大學物理靜電場(四)

關于的計算的幾個問題1.

矢量積分在具體運算時必須化為標量積分，再進行積分。計算原則：點電荷的電場疊加原理錯誤的寫法：再求1例已知帶電直線段L

ld，求P點的xyOPdx-L/2

dxL/2P點的由對稱性可知：xyOdl

d

例已知帶電圓環(huán)R

l，求O點的22.

認準積分變量在求

的積分式中，會出現(xiàn)二類不同的變量：源電荷所占據(jù)空間的位置變量源電荷激發(fā)電場中場點的位置變量例xOPdx’lxx’源變量

x’

—積分變量場變量

x方向一致是x的函數(shù)，上式是在帶電線延長線上任一點的3sPxrO例帶孔R的無限大面軸線上任一點P的區(qū)分：源變量

r——積分變量

場變量

x——表示P點的位置方向一致43.

利用數(shù)學工具，結(jié)合物理模型，準確寫出計算公式*點電荷、線電荷、面電荷是物理學中抽象出來的理想化模型，而點、線、面是幾何概念，點無大小、線無粗細、面無厚度。在物理學中，可以把帶電體看成是點、線、面電荷的集合。帶電線由點電荷組成---------每個點電荷的

dq

=?

帶電體由點電荷組成---------每個點電荷的

dq

=?

帶電面由線電荷組成------------每條線的

l

=?

如：具體情況具體分析（1）一個帶電線段看成是點電荷的集合若帶電線是直線段xOdxxdq=ldx物理學上把dq看成是點電荷數(shù)學上，dq不是一個點，而是一小段（dx）帶電線5xyOdl

d

若帶電線是一帶電圓弧物理學上把dq看成是點電荷數(shù)學上，dq不是一個點，而是一小段帶電圓?。?）一個帶電面看成是點電荷的集合sxry

d

物理學上把dq看成是點電荷數(shù)學上，dq是一個扇形的一部分6（3）一個帶電面(s

)看成是帶電線(l)的集合l=?帶電平面是由帶電直線組成xdxsdl物理上：帶電線數(shù)學上：寬為dx的細長帶電矩形條帶電曲面是由帶電直線組成（如:無限長半圓柱）sl物理上：帶電線數(shù)學上：寬為ds

的細長帶電弧面若已知s，則

7又如

帶電圓盤是帶電圓環(huán)的集合，帶電圓錐面、帶電圓柱面、帶電半球面也都可看成是帶電圓環(huán)的集合，但每個圓環(huán)dq不同srR帶電圓盤由帶電圓環(huán)組成ll/若已知l

，則

8lRLxrOdxx帶電圓錐面xROxdxH帶電圓柱面sxrR

d

dlO帶電半球面以上各例，物理上都稱為帶電線圓環(huán)，但數(shù)學上由于帶電面具體形狀不同，所以，dq的表示式均不同。9（4）一個帶電體(r),由許多帶電面(s)組成

s=?dsdx取一小面元

ds

，厚度dx

幾何的面沒有厚度，物理的帶電面有厚度dx

如：帶電球體4.

利用高斯定理求時，對電荷不均勻但對稱分布的電場——帶電球殼的集合帶電柱體——帶電柱殼的集合10如：一帶電球體利用高斯定理求r<R處P點的P如圖取一高斯球面11例：一無限長帶電柱體利用高斯定理求r<R處P點的hrrP（求閉合面內(nèi)電荷時，把復雜的三重積分化成單重積分）12§8.4

靜電場的環(huán)路定理電勢能電勢研究電場的性質(zhì)從電場對q0做功的角度：引入

u從q0在電場中受力的角度：引入一.靜電力作功的特點——做功與路徑無關1.

點電荷產(chǎn)生的電場baq0O

求在q的場中，試驗電荷q0從a—b電場力對q0做的功

A=?所以：用積分法運算

在

上，逐點變化，所以q0受的力也逐點變化，即所求功為變力做功13在位移元上，電場力做的元功ba

q0Oq0從a—b電場力做的總功為：結(jié)果：電場力對q0做的功與路徑無關q0的起點、終點位置有關q0的大小有關只與142.

任意點電荷系的電場ab??q0從a—b電場對q0做的功

以上每一項都與中間路徑無關，所以：在任何靜電場中，電場對q0做的功只與2個因素有關：起點、終點位置q0的大小

在力學中學過，力的功只和被移動物體的起點和終點位置有關，與中間路徑無關，此力稱為保守力。如：重力、萬有引力、彈性力

靜電場力是保守力，靜電場是保守場。153.在任意靜電場中，q0繞閉合路徑一周，電場力做功等于多少？L1L2ab環(huán)路定理：在靜電場中，沿任一閉合路徑的線積分恒為零。

從物理上看：在靜電場中，電荷沿任一閉合路徑走一圈，電場力做功恒為零。即，靜電場力做功和路徑無關；或，靜電場是保守場沿閉合路徑的線積分，稱為的環(huán)流可以引入勢能16二.電勢能任何力做功可以引起能量的變化。外力做功可以引起某種能量的增加內(nèi)力做功可以引起某種能量的減少（或轉(zhuǎn)換）對一個系統(tǒng)：對一個保守系統(tǒng)：保守內(nèi)力做功引起系統(tǒng)自身能量減少（或轉(zhuǎn)換）。保守內(nèi)力做功的大小僅與始、終點有關，

相應變化的能量也僅與始、終點位置有關。僅與相對位置有關的能量稱為勢能在保守力場中，引入勢能：保守內(nèi)力的功等與勢能的減少，或等于勢能增量的負值：17在靜電場中，q0從a—b，電場力做功：電場力做功只能確定a,b二點電勢能之差

若選b點為參考點，并規(guī)定Wb=0

，則q0在場中任一點a的Wa就有了確切的數(shù)值。q0Qaq0在Q的電場中a點的電勢能Wa，等于把q0從a參考點移動，電場力做的功：問：能否用Wa來反映電場的性質(zhì)？不行！18

Wa屬于系統(tǒng)所有，不能用來描述場的性質(zhì)。當參考點選定后，

Wa和2個因素有關：(1)場中a點的位置(2)引入q0的大小為了能用場點的位置，從能量的角度反映電場本身的性質(zhì)，應把第2個因素去掉，統(tǒng)一取單位正電荷具有的電勢能：此量僅與場點位置有關，記為

ua稱為電勢三.電勢

單位正電荷具有的電勢能僅與場中點a位置有關，與q0無關，可反映電場中各點的性質(zhì)。ua是場中位置的單值函數(shù)191.

電勢的定義P點的電勢等于單位正電荷在P點具有的電勢能。P點的電勢等于把單位正電荷從P點參考點移動，電場力做的功?；颍?/p>

P點的電勢即從P點參考點的線積分2.

參考點的選取是任意的，為方便可設：對有限大小的帶電體的電場：一般選無窮遠處為參考點，

令對無限大小的帶電體的電場：任選一點為參考點

實際工作中：一般選大地為參考點，（因為大地是個導體、等勢體，微量電荷變化不會引起地球電勢的變化）203.

電勢是標量，其正、負由積分式定正、負由參考點的選取P點的位置的分布定如：-q的電場中的電勢一定是負嗎？不是！-qP1P2O若取O點為參考點-----+++++負板電勢為0，二板間場中u均為正+qP1O214.

電勢和電勢能的區(qū)別uP——描寫電場中P點性質(zhì)的物理量，是電場的單值函數(shù)WP——進入場中電荷q0在P點具有的勢能，屬于q0和電場系統(tǒng)所有。二者關系：q0——點電荷uP——電場中q0所在P點處的電勢（不包括

q0的電場）5.

電勢差（電壓）電場中任