北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊 專題1.12 《直角三角形的邊角關(guān)系》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）

專題1.12《直角三角形的邊角關(guān)系》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）【學(xué)習(xí)目標】1.了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確應(yīng)用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比；記憶30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會由一個特殊角的三角函數(shù)值求出這個角的度數(shù)；

2．能夠正確地使用計算器，由已知銳角的度數(shù)求出它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角的度數(shù)；

3．理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單的實際問題；

4．通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進一步認識函數(shù)，體會函數(shù)的變化與對應(yīng)的思想，通過解直角三角的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用，并結(jié)合實際問題對微積分的思想有所感受.

【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、銳角三角函數(shù)

1.正弦、余弦、正切的定義

如右圖、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果銳角A確定：

(1)sinA=，這個比叫做∠A的正弦.

(2)cosA=，這個比叫做∠A的余弦.

(3)tanA=，這個比叫做∠A的正切.

要點詮釋：

(1)正弦、余弦、正切是在一個直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，它只是一個數(shù)值，其大小只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無關(guān).

(2)sinA、cosA、tanA是一個整體符號，即表示∠A三個三角函數(shù)值，書寫時習(xí)慣上省略符號“∠”，

但不能寫成sin·A，對于用三個大寫字母表示一個角時，其三角函數(shù)中符號“∠”不能省略，應(yīng)寫成sin∠BAC，而不能寫出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.

(4)三角函數(shù)有時還可以表示成等.

2.銳角三角函數(shù)的定義

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).

要點詮釋：

1.函數(shù)值的取值范圍對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以sinA是∠A的函數(shù).同樣，cosA、tanA也是∠A的函數(shù)，其中∠A是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對應(yīng)的函數(shù).其中自變量∠A的取值范圍是0°＜∠A＜90°，函數(shù)值的取值范圍是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.

2．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：

余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；

同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A＋cos2A=1；tanA=

3.30°、45°、60°角的三角函數(shù)值∠A30°45°60°sinAcosAtanA1

30°、45°、60°角的三角函數(shù)值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形為本章重中之重，是幾何計算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.

要點二、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：

角角關(guān)系：兩銳角互余，即∠A+∠B=90°；

邊邊關(guān)系：勾股定理，即；

邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即

要點詮釋：

解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種情形：

(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；

(2)已知一條邊和一個銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．

要點三、解直角三角形的應(yīng)用

解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.1.解這類問題的一般過程

(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.

2.常見應(yīng)用問題

(1)坡度：；坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角與俯角：

要點詮釋：

1．解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，

2．用解直角三角形的知識解決實際問題的基本方法是：

把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(解直角三角形)，就是要舍去實際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系．

借助生活常識以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題．

當需要求解的三角形不是直角三角形時，應(yīng)恰當?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求解?/p>

3．銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

用相似三角形邊的比的計算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計算是在直角三角形中解決問題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過程簡潔.

如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進行代換很簡單：

∵

∴

∵

∴

∵

∴【典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)1．在學(xué)習(xí)《解直角三角形》一章時，小明同學(xué)對一個角的倍角的三角函數(shù)值是否具有關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，進行了一些研究．（1）初步嘗試：我們知道：______，______，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：______；（選填“=”或“≠”）（2）實踐探究：如圖1，在中，，，求的值；小明想構(gòu)造包含的直角三角形：延長至點D，使得，連接，所以得到，即轉(zhuǎn)化為求的正切值．請按小明的思路進行余下的求解；（3）拓展延伸：如圖2，在中，．求的值．【答案】（1），，≠；（2）見解析；（3）【分析】（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意，利用勾股定理求AB，即可得結(jié)論；（3）作的垂直平分線交于點E，連接，則∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求即可得結(jié)果．解：（1）∵，，∴≠，故答案為：，，≠；（2）在中，，∴，如圖1，延長至點D，使，∴，∴，∴，∴；（3）如圖2，作的垂直平分線交于點E，連接．則．∵中，．∴．設(shè)，則，在中，，即，解得，∴，∴．【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，難度較大，在直角三角形中作輔助線構(gòu)造2∠A是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，的頂點都是正方形網(wǎng)格的格點，求的三角函數(shù)值．【答案】，，．【分析】利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，再根據(jù)勾股定理、逆定理求出三角形的邊長，最后根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可．解：不妨設(shè)小正方形的邊長為1，如圖，過點C作于點F，，交的延長線于點E，則，，∵，即，解得，∴在中，，∴，，，故答案為：，，．【點撥】此題考查的是求網(wǎng)格問題中銳角的三角函數(shù)值，掌握利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理和三角函數(shù)的定義是解決此題的關(guān)鍵．【變式2】.如圖，在中，，點D在邊上，且．（1）求長；（2）求的正弦值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求得，勾股定理求得，即可求解；（2）過點A作交延長線于點E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．解：（1），∴，∵∴，∴，∴；（2）如圖，過點A作交延長線于點E，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴．【點撥】此題考查了三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的定義以及相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】.如圖，矩形中為邊上一點，將沿AE翻折后，點B恰好落在對角線的中點F上．（1）證明：；（2）若，求折痕的長度【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）由折疊的性質(zhì)證明再證明從而可得結(jié)論；（2）利用折疊與三角形全等的性質(zhì)求解再利用的余弦求解即可.解：（1）矩形，由對折可得：為的中點，（2），由折疊可得：【點撥】本題考查的是矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用以上知識解題是解題的關(guān)鍵.類型二、特殊角三角函數(shù)值的計算1．先化簡，再求值：，其中【答案】，．【分析】先將分式化簡，然后利用特殊角的三角函數(shù)值化簡，得到，再代入原式即可求出答案．解：∵∴原式【點撥】本題考查分式的化簡求值，特殊角的三角函數(shù)值，熟練運用分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】求下列各式的值；（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】結(jié)合三角函數(shù)值計算即可．解：（1）原式；（2）原式．【點撥】本題主要考察三角函數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)的計算題型，難度不大．解題的關(guān)鍵是掌握特殊的三角函數(shù)值即可．【變式2】.先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．【答案】，．【分析】先運用特殊角的三角函數(shù)求出x，然后運用化簡分式，最后代入計算即可．解：=====；當x=時，．【點撥】本題主要考查了分式的化簡求值和特殊角的三角函數(shù)值，靈活運用分式混合運算的法則化簡分式成為解答本題的關(guān)鍵．【變式3】.計算：（1）．（2）．【答案】（1）2﹣1；（2）3．【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值分別化簡得出答案；（2）直接利用二次根式的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．解：（1）原式＝，＝﹣2+2+﹣1，＝2﹣1；（2）原式＝，＝，＝3．【點撥】本題主要考查了二次根式的計算、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負指數(shù)冪，準確計算是解題的關(guān)鍵．類型三、解直角三角形1．在中，的對邊分別為a，b，c，根據(jù)下列條件解直角三角形．（1）已知；（2）已知．【答案】（1），；（2），．【分析】（1）根據(jù)直角三角形性質(zhì)，可得，然后根據(jù)可求得b，c的值；（2）根據(jù)勾股定理可求得c，然后根據(jù)，，可得的度數(shù)．解：（1）∵，∴，∴；（2）∵．∴，，，∴．【點撥】本題考查了解直角三角形，利用勾股定理以及特殊角三角函數(shù)值求解是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知：如圖，中，．是邊上一點，于點．．求：、、．【答案】，，=2【分析】設(shè)BC=x，則AC=2x，利用勾股定理求出AB的長，證明△ADE∽△ABC，得到∠ADE=∠ABC，利用公式計算即可．解：設(shè)BC=x，則AC=2x，在中，∵，∴，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠ABC，∴，，．【點撥】此題考查解直角三角形，勾股定理，熟記角的三角函數(shù)值的計算公式及掌握勾股定理的計算公式是解題的關(guān)鍵．【變式2】.已知的一邊為關(guān)于x的一元二次方程的兩個正整數(shù)解之一，且另兩邊長為，求的值．【答案】【分析】設(shè)方程的兩個正整數(shù)解分別為，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，根據(jù)、為正整數(shù)解，求得，可為1、4或2、2，在根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到為等腰三角形，過點C作，根據(jù)余弦的定義求解即可；解：設(shè)方程的兩個正整數(shù)解分別為，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：，又∵、為正整數(shù)解，∴，可為1、4或2、2，又∵，，∴，∴，∴，為等腰三角形．如圖，過點C作于點D，則，∴．【點撥】本題主要考查了解直角三角形，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的判定，準確計算是解題的關(guān)鍵．【變式3】.在平面直角坐標系中，點O為坐標系的原點，直線交x軸于點A，交y軸于點B，．（1）求直線的解析式；（2）在線段上有一點P，連接，設(shè)點P的橫坐標為t，的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，在直線的第一象限上取一點D，連接，若，，求點D的坐標．【答案】（1）；（2）；（3）（6，12）．【分析】（1）先根據(jù)解析式求出點B坐標，再用三角函數(shù)求出點A坐標，代入解析式即可；（2）用t表示點P的縱坐標，利用三角形面積公式列出函數(shù)解析式即可；（3）根據(jù)求出點P坐標，得出，作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于F，設(shè)點D坐標為（a，2a），點E坐標為（b，2b），根據(jù)勾股定理列出方程即可．解：（1）當x=0時，，點B的坐標為（0，），OB=，∵，∴，OA=10，A點坐標為（10，0），代入得，，解得，，直線的解析式為；（2）把點P的橫坐標t代入得，，∵點P在線段上，∴，即；（3）當時，，解得，，代入得，，點P的坐標為（6，-3），∵點B的坐標為（0，），∴BP=，∴BP=OB，∴，，∵，∴，作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于F，設(shè)點D坐標為（a，2a），點E坐標為（b，2b），，AF=10-b，∵，∴，解得，（舍去），，則點E坐標為（2，4），AE=DE=，OD=，∵點D坐標為（a，2a），∴，解得，，（舍去），D點坐標為（6，12）．【點撥】本題考查了一次函數(shù)的綜合，解題關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式，利用函數(shù)圖象上點的坐標，根據(jù)勾股定理列出方程．類型四、銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識的綜合1．如圖，在中，為邊上的中線，過點作于，過點作的平行線與的延長線交于點，連接．四邊形的面積為24，，求的長．

【答案】5．【分析】求出四邊形是平行四邊形，推出，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形是平行四邊形，求，可得四邊形為菱形，設(shè)，，求出，，根據(jù)菱形的面積公式求出，求出和，根據(jù)勾股定理求出即可．解：，，，，，四邊形是平行四邊形，，為的中點，，，，四邊形是平行四邊形，，為的中點，，四邊形是菱形；，設(shè)，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形的面積為24，，，解得：（負數(shù)舍去），，，，，，由勾股定理得：．【點撥】本題考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能熟練應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在中，，是邊延長線上一點，是邊上一點，，，．（1）求證：；（2），的面積分別記為，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）128【分析】（1）只需要根據(jù)，證明即可得到答案；（2）作于點，由三線合一定理得到，，在利用三角函數(shù)求出AB的長，從而求出AH的長，再利用，得到即，由此求解即可．解：（1），．，．．（2）過A作于點，，，，．，，．．在中，．過作，交于，，，又，．．．【點撥】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，勾股定理和解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．【變式2】.如圖，在平行四邊形中，（1）尺規(guī)作圖：過點C作，交于點E．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接，若，求平行四邊形的面積．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的基本作圖完成即可；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，求得CB的長，CE的長即可．解：解（1）如圖結(jié)論：就是所求作的圖形（2）如圖，∵，，∴，∵四邊形是平行四邊形∴∴，，∴，∴∴．【點撥】本題考查了垂線段的基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，三角函數(shù)問題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式3】.如圖，在平行四邊形中，點為中點，連接并延長交延長線于點，連接、，若，（1）求證：四邊形為矩形．（2）在的延長線上取一點，連接交于點，若，，，求．【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得CP＝BD，BPCD，BP＝CD，證△AOB≌△COD（AAS），得AB＝CD，證出四邊形ABCD是平行四邊形，再證出AC＝BD，即可得出結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)得OA＝OB，由勾股定理得AC＝15，則OA＝，作OG⊥AB于G，證出OG是△ABD的中位線，得GOAD，GO＝AD＝6，再求出EG，根據(jù)正切的定義即可求解．解：（1）證明：∵四邊形BPCD是平行四邊形，∴CP＝BD，BPCD，BP＝CD，∴∠OAB＝∠OCD，ABCD，∵點O為BD中點，∴OB＝OD，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（AAS），∴AB＝CD，∵ABCD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC＝CP，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD為矩形；（2）解：由（1）得：四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝12，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠ABC＝90°，∴OA＝OB，AC＝＝15，∴OA＝，作OG⊥AB于G，如圖所示：則AG＝BG＝=，∴OG是△ABD的中位線，∴GOAD，GO＝AD＝6，∵AE＝3，∴GE＝AE＋AG＝3＋＝，∵GOAD∴∴=．【點撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理、三角函數(shù)等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等和三角形的中位線是解題的關(guān)鍵．類型五、利用三角函數(shù)解決實際問題1．如圖，在東西方向的海岸線上的兩個碼頭和相距54海里，現(xiàn)有一貨輪從碼頭出發(fā)沿正北方向航行9海里到達點處，測得燈塔在點的北偏西方向上，已知燈塔在碼頭的北偏東方向，求此時貨輪與燈塔的距離．【答案】海里【分析】過點作，垂足為，過點作，垂足為.設(shè)，可得，，在中，利用勾股定理求得CD，即可得貨輪與燈塔的距離．解：過點作，垂足為，過點作，垂足為；設(shè)，在中，，所以，，由題意可得，四邊形為矩形，所以，，在中，，，所以，因為，所以，．解得，，所以，，此時貨輪與燈塔的距離為海里．【點撥】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，正確做輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】“村村通”公路工程拉近了城鄉(xiāng)距離，加速了我區(qū)農(nóng)村經(jīng)濟建設(shè)步伐．如圖所示，村村民欲修建一條水泥公路，將村與區(qū)級公路相連．在公路處測得村在北偏東60°方向，沿區(qū)級公路前進，在處測得村在北偏東30°方向．為節(jié)約資源，要求所修公路長度最短．畫出符合條件的公路示意圖，并求出公路長度．【答案】畫圖見解析，米【分析】在中，據(jù)題意有，求得，在中，據(jù)題意有，求得，又由，從而解得．解：如圖過點作，垂足落在的延長線上，即為所修公路，的長度即為公路長度．在中，據(jù)題意有，，，在中，據(jù)題意有，，，又，，解得=．答：所修公路長度約為米．【點撥】本題考查了直角三角形的方位角問題，在中，據(jù)題意有，求得，在中，據(jù)題意有，求得，從而解得．【變式2】.如圖，在斜坡PA的坡頂平臺處有一座信號塔BC，在坡頂A處測得該塔的塔頂B的仰角為76°，在坡底的點P處測得塔頂B的仰角為45°，已知斜坡長PA＝26m，坡度為1：2.4，點A與點C在同一水平面上，且ACPQ，BC⊥AC．請解答以下問題：（1）求坡頂A到地面PQ的距離；（2）求信號塔BC的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）【答案】（1）10m；（2）19m【分析】（1）過點A作AH⊥PQ，垂足為H，根據(jù)斜坡AP的坡度為1：2.4，利用勾股定理即可求出結(jié)果；（2）延長BC交PQ于點D，根據(jù)題意可得四邊形AHDC是矩形，設(shè)BC＝x，則x+10＝24+DH．AC＝DH＝（x﹣14）m．利用正切列出方程即可求解．解：（1）如圖，過點A作AH⊥PQ，垂足為H，∵斜坡AP的坡度為1：2.4，∴,設(shè)AH＝5k，則PH＝12k，在Rt△AHP中，由勾股定