第6章《圖形的相似》（教師版）

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)九年級下冊易錯題真題匯編（提高版）第6章《圖形的相似》一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?泉港區(qū)期末）對等式進行變形，則下列等式成立的是（）A．2x＝3y B．3x＝2y C． D．解：∵，∴3x＝2y，A、2x＝3y，不成立，故A不符合題意；B、3x＝2y，成立，故B符合題意；C、∵＝，∴2x＝3y，不成立，故C不符合題意；D、∵x＝y(tǒng)，∴2x＝3y，不成立，故D不符合題意；故選：B．2．（2分）（2023春?長沙期末）黃金分割數(shù)是一個很奇妙的數(shù)，大量應(yīng)用于藝術(shù)、建筑和統(tǒng)計決策等方面，請你估算的值（）A．在0和1之間 B．在1和2之間 C．在2和3之間 D．在3和4之間解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，∴估算的值在1和2之間，故選：B．3．（2分）（2023?沙依巴克區(qū)模擬）如圖，兩個全等的四邊形ABCD和OA′B′C′，其中四邊形OA′B′C′的頂點O位于四邊形ABCD的對角線交點O．若四邊形ABCD和OA′B′C′都是矩形，AD＝a，DC＝b，則下列數(shù)量關(guān)系中正確的是（）A．OE＝OF B． C．BE+BF＝DB D．重疊部分的面積始終等于四邊形ABCD的解：過O點作OM⊥AB于M點，ON⊥BC于N點，如圖，∵四邊形ABCD和OA′B′C′都是矩形，∴∠ABC＝∠EOF＝90°，OA＝OB＝OC，∴AM＝BM，CN＝BN，四邊形OMBN為矩形，∴OM＝AD＝a，ON＝CD＝b，∠MON＝90°，∵∠MOE+∠EON＝90°，∠EON+∠NOF＝90°，∴∠MOE＝∠NOF，∵∠OME＝∠ONF＝90°，∴△OME∽△ONF，∴＝＝＝，所以B選項符合題意；只有當四邊形ABCD為正方形時，△OME≌△ONF，則OE＝OF，則△AOE≌△BOF，此時AE＝BF，所以BE+BF＝BE+AE＝AB＝BD，四邊形OEBF的面積等于三角形OAB的面積，即重疊部分的面積始終等于四邊形ABCD的，所以A選項、C選項、D選項不符合題意．故選：B．4．（2分）（2023?匯川區(qū)三模）公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》系統(tǒng)地論述了黃金分割，稱為最早的有關(guān)黃金分割的論著．“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．如圖，點C把線段AB分成兩份，如果BC：AC＝AC：AB，那么稱點C是線段AB的黃金分割點．冬奧會吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可愛，活潑，他泛著可愛笑容的嘴巴位于黃金分割點處，若玩偶身高2m，則玩偶嘴巴離地高度是（）m．A． B． C． D．解：∵他泛著可愛笑容的嘴巴位于黃金分割點處，玩偶身高2m，∴玩偶嘴巴離地高度＝×2＝（﹣1）m，故選：D．5．（2分）（2023?漣水縣一模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，AC與BD相交于點O，則△ABO的面積與△CDO的面積的比為（）A．1：2 B． C．1：4 D．解：設(shè)小方格的邊長為1，由圖可知，AB∥CD，∴△ABO∽△CDO，且AB＝，CD＝2，∴S△ABO：S△CDO＝（AB：CD）2，∴S△ABO：S△CDO＝（：2）2＝1：4，故選：C．6．（2分）（2023?昆明模擬）在設(shè)計人體雕像時，為了增加視覺美感，會使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比等于下部與全部的高度比等于（≈0.618，稱為黃金分割比例），按此比例設(shè)計一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計高度是（）A． B． C． D．解：∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比等于下部與全部的高度比等于，∴該雕像的下部設(shè)計高度＝×2＝（﹣1）m，故選：A．7．（2分）（2023?安徽模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2BC，點E是邊AB的中點，連接DE交AC于點F，過點F作FG⊥DE交AB于點G，則下列結(jié)論正確的是（）A．AG＝GF B． C． D．解：在矩形ABCD中，AB＝2BC，點E是邊AB的中點，∴DA＝AE＝BE＝BC，AB∥DC，∴△DCF∽△EAF，∴DF：FE＝DC：AE＝2，即DF＝2EF，故B不符合題意；∵DF＝2EF，∴EF＝DE，在Rt△ADE中，∠DAE＝90°，DA＝EA，∴∠ADE＝∠AED＝45°，DE＝AE，則AE＝EF，∵FG⊥DE，∴△EFG為等腰直角三角形，即EF＝FG，GE＝EF，∴AG＝AE﹣GE＝EF﹣EF＝EF≠GF，故A不符合題意；∴AG+FG＝EF+EF＝EF，在Rt△ADG中，∠DAG＝90°，DA＝EA＝EF，AG＝EF，∴DG＝EF，∴AG+FG≠DG，故C不符合題意；∵AG＝EF，GE＝EF，∴＝＝，即AG＝AE，∵AE＝DC，∴＝＝，即AG＝DC，故D符合題意；故選：D．8．（2分）（2023?蓮都區(qū)一模）如圖，測量小玻璃管口徑的量具ABC，AB的長為3cm，AC被分為5等份．若小玻璃管口DE正好對著量具上2等份處（DE∥AB），那么小玻璃管口徑DE的長為（）A． B．2cm C． D．1cm解：∵DE∥AB，∴∠BAC＝∠EDC，∠B＝∠CED，∴△ABC∽△DEC，∴＝，∴＝，∴DE＝，故選：A．9．（2分）（2023?開福區(qū)校級二模）我們把頂角為36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”，它的底與腰的比值為．如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點D，若BC＝2，則CD的長為（）?A． B． C． D．解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BC＝BD，∴△BDC是“黃金三角形”，∴＝，∵BC＝2，∴DC＝﹣1，故選：A．10．（2分）（2023?播州區(qū)三模）五角星是我們中華人民共和國國旗的元素，如圖是從一個五角星中分離出來的等腰三角形ABC，已知∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，則的值為（）A． B． C． D．解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴DA＝DB，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，∵頂角為36°的等腰三角形是黃金三角形，∴△ABC是黃金三角形，∴＝，∴＝，故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在矩形ABCD內(nèi)作正方形AEFD，矩形的對角線AC交正方形的邊EF于點P．如果點F恰好是邊CD的黃金分割點（即DF2＝FC?CD），且PE＝4，那么PF＝2﹣2．解：∵點F恰好是邊CD的黃金分割點（即DF2＝FC?CD），∴＝，∵四邊形ADFE是正方形，∴DF＝AE，DF∥AE，∴＝，∵DF∥AE，∴∠CFE＝∠AEF，∠FCP＝∠PAE，∴△CFP∽△AEP，∴＝，∴＝，∴PF＝2﹣2，故答案為：2﹣2．12．（2分）（2023?小店區(qū)校級模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，AE平分∠BAC交BC于點E，連接CD交AE于點F．若AC＝5，BC＝12，則EF的長是．?解：過點E作EG⊥AB，垂足為G，過點D作DH∥BC，交AE于點H，∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵AE平分∠BAC，∴EC＝EG，∵△ABC的面積＝△ACE的面積+△ABE的面積，∴AC?BC＝AC?CE+AB?EG，∴AC?BC＝AC?CE+AB?EG，∴5×12＝5CE+13EG，∴CE＝CG＝，∴BE＝BC﹣CE＝，在Rt△ACE中，AE＝＝＝，∵D是AB的中點，DH∥BC，∴AH＝HE＝AE＝，∴DH是△ABE的中位線，∴DH＝BE＝，∵DH∥CE，∴∠DHF＝∠CEF，∠HDF＝∠ECF，∴△DHF∽△CEF，∴＝＝＝，∴EF＝EH＝×＝，故答案為：．13．（2分）（2023?大同模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝18，D為AB上一點，且BD＝2AD，過點D作DE⊥AC于點E，過點A作AF⊥BC于點F，AF與DE交于點G，則AG的長為．解：過點B作BH⊥AC，垂足為H，∵AB＝AC＝15，BC＝18，AF⊥BC，∴BF＝CF＝BC＝9，∴AF＝＝＝12，∵AF⊥BC，BH⊥AC，∴∠AFC＝∠AFB＝∠BHC＝90°，∴∠C+∠FAC＝90°，∠C+∠HBC＝90°，∴∠HBC＝∠FAC，∴△BFP∽△AFC，∴＝，∴＝，∴FP＝，∴AP＝AF﹣FP＝，∵BD＝2AD，∴＝，∵DE⊥AC，BH⊥AC，∴DE∥BH，∴∠ADG＝∠ABP，∠AGD＝∠APB，∴△ADG∽△ABP，∴＝，∴＝，∴AG＝，故答案為：．14．（2分）（2023?濰坊三模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，延長AB至D，使得BD＝AB，點P為動點，且PB＝PC，連接PD，則PD的最小值為．?解：如圖：∵AB＝AC＝10，PB＝PC，∴直線AP是BC的垂直平分線，∴BE＝BC＝3，BC⊥AP，∴當DP⊥AP時，DP最短，∴∠APD＝∠AEB＝90°，∵BD＝AB，∴AD＝AB＝15，∵∠EAB＝∠PAD，∴△AEB∽△APD，∴＝，∴＝，∴DP＝，∴PD的最小值為，故答案為：．15．（2分）（2023?張家口二模）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個釘點是邊長為1個單位長的小正方形頂點，釘點M，N，P，Q都在釘板圖的邊框上．線段PQ與線段MN交于點R．（1）△NQR與△MPR的面積比等于1：9；（2）MR＝．解：（1）∵PM∥NQ，∴∠PMR＝∠RNQ，∠MPR＝∠NQR，∴△NQR∽△MPR，∴△NQR與△MPR的面積比＝（）2＝（）2＝1：9；故答案為：1：9；（2）由勾股定理得：MN＝＝2，∵△NQR∽△MPR，∴＝，即＝，∴MR＝．故答案為：．16．（2分）（2023?雙流區(qū)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，BD為對角線，E為邊AD上一點，連接CE交BD于點O．若∠A＝∠BCD＝∠BOC＝120°，AD＝，AB＝12，，則的值為．解：如圖，過點B作BH⊥CD于點H，設(shè)BC＝4x，CD＝3x，∵∠BCD＝120°，∴∠BCH＝60°，∴CH＝BC?cos∠BCH＝4x?cos60°＝2x，BH＝CH＝BC?sin∠BCH＝4x?sin60°＝2x，∴DH＝CH+CD＝5x，∴BD＝＝x，∵∠BOC＝∠BCD，∠OBC＝∠CBD，∴△BOC∽△BCD，∴，即，∴BO＝，CO＝，∴DO＝BD﹣BO＝，∵∠DOE＝∠BOC＝∠A，∠ODE＝∠ADB，∴△ODE∽△ADB，∴，即，∴OE＝，∴CE＝OE+OC＝，∴＝＝，故答案為：．17．（2分）（2023?南山區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，AD⊥BC，CE＝AD＝8，CE關(guān)于DE對稱的直線恰好交AB于點F，則AF的長為．?解：如圖，連接DF，過點D分別作DM⊥AC于點M，DN⊥EF于點N，DP⊥AB于點P，∵AB＝AC，AD⊥AB，∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD＝BC＝6，∵DM⊥AC，DP⊥AB，∴DM＝DP，∵∠CED＝∠FED，DN⊥EF，DM⊥AC，∴DM＝DN，∴DN＝DP，∵DN⊥EF，DP⊥FB，∴∠EFD＝∠BFD，∴∠MDE＝∠NDE，∠NDF＝∠PDF，∴∠EDF＝∠MDP＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠CAD，∴∠B＝∠C＝90°﹣∠CAD，∵∠EDF+∠FDB＝∠C+∠CED，∴∠FDB＝∠CED，∵∠B＝∠C，∠FDB＝∠CED，∴△CDE∽△BFD，∴＝，∴BF＝＝，∵AD＝8，BD＝6，∠ADB＝90°，∴AB＝＝＝10，∴AF＝AB﹣BF＝10﹣＝．故答案為：．18．（2分）（2023?京口區(qū)校級一模）如圖，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C，D為格點（即小正方形的頂點），AB與CD相交于點O，則AO的長為．解：如圖所示：在△BDF和△ECF中，，∴△BDF≌△ECF（AAS），∴BF＝EF＝，又∵BF∥DA，∴△BFO∽△ADO，∴，又∵AD＝4，∴，在Rt△ABD中，由勾股定理得，，又∵AB＝AO+BO，∴AO＝，故答案為．19．（2分）（2023?烏魯木齊一模）正方形ABCD中，AB＝2，點M是BC的中點，點P是正方形內(nèi)一點，連接PC，PM，當點P移動時，始終保持∠MPC＝45°，連接BP，點E，F(xiàn)分別是AB，BP中點，求3BP+2EF的最小值為2．解：由題意知：當點P移動時，始終保持∠MPC＝45°，所以點P的運動軌跡為圓時，設(shè)圓心為O，如圖1，連接OC，OM，保持∠COM＝90°滿足條件，正方形ABCD中，BC＝2，∵M是BC的中點，∴CM＝BM＝，∵∠MPC＝∠COM＝45°，∴⊙O的半徑為1，如圖2，連接AC，在OA上取一點N，使ON＝OP，連接PN，AP，OP，∵∠MCO＝45°，∴點O在AC上，∵AC＝＝4，∴OA＝AC﹣OC＝4﹣1＝3＝3OP，∴＝，∠PON＝∠AOP，∴△PON∽△AOP，∴，∵F是PB的中點，E是AB的中點，∴EF是△ABP的中位線，∴AP＝2EF，∴3BP+2EF＝3BP+AP＝3（BP+AP）＝3（BP+PN），連接BN，當B、P、N三點共線，BP+PN取得最小值，此時BN交⊙O于點P，過N作NG⊥BC交BC于G，如圖3，∵CN＝OC+ON＝1+＝，∴NG＝CG＝，∴BG＝2﹣＝，根據(jù)勾股定理得：BN＝＝＝，∴3BP+2EF＝3（BP+PN）＝3BN＝2．故答案為：2．20．（2分）（2022?包頭模擬）如圖，正方形ABCD中，E為BC的中點，CG⊥DE于G，延長BG交CD于點F，延長CG交BD于點H，交AB于N下列結(jié)論：①DE＝CN；②；③S△DEC＝3S△BNH；④∠BGN＝45°；⑤；其中正確結(jié)論有①②③④⑤．解：①∵在正方形ABCD中，∠NBC＝∠ECD＝90°，∴BC＝CD，∠BCN+∠GCD＝90°，∵CG⊥DE，∴∠CDG+∠GCD＝90°，∴∠BCN＝∠CDG，∴△NBC≌△ECD（ASA），∴DE＝CN，故①正確；②∵在正方形ABCD中，AB∥CD，∴△NBH∽△CDH，∴＝，∵△NBC≌△ECD（ASA），E為BC的中點，四邊形ABCD是正方形，∴NB＝BC＝CD，∴＝＝；故②正確；③如下圖所示，過H點作IJ∥AD，∵△NBH∽△CDH，∴IJ＝HJ，∴HI＝IJ＝DC，∴S△DEC＝EC?DC，S△BNH＝BN?HI＝EC×DC＝×（×EC×DC），∴S△DEC＝3S△BNH，故③正確；④過點B作BP⊥CN于點P，BQ⊥DG交DE的延長線上于點Q，∴∠BPC＝∠BQD＝∠PGQ＝90°，∴四邊形PBQG是矩形，∴∠PBQ＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠NBP＝∠QBE，由①得△NBC≌△ECD，∴EC＝BN，∵E是BC的中點，∴BE＝EC，∴BE＝BN，∵∠BPN＝∠BQE＝90°，∴△BPN≌△BQE（AAS），∴BP＝BQ，∴四邊形PBQG是正方形，∴∠BGE＝45°，故④正確；⑤如圖所示，連接NE，設(shè)BN＝x，則BE＝EC＝x，BC＝2x，∵CG⊥DE，∠NBC＝90°，∴CN＝＝＝x，EN＝＝＝x，由△ECN面積可得CN?GE＝EC?BN，∴GE＝x，∴GN＝＝x，∴GN+GE＝x+x＝x，∴GC＝CN﹣GN＝x﹣x＝x，∵AB∥CD，∴△NGB∽△CGF，∴＝＝＝，∴BG＝FG，∴BG＝BF，F(xiàn)C＝BN＝x，∴BG＝×x＝x，∴GN+GE＝BG，故⑤正確；故答案為：①②③④⑤．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?靖邊縣校級模擬）銅川市【銅川1958】雕塑群體展現(xiàn)了銅川1958年因煤設(shè)市、因煤而興的一個時代的記憶．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)計劃測量雕塑上方人物銅像的高度AB．如圖，小組同學(xué)在D處豎立一根可伸縮的標桿，甲站在G處恰好看到標桿頂端E和人物銅像底端B在一條直線上，DG＝3米，CD＝33米；甲站在G處不動，小組同學(xué)調(diào)整標桿的高度，當標桿的頂點恰好在F處時，甲看到標桿頂端F和人物銅像頂端A在一條直線上，EF＝1米，AC⊥CG，F(xiàn)D⊥CG，HG⊥CG，點B在AC上，點E在DF上，點C、D、G在一條水平線上，請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)與方法求出人物銅像的高度AB．?解：過點H作HM⊥DF，垂足為M，并延長HM交AC于點N，由題意得：NC＝MD＝HG，HM＝DG＝3米，CD＝NM＝33米，∴HN＝HM+NM＝36（米），∵∠BNH＝∠EMH＝90°，∠BHN＝∠EHM，∴△BNH∽△EMH，∴＝，∴EM?NH＝BN?MH，∵∠ANH＝∠FMH＝90°，∠AHN＝∠FHM，∴△ANH∽△FMH，∴＝，∴＝，∴MH（AB+BN）＝NH（EF+EM），∴MH?AB+MH?BN＝NH?EF+NH?EM，∴MH?AB＝NH?EF，∴3AB＝36×1，∴AB＝12米，∴人物銅像的高度AB為12米．22．（8分）（2023?銀川校級二模）如圖，△ABC在方格紙中（1）請在方格紙上建立平面直角坐標系，使A（2，3），C（6，2），并求出B點坐標；（2）以原點O為位似中心，相似比為2，在第一象限內(nèi)將△ABC放大，畫出放大后的圖形△A′B′C′；（3）計算△A′B′C'的面積S．解：（1）如圖所示，即為所求的直角坐標系；B（2，1）；（2）如圖：△A'B'C'即為所求；（3）S△A'B'C'＝×4×8＝16．23．（8分）（2023?綏德縣一模）常樂寶塔（如圖1），本名金陵寺寶塔，是一座典型宋代磚塔．某數(shù)學(xué)小組為了測量常樂寶塔的高度，利用休息時間進行了實地測量：如圖2，首先把長為2米的標桿CD垂直立于地面上的點C處，當塔尖B、標桿頂端D與地面上的點E在同一直線上時，EC＝3米；再將標桿沿AC方向平移11米至點G處（即CG＝11米，GH＝2米），當塔尖B、標桿頂端H與地面上的點F在同一直線上時，F(xiàn)G＝4米，已知BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，點A、C、E、G、F在同一水平直線上，請你幫助這個數(shù)學(xué)小組求出常樂寶塔的高度AB．解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，∴∠BAC＝∠DCE＝∠HGF＝90°，∵∠DEC＝∠BEA，∴△EDC∽△EBA，∴＝，∴＝，∵∠HFG＝∠BFA，∴△HFG∽△BFA，∴＝，∴＝，∴＝，∴AC＝33米，∴＝，∴AB＝24米，∴常樂寶塔的高度AB為24米．24．（6分）（2023?碑林區(qū)校級模擬）小延想要測量學(xué)校教學(xué)樓AB的高度，他站在N點處時，視線通過旗桿DE的頂端與頂樓的窗子下沿C重合，他向前走到點G處時，視線通過旗桿DE的頂端與樓頂A重合，已知小延的眼睛與地面的距離MN＝FG＝1.6米，NG＝2米，GE＝6米，BE＝8米，AC＝3米，MN、FG、DE、AB均與地面垂直，且在同一平面內(nèi)，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算教學(xué)樓AB的高度．解：連接MF并延長，交DE于點H，交AB于點P，由題意得：MN＝FG＝HE＝PB＝1.6米，MF＝NG＝2米，F(xiàn)H＝GE＝6米，HP＝EB＝8米，∠DHF＝∠APM＝90°，∴MH＝MF+FH＝8（米），MP＝MF+FH+HP＝16（米），F(xiàn)P＝FH+HP＝14（米），∵∠DMH＝∠CMP，∴△MDH∽△MCP，∴＝，∴＝，∴DH＝CP，∵∠DFH＝∠AFP，∴△FDH∽△FAP，∴＝，∴＝，∴＝，解得：CP＝18米，∴AB＝AC+CP+PB＝22.6（米），∴教學(xué)樓AB的高度為22.6米．25．（8分）（2022?承德二模）如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∠PDQ的頂點D在BC上，DQ經(jīng)過點A，DP交AB于點E，且BD＝3，∠PDQ＝∠B．（1）BE的長是3；（2）如圖2，把∠PDQ繞頂點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中始終保持∠PDQ的開口在BC的上方，且DP不與DB重合，DQ交AB于點G，交CA的延長線于點F（點F不與點A重合），設(shè)BE＝x，AG＝y(tǒng)．①請說明△BDE與△CFD相似；②請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；③是否存在以∠GFA或∠FGA為頂角的等腰△AGF？若存在，請求出BE的長；若不存在，請說明理由．解：（1）∵AC＝AB＝5，BC＝8，BD＝3，∴∠B＝∠C，DC＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，∵∠B+∠BED＝∠EDC＝∠PDQ+∠ADC，∠B＝∠PDQ，∴∠BED＝∠ADC，∴△BED∽△CDA，∴，即BE＝，故答案為：3；（2）①∵∠B+∠BED＝∠EDC＝∠PDQ+∠FDC，∠B＝∠PDQ，∴∠BED＝∠FDC，又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD；②如圖，過點D作DM∥AB，交AC于點M，∵DM∥AB，∴△CDM∽△CBA，∴，∴，即MD＝CM＝，由①知，△BDE∽△CFD，∴，∴，∵BE＝x，∴CF＝，∴AF＝CF﹣AC＝，F(xiàn)M＝CF﹣CM＝，∵DM∥AB，AG＝y(tǒng)，∴，即，整理得：y＝，結(jié)合（1）的BE的長度可知0＜x＜3，即y＝（0＜x＜3），③存在，理由如下：第一種情況：當AF＝GF，如圖，過點D作DH⊥AB于H點，過點A作AS⊥BC于點S，∵AB＝AC＝5，BC＝8，AS⊥BC，∴BS＝SC＝，∴AS＝，∴sinB＝，cosB＝，∵DM∥AB，∴，∵AF＝GF，∴FM＝FD，∴DG＝FD﹣FG＝FM﹣AF＝AM，在②中知AM＝，∴DG＝AM＝，∵HD⊥AB，∴∠DHG＝90°，∴HD＝BD?sinB＝3×，∴GH＝，∴AG＝AB﹣BH﹣HG＝，∵y＝，0＜x＜3，AG＝y(tǒng)＝，∴＝，∴x＝，此時BE＝；第二種情況：∠FGA為頂角，即FG＝AG，設(shè)DN交CA的延長線于N，作ET⊥BC于T，∵FG＝AG，∴∠GAF＝∠GFA，∵∠B+∠C＝∠GAF，∠NDF+∠N＝∠GFA，∠C＝∠B＝∠NDF，∴∠N＝∠B＝∠C，∵DC＝5＝AC，∴△ABC≌△DNC（AAS），∴ND＝AB＝5，CN＝BC＝8，AN＝NC﹣AC＝3，∵AN＝3＝BD，∠B＝∠N，∠BED＝∠NEA，∴△BED≌△NEA（AAS），∴NE＝BE＝x，DE＝ND﹣NE＝5﹣x，在Rt△BTE中，ET＝BE?sinB＝，BT＝BE，∴TD＝BD﹣BT＝3﹣，在Rt△ETD中，DE2＝ET2+TD2，∴（5﹣x），解得x＝，∵0＜x＜3，∴x＝舍去，綜上所述，BE的長為．26．（8分）（2022?東莞市校級二模）如圖1，△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，點E、F分別從B、C兩點同時出發(fā)，其中點E沿BC向終點C運動，速度為2cm/s；點F沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s，設(shè)它們運動的時間為x（s）．（1）當x＝1時，求EF的長；（2）如圖2，AD⊥BC于D，求x為何值時，△EFC和△ACD相似；（3）如圖2，AD⊥BC于D，交EF于點N，連接DF，設(shè)△END的面積為S1，△FND面積為S2，在整個運動中，S1與S2是否存在固定的數(shù)量關(guān)系，若存在，寫出S1與S2滿足的關(guān)系式，并加以證明；若不存在，也請說明理由．解：（1）如圖，過點A作AD⊥BC，過點F作FG⊥BC，根據(jù)題意可得CF＝BE＝2，AC＝5，BD＝CD＝4，∴AD＝，∵FG∥AD，∴△FCG∽△ACD，∴，∴FG＝，CG＝，∴EG＝BC﹣BE﹣CG＝，∴EF＝＝；（2）當點F在AC上，點E在BD上時，①當時，△CFE∽△CDA，∴，解得x＝；②當時，△CFE∽△ACD，即，解得x＝；當點F在AB上，點E在CD上時，不存在△EFC與△ACD相似，綜上所述，當x＝或時，△EFC和△ACD相似；（3）點E從點B到點D的時間為4÷2＝2，點F從點C到點A的時間為5÷2＝2.5，①當0＜x＜2時，如圖所示，△FND與△END有相同的底ND，過點F作FH⊥AD于H，∴FH∥BC，∴∠C＝∠AFH，∴cos∠AFH＝cosC＝，∵AF＝5﹣2x，∴FH＝AF，∵ED＝4﹣2x，∴＝；②當2＜x＜2.5，EF與AD無交點，無法產(chǎn)生三角形；點E從B到C的時間為8÷2＝4，點F從C到A時間為10÷2＝5；③當2.5＜x＜4時，如圖所示，與①同理可得：ED＝2x﹣4，AF＝2x﹣5，∴FG＝AF，∴＝；④當4＜x＜5時，如圖所示，同理①可得：ED＝4，AF＝2x﹣5，∴FG＝AF，∴＝，綜上所述，＝（0＜x＜2）或（2.5＜x＜4），＝（4＜x＜5）．27．（8分）（2022?大連模擬）已知：如圖，△ABC中，BD是中線，點E是AB上一點，CE與BD交于點F，EB＝EF．（1）在圖中與∠DFC相等的角有∠EFB和∠EBF；（2）在圖中找出與線段AB相等的線段，并證明．（3）若∠ADB＝90°﹣∠ABD，AB＝kAC，求的值．（用含k的代數(shù)式表示）解：（1）∵EB＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，∵∠DFC＝∠EFB，∴∠DFC＝∠EBF，故答案為：∠EFB，∠EBF．（2）CF＝AB．延長BD到G，使BD＝DG，連接AG，CG，∵△ABC中，BD是中線，∴AD＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴CG＝AB，CG∥AB，AG∥BC，∴∠ABC＝∠BGC，∵EB＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，∵∠GFC＝∠EFB，∴∠GFC＝∠CGF，∴CF＝CG，∵CG∥AB，∴CF＝AB．（3）如圖，在FD的延長線上取點M，使FM＝FC，