第二十二章 二次函數(shù)（知識(shí)歸納+題型突破）（八大題型100題）（解析版）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（人教版）

第二十二章二次函數(shù)（知識(shí)歸納+題型突破）1、會(huì)通過(guò)分析實(shí)際問(wèn)題的情境確定二次函數(shù)的表達(dá)式，體會(huì)二次函數(shù)的意義；2、會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，會(huì)利用一些特殊點(diǎn)畫出二次函數(shù)的草圖；通過(guò)圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)，知道二次函數(shù)的系數(shù)與圖象形狀和對(duì)稱軸的關(guān)系；3、會(huì)根據(jù)二次函數(shù)的表達(dá)式求其圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；會(huì)用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為的形式，能由此得出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，說(shuō)出圖象的開口方向，畫出圖象的對(duì)稱軸，得出二次函數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應(yīng)自變量的值，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；4、知道二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系，會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求-元二次方程的近似解。知識(shí)點(diǎn)1：二次函數(shù)的概念及解析式1.二次函數(shù)的定義y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).知識(shí)點(diǎn)2：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)2.解析式（1）三種解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h,k）;③交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（2）待定系數(shù)法：巧設(shè)二次函數(shù)的解析式；根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）.*若已知條件是圖象上的三個(gè)點(diǎn)或三對(duì)對(duì)應(yīng)函數(shù)值，可設(shè)一般式；若已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最值，可設(shè)頂點(diǎn)式；若已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)交點(diǎn)式.3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象開口向上向下對(duì)稱軸x＝頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＜時(shí)，y隨x的增大而減小.當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x＜時(shí)，y隨x的增大而增大.最值x=，y最?。?x=，y最大＝.3.系數(shù)a、b、c的作用a決定拋物線的開口方向及開口大小當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下.b決定對(duì)稱軸（x=-b/2a）的位置當(dāng)a，b同號(hào)，-b/2a＜0，對(duì)稱軸在y軸左邊；當(dāng)b＝0時(shí)，-b/2a=0，對(duì)稱軸為y軸；當(dāng)a，b異號(hào)，-b/2a＞0，對(duì)稱軸在y軸右邊．c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)的位置當(dāng)c＞0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸上；當(dāng)c＝0時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；當(dāng)c＜0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上.b2－4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)b2－4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn);b2－4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);b2－4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)3：二次函數(shù)的平移4.平移與解析式的關(guān)系注意：上加下減，左加右減（注：與平移區(qū)分）題型一二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)【例1】二次函數(shù)圖象如圖，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（）

A．②③④ B．①②④ C．②③ D．①②③④【答案】C【分析】由二次函數(shù)圖象可知，，，即可判斷①；由二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線即可判斷②；將代入即可判斷③；將代入即可判斷④．【詳解】解：①∵開口向下，∴，∵對(duì)稱軸為∴，∵二次函數(shù)圖象與y軸交于正半軸∴∴，故①錯(cuò)誤；∵對(duì)稱軸為∴，即，故②正確；由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，故③正確；由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，故④錯(cuò)誤．綜上所述，正確的有②③．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列各式正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由圖知，，對(duì)稱軸，得，，；時(shí)，；時(shí)，，變形求解．【詳解】由圖知，，對(duì)稱軸，得，，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；時(shí)，，故B錯(cuò)誤；時(shí)，，得，故C正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的解析式，圖象性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將圖象信息轉(zhuǎn)化為數(shù)量信息是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·山西朔州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，則0（填“”“”“”）

【答案】【分析】分別根據(jù)開口方向，與y軸交點(diǎn)，對(duì)稱軸的位置，可判斷出a，b，c的符號(hào)，即可得解．【詳解】解：由圖可知：拋物線開口向上，與y軸交于負(fù)半軸，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴，，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，準(zhǔn)確讀圖．3．（2023秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與x軸交于，B兩點(diǎn)，下列判斷正確的是（

）

A． B．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小C．點(diǎn)B的坐標(biāo)為 D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、拋物線開口向下，，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、∵拋物線與x軸交于，對(duì)稱軸為，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，選項(xiàng)正確，符合題意；D、∵拋物線與x軸交于，∴，∴，∴，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線，并與x軸交于A，B兩點(diǎn)，若，則下列結(jié)論：①；②；③；④若m為任意實(shí)數(shù)，則，其中正確的是（

）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的開口方向，判定；對(duì)稱軸的位置，判定；拋物線與y軸的交點(diǎn)，判定，從而判定；根據(jù)對(duì)稱軸是直線，確定；根據(jù)，得，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得到，確定，可以判定②③；計(jì)算函數(shù)的最小值為：，從而得到，代入化簡(jiǎn)，判定④．【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的開口方向，所以；因?yàn)閷?duì)稱軸是直線，所以，；因?yàn)閽佄锞€與y軸的交點(diǎn)位于負(fù)半軸，所以，所以；故①錯(cuò)誤；因?yàn)椋?/p>

所以，，所以，即，所以，所以，所以，即②正確；所以，即③正確；根據(jù)題意，得拋物線有最小值，且最小值為：，所以，所以，所以，所以，④正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的圖像及其性質(zhì)、對(duì)稱軸、最值、拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握拋物線的性質(zhì)，特別是對(duì)稱性和最值是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谀┮阎魏瘮?shù)的圖象如圖所示且過(guò)，有以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．⑥若實(shí)數(shù)則；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】由拋物線對(duì)稱軸是直線，即得出，整理得：，可判斷④；由圖象開口向下，與y軸交于正半軸，可確定，即可判斷①；根據(jù)當(dāng)時(shí)，即可判斷②；根據(jù)當(dāng)時(shí)，，即可判斷③；由，即可判斷⑤，由對(duì)稱軸是直線和定點(diǎn)坐標(biāo)可判斷⑥．【詳解】解：由圖可知，拋物線對(duì)稱軸是直線，∴，即，故④錯(cuò)誤；∵拋物線開口向下，∴，∴．∵拋物線與y軸交于正半軸，∴，∴，故①錯(cuò)誤；由圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)可得：，故②錯(cuò)誤；∵拋物線對(duì)稱軸是直線，∴和時(shí)，函數(shù)值相等．∵時(shí)，，∴，故③正確；∵，，∴，即，故⑤錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即為最高點(diǎn)，二次函數(shù)的最大值為，∴，又，∴，即，故⑥正確；綜上可知正確的只有③⑥，2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵．6．（2023秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)東營(yíng)市勝利第一初級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，與軸交于，兩點(diǎn)，若，則下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③（為任意實(shí)數(shù)）；④．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，即可判斷①，由開口方向和對(duì)稱軸以及根據(jù)拋物線時(shí)的函數(shù)的取值即可判斷②，根據(jù)拋物線時(shí)的函數(shù)的取值即可判斷③，根據(jù)拋物線時(shí)的函數(shù)的取值即可判斷④；【詳解】∵對(duì)稱軸為直線∴，①正確；∵拋物線開口向上，與軸的交點(diǎn)在軸下方由題意可知時(shí)，②正確；由題意可知時(shí)，若則時(shí)，二次函數(shù)取得最小值，③正確；由題意可知時(shí)，，④正確；正確的是：①②③④故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性．7．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）某足球隊(duì)在某次訓(xùn)練中，一隊(duì)員在距離球門處挑射，正好射中了高的球門橫梁．若足球運(yùn)動(dòng)的路線是拋物線，如圖所示，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出a，b的符號(hào)，再利用圖上點(diǎn)的坐標(biāo)得出a，b關(guān)系，進(jìn)一步即可作出判斷．【詳解】解：∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，即，∴，，由拋物線過(guò)點(diǎn)，，代入得：，得，，而，解得：，故此選項(xiàng)①正確，②錯(cuò)誤；，∵，∴，∴，故③錯(cuò)誤；由圖象可知，拋物線的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)小于6即，∵∴，∴，故此選項(xiàng)④正確；綜上可知，①④正確，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得出圖象上的點(diǎn)進(jìn)而得出a，b的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)圖像的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，結(jié)合圖像給出下列結(jié)論：①；②；③；④關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；⑤若點(diǎn)，均在該二次函數(shù)圖像上，則．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸、開口方向、與y軸的交點(diǎn)確定a、b、c的正負(fù)，即可判定①和②；將點(diǎn)代入拋物線解析式并結(jié)合即可判定③；運(yùn)用根的判別式并結(jié)合a、c的正負(fù)，判定判別式是否大于零即可判定④；判定點(diǎn)，的對(duì)稱軸為，然后根據(jù)拋物線的對(duì)稱性即可判定⑤．【詳解】解：拋物線開口向上，與y軸交于負(fù)半軸，，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，即，即②錯(cuò)誤；∴，即①正確，二次函數(shù)圖像的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，即，故③正確；∵關(guān)于x的一元二次方程，，，∴，，∴無(wú)法判斷的正負(fù)，即無(wú)法確定關(guān)于x的一元二次方程的根的情況，故④錯(cuò)誤；∵∴點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱∵點(diǎn)，均在該二次函數(shù)圖像上，∴，即⑤正確；綜上，正確的為①③⑤，共3個(gè)故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的的性質(zhì)及圖像與系數(shù)的關(guān)系，能夠從圖像中準(zhǔn)確的獲取信息是解題的關(guān)鍵．9．（2023·山東泰安·?？既＃┤鐖D是二次函數(shù)圖象的一部分，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線是對(duì)稱軸，有下列結(jié)論：①；②；③若是拋物線上兩點(diǎn)，則；④；其中正確結(jié)論有（

）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)稱軸為求出，即可判定①；求出二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，即可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)開口向下，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大即可判斷③；求出，結(jié)合即可判斷④．【詳解】解：二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，，即，故①正確；二次函數(shù)經(jīng)過(guò)，二次函數(shù)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，故②正確；拋物線開口向下，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，是拋物線上兩點(diǎn)，，且，，故③正確；，，，即，故④正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①；②；③，是拋物線上兩點(diǎn)，則；④若關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則；⑤對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，總有．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性以及與軸軸的交點(diǎn)，綜合判斷即可．【詳解】解：拋物線開口向上，則，對(duì)稱軸，則，，，所以①正確；拋物線對(duì)稱軸為，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則另一個(gè)交點(diǎn)為，于是有，聯(lián)立，解得，，所以②正確；拋物線的解析式為，，是拋物線上兩點(diǎn)，，，即，所以③錯(cuò)誤；若關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，，，，，，所以④正確；拋物線與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，因此關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確；對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，總有故⑤正確．綜上所述，正確的結(jié)論有：①②④⑤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系是正確判斷的前提．11．（2020秋·廣東廣州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①，同號(hào)；②當(dāng)和時(shí)，函數(shù)值相等；③；④當(dāng)時(shí)，正確的結(jié)論有．

【答案】②③④【分析】利用拋物線開口方向得到，利用拋物線的對(duì)稱軸得到，則可對(duì)①③進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱性可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱性確定拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解：拋物線開口向上，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，，所以①錯(cuò)誤，，所以③正確；拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)和時(shí)，函數(shù)值相等，所以②正確；拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，而拋物線的對(duì)稱軸為直線，拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，所以④正確．故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用圖象進(jìn)行分析，得到相應(yīng)系數(shù)的符號(hào)．12．（2023春·四川達(dá)州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④已知、在該二次函數(shù)圖像上，當(dāng)且時(shí)，都有．其中正確的結(jié)論有．（填序號(hào)）

【答案】①③④【分析】根據(jù)開口方向、與y軸的交點(diǎn)、對(duì)稱軸即可判斷①；根據(jù)當(dāng)時(shí)，，即可判斷②；根據(jù)圖象過(guò)點(diǎn)得到，由得到，則，即可判斷③；分三種情況根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷④．【詳解】解：由二次函數(shù)的部分圖象可知，拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，∴，，∵對(duì)稱軸為直線，即，∴，∴，故①正確；∵圖象過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，，即，則，故②錯(cuò)誤；∵圖象過(guò)點(diǎn)，∴，∵，∴，即，∴，故③正確；當(dāng)時(shí)，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，∵，∴，∵拋物線開口向下，∴，當(dāng)時(shí)，，∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，∴，故④正確；正確的結(jié)論有①③④，故答案為：①③④【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象和性質(zhì)判斷式子的符號(hào)，比較函數(shù)值的大小等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．13．（2023·遼寧朝陽(yáng)·校聯(lián)考三模）如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有．

【答案】②③④【分析】由圖，，，，得，推知；由知，代入，得，化簡(jiǎn)得；將代入得，，由對(duì)稱軸得，解得；將代入得．【詳解】解：由圖，，，，∴∴，，故①錯(cuò)誤；，由知，代入，得，，化簡(jiǎn)得，，故②正確；將代入得，，對(duì)稱軸，得，代入上式得，，解得，故③正確；將代入得，故④正確；綜上分析可知，正確的是②③④.故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，理解圖象與方程的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．題型二二次函數(shù)對(duì)稱性應(yīng)用【例2】（2023·陜西西安·校考二模）已知拋物線過(guò)不同的兩點(diǎn)和，若點(diǎn)在這條拋物線上，則的值為（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)稱性可得，代入解方程即可求解．【詳解】解：∵拋物線，對(duì)稱軸為直線，又拋物線過(guò)不同的兩點(diǎn)和，∴，∴即，代入解析式，得，解得：或，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例3】（2023·上海寶山·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D與點(diǎn)E是拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，如果點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，試求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)以及待定系數(shù)法解決此題．（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性求得的橫坐標(biāo)，再將其代入函數(shù)解析式，進(jìn)而求得的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：由題意得，，，．，．這個(gè)拋物線的表達(dá)式為．（2）由（1）得，．該拋物線的對(duì)稱軸是直線．點(diǎn)與點(diǎn)是拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)是4．當(dāng)時(shí)，．．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解決本題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若拋物線上的，Q兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，因?yàn)閽佄锞€上的，Q兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，故，，則，即可知道Q點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：依題意，設(shè)，因?yàn)閽佄锞€上的，Q兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，即，那么Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)圖象的點(diǎn)的坐標(biāo)以及二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性等知識(shí)內(nèi)容，經(jīng)過(guò)函數(shù)的某點(diǎn)一定在函數(shù)的圖象上．2．（2023·浙江杭州·杭州市豐潭中學(xué)校考三模）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分和兩種情況根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性確定出與的大小關(guān)系，然后對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】解：∵∴令，即∴解得或∴二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為和∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，①當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向上，∵，∴點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離小于點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，∴，即，∴，無(wú)法確定的正負(fù)情況，②時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向下，∵，如圖，∴點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離小于點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，∴，即，∴，無(wú)法確定的正負(fù)情況，綜上所述，正確的是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱性，難點(diǎn)在于根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)a的正負(fù)情況分情況討論．3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出的取值范圍．【詳解】解：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線對(duì)稱軸為，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，準(zhǔn)確找到對(duì)稱軸，利用對(duì)稱軸表示出是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江寧波·?？级＃┮阎c(diǎn)，在拋物線（m是常數(shù)）上．若，，則下列大小比較正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的開口向下，有最大值為，對(duì)稱軸為直線，根據(jù)，，設(shè)的對(duì)稱點(diǎn)為，得出，則在對(duì)稱軸右側(cè)，隨的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，．【詳解】解：∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為，∴拋物線開口向下，∵拋物線對(duì)稱軸為直線，設(shè)的對(duì)稱點(diǎn)為，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)的圖象為拋物線，則拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式；當(dāng)，拋物線開口向下；對(duì)稱軸為直線，在對(duì)稱軸左側(cè)，隨的增大而增大，在對(duì)稱軸右側(cè)，隨的增大而減?。?．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線：與拋物線：關(guān)于直線對(duì)稱，則拋物線上的點(diǎn)在拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在拋物線上取兩點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性求出對(duì)應(yīng)坐標(biāo)，代入拋物線中計(jì)算出的值即可．【詳解】∵拋物線：∴拋物線過(guò)，，∵拋物線：與拋物線：關(guān)于直線對(duì)稱，∴拋物線：過(guò)，，代入可得，解得，∴點(diǎn)∴拋物線上的點(diǎn)在拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)對(duì)稱性求出的值是解題的關(guān)鍵．6．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）已知點(diǎn)、、在二次函數(shù)的圖象，且C為拋物線的頂點(diǎn)．若，則n的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線頂點(diǎn)為最高點(diǎn)可得拋物線開口向下，由拋物線解析式可得拋物線對(duì)稱軸，求出點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)的值，結(jié)合拋物線開口方向求解．【詳解】解：點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，，拋物線開口向下，頂點(diǎn)為最高點(diǎn)，，拋物線對(duì)稱軸為直線，當(dāng)點(diǎn)，關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，，解得，，，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，正確理解題意得到拋物線開口向下，離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越大是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，那么該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知：點(diǎn)和關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，從而求出結(jié)論．【詳解】解：∵二次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，∴該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是直線故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是拋物線對(duì)稱性的應(yīng)用，掌握利用拋物線上兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，求拋物線對(duì)稱軸是解題關(guān)鍵．8．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）拋物線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，則a值為．【答案】3【分析】由拋物線的對(duì)稱軸公式建立方程求解即可．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，∴對(duì)稱軸為：直線，解得：，故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查的是利用拋物線的對(duì)稱軸公式求解，熟練的求解拋物線的對(duì)稱軸是解本題的關(guān)鍵．9．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如果三點(diǎn)，和在拋物線的圖象上，那，，之間的大小關(guān)系是．【答案】/【分析】先求出拋物線的對(duì)稱軸和開口方向，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較即可．【詳解】解：拋物線的開口向下，對(duì)稱軸是直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，關(guān)于稱軸是直線的對(duì)稱點(diǎn)是，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．10．（2023·上海·一模）二次函數(shù)圖像上部分點(diǎn)的坐標(biāo)滿足如表：x……y……那么m的值為．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性解答即可．【詳解】解：、時(shí)的函數(shù)值相等都是，函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線和也關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)和時(shí)的函數(shù)值也相等，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟記二次函數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．11．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，，是拋物線上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為．(1)若對(duì)于，有，求的值；(2)若對(duì)于，，都有，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對(duì)稱軸即可求解；（2）根據(jù)題意可得離對(duì)稱軸更近，，則與的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，根據(jù)對(duì)稱性求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵對(duì)于，有，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵拋物線的對(duì)稱軸為．∴；（2）解：∵當(dāng)，，∴，，∵，，∴離對(duì)稱軸更近，，則與的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的對(duì)稱軸及值；(2)拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)，使得的值最小，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形的面積最大？求出四邊形的最大面積．【答案】(1)(2)(3)，最大，最大值為【分析】（1）根據(jù)解析式可得拋物線的對(duì)稱軸為直線，將點(diǎn)代入解析式，待定系數(shù)法即可求解；（2）連接，交對(duì)稱軸于點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可得點(diǎn)即為所求，求得直線的解析式，令，即可求解；（3）連接，如圖1，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：拋物線的對(duì)稱軸為直線，把代入得，；（2）連接，交對(duì)稱軸于點(diǎn)，∵兩點(diǎn)之間，線段最短，∴的最小值為的長(zhǎng)，則點(diǎn)即為所求

對(duì)于，令，則，解得，，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的關(guān)系式為：，把，代入得，解得，直線的關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）連接，如圖1，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

，當(dāng)時(shí)，最大，最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，面積問(wèn)題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，對(duì)稱軸為直線．

(1)求拋物線的解析式；(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形的面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使的值最小，直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）將、代入，求解可得坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入求值，最后代入化簡(jiǎn)成一般式即可；（2）如圖1，過(guò)作于F，交于E，，，則，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）線段與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為使的值最小的點(diǎn)P，將代入直線的解析式即可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，從而得解．【詳解】（1）解：將代入得，，∴，將代入得，解得，∴，∵對(duì)稱軸為直線，∴，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入得，，解得，∴，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：如圖1，過(guò)作于F，交于E，

∴，，則，∵，∴當(dāng)時(shí)，四邊形面積最大，值為；將代入得，，∴，∴四邊形面積S的最大值為，此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸直線，∴當(dāng)點(diǎn)P是線段與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，的值最小，標(biāo)記點(diǎn)P如下，連接，

將代入直線的解析式可得：，∴【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，二次函數(shù)與面積綜合，線段和最小問(wèn)題(將軍飲馬問(wèn)題)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．題型三二次函數(shù)圖象的綜合問(wèn)題【例4】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)，的圖象可能是(

)A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的和二次函數(shù)的即可判斷出二次函數(shù)的開口方向和一次函數(shù)經(jīng)過(guò)軸正半軸，從而排除A和C，分情況探討的情況，即可求出答案.【詳解】解：二次函數(shù)為，，二次函數(shù)的開口方向向上，排除C選項(xiàng).一次函數(shù)，，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)軸正半軸，排除A選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，則，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、二、四象限，二次函數(shù)經(jīng)過(guò)軸正半軸，排除B選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，則一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、二、三象限，二次函數(shù)經(jīng)過(guò)軸負(fù)半軸，D選項(xiàng)符合題意.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握?qǐng)D像性質(zhì)中系數(shù)大小與圖像的關(guān)系.【例5】（2023春·江蘇南京·九年級(jí)南京鐘英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖所示，則在該平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的開口大小與軸的交點(diǎn)位置以及對(duì)稱軸的位置進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：設(shè)，，由圖像知，，，，，，，，∴，∵函數(shù)的圖像開口大于函數(shù)的圖像開口，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴函數(shù)的圖像是拋物線，開口向下，對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，A．圖像開口向下，對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，故此選項(xiàng)符合題意；B．圖像開口向上，故此選項(xiàng)不符合題意；C．圖像對(duì)稱軸在軸的左側(cè)，故此選項(xiàng)不符合題意；D．圖像開口向上，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，不等式的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．注意：二次函數(shù)的越大，圖像開口越?。柟逃?xùn)練1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：∵，∴經(jīng)過(guò)一、三象限；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向上，與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向下，與y軸的交點(diǎn)在正半軸上，∴只有選項(xiàng)C符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的判斷，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一次函數(shù)的圖象，則二次函數(shù)的圖象可能為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)一次函數(shù)圖象確定，進(jìn)而確定二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，由此即可得到答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限且與y軸交于y軸的正半軸，∴，∴二次函數(shù)的圖象的開口向上，∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)中的函數(shù)圖象符合題意，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象綜合判斷，正確求出是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江嘉興·九年級(jí)平湖市林埭中學(xué)校聯(lián)考期中）不經(jīng)過(guò)第三象限，那么的圖象大致為

（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】首先根據(jù)直線不經(jīng)過(guò)第三象限判斷出a、b的取值范圍，再根據(jù)a的取值范圍可判斷出開口方向，再加上b的取值范圍可判斷出對(duì)稱軸，最后根據(jù)判斷出與y軸交點(diǎn)，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵直線不經(jīng)過(guò)第三象限，∴，，∴的圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，與y軸交于，∴D符合．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象，關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等．4．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）拋物線與直線同一坐標(biāo)系的大致可能是（

）A． B． C．D．【答案】D【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的圖象，可以判斷出一次函數(shù)和二次函數(shù)中的正負(fù)情況，即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)是正確的；【詳解】A、一次函數(shù)中，二次函數(shù)中，即，故選項(xiàng)A不符合題意；B、一次函數(shù)中，二次函數(shù)中，即，故選項(xiàng)B不符合題意；C、一次函數(shù)中，二次函數(shù)中，即，故選項(xiàng)C不符合題意；D、一次函數(shù)中，二次函數(shù)中，即故選項(xiàng)D符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，用數(shù)形結(jié)合的思想解答．5．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，垂直于x軸的直線分別交拋物線y＝x2（x≥0）和拋物線y＝x2（x≥0）于點(diǎn)A和點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線y＝x2于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD∥x軸交拋物線y＝x2于點(diǎn)D，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)A（m，m2），則B（m，m2），根據(jù)題意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，從而求得＝．【詳解】設(shè)A（m，m2），則B（m，m2），∵AC∥x軸交拋物線y＝x2于點(diǎn)C，BD∥x軸交拋物線y＝x2于點(diǎn)D，∴C（2m，m2），D（m，m2），∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.根據(jù)特征表示出A、B、C、D點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·廣西南寧·八年級(jí)三美學(xué)校?？计谀┯泴?shí)數(shù)、，中的最小值為，例如，當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，則的最大值為（

）A．－3 B．－2 C．2 D．3【答案】D【分析】在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察最大值的位置，通過(guò)求函數(shù)值，求出最大值．【詳解】畫出函數(shù)和的圖象，如圖：

由圖可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為3，所以的最大值為3，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和正比例函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合容易求解．7．（2023·河南漯河·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，與y軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)是x軸上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)不重合，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為，當(dāng)隨的增大而減小時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸求出，用待定系數(shù)法求出，即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)與點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，進(jìn)而求解；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)與點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，同理可解．【詳解】（1）解：二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，，解得：．由點(diǎn)的坐標(biāo)知，．二次函數(shù)的表達(dá)式為．故答案為：．（2）解：令，即，解得：或4，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．，設(shè)直線的表達(dá)式為：，則，解得：，故直線AC的表達(dá)式為．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．，在直線上，．①當(dāng)點(diǎn)在拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，，時(shí)，隨的增大而減小，②當(dāng)點(diǎn)在拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，當(dāng)，隨的增大而減小，的取值范圍為：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式等，解題的關(guān)鍵是要注意分情況討論．8．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，其關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線為：，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）將拋物線沿軸向右平移得到拋物線，拋物線與軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)和點(diǎn)（在的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，如果滿足與相似，請(qǐng)求出平移后拋物線的表達(dá)式．【答案】（1）的解析式為；（2）平移后拋物線的表達(dá)式為或.【分析】（1）根據(jù)拋物線關(guān)于軸對(duì)稱的原則可以得到均互為相反數(shù)，所以可以設(shè)：，同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，那么也經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，將這兩點(diǎn)代入即可求解；（2）首先根據(jù)函數(shù)圖像的平移原則，設(shè)拋物線沿軸向右平移個(gè)單位得到拋物線，繼而寫出的解析式，然后分別求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合與相似，可得△DOQ為等腰直角三角形，利用坐標(biāo)建立方程，求解即可.【詳解】解：（1）拋物線和拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，且：，：，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，把點(diǎn)和點(diǎn)代入：可得：，解得：，：；（2）設(shè)拋物線沿軸向右平移個(gè)單位得到拋物線，：，的解析式可以表示為：，拋物線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)，且在的右側(cè)，，拋物線與軸交于點(diǎn)，，∵A（-3，0），C（0，3），∴△AOC為等腰直角三角形，∴當(dāng)△AOC和△DOQ相似時(shí)，△DOQ為等腰直角三角形，∴OQ=OD，當(dāng)點(diǎn)Q在y軸正半軸上時(shí)，OQ=OD=OA=OC，∴，解得：a=0（舍）或2，此時(shí)：；當(dāng)點(diǎn)Q在y軸負(fù)半軸時(shí)，OD=OQ，則，解得：a=-1（舍）或4，此時(shí)：；綜上：平移后拋物線W3的表達(dá)式為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象變化，以及二次函數(shù)和相似三角形的存在性問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象平移和對(duì)稱變化規(guī)律，同時(shí)對(duì)相似三角形的存在性進(jìn)行正確的分類討論是求解本題的關(guān)鍵.題型四二次函數(shù)待定系數(shù)法【例7】（2022秋·上海青浦·九年級(jí)?？计谥校┰谥苯亲鴺?biāo)平面內(nèi)，拋物線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)．求：(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）把（1）中的解析式配成頂點(diǎn)式即可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)∴解得：∴拋物線的表達(dá)式為：（2）∵∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式：要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．【例8】（2022秋·上海青浦·九年級(jí)?？计谥校┰谥苯亲鴺?biāo)平面內(nèi)，拋物線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)．求：(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）把（1）中的解析式配成頂點(diǎn)式即可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)∴解得：∴拋物線的表達(dá)式為：（2）∵∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式：要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．鞏固訓(xùn)練1．（2020秋·廣東惠州·九年級(jí)?？计谥校佄锞€的頂點(diǎn)在，且過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的關(guān)系式：．【答案】【分析】設(shè)拋物線解析式為，將點(diǎn)代入，即可求解．【詳解】解：設(shè)拋物線解析式為，將點(diǎn)代入得，，解得：，∴拋物線解析式為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）將拋物線沿軸翻折，得到的新的拋物線的解析式是．【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)“縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”，可得新拋物線的解析式．【詳解】∵點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)“縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”，∴沿軸翻折，得到的新的拋物線的解析式是即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023秋·河北張家口·九年級(jí)張家口東方中學(xué)?？计谀┮粧佄锞€以為頂點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該拋物線的解析式及拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】拋物線的解析式為，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】設(shè)頂點(diǎn)式再代入計(jì)算即可．【詳解】∵拋物線以為頂點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析式為，將代入，得，解得，∴拋物線的解析式為，令，則，∴拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．4．（2023秋·天津津南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．(1)求這個(gè)函數(shù)的解析式；(2)求這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用配方法計(jì)算坐標(biāo)即可．【詳解】（1）根據(jù)題意得，解得，∴二次函數(shù)解析式為；（2），，，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)且正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．5．（2020秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谥校┮阎獟佄锞€過(guò)點(diǎn)和，．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出函數(shù)的對(duì)稱軸，得到，從而得到，再把代入拋物線可得，即可得到答案；（2）把函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，再得出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：拋物線過(guò)點(diǎn)和，對(duì)稱軸是直線，即，解得：，，拋物線過(guò)點(diǎn)，，解得：，拋物線的解析式為：；（2）解：，頂點(diǎn)坐標(biāo)．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，把二次函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，根據(jù)題意求出的值是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的函數(shù)的圖像是一條開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為直線，求這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，求得的值，進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱軸確定的值，進(jìn)而化為頂點(diǎn)式，即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的函數(shù)的圖像是一條開口向上的拋物線，∴，即，且，解得：，或（舍去）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∴拋物線解析式為．∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，化為頂點(diǎn)式，熟練掌握二次函數(shù)的定義以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）采用待定系數(shù)法，將點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)直接代入拋物線，即可求得拋物線的解析式．（2）過(guò)線段的中點(diǎn)，且與平行的直線上的點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)連線組成的三角形的面積都等于，則此直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求；求出此直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，即可求得答案．【詳解】（1）解：因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線解析式為：．（2）解：如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)為，可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作與平行的直線，假設(shè)與拋物線交于點(diǎn)，（在的左邊），（在圖中未能顯示）．設(shè)直線的函數(shù)解析式為．因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，所以，解得，所以，直線的函數(shù)解析式為：．

又，可設(shè)直線的函數(shù)解析式為，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以．解得．所以，直線的函數(shù)解析式為．根據(jù)題意可知，．又，所以，直線上任意一點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)連線組成的的面積都滿足．所以，直線與拋物線的交點(diǎn)，即為所求，可得，化簡(jiǎn)，得，解得，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一元二次方程、一元一次方程等，靈活結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·山西晉中·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，連接、，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，求得，，代入拋物線解析式即可求解；（2）根據(jù)拋物線解析式求得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，勾股定理求得的長(zhǎng)，勾股定理的逆定理可得是直角三角形，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴，；∵拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，∴解得：∴拋物線解析式為；（2）解：∵∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，化為頂點(diǎn)式，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（安徽省安慶市2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求此拋物線的解析式；(2)直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)在第一象限內(nèi)的拋物線上，且，求點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)，；(3)．【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式求圖象與交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)即可，（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)數(shù)量關(guān)系列一元二次方程，求解即可．【詳解】（1）解：由點(diǎn)和點(diǎn)得，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）由（1）得：，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，由，∴頂點(diǎn)；（3）設(shè)，，，∵，∴，∴，∴，解得：（不合題意，舍去），，∴點(diǎn)．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的應(yīng)用．10．（2023秋·河北張家口·九年級(jí)張家口東方中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，，，點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作軸，交直線于點(diǎn)E．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________；(3)求的最大值；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為，根據(jù)、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，得出，根據(jù)，兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)點(diǎn)A、M、C在同一直線上時(shí)，最小，即最小，求出最小值即可；（3）求出直線的解析式為，設(shè)，其中，則，求出，得出當(dāng)時(shí)，取得最大值．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴，，將點(diǎn)A，的坐標(biāo)代入，得，解得：，∴．（2）解：把代入得：，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，∴，∴，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)點(diǎn)A、M、C在同一直線上時(shí)，最小，即最小，∴的最小值為的長(zhǎng)，∵，∴的最小值為．故答案為：．

（3）解：設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)A，的坐標(biāo)代入，得：，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)，其中，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，即的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．11．（2022秋·浙江嘉興·九年級(jí)平湖市林埭中學(xué)校聯(lián)考期中）已知：，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求這個(gè)拋物線的解析式；(2)設(shè)（1）中的拋物線與軸的另一交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D，試求的面積；(3)是線段上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，與拋物線交于點(diǎn)，若直線把分成面積之比為的兩部分，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)或【分析】（1）利用因式分解法求出一元二次方程的解，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式即可解答；（2）令拋物線解析式中，可求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用公式法求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，分別求出、梯形、的面積，利用=解答即可；（3）先利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，再設(shè)直線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)，從而求得，最后分兩種情況討論①當(dāng)時(shí)或②當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算解答即可．【詳解】（1）解：，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，把點(diǎn)代入拋物線解析式得，解得，；（2）解：令如圖，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，

=；（3）解：如圖，

設(shè)直線的解析式為，代入點(diǎn)得，設(shè)直線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)則點(diǎn)直線把分成面積之比為的兩部分，分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)（舍去）②當(dāng)時(shí)綜上所述，點(diǎn)或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、配方法求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)、解析法求線段的長(zhǎng)等知識(shí)，利用等高三角形面積比等于底邊比，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．題型五二次函數(shù)圖象平移【例9】（2023秋·河南省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)校聯(lián)考期末）將拋物線先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到的新拋物線的解析式（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線平移后的形狀不變，即a不變；然后求出原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)即可求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可確定解析式．【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，所得新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴所得新拋物線的解析式為：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．鞏固訓(xùn)練：1．（2023秋·上海靜安·九年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)?？计谀┤绻c(diǎn)在拋物線上，將此拋物線向右平移3個(gè)單位后，點(diǎn)同時(shí)平移到點(diǎn)，那么坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先把代入得，于是得到點(diǎn)坐標(biāo)為，由于拋物線向右平移3個(gè)單位，則拋物線上所有點(diǎn)都右平移3個(gè)單位，然后根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律可確定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：把代入得，則點(diǎn)坐標(biāo)為，把點(diǎn)向右平移3個(gè)單位后所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．2．（2023秋·山東泰安·九年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）關(guān)于二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．拋物線開口方向向下 B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小 D．該拋物線可由經(jīng)過(guò)平移得到【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為中，，∴二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為直線，故A結(jié)論正確，不符合題意；∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故B結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意，C結(jié)論正確，不符合題意；拋物線向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，向下移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，故D結(jié)論正確，不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象的平移，對(duì)于二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向上，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值k；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向上，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值k．3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱后，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后求得關(guān)于x軸對(duì)稱的二次函數(shù)為，再利用點(diǎn)平移的規(guī)律得到平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出平移后的拋物線解析式即可．【詳解】解：二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為，開口向下，∴二次函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的二次函數(shù)為，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度的二次函數(shù)頂點(diǎn)為，∴將二次函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱后，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：關(guān)于x軸對(duì)稱的二次函數(shù)，a互為相反數(shù)，由于拋物線平移后形狀不變，故不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？梢岳脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式，掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·廣東梅州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）若將拋物線所在的平面直角坐標(biāo)系中的x軸向上平移1個(gè)單位，把y軸向右平移2個(gè)單位，則該拋物線在新的平面直角坐標(biāo)系下的函數(shù)表達(dá)式為．【答案】【分析】根據(jù)題意易得新拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)頂點(diǎn)式及平移前后二次項(xiàng)的系數(shù)不變可得新拋物線的解析式．【詳解】解：∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，將x軸向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，將y軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線的頂點(diǎn)為，∴該拋物線在新平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)解析式為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握拋物線頂點(diǎn)平移的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）點(diǎn)是拋物線：上一點(diǎn)，將拋物線平移，得到拋物線：，點(diǎn)P平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式得到平移規(guī)律，即可求解．【詳解】解：將拋物線：平移，得到拋物線：，平移規(guī)律為向左平移4個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，則點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移確定平移是解答此題的關(guān)鍵．6．（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）將拋物線先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，求得到的新拋物線的解析式．【答案】【分析】先將拋物線化為頂點(diǎn)式，即，可得該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，根據(jù)先向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即可得．【詳解】解：∵拋物線，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．∵拋物線先向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，∴平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴得到的新拋物線的解析式是．【點(diǎn)睛】本題考查了圖象的平移，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)D象的平移．7．（2023秋·陜西安康·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線．(1)求a的值；(2)將該二次函數(shù)的圖像沿x軸向右平移2個(gè)單位后得到一個(gè)新的二次函數(shù)，求新二次函數(shù)的解析式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸列式求解即可解答；（2）將a的值代入，結(jié)合拋物線解析式求平移后圖像所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線∴，解得．（2）解：∵，∴，∴平移后為：．∴新二次函數(shù)的解析式為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)、二次根式的平移等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖像如圖所示，將該函數(shù)圖像先向左平移2個(gè)單位再向下平移1個(gè)單位得到新函數(shù)的圖像，求出新函數(shù)的表達(dá)式．【答案】【分析】由圖像可知該函數(shù)為二次函數(shù)，對(duì)稱軸為直線且過(guò)點(diǎn)、．設(shè)該函數(shù)的表達(dá)式為，再建立方程組求解解析式，最后利用平移規(guī)則可得答案.【詳解】解：由圖像可知該函數(shù)為二次函數(shù)，對(duì)稱軸為直線且過(guò)點(diǎn)、．設(shè)該函數(shù)的表達(dá)式為，把、代入得：，解得：，∴，把先向左平移2個(gè)單位再向下平移1個(gè)單位得，∴新函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖像的平移，掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.9．（2023·河北廊坊·?？既＃┤鐖D，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)時(shí)，的取值范圍為_______；(3)直接寫出該二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的平移恰好過(guò)點(diǎn)，且與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．【答案】(1)(2)(3)該二次函數(shù)的圖象向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度或向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)【分析】（1）由題意設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，代入進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）由函數(shù)表達(dá)式可知：二次函數(shù)的圖象有最高點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，從而可得此時(shí)的取值范圍；（3）該二次函數(shù)的圖象平移后的頂點(diǎn)在軸上，設(shè)它的表達(dá)式為，再把點(diǎn)代入，求出的值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：，把代入得：，解得：，這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）解：，二次函數(shù)的表達(dá)式為，二次函數(shù)的圖象有最高點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的取值范圍為：，故答案為：；（3）解：該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移后，與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，該二次函數(shù)的圖形平移后的頂點(diǎn)在軸上，設(shè)它的表達(dá)式為，該二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的平移恰好過(guò)點(diǎn)，，解得：，即該函數(shù)的圖象平移后的表達(dá)式為：或，該二次函數(shù)的圖象向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度或向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、求二次函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍、二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與特征是解題的關(guān)鍵．題型六二次函數(shù)圖象、方程與不等式【例10】（2022秋·河北保定·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下列表格對(duì)應(yīng)值：判斷關(guān)于x的方程的一個(gè)解x的范圍是（）x1.11.21.31.40.842.293.76A． B． C． D．無(wú)法判定【答案】A【分析】由表格可發(fā)現(xiàn)y的值和0.84之間有個(gè)0，再看對(duì)應(yīng)的x的值即可得．【詳解】解：由表可以看出，當(dāng)x取1.1與1.2之間的某個(gè)數(shù)時(shí)，，即這個(gè)數(shù)是的一個(gè)根．所以的一個(gè)解x的取值范圍為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解，正確估算是建立在對(duì)二次函數(shù)圖象和一元二次方程關(guān)系正確理解的基礎(chǔ)上的．【例11】如圖，二次函數(shù)的圖象與y交于點(diǎn)C，點(diǎn)B在拋物線上，且與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)及點(diǎn)B．(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式．(2)根據(jù)圖象，寫出滿足的x的取值范圍．【答案】(1)二次函數(shù)解析式為，一次函數(shù)解析式為(2)或．【分析】（1）先利用待定系數(shù)法先求出m，再求出點(diǎn)B坐標(biāo)，利用方程組求出一次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象上方或二者的交點(diǎn)處即可寫出自變量x的取值范圍．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴二次函數(shù)解析式為，在中，當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)C坐標(biāo)，∵對(duì)稱軸為直線，B、C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴點(diǎn)B坐標(biāo)，∵一次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，∴，解得，∴一次函數(shù)解析式為，（2）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方或二者的交點(diǎn)處時(shí)，或，∴不等式，即不等式的x的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與不等式、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用待定系數(shù)法確定好解析式，學(xué)會(huì)利用圖象根據(jù)條件確定自變量取值范圍，屬于中考?？碱}型．鞏固訓(xùn)練：1．（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一元二次方程的解為（

）

A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】由拋物線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)可得方程的解．【詳解】解：由圖象可得拋物線經(jīng)過(guò)，∴方程的解為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．2．（2022秋·遼寧鞍山·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)在與之間，對(duì)稱軸為，函數(shù)最大值為，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①；②；③；④若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則；⑤當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。渲姓_的結(jié)論有(

)

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)逐個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析判斷即可．【詳解】解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，故①正確；函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸為，函數(shù)最大值為，函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)在與之間，，故②正確；拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，故③錯(cuò)誤；拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為且方程，即即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故④錯(cuò)誤；由圖象可得，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故⑤錯(cuò)誤．所以，正確的結(jié)論是①②，共個(gè)，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023春·山東東營(yíng)·八年級(jí)東營(yíng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則關(guān)于x的方程的解為（

）

A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】直接根據(jù)圖像求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴方程的解為拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∵兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，∴方程的解為，，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用圖象法解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．4．（2020秋·廣東惠州·九年級(jí)?？计谥校┒魏瘮?shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)題意得出令，求出的值，即可求出拋物線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，令，然后求出的值，即可以得到與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】由圖象與軸相交則，代入得：，解方程得，∴與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是，由圖象與軸相交則，代入得：，∴與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是；故答案為；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的知識(shí)，正確把握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江嘉興·九年級(jí)平湖市林埭中學(xué)校聯(lián)考期中）已知：二次函數(shù)，①當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?、谌魣D象與軸有交點(diǎn)，則③當(dāng)時(shí)，不等式的解集是④若將圖象向上平移1個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位后過(guò)點(diǎn)，則其中，正確的說(shuō)法有．（請(qǐng)寫出所有正確說(shuō)法的序號(hào)）【答案】①④/④①【分析】①根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷即可；②根據(jù)根的判別式判斷即可；③當(dāng)時(shí)，求出的解即可判斷；④根據(jù)平移規(guī)律求出平移后的解析式，把代入可以求出a的值，然后判斷是否正確．【詳解】解：二次函數(shù)為，對(duì)稱軸為直線，圖象開口向上．則：①當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故①正確；②若圖象與x軸有交點(diǎn)，即，則，故②不正確；③當(dāng)時(shí)，方程的解為，∴不等式的解集是或，故③不正確；④原式可化為，將圖象向上平移1個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位后所得函數(shù)解析式是，函數(shù)過(guò)點(diǎn)，代入解析式得到：．故④正確．故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的平移及二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線．(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而減??？(3)當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)值y大于0．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小(3)或時(shí)，函數(shù)值y大于0【分析】（1）把P點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得到b、c的方程，再利用拋物的對(duì)稱軸方程得到b的值，然后求出c的值得到拋物線解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）先解方程得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后寫出拋物線在x軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，∴解得，故函數(shù)解析式為（2）由（1）知二次函數(shù)的解析式為．∵，∴拋物線的開口向上，又對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。?）令，則解得∵，∴拋物線圖象開口向上，∴或時(shí)，函數(shù)值y大于0．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用拋物線解不等式等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022秋·廣東韶關(guān)·九年級(jí)翁源縣龍仙第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)、是二次函數(shù)圖像上一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，一次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)、．

(1)直接寫出點(diǎn)、的坐標(biāo)；(2)求二次函數(shù)的解析式；(3)將二次函數(shù)向左平移2個(gè)單位，并向下平移2個(gè)單位，寫出得到的圖像的解析式；(4)根據(jù)圖像求的解集．【答案】(1)，(2)二次函數(shù)解析式為(3)(4)或【分析】（1）由圖象可得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；（3）根據(jù)拋物線平移規(guī)律求解即可；（4）由拋物線在直線下方時(shí)的取值范圍求解即可．【詳解】（1）解：由圖象可得點(diǎn)坐標(biāo)為，∵拋物線經(jīng)過(guò)、，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）解：將、代入得，，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為．（3）解：二次函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位后解析式為，再將拋物線向下移動(dòng)2個(gè)單位后解析式為．（4）解：∵點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，∴當(dāng)或時(shí)，拋物線圖象在直線下方，∴當(dāng)或時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．8．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)東臺(tái)市三倉(cāng)鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)求出該拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出函數(shù)的圖象；(2)直接寫出當(dāng)時(shí)，的取值范圍_____，當(dāng)時(shí)，的取值范圍_____．【答案】(1)拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，；與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；頂點(diǎn)坐標(biāo)為；函數(shù)圖象見(jiàn)解析(2)，【分析】（1）令，則，求解即可得到拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令，則，即可得到拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，將拋物線化為頂點(diǎn)式即可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，列表、描點(diǎn)、連線，即可得到拋物線的圖象；（2）由圖象即可得到答案．【詳解】（1）解：，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，令，則，解得：，，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，令，則，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，列表如下：012306860描點(diǎn)、連線，如圖：；（2）解：由圖象可得：當(dāng)時(shí)，的取值范圍，當(dāng)時(shí)，的取值范圍，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確畫出二次函數(shù)的圖象，是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·湖北荊州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知二次函數(shù)的圖象過(guò)和兩點(diǎn)，

(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在同一坐標(biāo)系中畫出直線，并直接寫出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值．【答案】(1)(2)點(diǎn)D坐標(biāo)為(3)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象過(guò)和兩點(diǎn)，代入得出關(guān)于a，b的二元一次方程組，求得a，b從而得出二次函數(shù)的解析式；（2）令，解一元二次方程，求得x的值，從而得出與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）聯(lián)立一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，求解出交點(diǎn)坐標(biāo)，按照函數(shù)解析式運(yùn)用描點(diǎn)法畫出圖象，觀察二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象，找到一次函數(shù)值高于二次函數(shù)值的部分，其對(duì)應(yīng)自變量即是x取值范圍．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖象過(guò)和兩點(diǎn)，，，，二次函數(shù)的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，得；解得，，點(diǎn)D坐標(biāo)為；（3）解：聯(lián)立一次函數(shù)和二次函數(shù)，，解得：，，即一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象如圖，

當(dāng)一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值時(shí)，x的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)等知識(shí)，熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解答關(guān)鍵．題型七二次函數(shù)圖象實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【例12】（2023秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某商店開始時(shí)，將每件進(jìn)價(jià)為8元的某種商品按每件10元出售，每天可售出100件，店方想采用提高售價(jià)的辦法來(lái)增加利潤(rùn)．經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這種商品每件每提價(jià)1元，每天的銷售量就會(huì)減少10件．(1)如果漲價(jià)3元，每天的銷售利潤(rùn)是多少？(2)如何定價(jià)，使每天所得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)350元(2)漲價(jià)4元利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是360元【分析】（1）直接根據(jù)題中的邏輯關(guān)系即可求解；（2）題中等量關(guān)系為利潤(rùn)（售價(jià)進(jìn)價(jià))售出件數(shù)，根據(jù)該等量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，再的函數(shù)關(guān)系式配方，根據(jù)配方后的方程式即可求出y的最大值．【詳解】（1）解：如果漲價(jià)3元，則每天售：（件），每件單價(jià)為13（元），漲價(jià)3元利潤(rùn)為：；（2）解：設(shè)漲價(jià)x元，利潤(rùn)為y元，則每天售：（件），每件單價(jià)為：（元），，，∴當(dāng)時(shí)y有最大值，最大值為360（元），即漲價(jià)4元利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是360（元）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題目中的邏輯關(guān)系及正確列出二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【例13】（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戲．某同學(xué)借此情境編制了一道數(shù)學(xué)題，請(qǐng)解答這道題．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1m長(zhǎng)．嘉嘉在點(diǎn)處將沙包（看成點(diǎn)）拋出，并運(yùn)動(dòng)路線為拋物線的一部分，淇淇恰在點(diǎn)處接住，然后跳起將沙包回傳，其運(yùn)動(dòng)路線為拋物線的一部分．

(1)寫出的最高點(diǎn)坐標(biāo)，并求a，c的值；(2)若嘉嘉在x軸上方的高度上，且到點(diǎn)A水平距離不超過(guò)的范圍內(nèi)可以接到沙包，求符合條件的n的整數(shù)值．【答案】(1)的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，，；(2)符合條件的n的整數(shù)值為4和5．【分析】（1）利用頂點(diǎn)式即可得到最高點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)在拋物線上，利用待定系數(shù)法即可求得a的值；令，即可求得c的值；（2）求得點(diǎn)A的坐標(biāo)范圍為，求得n的取值范圍，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線，∴的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，解得：，∴拋物線的解析式為，令，則；（2）解：∵到點(diǎn)A水平距離不超過(guò)的范圍內(nèi)可以接到沙包，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)范圍為，當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，，解得；當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，，解得；∴∴符合條件的n的整數(shù)值為4和5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，聯(lián)系實(shí)際，讀懂題意，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．（2020秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谥校轫憫?yīng)廣州市“創(chuàng)建全國(guó)文明城市”號(hào)召，某單位不斷美化環(huán)境，擬在一塊矩形空地上修建綠色植物園，其中一邊露墻，可利用的墻長(zhǎng)不超過(guò)，另外三邊由長(zhǎng)的柵欄圍成