大學(xué)物理靜電場(chǎng)(四)

關(guān)于的計(jì)算的幾個(gè)問題1.

矢量積分在具體運(yùn)算時(shí)必須化為標(biāo)量積分，再進(jìn)行積分。計(jì)算原則：點(diǎn)電荷的電場(chǎng)疊加原理錯(cuò)誤的寫法：再求1例已知帶電直線段L

ld，求P點(diǎn)的xyOPdx-L/2

dxL/2P點(diǎn)的由對(duì)稱性可知：xyOdl

d

例已知帶電圓環(huán)R

l，求O點(diǎn)的22.

認(rèn)準(zhǔn)積分變量在求

的積分式中，會(huì)出現(xiàn)二類不同的變量：源電荷所占據(jù)空間的位置變量源電荷激發(fā)電場(chǎng)中場(chǎng)點(diǎn)的位置變量例xOPdx’lxx’源變量

x’

—積分變量場(chǎng)變量

x方向一致是x的函數(shù)，上式是在帶電線延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)的3sPxrO例帶孔R(shí)的無(wú)限大面軸線上任一點(diǎn)P的區(qū)分：源變量

r——積分變量

場(chǎng)變量

x——表示P點(diǎn)的位置方向一致43.

利用數(shù)學(xué)工具，結(jié)合物理模型，準(zhǔn)確寫出計(jì)算公式*點(diǎn)電荷、線電荷、面電荷是物理學(xué)中抽象出來(lái)的理想化模型，而點(diǎn)、線、面是幾何概念，點(diǎn)無(wú)大小、線無(wú)粗細(xì)、面無(wú)厚度。在物理學(xué)中，可以把帶電體看成是點(diǎn)、線、面電荷的集合。帶電線由點(diǎn)電荷組成---------每個(gè)點(diǎn)電荷的

dq

=?

帶電體由點(diǎn)電荷組成---------每個(gè)點(diǎn)電荷的

dq

=?

帶電面由線電荷組成------------每條線的

l

=?

如：具體情況具體分析（1）一個(gè)帶電線段看成是點(diǎn)電荷的集合若帶電線是直線段xOdxxdq=ldx物理學(xué)上把dq看成是點(diǎn)電荷數(shù)學(xué)上，dq不是一個(gè)點(diǎn)，而是一小段（dx）帶電線5xyOdl

d

若帶電線是一帶電圓弧物理學(xué)上把dq看成是點(diǎn)電荷數(shù)學(xué)上，dq不是一個(gè)點(diǎn)，而是一小段帶電圓?。?）一個(gè)帶電面看成是點(diǎn)電荷的集合sxry

d

物理學(xué)上把dq看成是點(diǎn)電荷數(shù)學(xué)上，dq是一個(gè)扇形的一部分6（3）一個(gè)帶電面(s

)看成是帶電線(l)的集合l=?帶電平面是由帶電直線組成xdxsdl物理上：帶電線數(shù)學(xué)上：寬為dx的細(xì)長(zhǎng)帶電矩形條帶電曲面是由帶電直線組成（如:無(wú)限長(zhǎng)半圓柱）sl物理上：帶電線數(shù)學(xué)上：寬為ds

的細(xì)長(zhǎng)帶電弧面若已知s，則

7又如

帶電圓盤是帶電圓環(huán)的集合，帶電圓錐面、帶電圓柱面、帶電半球面也都可看成是帶電圓環(huán)的集合，但每個(gè)圓環(huán)dq不同srR帶電圓盤由帶電圓環(huán)組成ll/若已知l

，則

8lRLxrOdxx帶電圓錐面xROxdxH帶電圓柱面sxrR

d

dlO帶電半球面以上各例，物理上都稱為帶電線圓環(huán)，但數(shù)學(xué)上由于帶電面具體形狀不同，所以，dq的表示式均不同。9（4）一個(gè)帶電體(r),由許多帶電面(s)組成

s=?dsdx取一小面元

ds

，厚度dx

幾何的面沒有厚度，物理的帶電面有厚度dx

如：帶電球體4.

利用高斯定理求時(shí)，對(duì)電荷不均勻但對(duì)稱分布的電場(chǎng)——帶電球殼的集合帶電柱體——帶電柱殼的集合10如：一帶電球體利用高斯定理求r<R處P點(diǎn)的P如圖取一高斯球面11例：一無(wú)限長(zhǎng)帶電柱體利用高斯定理求r<R處P點(diǎn)的hrrP（求閉合面內(nèi)電荷時(shí)，把復(fù)雜的三重積分化成單重積分）12§8.4

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理電勢(shì)能電勢(shì)研究電場(chǎng)的性質(zhì)從電場(chǎng)對(duì)q0做功的角度：引入

u從q0在電場(chǎng)中受力的角度：引入一.靜電力作功的特點(diǎn)——做功與路徑無(wú)關(guān)1.

點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)baq0O

求在q的場(chǎng)中，試驗(yàn)電荷q0從a—b電場(chǎng)力對(duì)q0做的功

A=?所以：用積分法運(yùn)算

在

上，逐點(diǎn)變化，所以q0受的力也逐點(diǎn)變化，即所求功為變力做功13在位移元上，電場(chǎng)力做的元功ba

q0Oq0從a—b電場(chǎng)力做的總功為：結(jié)果：電場(chǎng)力對(duì)q0做的功與路徑無(wú)關(guān)q0的起點(diǎn)、終點(diǎn)位置有關(guān)q0的大小有關(guān)只與142.

任意點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)ab??q0從a—b電場(chǎng)對(duì)q0做的功

以上每一項(xiàng)都與中間路徑無(wú)關(guān)，所以：在任何靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)對(duì)q0做的功只與2個(gè)因素有關(guān)：起點(diǎn)、終點(diǎn)位置q0的大小

在力學(xué)中學(xué)過，力的功只和被移動(dòng)物體的起點(diǎn)和終點(diǎn)位置有關(guān)，與中間路徑無(wú)關(guān)，此力稱為保守力。如：重力、萬(wàn)有引力、彈性力

靜電場(chǎng)力是保守力，靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)。153.在任意靜電場(chǎng)中，q0繞閉合路徑一周，電場(chǎng)力做功等于多少？L1L2ab環(huán)路定理：在靜電場(chǎng)中，沿任一閉合路徑的線積分恒為零。

從物理上看：在靜電場(chǎng)中，電荷沿任一閉合路徑走一圈，電場(chǎng)力做功恒為零。即，靜電場(chǎng)力做功和路徑無(wú)關(guān)；或，靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)沿閉合路徑的線積分，稱為的環(huán)流可以引入勢(shì)能16二.電勢(shì)能任何力做功可以引起能量的變化。外力做功可以引起某種能量的增加內(nèi)力做功可以引起某種能量的減少（或轉(zhuǎn)換）對(duì)一個(gè)系統(tǒng)：對(duì)一個(gè)保守系統(tǒng)：保守內(nèi)力做功引起系統(tǒng)自身能量減少（或轉(zhuǎn)換）。保守內(nèi)力做功的大小僅與始、終點(diǎn)有關(guān)，

相應(yīng)變化的能量也僅與始、終點(diǎn)位置有關(guān)。僅與相對(duì)位置有關(guān)的能量稱為勢(shì)能在保守力場(chǎng)中，引入勢(shì)能：保守內(nèi)力的功等與勢(shì)能的減少，或等于勢(shì)能增量的負(fù)值：17在靜電場(chǎng)中，q0從a—b，電場(chǎng)力做功：電場(chǎng)力做功只能確定a,b二點(diǎn)電勢(shì)能之差

若選b點(diǎn)為參考點(diǎn)，并規(guī)定Wb=0

，則q0在場(chǎng)中任一點(diǎn)a的Wa就有了確切的數(shù)值。q0Qaq0在Q的電場(chǎng)中a點(diǎn)的電勢(shì)能Wa，等于把q0從a參考點(diǎn)移動(dòng)，電場(chǎng)力做的功：?jiǎn)枺耗芊裼肳a來(lái)反映電場(chǎng)的性質(zhì)？不行！18

Wa屬于系統(tǒng)所有，不能用來(lái)描述場(chǎng)的性質(zhì)。當(dāng)參考點(diǎn)選定后，

Wa和2個(gè)因素有關(guān)：(1)場(chǎng)中a點(diǎn)的位置(2)引入q0的大小為了能用場(chǎng)點(diǎn)的位置，從能量的角度反映電場(chǎng)本身的性質(zhì)，應(yīng)把第2個(gè)因素去掉，統(tǒng)一取單位正電荷具有的電勢(shì)能：此量?jī)H與場(chǎng)點(diǎn)位置有關(guān)，記為

ua稱為電勢(shì)三.電勢(shì)

單位正電荷具有的電勢(shì)能僅與場(chǎng)中點(diǎn)a位置有關(guān)，與q0無(wú)關(guān)，可反映電場(chǎng)中各點(diǎn)的性質(zhì)。ua是場(chǎng)中位置的單值函數(shù)191.

電勢(shì)的定義P點(diǎn)的電勢(shì)等于單位正電荷在P點(diǎn)具有的電勢(shì)能。P點(diǎn)的電勢(shì)等于把單位正電荷從P點(diǎn)參考點(diǎn)移動(dòng)，電場(chǎng)力做的功?；颍?/p>

P點(diǎn)的電勢(shì)即從P點(diǎn)參考點(diǎn)的線積分2.

參考點(diǎn)的選取是任意的，為方便可設(shè)：對(duì)有限大小的帶電體的電場(chǎng)：一般選無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)，

令對(duì)無(wú)限大小的帶電體的電場(chǎng)：任選一點(diǎn)為參考點(diǎn)

實(shí)際工作中：一般選大地為參考點(diǎn)，（因?yàn)榇蟮厥莻€(gè)導(dǎo)體、等勢(shì)體，微量電荷變化不會(huì)引起地球電勢(shì)的變化）203.

電勢(shì)是標(biāo)量，其正、負(fù)由積分式定正、負(fù)由參考點(diǎn)的選取P點(diǎn)的位置的分布定如：-q的電場(chǎng)中的電勢(shì)一定是負(fù)嗎？不是！-qP1P2O若取O點(diǎn)為參考點(diǎn)-----+++++負(fù)板電勢(shì)為0，二板間場(chǎng)中u均為正+qP1O214.

電勢(shì)和電勢(shì)能的區(qū)別uP——描寫電場(chǎng)中P點(diǎn)性質(zhì)的物理量，是電場(chǎng)的單值函數(shù)WP——進(jìn)入場(chǎng)中電荷q0在P點(diǎn)具有的勢(shì)能，屬于q0和電場(chǎng)系統(tǒng)所有。二者關(guān)系：q0——點(diǎn)電荷uP——電場(chǎng)中q0所在P點(diǎn)處的電勢(shì)（不包括

q0的電場(chǎng)）5.

電勢(shì)差（電壓）電場(chǎng)中任