和因果性也是很重要的限制。穩(wěn)定系統(tǒng)：對于每一個有界輸入產生一個有界輸出的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。當且僅當

(充要條件)時，該線性時不變系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因果系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸出y〔n〕只取決于當前以及過去的輸入，即x〔n〕，x〔n-1〕，x〔n-2〕……。非因果系統(tǒng)：如果系統(tǒng)的輸出y〔n〕取決于x〔n+1〕，x〔n+2〕，…，即系統(tǒng)的輸出取決于未來的輸入，那么是非因果系統(tǒng)，也即不現(xiàn)實的系統(tǒng)，〔不可實現(xiàn)〕因果系統(tǒng)的充要條件：h〔n〕≡0，n〈0〔可從y〔n〕=x〔n〕*h〔n〕導出〕例：分析單位脈沖響應為h〔n〕=anu〔n〕的線性時不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。既然，n〈時，h〔n〕=0，系統(tǒng)是因果的如果|a|<1,那么如|a|≥1,那么s→∞，級數(shù)發(fā)散。故系統(tǒng)僅在|a|〈1時才是穩(wěn)定的。

穩(wěn)定的因果系統(tǒng)：既滿足穩(wěn)定性又滿足因果性的系統(tǒng)。這種系統(tǒng)的單位脈沖響應既是單邊的，又是絕對可積的，即

這種穩(wěn)定因果系統(tǒng)既是可實現(xiàn)的又是穩(wěn)定工作的，這種系統(tǒng)是最主要的系統(tǒng)。

5．

差分方程——描述系統(tǒng)輸入輸出之間的運算關系一個線性的連續(xù)時間系統(tǒng)總可以用線性微分方程來表達。而對于離散時間系統(tǒng)，由于其變量n是離散整型變量，故只能用差分方程來反映其輸入輸出序列之間的運算關系。其N階線性常系數(shù)差分方程的一般形式：其中ai、bi都是常數(shù)。離散系統(tǒng)差分方程表示法有兩個主要用途：①由差分方程得到系統(tǒng)結構；②求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應；例：用途一，由一階差分方程畫網絡結構y〔n〕=ay〔n-1〕+x〔n〕由此得到它的網絡結構如圖Ta網絡結構用途二在給定輸入和給定初始條件下，用遞推的方法求系統(tǒng)瞬態(tài)解例，一階差分方程系統(tǒng)：其輸入為解：①初始條件為y〔n〕=0，n〈0n=0以的前的輸出已由初始條件給定，瞬態(tài)解從n=0求起，由差分方程、初始條件和輸入，得：

依次遞推

┆

，穩(wěn)定、因果系統(tǒng)②輸入相同，但初始條件改為n〉0，y〔n〕=0將上述差分方程改寫成y〔n-1〕=2[y〔n〕-1.5x〔n〕]此時y〔0〕=2[y〔1〕-1.5x(1)]=0

依此類推，得到②非因果、不穩(wěn)定系統(tǒng)①、②兩式所表示的兩個不同的單位脈沖響應，雖滿足同一差分方程，但由于初始條件不同，它們代表不同的系統(tǒng)，也即用差分方程描述系統(tǒng)時，只有附加必要的制約條件，才能唯一地確定一個系統(tǒng)的輸入和輸出關系。0510152025303540-1-0.500.511.5n幅度用MATLAB計算差分方程輸出1.4系統(tǒng)的頻率響應與系統(tǒng)函數(shù)

一、

定義在上一節(jié)中曾討論過用單位脈沖響應h(n)來表示一個線性時不變離散系統(tǒng)，y〔n〕=x〔n〕*h〔n〕兩邊取z變換Y(z)=X(z)H(z)

那么

定義為系統(tǒng)函數(shù)1〕它是單位脈沖響應的z變換。所以可以用單位脈沖響應的z變換來描述線性時不變離散系統(tǒng)。2〕單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應

可以證明，它是單位脈沖響應h(n)的DTFT。因果系統(tǒng)：單位脈沖響應h〔n〕是因果序列的系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包括∞點，即Rx-<|Z|≤∞穩(wěn)定系統(tǒng)：單位脈沖響應h〔n〕滿足絕對可和的系統(tǒng)即穩(wěn)定系統(tǒng)的H〔z〕必在單位圓上收斂，即 存在。二、

幾種常用系統(tǒng)因果穩(wěn)定系統(tǒng)：

最普遍最重要的一種系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)H〔z〕在從單位圓到∞的整個區(qū)域收斂。即1≤∣Z|≤∞H〔z〕的全部極點必在單位圓以內。

三、

差分方程與系統(tǒng)函數(shù)線性時不變離散系統(tǒng)也可用差分方程表示，考慮N階差分方程

兩兩邊取z變換：

于是

上式也可用因子的形式來表示

式中{ci}、{di}是H〔z〕在z平面上的零點和極點，A為比例常數(shù)。整個系統(tǒng)函數(shù)可以由它的全部零、極點來唯一確定。

用極點和零點表示系統(tǒng)函數(shù)的優(yōu)點是，它提供了一種有效的求系統(tǒng)頻率響應的幾何方法。一個N階的系統(tǒng)函數(shù)可用它的零極點表示為系統(tǒng)的頻響為:在z平面上,ejω-ci可用一根由零點ci指向單位圓上ejω點的向量來表示，而ejω-di可用極點di指向ejω的向量表示于是

令分析上式說明，頻響的模函數(shù)由從各零、極點指向ejω點的向量幅度來確定，而頻響的相位函數(shù)那么由這些向量的幅角來確定，當頻率ω由0~2π時，這些向量的終點沿單位圓反時針方向旋轉一圈，由此可估算出整個系統(tǒng)的頻響。其根本原理是，當單位圓上的ejω點在極點di附近時，分母向量最短，出現(xiàn)極小值，頻響在這附近可能出現(xiàn)