類型八、平方差的幾何應(yīng)用（解析版）

類型八、平方差的幾何應(yīng)用【解惑】方法：等積法【融會(huì)貫通】1．如圖，將圖1中的一個(gè)小長方形變換位置得到如圖2所示的圖形，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積關(guān)系得到的等式是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：圖①中陰影部分的面積可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即，圖②是長為，寬為的長方形，因此面積為，由于圖①、圖②陰影部分的面積相等可得，，2．在邊長為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長為b的小正方形（）．把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖）．通過計(jì)算圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：由圖可知，大正方形減小正方形剩下的部分面積為；拼成的長方形的面積：，所以得出：，3．如圖，在邊長為a的正方形中，剪去一個(gè)邊長為x的小正方形，將余下部分對(duì)稱剪開，拼成一個(gè)梯形，根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積的關(guān)系，可以得到一個(gè)關(guān)于a，x的恒等式是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：由題意得，左圖可表示陰影部分的面積為，由右圖可表示陰影部分的面積為，∴，4．如圖，有兩張正方形紙片和，圖將放置在內(nèi)部，測得陰影部分面積為，圖將正方形和正方形并列放置后構(gòu)造新正方形，測得陰影部分面積為，若將個(gè)正方形和個(gè)正方形并列放置后構(gòu)造新正方形如圖，圖，圖中正方形紙片均無重疊部分則圖陰影部分面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由圖可知，陰影部分面積，圖可知，陰影部分面積，所以，由圖可知，陰影部分面積．5．如圖，陰影部分是邊長是a的大正方形剪去一個(gè)邊長是b的小正方形后所得到的圖形，將陰影部分通過割、拼，形成新的圖形，給出下列4幅圖割拼方法：其中能夠驗(yàn)證平方差公式有（

）A．①②③④ B．①③ C．①④ D．①③④【答案】A【詳解】解：圖①，左邊圖形的陰影部分的面積＝a2－b2，右邊圖形陰影部分的面積＝（a＋b）（a－b），∴a2－b2＝（a＋b）（a－b），故①可以驗(yàn)證平方差公式；圖②，陰影部分面積相等，左邊的陰影部分的面積＝a2－b2，右邊圖形陰影部分的面積＝（a＋b）（a－b），∴a2－b2＝（a＋b）（a－b），故②可以驗(yàn)證平方差公式；圖③，陰影部分面積相等，左邊的陰影部分的面積＝a2－b2，右邊圖形陰影部分的面積＝（2a＋2b）（a－b）＝（a＋b）（a－b），∴a2－b2＝（a＋b）（a－b），故③可以驗(yàn)證平方差公式；圖④，陰影部分面積相等，左邊的陰影部分的面積＝a2－b2，右邊圖形陰影部分的面積＝（a＋b）（a－b），∴a2－b2＝（a＋b）（a－b），故④可以驗(yàn)證平方差公式．【知不足】6．如圖1，在邊長為的大正方形中，剪去一個(gè)邊長為3的小正方形，將余下的部分按圖中的虛線剪開后，拼成如圖2所示的長方形．根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，可以列出的等式為_________．【答案】【詳解】解：由題可知，圖1陰影部分面積為兩個(gè)正方形的面積差，即，圖2是長為，寬為的長方形，因此面積為，∵兩個(gè)圖形陰影部分面積相等，∴，7．有邊長為的大正方形和邊長為的小正方形，現(xiàn)將放在內(nèi)部得到圖甲，將，并列放置后，構(gòu)造新的正方形得到圖乙，圖甲和圖乙陰影部分的面積分別是和，則（1）根據(jù)圖甲、乙中的面積關(guān)系，可以得到______，______．（2）若個(gè)正方形和個(gè)正方形按圖丙擺放，陰影部分的面積為______．【答案】

29【詳解】解：（1）圖甲陰影面積可以表示為，，（舍去），圖乙中陰影部分面積可以表示為：，，（2）圖丙中陰影部分面積為：，，，，，，（舍去），．8．兩個(gè)邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖1），其未疊合部分（陰影）面積為；若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長為b的小正方形（如圖2），兩個(gè)小正方形疊合部分（陰影）面積為．當(dāng)+＝40時(shí)，則圖3中陰影部分的面積＝_____．【答案】20【詳解】解：由圖可得，＝，＝a（a﹣b）+＝；＝＝，∵+＝，+＝40∴＝，＝20．9．如圖，大正方形與小正方形的面積之差是60，則陰影部分的面積是_____．【答案】30【詳解】解：設(shè)大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，故陰影部分的面積是：AE?BC+AE?BD＝AE（BC+BD）＝（AB﹣BE）（BC+BD）＝（a﹣b）（a+b）＝（a2﹣b2）＝×60＝30．10．從邊長為的正方形中剪掉一個(gè)邊長為的正方形（如圖），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖）．（1）探究：上述操作能驗(yàn)證的等式是：__________；（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A．B．C．（2）應(yīng)用：利用所選（1）中等式兩邊的等量關(guān)系，完成下面題目：若，，則的值為__________．【答案】

B；

【詳解】（1）圖1中，邊長為a的正方形的面積為：a2，邊長為b的正方形的面積為：b2，∴圖1中剩余部分面積為：a2-b2，圖2中長方形的長為：a+b，長方形的寬為：a-b，∴圖2長方形的面積為：（a+b）（a-b），（2）∵，，∴===94，【一覽眾山小】11．（1）如圖1，若大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，則陰影部分的面積是________；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2的一個(gè)長方形，則它的長為________；寬為________；面積為________．（2）由（1）可以得到一個(gè)公式：________．（3）利用你得到的公式計(jì)算：．【答案】（1），，，；（2）；（3）4【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得：圖1陰影部分的面積為：，圖2長方形的長為：，圖2長方形的寬為：，面積為：，（2）由（1）可得：，（3）．12．閱讀理解，自主探究數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．例如：平方差公式“兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，就等于?兩個(gè)數(shù)的平方差”，即，平方差公式的幾何意義如下圖所示：圖甲陰影部分面積為，圖乙陰影部分面積為；由于陰影部分面積相同，所以有(1)解決問題：如下圖是完全平方公式的幾何意義，請(qǐng)寫出這個(gè)公式________．(2)學(xué)以致用：請(qǐng)解釋的幾何意義．(3)拓展延伸：請(qǐng)解釋的幾何意義，并寫出乘積的結(jié)果．【答案】(1)(2)見解析(3)；圖見解析【詳解】（1）解：根據(jù)正方形面積公式可得，圖3中圖形的面積為：，同時(shí)圖中圖形的面積也可表示為：，（2）如圖：陰影部分正方形面積等于：，也可以表示為，故：；（3）解：如圖：-13．如圖1，邊長為的大正方形剪去一個(gè)邊長為的小正方形，然后將圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是______（用，表示）；(2)請(qǐng)利用你從（1）得出的等式，完成下列各題：①已知，，則______；②計(jì)算：．【答案】(1)(2)①；②【詳解】（1）解：圖1陰影部分的面積可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即，圖2陰影部分是長為，寬為的長方形，因此面積為，由圖1、圖2的面積相等得，，（2）解：①，，又，，②原式．14．綜合與實(shí)踐如圖1所示，邊長為的正方形中有一個(gè)邊長為的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為，圖2中陰影部分面積為．(1)請(qǐng)直接用含和的代數(shù)式表示__________，__________；寫出利用圖形的面積關(guān)系所得到的公式：__________（用式子表達(dá)）．(2)依據(jù)這個(gè)公式，康康展示了“計(jì)算：”的解題過程．解：原式．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要學(xué)會(huì)觀察，嘗試從不同角度分析問題，請(qǐng)仿照康康的解題過程計(jì)算：．(3)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)要會(huì)舉一反三，請(qǐng)用（1）中的公式證明任意兩個(gè)相鄰奇數(shù)的平方差必是8的倍數(shù)．【答案】(1)；；(2)(3)證明見詳解【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，，∵，∴，（2）解：，（3）解：設(shè)一個(gè)奇數(shù)為，則另一個(gè)相鄰的奇數(shù)為，∴，∴任意兩個(gè)相鄰奇數(shù)的平方差必是8的倍數(shù)．15．從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是

．（請(qǐng)選擇正確的選項(xiàng)）A、B、C、(2)用你選的等式進(jìn)行簡便計(jì)算：；(3)用你選的等式進(jìn)行簡便計(jì)算：．【答案】(1)A(2)8(3)146927【詳解】（1）解：由題意得：圖1中去掉邊長為b的正方形后的圖形面積為：，圖2中圖形面積為，∵圖1中去掉邊長為b的正方形后的圖形面積與圖2中的圖形面積相等，∴，（2）解：（3）解：∵，，，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∴，∴原式=146927．16．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，借助圖形的直觀性，可以幫助解數(shù)學(xué)問題．(1)請(qǐng)寫出圖1，圖2，圖3陰影部分的面積分別能解釋的數(shù)學(xué)公式．圖1：______；圖2：______；圖3：______．其中，完全平方公式可以從“形”的角度進(jìn)行探究，通過圖形的轉(zhuǎn)化可以解決很多數(shù)學(xué)問題，在圖4中，已知，，求的值．解：∵，∴，又∵，∴，∴.即．類比遷移：(2)若，則______；(3)如圖5，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，以，為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，陰影部分面積為______．【答案】(1)，，；(2)；(3)12．【詳解】（1）解：圖1中陰影部分面積可以表示為，也可以表示為，圖2中陰影部分面積可以表示為，也可以表示為，故可得：；圖3中陰影部分面積可以表示為，也可以表示為，（2）解：∵，∴，（3）解：設(shè)，則，∵兩正方形的面積和，∴，∵，∴，即：，∴，∴，17．?dāng)?shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科，同學(xué)們，我們就用數(shù)形結(jié)合思想來解決下面問題吧!(1)將圖①甲中陰影部分的小長方形變換到圖乙位置，你根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是_________．(2)將圖②甲中陰影部分的一個(gè)小長方形變換到圖乙位置，你根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系寫出一個(gè)等式：（________）_______．(3)圖③甲是一個(gè)長為，寬為的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖③乙那樣拼成一個(gè)正方形，則圖③乙中間空余的部分的面積是__________．(4)觀察圖③乙，請(qǐng)你寫出三個(gè)代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系是________．(5)根據(jù)（4）中等量關(guān)系解決如下問題：若，，求的值．【答案】(1)(2)；(3)，（也可）(4)（移項(xiàng)變式后答案皆可）(5)（1）解：圖甲：大矩形的面積可表示為：（a-b）（a+b）；圖乙：大正方形的邊長為a，圖形的面積可表示為：，所以根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系，可得出的公式是，（2）解：圖甲的面積可表示為：（a-b）（a+2b），圖乙的面積可表示為：，所以根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系，可得出的公式是（a-b）（a+2b）=，（3）解：中間部分的四邊形是正方形，邊長是a+b-2b=a-b，則面積是．（4）解：根據(jù)圖形得出（5）解：根據(jù)陰影部分面積可得：，∵，，∴，∴mn=6．18．（1）【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如：從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形如圖1，然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形如圖2．圖1中陰影部分面積為__________，圖2中陰影部分面積為__________，請(qǐng)寫出這個(gè)乘法公式__________．（2）【知識(shí)應(yīng)用】應(yīng)用（1）中的公式，完成下面任務(wù)：若m是不為0的有理數(shù)，已知，，比較P、Q大小．（3）【知識(shí)遷移】事實(shí)上，通過計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖3表示的是一個(gè)邊長為x的正方體挖去一個(gè)小長方體后重新拼成一個(gè)新長方體，請(qǐng)你根據(jù)圖3中圖形的變化關(guān)系，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：____________________．【答案】（1），，；（2）P＜Q；（3）x3-x=x（x+1）（x-1）【詳解】解：（1）圖1中陰影部分的面積可以看作是兩個(gè)正方形的面積差，即a2-b2，圖2是長為a+b，寬為a-b的長方形，因此面積為（a+b）（a-b），因此有a2-b2=（a+b）（a-b），（2）P-Q=（m2+2m+1）（m2-2m+1）-（m2+m+1）（m2-m+1）=（m2+1）2-4m2-（m2+1）2+m2=-3m2，∵m是不為0的有理數(shù)，∴-3m2＜0，即P-Q＜0，∴P＜Q；（3）圖3左圖的體積為x?x?x-1×1×x=x3-x，圖3右圖是長為x+1，寬為x，高為x-1的長方體，因此體積為（x+1）?x?（x-1），因此有x3-x=x（x+1）（x-1），．19．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，借助圖形的直觀性，可以幫助理解數(shù)學(xué)問題．圖1

圖2

圖3

圖4（1）請(qǐng)寫出圖1，圖2，圖3陰影部分的面積分別能解釋的數(shù)學(xué)公式．圖1：；圖2：；圖3：．其中，完全平方公式可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度進(jìn)行探究，并通過公式的變形或圖形的轉(zhuǎn)化可以解決很多數(shù)學(xué)問題．例如：如圖4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：從“數(shù)”的角度解：∵a+b＝3，

∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1

∴a2+b2＝7．方法二：從“形”的角度解：∵a+b＝3，

∴S大正方形=9，又∵ab＝1，

∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．類比遷移：（2）若（5﹣x）?（x﹣1）＝3，則（5﹣x）2+（x﹣1）2＝；（3）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝10，兩正方形的面積和S1+S2＝72，求圖中陰影部分面積．【答案】（1）（a+b）2=a2＋2ab+b2；（a－b）2=a2－2ab+b2；（a+b）（a－b）=a2－b2；（2）10；（3）7【詳解】解：（1）圖1：陰影部分面積等于兩個(gè)較小正方形面積和兩個(gè)相同長方形面積之和，即：（a+b）2=a2＋2ab+b2；圖2：陰影部分面積等于大正方形面積減去最小正方形的面積以及兩個(gè)小長方形的面積，即：（a－b）2=a2－2ab+b2；圖3：左邊長方形的面積等于右邊大正方形的面積減去小正方形的面積，即：（a+b）（a－b）=a2－b2；圖2：（a－b）2=a2－2ab+b2；圖3：（a+b）（a－b）=a2－b2．（2）∵（5﹣x）+（x﹣1）＝4，∴，即：，∵（5﹣x）?（x﹣1）＝3，∴，（3）設(shè)AC=x，則BC=CF=10-x，由題意，，∵，∴，即：，∴，∴，∴圖中陰影部分面積為7．20．（1）將圖1中的甲圖從中間按如圖方式剪開，經(jīng)過重新拼接變換到圖乙，比較圖甲與圖乙，寫出得到的公式：；（2）將圖2中的甲圖從中間按如圖方式剪開，經(jīng)過重新拼接變換到圖乙，比較圖甲與圖乙，寫出得到的公式：；（3）根據(jù)圖1、圖2中得到的公式，解決下列問題：①計(jì)算：；②若，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）①；②【詳解】解：（1）圖乙陰影部分的面積大正方形的面積小正方形的面積，圖甲的面積，圖乙陰影部分的面積圖甲的面積，，（2）甲圖長方形的長是：，寬是：，面積是：；乙圖大正方形的邊長是：，面積為：，中間的小正方形的邊長為：，面積為：，，（3）①計(jì)算：，②，，，．21．兩個(gè)邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖1），其未疊合部分（陰影）面積為；若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長為b的小正方形（如圖2），兩個(gè)小正方形疊合部分（陰影）面積為．(1