2021年高考數(shù)學(xué)（藝術(shù)生）沖刺《考前模擬卷》（含答案）

專題一、考前模擬卷

選擇題

1.設(shè)集合M={X|X2-X>0},N={X|L<1},則()

X

A.MAN=0B.MUN=0C.M=ND.MUN=R

【答案】C

【解析】：M={x|x"-x>O}={x|x>l或xVO},N={x|L〈l}二{x|x>l或xVO},

X

則加N,故選：C.

2.已知i是虛數(shù)單位,x,yER且&*i)Q+D=y+i,則y=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【解析］由(x+D(2+i)=y+i,得(2xT)+(x+2)i=y+i,

'.{Hl，即x=T,y=-3,故選A.

7T

sin-7-

3.在區(qū)間［0,2］上隨機取一個數(shù)x,使的概率為（)

A.LB.LC..2D.旦

3234

【答案】A

【解析】：：0WxW2,.-.0<2L￡^JT,VsinJLZ.>?/!,

222

±_2_

即.,.p=.3故選：A.

323332-03

4.(威海二模)已知命題p："Va>b|a|>|b|M,命題q：?3X°<0,2°>°”，則下列為真命

題的是()

A.pAqB.—，pA__，qC.pVqD.pV-'q

【答案】C

【解析】：?.?命題p："Va>b,|a|>|b|"是假命題，命題q："三*0<0，2°是真命題，

Vq是真命題.故選：C.

5.如圖1為某省2018年1?4月快遞業(yè)務(wù)量統(tǒng)計圖,圖2是該省2018年1?4月快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計圖，,下

列對統(tǒng)計圖理解錯誤的是

快81***（萬件）一同比1—快it業(yè)"收入（萬元）一姆比“氏（%）

70%

SII8350820

60%

50%

40K

30%

20%

小

0%

Ifl2M3/14H

ffi2

A.2018年1?4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低，差值接近2000萬件

B.2018年1?4月的業(yè)務(wù)量同比增長率均超過50%,在3月最高

C.從兩圖來看，2018年1?4月中的同一個月的快遞業(yè)務(wù)量與收入的同比增長率并不完全一致

D.從1?4月來看，該省在2018年快遞業(yè)務(wù)收入同比增長率逐月增長

【答案】D

【解析】

對于選項N：2018年1?4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低,

差值為439724111986,接近20。0萬件，所以是正確的;

對干選項5：2013年1?4月的業(yè)務(wù)量同比增長率分別為58?！?均超過50%,在3月最高，所

以3是正確的;

對于選項C：2月份業(yè)務(wù)量同比增長率為53%,而收入的同比增長率為30%,所以。是正確的;

對于選項D,1,2,3,4月收入的同比增長率分別為55%,30。。，60%,42%,并不是逐月增長，D錯誤.

本題選擇D選項.

a?+a8+ag-^"0

.a7+a10<0

6.（泉州期中）已知等差數(shù)列｛a.｝的前n項和為S”則“S0的最大值是SJ'是"”的（）

Ar.充分不必要條件B.必要不充分條.件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】：等差數(shù)列瓜｝的前n項和為S“，則"S”的最大值是SJ0+>0,a?<0.

a7+a&+^^"0a8>0

,a7+a10<0a8+a9<0

則“<=>

a7+a8+ag>0

a1+a?c<0

???Sn的最大值是SJ是“110”的充耍條件.

故選：C.

7.已知點P(2,1)是拋物線C：x'Fy上一點，A,B是拋物線C上異于P的兩點，A,B在x軸上的射影分

別為A,B”若直線PA與直線PB的斜率之差為1,D是圓(x-1)2+(y+4)?=1上一動點，則△ABD的面

積的最大值為()

(2)若b,亞a,c成等差數(shù)列，AABC的面積為2、石，求a.

2

【解析】:(1),.,asinB=bsin(A+-2L-).

3

.??由正弦定理可得:sinAsinB=sinBsin(A+-2I_).

3

VsinB^O,

sinA=sin(A+-5-).

3

VA6(0.it)>可得：A+A+-^-=it,

3

.\A=—........6分

3

(2)Vb,1a,c成等差數(shù)列，

2

b+c=?a，

?.?△ABC的面積為2、石，可得：S&M=LbcsinA=2jW

2

1,_兀

—XbcXsirrz-r-.,

：.23=2如,解得bc=8,

.,.由余弦定理可得：a'=b2+c2-2bccosA=(b+c)'-2bc-2bccosW-=(b+c)2-3bc=(J^a)-24,

3

，解得：a=2j$............12分

18.如圖所示，在四棱錐S—ABCD中，SAL平面ABCD,底面ABCD為直角梯形，其中AB〃CD,ZADC=90°,

AD=AS=2,AB=1,CD=3,點E在棱CS上，且CE=ACS.

D4c

2

⑴若…,證明：BE±CD；

3

(2)若入=-,求點E到平面SBD的距離.

3

222

【解析】(1)因為入=-,所以CE=-CS,在線段CD上取一點F使CF=-CD,連接EF,BF,貝l|EF〃SD且DF

333

=1.

因為AB=1,AB〃CD,NADC=90°,

所以四邊形ABFD為矩形，所以CD_LBF.

又6AJ_平面ABCD,ZADC=90°,

所以SA_LCD,AD±CD.

因為ADCSA=A,所以CD_L平面SAD,

所以CDLSD,從而CDLEF.

因為BFCEF=F,所以CD_L平面BEF.

(2)解:

2：22

又因為SB=JsA?+AB[=4BD=>/AB+AD=4SD=>/sA+AD=25/5

所以SASBD-g.SD?[B?《SD)2=但

設(shè)點C到平面SBD的距離為h,則由Vs-BCD=VcSBD得h=?,

因為CE=lcS,所以點E到平面SBD的距離為二=婁.........12分

333

19..我國第十三個全民健身日，其主題是：新時代全民健身動起來.某市為了解全民健身情況，隨機從某

小區(qū)居民中抽取了40人,將他們的年齡分成7段：[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),

(1)試求這40人年齡的平均數(shù)、中位數(shù)的估計值；

(2)(i)若從樣本中年齡在[50,70)的居民中任取2人贈送健身卡，求這2人中至少有1人年齡不低于

60歲的概率；

(ii)已知該小區(qū)年齡在［10,80］內(nèi)的總?cè)藬?shù)為2000,若18歲以上(含18歲)為成年人，試估計該小區(qū)

年齡不超過80歲的成年人人數(shù).

【解析】

(1)平均數(shù)x=15K0.15+25x0.2+35+*0.3+45*0.15+55x0.1+(65+75)x0.05=37

前三組的頻率之和為0.15+0.2+0.3=0.65,故中位數(shù)落在第3組，設(shè)中位數(shù)為x,

則(x—30)X0.03+0.15+0.2=0.5,解得x=35,即中位數(shù)為35.........5分

(2)(i)樣本中，年齡在［50,70)的人共有40X0.15=6人，其中年齡在［50,60)的有4人，設(shè)為a,

b,c,d,年齡在［60,70)的有.2人，設(shè)為x,y.

則從中任選2人共有如下15個基本事件：(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(b,c).(b,d),

(b,x),(b,y),(c,d)>(c,x),(c?y).(d,x),(d,y),(x,y).

至少有1人年齡不低于60歲的共有如下9個基本事件：

(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y).

記“這2人中至少有1人年齡不低于60歲”為事件A,

93

故所求概率P(A)=^=?.......9分

(ii)樣本中年齡在18歲以上的居民所占頻率為1-(18—10)X0.015^=0.88,

故可以估計，該小區(qū)年齡不超過80歲的成年人人數(shù)約為2000X0.88=1760.……12分

20.己知橢圓E：與+與=1(a>b>0)過點P(&,亞)，其上頂點B(0,b)與左右焦點F”H構(gòu)成

a2

等腰三角形，且NBBF2=120°.

(I)求橢圓E的方程；

2

(II)以點B(0,b)為焦點的拋物線C：x=2py(p>0)上的一動點P(m,yP),拋物線C在點P處的切線

1與橢圓E交于PR兩點，線段PR的中點為D,直線OD(0為坐標(biāo)原點)與過點P且垂直于x軸的直線交

于點M,問：當(dāng)0<mWb時，△P0M面積是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在說明理由.

【解析】：(I)由已知得：a=2b,-?-+--~-1,

a22b2

解得b'=l,a'=4.

2

故橢圓E的方程為：Oy?』.............4分

4

(II)拋物線C的焦點B(0,1),則其方程為x?=4y.y'=Lx.

2

2

于是拋物線上點P(m,史則在點P處的切線1的斜率為1<=丫'|x=m=里，

42

22

故切線1的方程為：y-a_=a(x-m),即y=R-EL_................6分

4224

2234

由方理組I4+'-1,消去y,整理后得(m+l)x-mx+lm-4=0.

4

4

由已知直線1與橢圓交于兩點，則△=m°-4(m-+l)(^m-4)>0.

4

解得0Wm2〈8+4j^,其中ni=0是不合題意的.

?*--V8+4V5<m<0,或0Vm?8+4V^

設(shè)Pi(xj,yi),P(X2,丫2),則XD1+=8分

2=1-1-...

22(m^+l)

2

代入1的方程得y.F—竦一.

4(m+1)

故直線OD的方程為：產(chǎn)紅x,即丫=--.

xD2m

當(dāng)x初時，y=-A.,即點M(m,3■>

△POM面積S』PM|?『-!(工+m)m=J-m3+Ln.

22、28m4

?.s=綜+!>0,

84

故S關(guān)于m單調(diào)遞增.

...當(dāng)m=l時，△POM面積最大值為W........12分

8

a

21已知函數(shù)f(x)?-2lnx+-■?.

x

(1)若函數(shù)f(X)在［1,+8)上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a的取值范圍;

g2

(2)當(dāng)一2<a<0時，證明：對任意x￡(0,+?>),三a2.

e<(1~)

x

2a

r(x)-~?—<o

【解析】(1)解：由題意得，Xx2-.

HPa>.2x在［1,+oo)上恒成立,

所以a2-2...............3分

.2a2x+a

ffx)----——?------

(2)證明：由(1)可知''Xx2x2

所以f（x）在（0,-1）上單調(diào)遞增，在卜，+8）上單調(diào)遞減,

因為-2va〈0,

所以-一〈1〈1--,

2x

2

所以尸高2.......12分

22.（10分）以直角坐標(biāo)系的原點0為極點，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，已

X=^+tCOS0

y=tsin9

知直，線1的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)，0V0VJI）,曲線C的極坐標(biāo)方程為Psin20-

2cos0=0.

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線1與曲線C相交于A,B兩點，當(dāng)0變化時，求|AB1的最小值.

【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化方法，求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）將直線1的參數(shù)方程代入y2=2x,得t2sin2。-2tcos0-1=0,利用參數(shù)的幾何意義，求勺最小值.

【解析】：(1)由Psin*6-2cos9=0,得P*sin*9=2Pcos0.

?.曲線C的直角坐標(biāo)方程為y：=2x;.......4分

<2）將直線1的參:數(shù)方程代入y；=2x,得Vsin20-2tcos0-1=0.

設(shè)A,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為七，t；,

.i，,2cos8]

mf|AB|=|11-t2IW(ti+t2)2-4t1t2

11+12-.2a11"t2一2

sinfsin8

_Ucos29,42

,4a.2a■2p

sinesinDsind

當(dāng)e與寸，間的最小購2.?……】。分

23.設(shè)函數(shù)f（x）=|x-』|-|2x+l|的最大值為m.

(I)作出函數(shù)f(x)的圖象；

(II)若a2+2c2+3b2=m,求ab+2bc的最大值.

x+2,

<-3x,

—x—2,x1

【解析1(I)函數(shù)f(x)=|x-l|-|2x+l|=，'

畫出圖象如圖,

（n）由（i）知，當(dāng)x=-Ut,函數(shù)f（X）取得最大值為m=W.

22

a2+2c2+3b~=m=.5.=（a2+bJ）+2（c2+b?）》2ab+4bc,

2

；.ab+2bcwW,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=l時,取等號,

4

故ab+2bc的最大值為之.

4

專題二、立體幾何初步測試題

命題報告:

1.高頻考點：三視圖的認(rèn)識，幾何體的表面積和體積的求解。

2.考情分析：高考主要以選擇題填空題形式出現(xiàn)，每年必考，重點考查三視圖和表面積、體積的綜

合，與球有關(guān)的外接和內(nèi)切問題。

3.重點推薦：基礎(chǔ)卷16題，涉及數(shù)學(xué)文化題的應(yīng)用，是近幾年熱點問題；

一.選擇題

1.所有棱長都為1的正四棱錐的體積是（）

,2V2V2G

A、一B、C、D、

3363

【答案】：C

【解析】正四棱錐的側(cè)棱、高、底面對角線的一半構(gòu)成直角三角形，所以高為

,正四棱錐的底面積為1,所以體積為,故選C.

2.將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該

【答案】B

【解析】先根據(jù)正視圖和俯視圖還原出幾何體，再作其側(cè)視圖.由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體

為圖①，故其側(cè)視圖為圖②.

1

3.（黃山一模）將正方體（如圖（1）所示）截去兩個三棱錐，得到如圖（2）所示的幾何體，則該幾何體

【解析】根據(jù)題意，得；點A在平面BCC：B：上的投影是B,

點D在平面BCCB上的投影是C,

棱AB：在平面BCQB：上的投影是BB：,

AD：在平面BCC叢上的投影是BC；,

在平面BCGB上的投影是BC,

BS是被擋住的棱，應(yīng)畫成虛線，如圖所示.故選：B.

4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱

截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）

A.90JTB.63nC.42nD.36m

答案B

解析法一（割補法）由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個圓柱被截去上面虛線部分所得，如圖所

不?

6

將圓柱補全，并將圓柱體從點力處水平分成上下兩部分.由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積

加上上部分圓柱體積的看所以該兒何體的體積『=nX32X4+nX32X6x1=63n.

法二（估值法）由題意知，5,M樸＜/IIMM九"",又％杵="X3~X10=90頁，

A45冗＜/幾何體＜90n.觀察選項可知只有63冗符合.

5.在棱長為a的正方體中，p、Q是體對角線上的動點,

且PQ=1，則三棱錐P-BDQ的體積為（）

4

a3C、D、

2412

【答案】：A

【解析】特殊化處理，讓點Q與C重合，則三棱錐P-BDC的體積為所求,

因為？,由三角形的相似比可.得P到底面BCD的距離為一產(chǎn)，

2V3

6.（煙臺一模）已知三棱錐P-ABC的所有頂點都在球。的球面上，△ABC是邊長為、歷的正三角形，PA,

PB,PC兩兩垂直，則球0的體積為（）

7r71

A.立..B.V3C.3JID.代行兀

2

【答案】：A

【解析】?「△ABC是邊長為血的正三角形，PA,PB,PC兩兩垂直，.,.PA=PB=PC=1,由三棱錐P-ABC的所有

頂點都在球。的球面上，W0相當(dāng)于棱長為1的正方體的外接球，故正中，故球0的體

22

積衿|打屋=除兀，故選：A.

O4

7.長方體震數(shù)一禺蠲“?踹的體積為V,P是。。的中點，Q是AB上的動點，則四面體P-CDQ的體積是

（）

A、-V.B、-VC、-VD、—V

46812

【答案】：D

【解析】設(shè)長方體的長、寬、高分別為AB=a,BC=b,A4=c,則有V=abc,

11T1

=三優(yōu)次限級：=—=—磁：

由題意知金鼻胃，所以

1u1aa

2息繆7整MM阪_LV

12

8.（三明二模）如圖，已知正方體ABCD-ABCD的棱長為2,則以下四個命題中錯誤的是（）

A.直線AC與A?為異面直線B.AC〃平面ACDi

C.BD,±ACD.三棱錐D「ADC的體積為顯

3

【答案】：1）

【解析】由正方體ABCD-ABCD的棱長為2,知：在A中,直線ACu平面ABCS,BLu平面ABCD,

D傳直線AC,由異面直線判定定理得直線AC與AD為異面直線，故A正確；在B中，?.?AC〃AC,ACC平

面ACMACu平面ACM二AC〃平面ACDi,故B正確；在C中，二?正方體ABCD-ABCD中，AC±BD,AC

±DD,,-/BDADDB/.AC±?BDDHABD,!AC,故C正確;在D中，三棱錐DLADC的體積:

鼻,X2X2X2.

2

vn=2，故D錯誤.故選：D.

0一皿3

9.如圖是棱長為2的正八面體（八個面都是全等的等邊三角形），球0是該正八面體的內(nèi)切球，則球0的

表面積為（）

E

A.82LB.12LC,哂兀D.艱兀

332727

【答案】A：

i-SiT^-X2X2X272

【解析】：由題意，該八面體的棱長為2,設(shè)球0的半徑為r,3表3V"

；X8X今xz'rI-nx（&）2

：34,解得片喔所以球。的表面積為：473=空.故選：A.

3

E

10.（東北三省三校.（哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學(xué)）三模）

棱長為2的正方體ABCD-A3CD中，E為棱AD中點，過點R,且與平面ABE平行的正方體的截面面積為

（）

A.5B.2代C.2娓D.6。

【答案】.C

【解析】：取BC中點F,A：D：中點G,連結(jié)DF、BF、DB：、DG、GB：,GF,

?棱長為2的正方體ABCD-ABCD中,E為棱AD中點，.,.BE4DF,A￡//GD,

又A：EPIBE=E,DGTIDF=D,A：E、BEU平面A：BE,DG、DFU平面DFB：G,

過點且與平面A；BE平行的正方體的截面為四邊形DFB.G,

'/DF=FB；=B：G=DG=V4+1DB：=44+4+4=2心GF=2V^§=2應(yīng)

過點B：,且與平面A：BE平行的正方體的截面面積為：

S菱形FB】GD4XDBI'G吟X2*X2V?2遍.故選：C.

11.如圖，若Q是長方體ABCD-ABCD被平面EFGH截去幾何體EFGHBC后得到的幾何體，其中E為線段

A3上異于&的點，F(xiàn)為線段BBi上異于氏的點，且EH〃AD,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.EH〃FGB.四邊形EFGH是矩形

C.Q是棱柱I）.四邊形EFGH可能為梯形

【答案】D；

【解析】：若FG不平行于EH,則FG與EH相交，交點必然在B1C1上，與EH〃B1C1矛盾，所以FG〃EH,故

A正確；

由EHL平面A1ABB1,得到EHJ_EF,可以得到四邊形EFGH為矩形，故B正確：

將Q從正面看過去，就知道是一個五棱柱，故C正確；

因為EFGH截去幾何體EFGHBC后，EII"BCRCF,所以四邊形EFGII不可能為梯形，故D錯誤.故選：D.

12.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻薨，下廣三丈，袤四

丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何？”其意思為：”今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3

丈，長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多少？”已知1丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示,

其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1.則該楔體的體積為（）

-1肘伊閨

A.10000立方尺B.11000立方尺

C.12000立方尺D.13000立方尺

【答案】：A

【解析】由題意，將楔體分割為三棱柱與兩個四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示:

沿上棱兩端向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直,

則將幾何體分成兩個四棱錐和1個宜三棱柱,

則三棱柱的體積％=Lx3X2X2=6,四棱錐的體積V產(chǎn)工X1X3X2=2,

33

由三視圖可知兩個四棱錐大小相等，

.?.V=%+2V2=10立方丈=10000立方尺.故選：A.

二.填空題

13.正△/仍的邊長為a,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系X。，則它的直觀圖的面積是.

答案泠

1b

解析畫出坐標(biāo)系/O'y',作出△如6的直觀圖O'A'夕（如圖）.〃'為O'A'的中點.易知〃'B'

如（。為物的中點），

14.如圖，已知正方體46aM由G”的棱長為1,則四棱錐4-防〃〃的體積為

【答案】

【解析】由題意可知四棱錐4-陽”。的底面是矩形，邊長為1和巾，四棱錐的高為%C=錯誤!，則四棱錐

4-陰〃〃的體枳為Jxix$x錯誤!錯誤!.故答案為錯誤!.

15.有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示），NABC=

45°,AB=AD=\,DC1BC,則這塊菜地的面積為.

答案2+半

解析如圖1,在直觀圖中，過點力作垂足為￡

又四邊形力町為矩形，AD^EC^X.

平+L

由此還原為原圖形如圖2所示，是直角梯形?B'CD'.

在梯形HB'CD'中，A'D'=1,B'C1,A'B'=2.

.?.這塊菜地的面積S=g(4D'+B'C)-A'B'=1x1+1+乎)x2=2+乎.

16.《九章算術(shù)》中對一些特殊的幾何體有特定的稱謂，例如：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵.將

一塹堵沿其一頂點與相對的棱刨開，得到一個陽馬（底面是長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐）

和一個鱉嚅（四個面均勻直角三角形的四面體）.在如圖所示的塹堵ABC-ABG中，AAi=AC=5,AB=3,BC=4,

則陽馬C,-ABBA的外接球的表面積是。

4A

【答案】50n

【解析】：由題意知，直三棱柱ABC-ABC中,

AA,=AC=5,AB=3,BC=4,

四棱錐C-ABBA的外接球即為直三棱柱的外接球,

以AB、BC、BBi為共頂點，畫出長方體，如圖所示,

則長方體的外接球即為三棱柱的外接球；

J32+42+52—

二所求的外接球的直徑為體對角線2R=AG=VO40-倔,

外接球的表面積是S=4n1=n(2R)2=50”.

三.解答題

17.己知某線段的正視圖、俯視圖、側(cè)視圖對應(yīng)線段長度分別為2,4,4,試求此線段的長度。

【解析】：如圖想象出線段8Q所在的空間幾何體是長方體可得其正

視圖、俯視圖、側(cè)視圖分別為3分

設(shè)長方體三條棱長分別為a,b,c,則有

18.現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐0—46C”,下部的形狀是正四

棱柱力四9—4旦（如圖所示），并要求正四棱柱的高。。是正四棱錐的高陽的4倍，若48=6m,PQ=2

【解析】由m=2m,知ao=4m=8m.因為AB=AB=6m,所以正四棱錐P—ABCG的體積瞑=

J??P0\=-X62X2=24(m3)；.......4分

,JO

正四棱柱ABCUBGA的體積

J柱?4勺6-X8=288(m3),

;

所以倉庫的容積K=Kw+rtt=24+288=312(m').

故倉庫的容積是312m：i.........12分

19.如圖，長方體力及力一46￡以中，力廬口6,比'=10,44=8,點反產(chǎn)分別在48,"G上，4￡="6=4.

過點E,6的平面。與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.

(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);

(2)求平面a把該長方體分成的兩部分體積的比值.

【解析】(1)交線圍成的正方形夕死尸如圖所示.

5分

⑵如圖，作￡歸_/8,垂足為M則M=4￡=4,以=12,￡仁44=8.

因為四邊形￡7修尸為正方形，所以E4EF=BC=\Q.

于是MH=7E#—瑜彳=6,47=10,用?=6.

故S四邊形A\EHA=^X(4+10)X8=56,

S四邊形EB\BH與＜(12+6)義8=72.

因為長方體被平面。分成兩個高為10的直棱柱，

所以其體積的比值為黯也正確).......12分

20.在三棱柱1461G中，側(cè)面MGCL底面四G加=ACAC=AB=BC=2,且點。為4C中點.

⑴證明：平面四C；

(2)求三棱錐G-48C的體積.

(1)證明因為■={9，且。為的中點，

所以46LL/1G........3分

又平面44GCJ_平面A