2021考研數(shù)學(xué)章節(jié)練習(xí)答案解析-《數(shù)學(xué)-概率論》-第二講 隨機(jī)變量及其分布

1

設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為/(x),且人力為偶函數(shù)，X的分布

函數(shù)為萬(x),則對任意實(shí)數(shù)a,有().

A.尸(-a)=l一Q(x)dx

1ca

BF(-6r)=--jo/(x)dt

C.FJa)=F@

D.F(-d)=2F{a}-\

［參考答案］B

［答案解析］

尸(-a)=J二￡7(-0^=J：f@)dt=1-［j⑺小

=l-(nfQ)dt+匚f①小卜1-尸(一。)-2J；f(t)dt,

1”

F(-n)=--￡/(x)rfi,選B.

2

2

設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)分別為尸i(x).尸2(x)，為使得

尸(x)=";(x)+b尸2。)為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則有().

D.ci——、b=一

22

［參考答案］D

［答案解析］

根據(jù)性質(zhì)產(chǎn)(+°0)=1，得正確答案為D.

3

6.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為尸(x)，則下列函數(shù)中可作為某隨機(jī)

變量的分布函數(shù)的是().

A.F(x2)

B.F(-x)

C.l-F(x)

D.F(2x-1)

［參考答案］D

［答案解析］

函數(shù)3>)可作為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充分必要條件是：

(1)0<^x)<l；(2)火工)單調(diào)不減；(3)吹”)右連續(xù)；

(4)。?)=0,火+00)=1.

顯然只有尸(2工-1)滿足條件，選D.

4

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則隨機(jī)變量Y=min{X,2}

的分布函數(shù)().

A.是階梯函數(shù)

B恰有一個(gè)間斷點(diǎn)

C.至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)

D.是連續(xù)函數(shù)

［參考答案］B

［答案解析］

Fy(v)=P(X<=P(min{X,2}<v)=l-P(min{X,2}>v)

=1-尸(X>y,2>y)=1—尸(X>y)?(2>y),

當(dāng)yN2時(shí)，F(xiàn)r(y)=l；

當(dāng)y<2時(shí)，F(xiàn)Y(y)=1-P(X>y)=P{X<>')=Fx(y),

\-e~xr>0

''一’所以當(dāng)0?”2時(shí)，尸式1，)=1-

{0,x<0,

1.y>2,

當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)r(y)=0,BPFy(v)=<l-e-\0<y<2,

0,y<0,

顯然尸r(p)在y=2處間斷，選B.

設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p,進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)

p=時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差最大，其最大值為

設(shè)成功的次數(shù)為X,則

X?2(100,夕)，D(X)=10Qp(\-p),標(biāo)準(zhǔn)差為JlOOp。-p).

令/O)=p(i_p)(0<p<D，由/3)=1_2〃=0得°=；.

2

因?yàn)?所以°=；為/3)的最大值點(diǎn)，

當(dāng)p=1時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差最大，最大值為5.

2

［參考答案］

6

設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p=X表示首次成功需要試驗(yàn)的次

數(shù)，則X取偶數(shù)的概率為.

(31

由P{X=k}=(l—p)*-76=L2-)其中p=—，得

k4J

￡P(guān)(X=2k)=fp(l-p產(chǎn)】=pl-p1

—)2

k=li=l5

［參考答案］

7

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fY(X)=一」(-8<X<+8),

n(l+x‘)

y=x?的概率密度為

2

FY(y)=P(Y<y^=P(X<y).

當(dāng)j?0時(shí),Fy(y)=0；

2

當(dāng)y>0時(shí)，F(xiàn)r(v)=P(X<v)=P(-7r<X<5=。fx(x)dv

=??工_!_祈=21—dx=—arctail^/v.

KM1+丁儲。1+x2冗

o.V<0,

于是尸r(y)=<2r~

—arctan^/v,v>0.

0,y<0,

故人(y)=

j―-----.v>0.

［乃國1+y)

［參考答案］

8

有甲、乙兩個(gè)口袋，兩袋中都有3個(gè)白球2個(gè)黑球，現(xiàn)從甲袋中任

取一球放入乙袋，再從乙袋中任取4個(gè)球，設(shè)4個(gè)球中的黑球數(shù)用

X表示，求X的分布律.

設(shè)幺=｛從甲袋中取出黑球｝,X的可能取值為0,2,3,

令===61.2.3),則

P(X=0)=P(B。)=PQ)P(B°|Z)+P(A)P(B0|A)

2c3C：1

55Cg25

P(*=1)=P(BJ=尸(N)P(鳥|⑷+P(N)P(B］|A)

2C；。；3C：。；10

=_X-i--x------=—.

5Ct525

P(X=2)=P(B2)=P(A)P(B2IA)+P(A)P(B2\A)

P{X=3)=P(B3)=P(A)P(B31A)+P(A)P(B31A)

2。洌3c2

=—x--------1—x0=—

5Cg525

’0123、

所以X的分布律為X?1io122?

<25252525>

［參考答案］

9

設(shè)一設(shè)備在時(shí)間長度為1的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N⑺?尸(力).

(1)求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布；

(2)求設(shè)備在無故障工作8小時(shí)下，再無故障工作8小時(shí)的概率.

(1)T的概率分布函數(shù)為尸⑺二尸(TWf),

當(dāng)1<0時(shí)，尸(7)=0;

當(dāng)120時(shí),F(0=P(T<0=1-P(T>0=1-P(N=0)=1-e-X/,

fo.r<o,

所以產(chǎn)⑴=1,即T?EQ).

>0.

(2)所求概率為

P(T>16,T>8)P(T>16),

p=P(T>16\T>S)=---------------------=--------------=pS2

P(T>8)P(T>8)

［參考答案］

設(shè)隨機(jī)變量X滿足且P(X=-1)=(P(X=1)=：,在

{T<X<1}發(fā)生的情況下，X在內(nèi)任一子區(qū)間上的條件

概率與該子區(qū)間長度成正比.

(1)求X的分布函數(shù)；(2)求尸(X<0).

(1)當(dāng)x<-l時(shí)，F(xiàn)(x)=O；當(dāng)x=-l時(shí)，F(xiàn)(-l)=-；

8

,115

因?yàn)槭?一1<A"<1)=1------=—

8489

所以在｛-1<X<1XT<X<D發(fā)生下，

,,、x+l

P(-l<X<x|-l<x<l)=-^-,

于是當(dāng)-1<工<1時(shí)，

r

P(-l<A<x)=P(-l<X<x?-l<x<l)

=P