數(shù)學(xué)七年級下學(xué)期2.10 二元一次方程組的應(yīng)用

專題2.10二元一次方程組的應(yīng)用（1）（知識講解）【學(xué)習(xí)目標】1．以含有多個未知數(shù)的實際問題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列方程組，解方程組和檢驗結(jié)果”的過程，體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界中含有多個未知數(shù)問題的數(shù)學(xué)模型；2.熟練掌握用方程組解決和差倍分，配套，工程等實際問題.【要點梳理】要點一、常見的一些等量關(guān)系（一）1.和差倍分問題：年齡差不變2.產(chǎn)品配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：加工總量成比例.3.和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量.要點二、實際問題與二元一次方程組1.列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的等量關(guān)系．一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量：②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)要相等.2.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)：用兩個字母表示問題中的兩個未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗：檢驗求得的值是否正確和符合實際情形；答：寫出答案．特別說明：（1）解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組.【典型例題】類型一、年齡問題1．甲是乙現(xiàn)在的年齡時，乙10歲，乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲25歲，那么（）A．甲比乙大5歲 B．甲比乙大10歲C．乙比甲大10歲 D．乙比甲大5歲【答案】A【分析】設(shè)甲現(xiàn)在的年齡是x歲，乙現(xiàn)在的年齡是y歲，根據(jù)已知甲是乙現(xiàn)在的年齡時，乙10歲．乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲25歲，可列方程求解．解：甲現(xiàn)在的年齡是x歲，乙現(xiàn)在的年齡是y歲，由題意可得：即由此可得，，∴，即甲比乙大5歲．故選：A．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，重點考查理解題意的能力，甲、乙年齡無論怎么變，年齡差是不變的．舉一反三：【變式1】一天，小民去問爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢，你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)是老壽星了，125歲了，哈哈！”請你寫出小民爺爺?shù)降资莀__歲．【答案】70【分析】設(shè)爺爺是x歲，小民是y歲，根據(jù)題意描述的關(guān)系，得出二元一次方程組，求解即可．解：設(shè)爺爺現(xiàn)在x歲，小民現(xiàn)在y歲，根據(jù)題意：，解得：，故答案為：70．【點撥】本題考查二元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題關(guān)鍵．【變式2】7月4日，2020長白山地下森林徒步活動鳴槍開始，一名34歲的男子帶著他的兩個孩子一同參加了比賽．下面是兩個孩子與記者的部分對話：妹妹：我和哥哥的年齡和是16歲．哥哥：兩年后，妹妹年齡的3倍與我的年齡相加恰好等于爸爸的年齡．根據(jù)對話內(nèi)容，請你用方程的知識幫記者求出現(xiàn)在哥哥和妹妹的年齡各是多少歲？【答案】現(xiàn)在哥哥10歲，妹妹6歲．【分析】設(shè)現(xiàn)在哥哥x歲，妹妹y歲，根據(jù)兩孩子的對話，可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．解：設(shè)現(xiàn)在哥哥x歲，妹妹y歲，根據(jù)題意得解得答：現(xiàn)在哥哥10歲，妹妹6歲．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用題目信息，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程解決．類型二、分配問題2．《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)，物價各幾何？譯文為：現(xiàn)有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元，問共有多少人？這個物品的價格是多少？請解答上述問題．【答案】共有7人，這個物品的價格是53元．【分析】根據(jù)題意，找出等量關(guān)系，列出一元一次方程.解：設(shè)共有x人，這個物品的價格是y元，解得答：共有7人，這個物品的價格是53元.【點撥】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用.舉一反三：【變式1】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套？【答案】25人生產(chǎn)螺栓，35人生產(chǎn)螺母.【分析】首先設(shè)x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母剛好配套，利用工廠有工人60人，每人每天生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個，進而得出等式求出答案．解：設(shè)x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母剛好配套，據(jù)題意可得，解之得，答：25人生產(chǎn)螺栓，35人生產(chǎn)螺母剛好配套．【點撥】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式2】食品安全是關(guān)乎民生的重要問題，在食品中添加過量的添加劑對人體健康有害，但適量的添加劑對人體無害而且有利于食品的儲存和運輸．為提高質(zhì)量，做進一步研究，某飲料加工廠需生產(chǎn)A、B兩種飲料共100瓶，需加入同種添加劑270克，其中A飲料每瓶需加該添加劑2克，B飲料每瓶需加該添加劑3克，飲料加工廠生產(chǎn)了A、B兩種飲料各多少瓶？【答案】飲料加工廠生產(chǎn)了A種飲料30瓶，B種飲料70瓶．解：試題分析：本題是二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)甲種飲料瓶，乙種飲料瓶，根據(jù)題意列出方程組即可.試題解析：設(shè)甲種飲料瓶，乙種飲料瓶，由題意得解之得答：生產(chǎn)甲飲料40瓶，乙飲料60瓶．類型三、和差倍分題3．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一題，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，問大小器各容幾何．”意思是：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛．1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？請解答．【答案】1個大桶可以盛酒斛，1個小桶可以盛酒斛．【分析】直接利用5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛，1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛，分別得出等式組成方程組求出答案．解：設(shè)1個大桶可以盛酒x斛，1個小桶可以盛酒y斛，則，解得：，答：1個大桶可以盛酒斛，1個小桶可以盛酒斛．【點撥】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】2020年2月，“新冠”疫情日趨嚴重，“雷神山”醫(yī)院急需新型救護車，某企業(yè)為了向醫(yī)院捐獻救護車，派人到汽車銷售公司了解到，新型救護車共有A、B兩種型號，2輛A救護車、3輛B型救護車的進價共計80萬元；3輛A型救護車、2輛B型救護車的進價共計95萬元．（1）求A、B兩種型號的救護車每輛進價分別為多少萬元?（2）若該企業(yè)計劃正好用200萬元購進以上兩種型號的新型救護車（兩種型號的救護車均購買），該企業(yè)共有哪幾種購買方案．（3）若該救護車銷售公司銷售1輛A型汽車可獲利8000元，銷售1輛B型救護車可獲利5000元，在（2）中的購買方案中，該汽車銷售公司全部售出這些新型救護車，哪種方案獲利最大？【答案】（1）A型救護車每輛的進價為25萬元，B型救護車每輛的進價為10萬元；（2）共3種購買方案，方案一：購進A型車6輛，B型車5輛；方案二：購進A型車4輛，B型車10輛；方案三：購進A型車2輛，B型車15輛；（3）銷售A型車2輛，B型車15輛獲利最大【分析】（1）設(shè)A型救護車每輛的進價為x萬元，B型救護車每輛的進價為y萬元，根據(jù)“2輛A型汽車、3輛B型救護車的進價共計80萬元；3輛A型救護車、2輛B型救護車的進價共計95萬元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購進A型救護車m輛，購進B型救護車n輛，根據(jù)總價=單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出結(jié)論；（3）利用總價=單價×數(shù)量，即可求出三種售車方案獲得的利潤，比較后即可得出結(jié)論．解：（1）設(shè)A型救護車每輛的進價為x萬元，B型救護車每輛的進價為y萬元，依題意，得：，解得：，答：A型救護車每輛的進價為25萬元，B型救護車每輛的進價為10萬元．（2）設(shè)購進A型救護車m輛，購進B型救護車n輛，依題意，得：25m+10n=200，解得：m=8-n，∵m，n均為正整數(shù)，∴或或，∴共3種購買方案，方案一：購進A型車6輛，B型車5輛；方案二：購進A型車4輛，B型車10輛；方案三：購進A型車2輛，B型車15輛．（3）方案一獲得利潤：8000×6+5000×5=73000（元）；方案二獲得利潤：8000×4+5000×10=82000（元）；方案三獲得利潤：8000×2+5000×15=91000（元）．∵73000＜82000＜91000，∴銷售A型車2輛，B型車15輛獲利最大．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程；（3）利用總價=單價×數(shù)量求出三種售車方案獲得的利潤．【變式2】2020年新型冠狀病毒肺炎在全球蔓延，口罩成了人們生活中的必備物資．某口罩廠現(xiàn)安排A、B兩組工人共150人加工口罩，A組工人每人每小時可加工口罩70個，B組工人每人每小時可加工口罩50個，A、B兩組工人每小時一共可加工口罩9300個．試問：A、B兩組工人各多少人？【答案】A組工人有90人，B組工人有60人【分析】設(shè)A組工人有x人，B組工人有y人，根據(jù)A、B兩組工人共150人每小時可加工口罩9300個，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．解：設(shè)A組工人有x人，B組工人有y人，依題意得：，解得：．答：A組工人有90人，B組工人有60人．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找出兩個等量關(guān)系，然后列方程組．當(dāng)然本題也可用一元一次方程來解決．類型四、古代問題4．《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)專著，在數(shù)學(xué)上有其獨到的成就，不僅最早提到了分數(shù)問題，也首先記錄了“盈不足”等問題．如有一道闡述“盈不足”的問題，原文如下：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)、雞價各幾何？譯文為：現(xiàn)有若干人合伙出錢買雞，如果每人出9文錢，就會多11文錢；如果每人出6文錢，又會缺16文錢．問買雞的人數(shù)、雞的價格各是多少.請解答上述問題．【答案】合伙買雞者有9人，雞的價格為70文錢【分析】設(shè)合伙買雞者有x人，雞的價格為y文錢，根據(jù)“如果每人出9文錢，就會多11文錢；如果每人出6文錢，又會缺16文錢”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．解：設(shè)合伙買雞者有x人，雞的價格為y文錢，根據(jù)題意得：，解得：答：合伙買雞者有9人，雞的價格為70文錢．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】《一千零一夜》中：有這樣一段文字：有一群鴿子，其中一部分在樹上歡歌，另一部分在地上覓食．樹上的一只鴿子對地上覓食的鴿子說：“若從你們中飛來一只，則樹下的鴿子就是整個鴿群的；若從樹上飛下去一只，則樹上、樹下的鴿子就一樣多了．”你知道樹上、樹下各有多少只鴿子嗎？【答案】樹上原有7只鴿子，樹下有5只鴿子．解：本題考查的是方程組的應(yīng)用根據(jù)等量關(guān)系：若從你們中飛上來一只，則樹下的鴿子就是整個鴿群的；若從樹上飛下去一只，則樹上、樹下的鴿子就一樣多．即可列出方程組，解出即可．設(shè)樹上有只鴿子，樹下有只鴿子，由題意得，解得，答：樹上有只鴿子，樹下有只鴿子．【變式2】《九章算術(shù)》中有這樣一道題，原文如下：“今有人共買雞，人出九，盈十一，人出六，不是十六，問人數(shù)、雞價各幾何”意思為：